精品解析：重庆市忠县马灌初级中学校2024—2025学年八年级上学期期中考试数学试题

2024年秋8年级中期考试数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 5. 如图，等腰中，，，为上一点，，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 若，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 学校组织劳技社会实践活动，甲乙两班同时参加了陶艺制作项目．活动结束后，两个班统计了制作陶艺品的总数，结果发现甲乙两班陶艺品的总数比为，甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个．设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，根据题意所列的方程组应为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 9. 若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ） A. 21 B. 19 C. 21或 D. 或19 10. 将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”． 下列说法： ①只有“、对调操作”的结果与原式相等； ②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则或； ③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_______． 12. 1秒是1微秒的1000000倍，那么15秒=__________微秒．（结果用科学记数法表示） 13. 规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是___________． 14. 若的结果不含关于的一次项和二次项，则的值为________． 15. 一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 16. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 17. 如图，在等腰中，于D，点M、N分别是线段上的动点，则的最小值是 _____． 18. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 三、解答题：（19题8分，20-26题各10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 我校为了让学生全面发展，丰富学生的课余生活，积极开展各类兴趣活动，我们初二年级计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组，为此，随机抽查了初二年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）在本次抽样调查中，样本容量为______，在扇形统计图中，表示“劳动体验”的扇形的圆心角度数为_____； （2）将条形统计图补充完整； （3）初二年级共有2000名学生，根据抽查结果，试估计初二年级选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数． 21. 尺规作图并完成证明. 如图，点，在外，连接、、，且，，． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）； （2）根据（1）中的作图，求证：； 请完善下面的证明过程． 证明：∵平分 ∴___________ ∵ ∴___________ ∴ ∴___________ 在和中 ∴（___________） ∴ 22. 已知，，求的值． 23. 如图，直线一侧有一等腰，其中，，直线过顶点C，分别过点A，B作，，垂足分别为点，的角平分交于点O，交于点G，连接，满足，延长，交于点D． （1）证明：； （2）求证：； （3）若，求线段的长度． 24. 如图，D是等边内一点，且，点P是等边外一点，，． （1）求的度数； （2）设交于点E，连接，的边长为10，，求的面积． 25. 暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元． （1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价： （2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共200个进行售卖、为了促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有的损坏（无法售卖），且两种甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？ 26. 如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为 ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋8年级中期考试数学试题 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形，掌握一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形是关键． 根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A， C， D选项中的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 2. 如图，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质．熟练掌握平行线的判定和性质，平角定义，是解决问题的关键． 