精品解析：湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（B卷）

名校联考联合体2025年春季高一年级期中联考 数学（B卷） 时量：120分钟 满分：150分 （考试范围：必修第一册，必修第二册第六、七章及第八章1~4节） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立方程组，计算出，得到交集. 【详解】由方程组，解得，则. 故选：C． 2. 若，则（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数除法结合共轭复数概念可得答案. 【详解】，则. 故选：B． 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由诱导公式求解即可. 【详解】若， 则，即， 故选：A． 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 【答案】B 【解析】 【分析】根据公理判定A的真假；根据斜二测画法的规则判断B的真假；根据线面平行的性质判断C的真假；根据圆锥的概念判断D的真假. 【详解】共线三点不能确定一个平面，故A错误； 由斜二测画法规则知，B正确； 若直线与平面平行，则与平面内的直线有可能异面，故C错误； 以直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体是两个圆锥的组合体，故D错误． 故选：B 5. 若向量，，两两的夹角均为，且，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数量积的定义求，，，再根据可求. 【详解】，. 则，则. 故选：C 6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题意，利用由余弦定理计算即可. 【详解】设，则， 在中，，则， 解得，则. 故选：B． 7. 已知函数在区间上有零点，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可得方程在区间上有解，然后由函数知识求得函数在区间上的值域可得答案. 【详解】函数在区间上有零点方程在区间上有解， 函数在区间上单调递减，在上单调递增， 则，则. 故选：D． 8. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的函数 B. C. 函数为奇函数 D. 函数有5个零点 【答案】D 【解析】 【分析】由题设有，再作进一步变形判断A；利用周期性及已知区间解析式求函数值判断B；由奇偶性定义判断C；问题化为和的图象的交点个数，数形结合判断D. 【详解】A，为上的奇函数，为偶函数， 所以的图象关于直线对称，， 即，则是以4为周期的函数，错误； B，是上的奇函数，则是以4为周期的函数，则， 当时，，则，则， 所以，错误； C，为偶函数，所以，即，故是偶函数，错误； D，函数的零点个数等价于和的图象的交点个数， 而，结合和的图象，共有5个交点，正确． 故选：D 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，令，则下列结论正确是（ ） A. 的定义域是 B. 的解集为 C. 是奇函数 D. 在区间上单调递增，在区间上单调递减 【答案】ABC 【解析】 【分析】A选项，根据真数大于0得到不等式，求出定义域；B选项，根据函数单调性和定义域得到不等式，求出不等式解集；C选项，先求出函数定义域，再得到，C正确；D选项，在上单调递增，在上单调递减，从而得到D错误. 【详解】A选项，由已知，，故， 解得，所以的定义域为，A正确； B选项，由，得解得正确； C选项，的定义域为， 又， ∴为奇函数，C正确； D选项，在上单调递增，在上单调递减， 上单调递增，D错误． 故选：ABC 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 在区间上的值域为 C. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 D. 若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦型函数的性质，图象的平移变换及函数的零点问题逐项判断求解即可. 【详解】对于A，由，解得，选项A正确； 对于B，令，由得在上单调递增，在上单调递减， 的值域为，选项B错误； 对于C，的图象向左平移个单位长度后得到的图象，又， 即 ， ，即，选项C正确； 对于D，令在区间上恰有两个零点， 在区间上恰有两个零点， ，解得，选项D正确． 故选：ACD 11. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点，，，在同一平面内 B. 三条直线，，有公共点 C. 直线与直线不是异面直线 D. 直线上存在点使，，三点共线 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A：根据平行关系可证，即可得四点共面；对于B：根据平面的性质分析判断；对于C：根据异面直线的判定定理分析判断；对于D：可知与相交，即可判断. 【详解】作图，如图： 对于选项A：连接， 因为，可知为平行四边形，则， 又因为，分别为，的中点，则， 可得，所以四点，，，在同一平面内，故A正确； 对于选项B：延长，则相交于点，即， 又因为平面，平面， 则平面，平面， 且平面平面，所以， 即三条直线，，有公共点，故B正确； 对于选项C：因为平面，平面，， 所以直线与直线是异面直线，故C错误； 对于选项D：因为均在平面内，连接，则与相交， 所以直线上存在点使，，三点共线，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据指数及对数运算律计算求解. 【详解】． 故答案为：. 13. 