期中模拟卷（基础卷）（考试范围：三角函数+向量+复数+表面积体积）-2024-2025学年《高分引擎》高一数学热难点精讲与单元卷特训（人教A版2019必修第二册）

期中模拟卷（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由题意可得：， 所以的虚部为2. 故选：D. 2．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　） A． B．2 C．4 D． 【答案】C 【详解】根据题意，将直观图还原为原图，如图所示， 可得为直角三角形，其中， 所以的面积为． 故选：C. 3．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设向量与的夹角为θ. 由，左右两边平方得,得. 由，得，从而. 故选:B. 4．已知锐角的角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 所以，显然，， 由余弦定理得， 由可得， 由正弦定理得 ∴， 因为，，为锐角， ∴，则，， ∴，， ∴， 所以， 故选：C． 【点睛】关键点点睛：本题关键是由是锐角三角形，确定角B的范围，进而利用三角函数的性质而得解. 5．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】根据正弦定理可得 故选D. 【点睛】本题考查了正弦定理的简单应用，属于基础题． 6．如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【详解】由图知， 则. 故选：A. 7．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，三棱锥可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长为a，b，，如图所示， 则，，，解得，，. 所以该三棱锥的的体积为， 而， 所以可求得，故选：C 8．一架天平平衡时的轴截面示意图如图所示，，，，，和都是边长为1的正三角形.当天平两边的重量发生变化时，绕点转动（逆时针方向为正方向），转动角度.在转动过程中，和始终都与平行，且图中，，，，，，，，，这10个点始终共面，则在转动过程中，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】   如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系， 则，. 由题意可得，，，， 所以，， 则. 因为，所以， 故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 【答案】BC 【详解】因为，所以， ，所以的虚部为，故A错误， 而，故复数在复平面中对应的点在第三象限，故B正确， ， ，故C正确， 虚数无法比较大小，故D错误. 故选：BC 10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 【答案】BCD 【详解】对于A，在梯形中，即代表圆台的高， 利用勾股定理计算可得，所以A错误； 对于B，轴截面梯形的面积为，因此B正确； 对于C，易知下底面圆的面积为，上底面圆的面积为； 所以该圆台的体积为，可得C正确； 对于D，将圆台侧面沿直线处剪开，其侧面展开图如下图所示： 易知圆弧的长度分别为，设扇形圆心为，圆心角为，； 由弧长公式可知，解得； 所以可得， 设为的中点，连接，当小虫从点沿着爬行到的中点，所经过路程最短， 易知，且， 由勾股定理可知，可知D正确. 故选：BCD 11．在中，角，，的对边分别为，，，下列四个命题中，正确的有（    ） A．当，，时，满足条件的三角形共有1个 B．若是钝角三角形，则 C．若，则 D．若，，则面积的最大值为 【答案】BD 【详解】对于A：由余弦定理有：……①， ，，代入①式有：……② 上式判别式， 故②式无解，即不存在，故A错误. 对于B：当时，； 故显然成立； 当时，且，则， 所以……③， 对③式两边同乘以有； 当时，； 故显然成立； 综上所述三种情况都有：恒成立，故B正确； 对于C： 当时，， 当时，时，得不出，故C错误； 对于D：若，，则由余弦定理，有. 又，故，当且仅当时取等号. 故，故D正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量 . 【答案】 【详解】如图，取的中点E，连接，， 由题意，得，， 则. 故答案为：. 13．已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是 . ①函数的图象关于点对称；    ②函数的图象关于直线对称； ③函数在单调递减；        ④是以为最小正周期的周期函数； ⑤可改写为. 【答案】①②⑤ 【详解】解：由函数图象可得，最小正周期，所以，故④错误； 当时，函数取得最大值，即， 所以，则，又，得， 故函数. 对于①，当时，， 即点是函数的一个对称中心，故①正确； 对于②，当时，， 即直线是函数的一条对称轴，故②正确； 对于③，令，解得， 则函数的单调递减区间为，故③错误； 对于⑤，，故⑤正确. 故答案为：①②⑤. 14．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 【答案】 【详解】依题意，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ， 当且仅当，即时取等号，正切函数在上单调递增， 而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）∵复数， ∴. （2）设， ∵，∴①. 又∵， ∴②， 由①②联立，解得或， ∴或. 16．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 【答案】(1) (2)元 【详解】（1）根据题意可知这种“笼具”的体积等于外层圆柱体积减去内层圆锥体积； 由圆柱的底面周长为可知，底面圆半径为cm，又高为cm， 所以圆柱体积为 由圆锥的母线长为30cm可知圆锥的高cm， 因此圆锥体积为； 所以这种“笼具”的体积为 （2）易知制作1个“笼具”所使用的纱网材料面积为圆柱侧面积与圆锥侧面积之和； 圆柱侧面积为，圆柱上底面面积； 圆锥侧面积为； 因此制作100个“笼具”需要的网材料面积为， 根据材料的造价为每平方米8元，可知共需元. 