根据，得到，得到，利用平角的性质解答即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项，根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方，合并同类项等运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故选项A计算错误，不符合题意； B、，故选项B计算错误，不符合题意； C、，故选项C计算错误，不符合题意； D、，故选项D计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 平面直角坐标系中，若点与点关于轴对称，则的值为（ ） A. B. 3 C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查关于轴、轴对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握关于轴、轴对称的性质．直接利用关于轴对称点的性质得出的值进而得出答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ， ， ， 故选：C． 5. 如图，等腰中，，，为上一点，，连接，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，先根据等腰中，，，得出，再由得出，再由即可得出答案． 【详解】解：∵等腰中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6. 若，，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算．熟练掌握幂的乘方的逆运算，同底数幂除法的逆运算是解题的关键． 根据，计算求解即可． 【详解】解：， 故选：C． 7. 学校组织劳技社会实践活动，甲乙两班同时参加了陶艺制作项目．活动结束后，两个班统计了制作陶艺品的总数，结果发现甲乙两班陶艺品的总数比为，甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个．设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，根据题意所列的方程组应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个，由“甲乙两班陶艺品的总数比为”得；由“甲班制作的陶艺品总数的2倍比乙班陶艺品的总数3倍少30个”得，据此即可得解． 【详解】解：设甲、乙两班的陶艺品的总数分别为个和个， 根据题意得，， 故选：C． 8. 如图，过边长为4的等边三角形的边AB上一点P，作于点E，Q为BC延长线上一点，当时，连接PQ交边AC于点D，则DE的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据全等三角形的判定和性质可以求得DE的长，本题得以解决． 【详解】解：作QF⊥AC，交AC的延长线于点F， 则∠QFC=90°， ∵△ABC是等边三角形，PE⊥AC于点E， ∴∠A=∠ACB=60°，∠PEA=90°， ∴∠PEA=∠QFC， ∵∠ACB=∠QCF， ∴∠A=∠QCF， 在△PEA和△QFC中， ， ∴△PEA≌△QFC（AAS）， ∴AE=CF，PE=QF， ∵AC=AE+EC=4cm， ∴EF=CF+EC=4cm， ∵∠PED=90°，∠QFD=90°， ∴∠PED=∠QFD， 在△PED和△QFD中， ， ∴△PED≌△QFD（AAS）， ∴DE=FD， ∵DE+FD=EF=4cm， ∴DE=2cm， 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，解题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定与性质和数形结合的思想解答． 9. 若多项式是关于、的完全平方式，则的值为（ ） A. 21 B. 19 C. 21或 D. 或19 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，先得出完全平方式为，再将其展开，则有，计算出k的值即可． 【详解】解：∵多项式是关于、的完全平方式， ∴， ∵， ∴， ∴或， 故选：C． 10. 将（所有字母均不为0）中的任意两个字母对调位置，称为“对调操作”．例如：“、对调操作”的结果为，且“、对调操作”和“、对调操作”是同一种“对调操作”． 下列说法： ①只有“、对调操作”的结果与原式相等； ②若“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等，则或； ③若，则所有的“对调操作”共有5种不同运算结果． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查新定义题型，根据多给的定义，举出符合条件的代数式进行情况讨论． 【详解】解：， “、对调操作”的结果为 “、对调操作”的结果为，故①错误； ∵“、对调操作”与“、对调操作”的结果相等， ∴， ， 解得：或，故②正确； ∵， ∴ ∴对调后的结果为，，，共有3种不同运算结果，故③错误； 综上所述，正确的为②， 故选B 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 计算：_______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的意义，算术平方根的定义等知识，根据零指数幂的意义，算术平方根的定义化简计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：6． 12. 1秒是1微秒的1000000倍，那么15秒=__________微秒．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：∵15秒＝15000000微秒， 15000000＝1.5×107， ∴15秒＝1.5×107微秒， 故答案为：1.5×107． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 13. 规定：若实数x，y，z满足，则记作．