精品解析：湖北省襄阳市实验中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

实验中学24—25学年度上学期八年级期中测试（数学） 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，若同时平分 与，则可判断，最直接的依据是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图， 是的高， 是的角平分线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为应填写（ ） A. B. C. D. 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 10. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为，，则点 A，B 关于________对称． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 13. 若，则n的值是________． 14. 已知x2+kx+是完全平方式，则k＝___________． 15. 如图，，，，与相交于点O，有以下结论：①；②；③点A在的平分线上；④是的平分线，其中结论正确的是_____．（填序号） 三、解答题（共10小题，满分75分） 16. 因式分解： （1） （2） 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出的面积_______． （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 19. （1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 20. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： （1） ； （2）． 21. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 22. 随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． （1）用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； （2）若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 23. 先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： （1）若，则代数式的值为________ （2）若，求代数式的值； （3）已知：，求代数式的值． 24. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）若，当是直角三角形时，直接写出的长． 25. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学24—25学年度上学期八年级期中测试（数学） 一、选择题（共10小题，满分30分） 1. 纹样是我国古代艺术中的瑰宝．下列四幅纹样图形是轴对称图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 2. 如图，若同时平分 与，则可判断，最直接的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定．关键在于通过角平分线推出角相等． 利用平分线的定义得到，，再根据，即可得到结论． 【详解】解：∵同时平分 与， ∴，， 在和中， ∵， ∴． 故选：D． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，合并同类项，解答的关键是熟练掌握相应的运算法则及其应用．根据运算法则，对每一个选项进行计算排除即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算错误，不符合题意； C、与不是同类项，不可以合并，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图， 是的高， 是的角平分线，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目主要考查三角形的高及角平分线的计算，根据题意得出，然后利用角平分线求解即可． 【详解】解：∵ 是的高， ∴， ∵ 是的角平分线， ∴， 故选：B． 5. 数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，李刚拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被墨水弄污了，你认为应填写（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是单项式乘多项式，熟知单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加是解答此题的关键．先把等式左边的式子根据单项式与多项式相乘，先用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加，所得结果与等式右边的式子相对照即可得出结论． 【详解】解：∵左边 ． 右边， ∴□内上应填写． 故选：C． 6. 如果将一副三角板按如图方式叠放，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是三角形外角性质，灵活运用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”是解题的关键．根据三角板的角度特征得到，进而求出式子的值． 【详解】解：如图， ， ． 故选：． 7. 下列各式，不能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】平方差公式是，根据公式的特点逐个判断即可． 【分析】解：A、，两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意； B、，两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意； C、，两数和乘以这两个数的差，能用平方差公式进行计算，故此选项不符合题意； D、，两数和乘以的不是这两个数的差，不能用平方差公式进行计算，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了平方差公式，能熟记平方差公式是解题的关键，注意：平方差公式是． 8. 如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点E，的垂直平分线交于点N，交于点F，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用中垂线的性质，以及等边对等角和外角的性质，证明是等边三角形，即可得解． 【详解】连接， ∵分别为，的垂直平分线， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵cm， ∴cm． 故选A． 【点睛】本题考查中垂线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质．熟练掌握中垂线上的点都线段两端点的距离相等，是解题的关键． 9. 已知的三边长分别为，5，6，当为等腰三角形时，a的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或5 D. 5或6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义、三角形的三边关系，分类讨论是解答的关键．根据等腰三角形的定义，分、两种情况，结合三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：根据题意，当即时，的三边长分别为5，5，6，满足，能构成等腰三角形； 当即时，的三边长分别为5，6，6，满足，能构成等腰三角形， 综上，当为等腰三角形时，a的值为4或5， 故选：C． 10. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，由点关于的对称点为点，连接交于点，根据轴对称的性质进行解答即可，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键． 【详解】解：由正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴，最小， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴、、都是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 在平面直角坐标系中，点A，B 的坐标分别为，，则点 A，B 关于________对称． 【答案】y轴 【解析】 【分析】本题考查了关于对称点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．根据已知点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同，可得答案． 【详解】解：∵点A，B 的坐标分别为，，横坐标互为相反数，纵坐标相同， ∴点 A，B 关于y轴对称． 故答案为：y轴． 12. 如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么这个多边形的边数为______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多边形的内角和与外角和定理，掌握多边形内角和公式与外角和的性质是解题的关键，设多边形的边数为，根据内角和是外角和的2倍建立方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∴， 解得， 故答案为：． 13. 若，则n的值是________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方的逆运算及同底数幂相乘的逆运算，根据及求解即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴， 即：， ∴，解得：， 故答案为：4． 14. 