如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转所成的两个半球，且可合为一个半径为10的球体，即可求表面积. 【详解】由图象知，以直线为轴旋转，弧和线段旋转一周形成的面所围成的 几何体是两个半径均为10的半球，可合为一个完整的球， 故几何体的表面积为一个球的表面积加两个圆的面积， 即． 故答案为： 14. 如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是______；若，则的值是______． 【答案】 ①. ②. ##0.4 【解析】 【分析】根据向量的线性运算表示出，结合数量积的运算求解，即可得第一空答案；过点作交于点，设，表示出，结合求出，即得，继而推得，即可得第二空答案. 【详解】因为， 所以， 所以 ． 过点作交于点，设， 则 ， ， 解得，所以， 又，而， 所以，解得， 所以， 所以，即得． 故答案为：； 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，，． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及此时x的值． 【答案】（1） （2）时，的最小值为0 【解析】 【分析】（1）根据数量积的坐标表示结合三角恒等变换可得的解析式，利用正弦函数周期公式，即可求得答案； （2）根据，确定，利用正弦函数性质，即可求得答案. 【小问1详解】 ， 故函数的最小正周期为． 【小问2详解】 由，可知， 结合正弦函数单调性知在时取得最小值，此时， 所以取得，． 16. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． （1）求顶点D的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）15 【解析】 【分析】（1）方法一：根据求点坐标. 方法二：根据先求，再根据可求点坐标. （2）先求，判断的形状，再求其面积. 【小问1详解】 法一：设顶点的坐标为， 因为，， 又，所以， 即，解得.所以点的坐标为． 法二：由向量加法的平行四边形法则可知，其中为坐标原点， ， 而，所以点的坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知，， 则，故， 因此是直角三角形． . 17. 如图，在三棱锥A-BCD中，为三棱锥的高，，点M是AC的中点，且，点E，F分别在，上，且，． （1）线段上是否存在一点N，使得M，N，E，F四点共面？若存在，请确定点N的位置并证明；若不存在，请说明理由； （2）求三棱锥的外接球的体积． 【答案】（1）存在，当为的中点，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)已知E，F分别为、上的三等分点，可证，据传递性，为的中点时，，满足题设； (2)据线面垂直的性质和直角三角形的性质，可发现M到各顶点距离相等，为外接球球心，问题可得解. 【小问1详解】 存在，当为的中点时满足条件．证明如下： 如图，连接， 则是的中位线，所以， 又，所以， 所以，所以四点共面． 【小问2详解】 因为是的中点，为三棱锥的高， 所以， 所以， 又，所以点为三棱锥的外接球的球心， 则外接球的半径为， 三棱锥的外接球的体积为． 18. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且． （1）判断的形状； （2）若D为AC的中点，且，求面积的最大值及此时的三边长． 【答案】（1）等腰三角形． （2）最大值为6， 【解析】 【分析】（1）方法一：根据正弦定理、余弦定理，从边的角度判断三角形的形状. 方法二：利用正弦定理实现边化角，再结合三角形内角和公式与两角和的余弦公式，从角的角度判断三角形的形状. （2）方法一：在和中，利用余弦定理表示，列式可得的数量关系，再结合基本不等式可求面积的最大值及对应的边长. 方法二：建立平面直角坐标系，用解析法探索的关系，再结合基本不等式可求面积的最大值及对应的边长. 【小问1详解】 法一：，由正弦定理得， 由余弦定理得， 化简得，即， 故为等腰三角形． 法二：， 由正弦定理得， 整理得， 即， ，即， ， 整理得，即， 故为等腰三角形． 【小问2详解】 法一：由为的中点，且，可得， 由余弦定理得，， 整理得， 如图1，过点向作垂线，垂足为点，由（1）易知， 在中，由勾股定理可得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时面积的最大值为6， 由解得， 综上，面积的最大值为6，此时． 法二：建立平面直角坐标系如图2，由（1）可得， 由为的中点可得， 因为，由两点间距离公式可得， 整理得， 所以， 当且仅当，即时等号成立，此时面积的最大值为6， 由，可得，则， 综上，面积的最大值为6，此时. 19. 将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性． （1）判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向． ①； ②（其中表示不超过x的最大整数）； ③． （2）已知点关于直线对称的点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，． （ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标； （ⅱ）证明在方向上具有平移不变性； （ⅲ）求． 【答案】（1）在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性；在方向上具有平移不变性． （2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析；（ⅲ） 【解析】 【分析】（1）由平移不变性定义结合函数周期性可得答案； （2）（ⅰ）由题中所提及信息可得答案；（ⅱ）设点在函数的图象上，由题中信息可得在函数的图象上，即可完成证明；（ⅲ）由（ⅱ）可得，然后令，结合，在上可得答案. 