若记，，，则a，b，c三者之间的关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法公式的应用，由得，再用同底数幂的乘法公式可求得三者之间满足的关系式． 【详解】解：由定义可知：， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 若的结果不含关于的一次项和二次项，则的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，先将原式展开，然后令含的一次项与二次项的系数为0即可求出答案． 【详解】解： ∵的结果不含的一次项和二次项， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：6． 15. 一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【答案】6或7或8 【解析】 【分析】设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解． 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 【点睛】本题主要考查多边形的内角和外角，判定边形截去一个角后形成的多边形形状是解题的关键，注意分类讨论． 16. 若关于的不等式组有且仅有4个整数解，且关于、的方程组的解为整数，则所有满足条件的整数的值之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解二元一次方程组，先求出一元一次不等式组的解集，再根据不等式组有且仅有4个整数解，得出，进而求得a的取值范围，再根据加减消元法用a表示出y的值，根据方程组的解为整数，即可得出满足条件的整数的值，进而即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 关于的不等式组有且仅有4个整数解， ， 解得， ， 得，， ∵方程组有解，且a为整数， ∴或， ， 关于、的方程组的解为整数， 当时，，， 当时，，， 所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：． 17. 如图，在等腰中，于D，点M、N分别是线段上的动点，则的最小值是 _____． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质．过点C作，垂足为H，连接，根据等腰三角形三线合一性质可得是边上的中线，则垂直平分，得到，则线段的长为的最小值，根据含的直角三角形的性质求出即可． 【详解】解：如图，过点C作，垂足为H，连接， ∵， ∴是边上的中线， ∴垂直平分，直线是等腰的对称轴， ∴， ∵点M、N分别是线段上的动点， ∴， ∴当点M、N、C三点共线且点M与点H重合时，取得最小值， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值是4． 故答案为：4． 18. 我们把13的倍数称为“大吉数”，判断一个数是否是大吉数，可以用的末三位数减去末三位数以前的数字所组成的数，其差记为，如果是“大吉数”，这个数就是“大吉数”．比如：数字253448，这个数末三位是448，末三位以前是253，则，因为，所以是“大吉数”，那么253448也是“大吉数”．若整数（其中，且为整数）是“大吉数”，则______．若均为“大吉数”，且，（，且、、均为整数），则的最大值为______． 【答案】 ①. 91 ②. 819 【解析】 【分析】本题考查新定义的运算，一次方程及整除问题，根据新定义，列出一次方程，求出未知数的值，即可．解题的关键是理解新定义，根据新定义列出方程．本题的难度较大，属于填空题中的压轴题． 【详解】解：∵整数（其中，且为整数）是“大吉数”， ∴能被13整除； ∵， ∴能被13整除， ∴， ∴， ∴； ∵，是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是“大吉数”， ∴，是“大吉数”， ∴，能被13整除， ∴能被13整除， ∵， ∴， ∴当时，，此时， 当时，不存在满足条件； 当时，不存在满足条件； 当时，，此时， 综上：或， ∴或； ∴或； ∴的最大值为819． 故答案为：． 三、解答题：（19题8分，20-26题各10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式． （1）先单项式乘单项式、单项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可； （2）先根据完全平方公式和多项式乘多项式计算，再合并整式中的同类项即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 我校为了让学生全面发展，丰富学生的课余生活，积极开展各类兴趣活动，我们初二年级计划成立“爱心传递”、“音乐舞蹈”、“体育运动”、“美工制作”和“劳动体验”五个兴趣小组，要求每位学生都只选其中一个小组，为此，随机抽查了初二年级部分学生选择兴趣小组的意向，并将抽查结果绘制成如下统计图（不完整）． 根据统计图中的信息，解答下列问题： （1）在本次抽样调查中，样本容量为______，在扇形统计图中，表示“劳动体验”的扇形的圆心角度数为_____； （2）将条形统计图补充完整； （3）初二年级共有2000名学生，根据抽查结果，试估计初二年级选择“爱心传递”兴趣小组的学生人数． 【答案】（1）200， （2） 补全条形统计图如下： （3）500人 【解析】 【分析】（1）从两个统计图中可知，在抽查人数中，“体育运动”的人数为60人，占调查人数的，可求出调查人数；用乘“劳动体验”所占比例即可得出扇形统计图中表示“劳动体验”的扇形的圆心角度数； （2）用抽查学生的总人数分别减去其它小组人数，即可得出“音乐舞蹈”的人数，即可将条形统计图补充完整； （3）用总人数乘以样本中“爱心传递”人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：本次被抽查学生的总人数是（人）， 则样本容量为200， 扇形统计图中表示“劳动体验”的扇形的圆心角度数是； 【小问2详解】 “音乐舞蹈”的人数为（人）， 【小问3详解】 （名）， 答：估计全校选择“爱心传递”组的学生人数为500人． 