已知x2+kx+是完全平方式，则k＝___________． 【答案】±1 【解析】 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：∵多项式x2+kx+是完全平方式， ∴k＝±2×＝±1， 故答案为：±1． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． 15. 如图，，，，与相交于点O，有以下结论：①；②；③点A在的平分线上；④是的平分线，其中结论正确的是_____．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． ①根据证明即可； ②根据，得出，根据三角形外角得出，变形求出结果即可； ③过点A作于点M，于点N，证明，根据角平分线的判定可得点A在的平分线上； ④根据已知条件无法证明是的平分线． 【详解】解：①∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ②∵， ∴，， ∴ ，故②正确； ③过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上，故③正确； ④无法证明平分，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（共10小题，满分75分） 16. 因式分解： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能再分解为止，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）先提取公因式，接着利用完全平方公式进行因式分解； （2）先提取公因式，接着利用平方差公式进一步因式分解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解： ； 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，运用平方差公式进行运算，整式的混合运算，已知字母的值求代数式的值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用完全平方公式，平方差公式计算，再合并同类项，然后代入求值． 【详解】解： 当，时， 原式 ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）在图中作出关于x轴的对称图形； （2）直接写出的面积_______． （3）在y轴上找一点P，使得周长最小．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示： （2） （3） 解：如图，作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 理由如下： 由作图可得：， ∴的周长为， ∴的周长最小． 【解析】 【分析】本题考查了作图−轴对称变换，轴对称−最短路线问题，求解网格三角形的面积：解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于，则即为所求； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：依题意， ； 【小问3详解】 略 19. （1）已知，求的值； （2）若多项式与的积不含项和项，求和的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘的性质，整体代入求解也比较关键．此题考查了多项式乘多项式． （1）根据同底数幂相乘和幂的乘方的逆运算计算． （2）根据题意列出乘式，去括号合并后，根据结果中不含项和项，求出与的值． 【详解】（1）解：， ， ． （2）解：根据题意得： ， 由多项式与的积不含项和项， 得到， 解得， 所以． 20. 我们把两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形是一个筝形，，对角线交于点O．求证： （1） ； （2）． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴点D和点B在线段的垂直平分线上， 即是的垂直平分线， ∴； （2） 证明：由（1）可知， ∴， 在和， ． 【解析】 【分析】本题考查垂直平行线的判定，直角三角形全等的判定： （1）根据垂直平行线的判定定理可得点D和点B在线段的垂直平分线上，即可证明； （2）根据证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在中，平分，过线段上一点E作，交于点F，交的延长线于点G． （1）求证：是等腰三角形． （2）若，，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）． 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 22. 随着教育教学改革的深入推进，学生综合素质培养日益受到重视．为了提高学生实践动手能力和综合运用知识能力，某学校计划把校园内一长方形场地改建成种植园．如图阴影部分设计为种植园，该长方形场地长为米，宽为米，中间是边长为米的正方形． （1）用含的代数式表示种植园（阴影）的面积并化简； （2）若，种植管理成本为每平方米50元，则完成种植园共需多少钱． 【答案】（1） （2）完成硬化共需要28000元． 【解析】 【分析】本题考查了多项式的乘法混合运算，乘方的运算法则，完全平方公式的展开，结合图形准确列出阴影面积的代数式是解题关键． （1）硬化面积是大长方形的面积减去小正方形的面积； （2）把，代入求值即可． 【小问1详解】 由图得，阴影面积为： ； 【小问2详解】 当时， 阴影面积为：（平方米），（元， 答：完成种植园共需要28000元． 23. 先阅读材料，再解决问题： 已知，在求关于x的代数式的值时，可将变形为，就可以把表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次代换法”，例如：已知，求代数式的值． 解：， ， 原式， ． 请运用“降次代换法”，解答下列问题： （1）若，则代数式的值为________ （2）若，求代数式的值； （3）已知：，求代数式的值． 【答案】（1）3 （2） （3）9 【解析】 【分析】（1）由得，然后对所求式子展开，再代入计算即可； （2）由得，然后对所求式子展开，并进行代换，再化简合并即可； （3）由得，然后对所求式子变形，并进行代换，再化简合并即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 故答案为：3； 【小问2详解】 ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 ， ， ， 即代数式的值为9． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，正确理解“降次代换法”，熟练掌握运算法则是解题的关键． 24. 在中，，是边上的动点，过点作交于点，将沿折叠，点的对应点为点． （1）如图1，若点F恰好落在边上，判断的形状，并证明； （2）如图2，若点落在内，且的延长线恰好经过点，，求的度数； （3）若，当是直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） 解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴， 由折叠可得， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2） （3）的长是3或6 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质即可求出相等的角，再根据等边三角形的判定即可得到结论； （2）根据折叠的性质可，由可得，，再根据三角形的内角和定理构造方程求x即可； （3）根据题意分两种情况，再根据图形以及折叠的性质得到的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由折叠可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴； 【小问3详解】 的长是3或6，理由如下： 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，直角三角形的性质，平行线的性质，根据题意画出图形是解题的关键． 25. 等腰中，，，点A、点B分别是y轴、x轴上两个动点，直角边交x轴于点D，斜边交y轴于点E． （1）如图(1)，已知点C的横坐标为，直接写出点A的坐标； （2）如图(2)，当等腰运动到使点D恰为中点时，连接，求证:； （3）如图(3)，若点A在x轴上，且，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以为直角边在第一、二象限作等腰直角和等腰直角，连接交y轴于点P，问当点B在y轴的正半轴上运动时，的长度是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，请求出的长度． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，过点C作交y轴于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）的长度不变， 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，三角形综合题．主要利用了全等三角形的性质定理与判定定理，解决本题的关键是作出辅助线，构建全等三角形． （1）如图1，过点C作轴于点F，构建全等三角形：，结合该全等三角形的对应边相等易得的长度，由点A是y轴上一点可以推知点A的坐标； （2）过点C作交y轴于点G，则，即得，，由，可证得，从而得到结论； （3）如图3，过点C作轴于点E，构建全等三角形：，结合全等三角形的对应边相等推知：，．再结合已知条件和全等三角形的判定定理得到：，故． 【小问1详解】 解：如图1，过点C作轴于点F， ∵轴于点F， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∵点的横坐标为， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长度不变，理由如下： 如图3，过点C作轴于点E， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $