精品解析：湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2025年上学期高一期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部为，虚部为b，则=（ ） A. 7 B. 5 C. D. 9 2. 已知向量，则实数的取值为（ ） A. B. C. D. 3. 中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 在中，""是为钝角三角形的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 6. 底面积为，侧面积为的圆锥的体积是（　　） A. B. C. D. 7. 如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 二、多选题：本题共4小题 ，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设向量，，则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 10. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的侧面积为 C. 圆柱的表面积为 D. 圆柱的表面积为 11. 下列关于复数的命题中正确的是（ ） A. 若是虚数，则不是实数 B. 若，且，则 C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D. 复数对应的点在实轴上方 12. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 第Ⅱ卷 （填空题和解答题 共90分） 三、填空题 ：本题共4小题，每小题 5分，共20分. 13. 若复数模等于，则实数______． 14. 已知三棱锥的棱长都是2，则该三棱锥的体积为___． 15. 中，角的对边分别为，已知，，，则_______. 16. 如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为___． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数（，是虚数单位）. （Ⅰ）若是纯虚数，求实数值； （Ⅱ）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 18. 已知与的夹角为，． （1）已知∥，求实数k的取值范围； （2）已知⊥，求实数k的取值范围． 19. 在中， （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 20. 平面内给定三个向量. （1）求； （2）求满足的实数m和n； （3）若，求实数k 21. 已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比； （3）若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积. 22. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ长； （3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上学期高一期中考试数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数的实部为，虚部为b，则=（ ） A. 7 B. 5 C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数实部和虚部的定义求出的值，进而求解即可. 【详解】由题意，，则. 故选：C. 2. 已知向量，则实数的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以，解得. 故选：C. 3. 在中，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据由余弦定理，可得，代入数据即得. 【详解】由余弦定理，得， . 故选：D. 4. 在中，""是为钝角三角形的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据数量积的定义和充分条件、必要条件的定义即可求解. 【详解】由，可得， 所以为钝角，是钝角三角形， 所以由可以得出为钝角三角形， 若为钝角三角形，不一定为钝角，所以也得不出， 所以在中， ""是为钝角三角形的充分不必要条件， 故选：A. 5. 如图，在长方体中，AB＝AD＝2，，则四棱锥的体积为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据长方体的特殊线面关系，结合棱锥体积公式求得结果. 【详解】在长方体中，底面ABCD， 则四棱锥的体积为. 故选：B 6. 底面积为，侧面积为的圆锥的体积是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由底面积可求底面半径，根据侧面积可求母线，由圆锥的轴截面可求圆锥的高，代入体积公式即可求解. 【详解】因为底面积为，所以底面半径， 因为侧面积为，设母线为， 所以， 所以， 设圆锥的高为，所以， 所以圆锥的体积为. 故选：. 7. 如图所示的正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法画直观图的性质，即平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段的长度减半，结合图形求得原图形的各边长，可得周长． 【详解】直观图正方形的边长为，， 原图形为平行四边形，其中，高， ，原图形的周长. 故选：B. 【点睛】本题考查斜二测直观图的相关计算，熟练掌握斜二测画法的特征是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题. 8. 已知向量，，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量模的坐标形式可求的最大值，注意利用二倍角的正弦公式来计算. 【详解】， 故， 又，当且仅当即等号成立， 故的最大值为， 故选：D. 二、多选题：本题共4小题 ，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 设向量，，则（ ） A. B. C. D. 与的夹角为 【答案】CD 【解析】 【分析】求出可判断A；求出的坐标，利用向量共线的坐标运算可判断B；由向量垂直的坐标运算可判断C；利用向量夹角公式计算可判断D. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，因为， 所以与的夹角为，故D正确. 故选：CD. 10. 如图，四边形是圆柱的轴截面，是圆柱的一条母线，已知，，，则下列说法正确的是（ ） A. 圆柱的侧面积为 B. 圆柱的侧面积为 C. 圆柱的表面积为 D. 圆柱的表面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】 根据，，由，求得底面半径，再根据母线，利用圆柱的侧面积公式和表面积公式求解. 【详解】因为，， 所以，即， 又因为， 所以圆柱的侧面积是， 圆柱的表面积是， 故选：BC 11. 下列关于复数的命题中正确的是（ ） A. 若是虚数，则不是实数 B. 若，且，则 C. 一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零 D. 复数对应的点在实轴上方 【答案】AD 【解析】 【分析】由虚数的概念可判断ABC，由复数的几何意义可判断D. 【详解】对于A，根据虚数的定义，A正确； 对于B，虚数不能比较大小，B错误； 对于C，一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零且虚部不等于0，C错误； 对于D，对应点的坐标为，因为，所以点在轴上方，D正确． 故选：AD． 12. 在中，角，，所对的边分别为，，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是钝角三角形 C. 的最大内角是最小内角的倍 D. 若，则外接圆半径为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等变换知识逐项判断即可. 【详解】对A，因为在中， 所以 ，解得， 所以根据正弦定理知，故A正确； 对B，易知角C为最大角，则， ，所以角C为锐角，故是锐角三角形，故B错误； 易角A为最小角，则， 所以，即， 又，所以，所以 ，故C正确； 设外接圆的半径为R，则由正弦定理得 ，解得，故D正确； 故选：ACD 第Ⅱ卷 （填空题和解答题 共90分） 三、填空题 ：本题共4小题，每小题 5分，共20分. 13. 若复数的模等于，则实数______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，结合复数模的公式可求解的值. 【详解】解：因为复数，所以，解得，. 故答案为：. 14. 已知三棱锥的棱长都是2，则该三棱锥的体积为___． 【答案】 【解析】 【分析】设为正的中心，连接结合正弦定理得到底面外接圆半径和三棱锥的高，结合题设数据以及棱锥体积公式即可求解. 【详解】设为正的中心，连接， 则由题意可得为三棱锥的高，为正外接圆圆心的半径， 所以， 所以该三棱锥体积为. 故答案为： 15. 中，角的对边分别为，已知，，，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用正弦定理即可求出结果. 【详解】在中，，，，由正弦定理，得到. 故答案为：. 16. 如图所示，在中，是BN上的一点，若，则实数m的值为___． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，可得，再利用共线向量的推论列式计算作答. 【详解】在中，，即， 又，即， 因此，而点B，P，N共线，于是，解得. 故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知复数（，是虚数单位）. （Ⅰ）若是纯虚数，求实数的值； （Ⅱ）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点位于第二象限，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）先化简复数成代数形式，再令实部等于零、虚部不为零即可； （Ⅱ）先写复数的代数形式，再根据对应点的位置列关系计算即可. 详解】解：复数 （Ⅰ）因为是纯虚数，所以且，故； （Ⅱ）因为是的共轭复数，所以， ，在复平面上对应的点为，在第二象限，且，. 【点睛】本题考差了复数中纯虚数的定义和共轭复数，属于基础题. 18. 已知与的夹角为，． （1）已知∥，求实数k的取值范围； （2）已知⊥，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线的基本定理计算可得； （2）先由定义求出向量的数量积，再利用数量积的运算律和垂直的条件计算可得. 【小问1详解】 ∵∥，∴， 则． ，且. 【小问2详解】 由题意得． ∵⊥，， 则， ，即， ． 19. 在中， （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)应用三角恒等变换,正弦定理化简已知等式,结合,可得的值,即得的值; (2)由题意利用三角形面积公式可求的值,进而可求的值,由余弦定理可求的值,即可求解的周长的值. 【小问1详解】 由,及正弦定理得， 即得， 又因为中,， 所以, 又因为,所以即． 又，故． 【小问2详解】 由题意，，故， 即，故， 由余弦定理，解得. 故三角形的周长为 20. 平面内给定三个向量. （1）求； （2）求满足的实数m和n； （3）若，求实数k. 【答案】（1）6；（2）；（3）. 【解析】 【分析】 （1）利用向量加法的坐标运算得到，再求模长即可； （2）先写的坐标，再根据使对应横纵坐标相等列方程组，解方程组即得结果； （3）利用向量垂直则数量积为零，再利用数量积的坐标运算列关系求出参数即可. 【详解】解：（1）由，得 ，； （2）， ， ，， 故，解得； （3），， ，， ，，即， 解得. 【点睛】结论点睛： 若 ，则等价于；等价于. 21. 已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点. （1）求四棱锥的表面积； （2）求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比； （3）若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成，求出各面积相加即可 （2）设剩余部分的体积为，正方体体积，则 （3）由等体积法，用算即可. 小问1详解】 四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成， ，，，则与全等，与全等， 因为，，， 所以 【小问2详解】 设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且 所以 又正方体体积， 【小问3详解】 ，其中平面ABCD， 故 22. “但有一枝堪比玉，何须九畹始征兰”，盛开的白玉兰是上海的春天最亮丽的风景线，除白玉兰外，上海还种植木兰科的其他栽培种，如黄玉兰和紫玉兰等．某种植园准备将如图扇形空地AOB分成三部分，分别种植白玉兰、黄玉兰和紫玉兰；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点P在扇形的弧上，点Q在OB上，且． （1）求扇形空地AOB的周长和面积； （2）当米时，求PQ的长； （3）综合考虑到成本和美观原因，要使白玉兰种植区的面积尽可能的大．设，求面积的最大值． 【答案】（1）周长为米，面积为平方米 （2）米 （3）平方米 【解析】 【分析】（1）借助面积公式与周长公式计算即可得； （2）结合平行线的性质与余弦定理计算即可得； （3）结合题意，利用正弦定理与面积公式表示出面积后，借助三角恒等变换将其变形为正弦型函数，结合正弦函数的性质计算即可得. 小问1详解】 ，则扇形空地AOB的周长为， 面积； 【小问2详解】 由，故， 由余弦定理可得， 即，即有， 即，故（负值舍去）或， 即； 【小问3详解】 由，故，又， 由正弦定理可得，即， 则， 令， 则 ， 有最大值，此时，即，可取， 此时平方米. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$