17．在中，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由余弦定理可求得； （2）由正弦定理求得，，可得周长． 【详解】解：（1），． 又，，，． （2）由正弦定理，得， ， ， 故的周长为． 【点睛】关键点点睛：本题考查余弦定理、正弦定理解三角形． 正弦定理解三角形类型：（1）已知两角和一角对边；（2）已知两边和一边对称； 余弦定理解三角形类型：（1）已知两边和两边夹角；（2）已知三边． 18．已知四边形中，分别是的中点，. (1)设，求实数的值； (2)若，求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为分别是的中点， 所以，, 又， 又， 因为不共线，由平面向量基本定理得； （2）由（1）知， 又，所以， 平方得， 即，所以， 所以， 因为，所以； （3）因为， 又，所以， 即，所以， 因为，， 所以 . 19．在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且） (1)若，且，求的值； (2)求证：； (3)是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在， 【详解】（1）由正弦定理可得，即，即， 又，即， 由余弦定理可得. （2）因为，所以， 即. 则. 故 ， 即. 故. （3）存在.下面给出证明. 因为，所以，. 展开整理可得， 即, 故. 因此，. 所以，存在函数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中模拟卷（基础卷） 题号 一 二 三 四 总分 得分 练习建议用时：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C．1 D．2 2．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（　　） A． B．2 C．4 D． 3．若两个非零向量满足，则向量与的夹角为（　　） A． B． C． D． 4．已知锐角的角，，所对的边分别为，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．在中，内角所对的边分别是，若，则的值为（　　） A． B． C．1 D． 6．如图所示，三个边长为的正方形相连，若，，则（   ） A． B． C． D．1 7．已知三棱锥的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且，，则该三棱锥的内切球的半径为（    ） A． B． C． D． 8．一架天平平衡时的轴截面示意图如图所示，，，，，和都是边长为1的正三角形.当天平两边的重量发生变化时，绕点转动（逆时针方向为正方向），转动角度.在转动过程中，和始终都与平行，且图中，，，，，，，，，这10个点始终共面，则在转动过程中，的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多顶符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选顶，每选对一个得3分，若有3个正确选顶，每选对一个得2分. 9．已知复数满足，是的共轭复数，则下列说法正确的是（   ） A．的虚部为 B．复数在复平面中对应的点在第三象限 C． D． 10．如图所示的圆台，在轴截面中，，则（   ） A．该圆台的高为1 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台的体积为 D．一只小虫从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为5 11．在中，角，，的对边分别为，，，下列四个命题中，正确的有（    ） A．当，，时，满足条件的三角形共有1个 B．若是钝角三角形，则 C．若，则 D．若，，则面积的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．已知点P，Q分别是四边形的对角线与的中点，，，且，是不共线的向量，则向量 . 13．已知函数，的部分图象如图所示，下列说法正确的是 . ①函数的图象关于点对称；    ②函数的图象关于直线对称； ③函数在单调递减；        ④是以为最小正周期的周期函数； ⑤可改写为. 14．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站，已知基站高m，该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 .（结果保留整数）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为α，观测基站顶端A的仰角为β.试问当 时，观测基站的视角最大？参考数据：，，，. 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知复数. (1)若，求； (2)若，且是纯虚数，求. 16．某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. (1)求这种“笼具”的体积（结果精确到）； (2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？（结果精确到1元） 17．在中，，所对的边分别为，，，且满足． （1）求； （2）若，，求的周长． 18．已知四边形中，分别是的中点，. (1)设，求实数的值； (2)若，求； (3)若，求. 19．在非直角三角形ABC中，边长a，b，c满足（，且） (1)若，且，求的值； (2)求证：； (3)是否存在函数，使得对于一切满足条件的，代数式恒为定值？若存在，请给出一个满足条件的，并证明，若不存在，请给出一个理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$