【小问1详解】 注意到； ； ． 所以函数在方向上具有平移不变性； 函数方向上具有平移不变性； 函数在方向上具有平移不变性，其中； 【小问2详解】 （ⅰ）由题目中所给信息可得：点关于直线对称的点是 ，点关于点对称的点是． （ⅱ）设点在函数的图象上，则由题 点关于直线对称后的点在函数的图象上，则点关于点对称后的点在函数的图象上，则关于直线对称后的点在函数 的图象上，则关于点对称的点在函数的图象上．所以在方向上具有平移不变性． （ⅲ）由（2）， ，注意到. 设点在函数的图象上，其中， 则在函数的图象上，其中， 令，则， 所以． 【点睛】关键点睛：对于函数新定义问题，关键为读懂定义；将新问题转化为与已解决问题有关的问题，是我们常见处理问题的手段. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名校联考联合体2025年春季高一年级期中联考 数学（B卷） 时量：120分钟 满分：150分 （考试范围：必修第一册，必修第二册第六、七章及第八章1~4节） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意的） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，那么（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 三点确定一个平面 B. 水平放置的矩形的直观图是平行四边形 C. 若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行 D. 以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 5. 若向量，，两两夹角均为，且，，，则（ ） A. 4 B. C. 2 D. 6. 如图，某数学兴趣小组成员为测量某建筑的高度，选取了与O在同一水平面且在同一水平线上的A，B，C三处．已知在A，B，C处测得该建筑顶部P的仰角分别为，，，，则该建筑的高度（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上有零点，则k取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数分别是定义在上的奇函数和偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 是周期为2的函数 B. C. 函数为奇函数 D. 函数有5个零点 二、选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知，令，则下列结论正确的是（ ） A. 的定义域是 B. 的解集为 C. 是奇函数 D. 在区间上单调递增，在区间上单调递减 10. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. 的单调递增区间为 B. 在区间上的值域为 C. 若的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则 D. 若在区间上恰有两个零点，则的取值范围是 11. 如图，在长方体中，，分别为，的中点，，分别为，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 四点，，，在同一平面内 B. 三条直线，，有公共点 C. 直线与直线不是异面直线 D. 直线上存在点使，，三点共线 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分） 12. 计算：______． 13. 如图，正方形ABCD的边长为20，分别以边AB和CD的中点E，F为圆心画弧AO和CO，以直线EF为轴旋转，弧AO，CO和线段AE，CF旋转一周形成的面所围成的几何体的表面积是______． 14. 如图，已知是边长为2的等边三角形，D是AB的中点，E是BC的一个靠近点B的三等分点，连接DE并延长至点F，连接AF交BC于点G．若，则的值是______；若，则的值是______． 四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知平面向量，，． （1）求函数的最小正周期； （2）当时，求函数的最小值及此时x的值． 16. 已知平行四边形ABCD的三个顶点的坐标分别是． （1）求顶点D的坐标； （2）求的面积． 17. 如图，在三棱锥A-BCD中，为三棱锥的高，，点M是AC的中点，且，点E，F分别在，上，且，． （1）线段上是否存在一点N，使得M，N，E，F四点共面？若存在，请确定点N的位置并证明；若不存在，请说明理由； （2）求三棱锥的外接球的体积． 18. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，且． （1）判断的形状； （2）若D为AC中点，且，求面积的最大值及此时的三边长． 19. 将函数的图象整体沿x轴正方向平移m个单位长度，再沿y轴方向平移个单位长度（时沿y轴正方向平移，时沿y轴负方向平移），得到新函数的图象，若新函数图象与原函数图象重合，称原函数在方向上具有平移不变性．是函数在方向上具有平移不变性的充要条件．例如：在方向上具有平移不变性． （1）判断以下三个函数是否具有平移不变性，若具有该性质，则直接写出一个平移方向． ①； ②（其中表示不超过x的最大整数）； ③． （2）已知点关于直线对称点是，点关于点对称的点是，现函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，当时，． （ⅰ）求点先关于直线对称再关于点对称的点坐标； （ⅱ）证明在方向上具有平移不变性； （ⅲ）求． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$