【点睛】本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量之间的关系，是解决问题的前提，样本估计总体是统计中常用的方法． 21. 尺规作图并完成证明. 如图，点，在外，连接、、，且，，． （1）用尺规作图完成以下基本作图：作的平分线交于点，连接（保留作图痕迹，不写做法，不下结论）； （2）根据（1）中的作图，求证：； 请完善下面的证明过程． 证明：∵平分 ∴___________ ∵ ∴___________ ∴ ∴___________ 在和中 ∴（___________） ∴ 【答案】（1） 如图 （2）；；； 【解析】 【分析】（1）如图，作角平分线，以为圆心，截取上一线段为半径画圆，分别与、相交，再分别以两交点为圆心，以大于交点距离一半的长为半径画弧相交于一点，与点相连，即为的平分线； （2）由（1）可得，再根据平行及等量代换，可得，等角对等边，得，进而证得三角形全等． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴（）， ∴ 【点睛】本题主要考查了角平分线、等角对等边以及三角形全等判定的综合，利用等量代换得角相等是解题的关键． 22. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据幂的乘方运算、积的乘方以及同底数幂相乘分别求得的值，再将代数式根据分式的加法运算变形，进而求得代数式的值 【详解】解：∵ ∴； ∵ ∴； ∴， ． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算以及同底数幂相乘，积的乘方，分式的求值，掌握幂的运算是解题的关键． 23. 如图，直线一侧有一等腰，其中，，直线过顶点C，分别过点A，B作，，垂足分别为点，的角平分交于点O，交于点G，连接，满足，延长，交于点D． （1）证明：； （2）求证：； （3）若，求线段的长度． 【答案】（1） 证明：，直线过顶点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴在和中. ， ∴， ∴； （2） 证明：如图，作， ∵ 平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质，直角三角形的性质应用，线段垂直平分线的性质应用，掌握几何图形的判定和性质内容是解题的关键． （1）根据题意，只要证明即可； （2）如图，作于，通过证明得到 ，进而证明 即可得出结论； （3）通过证明，可得，结合平分且，可证明，得出，由已知即可求出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵， ∴， 又 ，， ∴ ， ∴； ∵ 平分且，， ∴， ∴， ∴， ∴． 24. 如图，D是等边内一点，且，点P是等边外一点，，． （1）求的度数； （2）设交于点E，连接，的边长为10，，求的面积． 【答案】（1） （2）25 【解析】 【分析】（1）连接，由等边三角形的性质推出，判定，得到，求出，判定，推出； （2）过作于，由等腰三角形的性质推出，由平行线的性质判定，得到是等腰直角三角形，因此，得到，求出，得到，由含 30 度角的直角三角形的性质得到，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：连接， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：如（1）图，过作于， ， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，含 30 度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的性质，平行线的性质，关键是判定，由含 30 度角的直角三角形的性质推出． 25. 暑假期间，小巴和小蜀同学参加社会实践活动，在某糕点店制作了一批甜点进行售卖，其中“花生酥”和“纸杯蛋糕”的制作成本分别是每个2.5元和4元，每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元． （1）求“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价： （2）当天下午，小巴和小蜀又将制作的“花生酥”和“纸杯蛋糕”两种甜点共200个进行售卖、为了促销，他们还用50元钱租借了一个棉花糖机，制作一个棉花糖需要0.5元钱的成本，每销售一个“纸杯蛋糕”就赠送一个棉花糖．由于天气炎热销售过程中“纸杯蛋糕”有的损坏（无法售卖），且两种甜点的售价都保持不变，当天下午除损坏的“纸杯蛋糕”外，其余的“花生酥”和“纸杯蛋糕”全部售完．若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为多少个？ 【答案】（1）“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为元、元 （2）若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为个 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为x元、y元，根据“每个“纸杯蛋糕”的售价比“花生酥”多1.5元，某天上午，他们一共售卖出30个“花生酥”和50个“纸杯蛋糕”，共盈利120元”列方程组求解即可； （2）设“花生酥”下午的销量为个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为个，再根据上午和下午的利润之和减去棉花糖的成本以及损耗得到全天的总利润，据此列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为x元、y元， 由题意得， 解得：， 答：“花生酥”和“纸杯蛋糕”的售价单价分别为元、元； 【小问2详解】 解：设“花生酥”下午的销量为个，则“纸杯蛋糕”下午的销量为个， 由题意可得， 解得， ∵为正整数， ∴为的倍数， ∴“花生酥”下午的销量最少为个， ∴若要保证全天的总利润不低于300元，则“花生酥”全天的销量最少为个． 26. 如图，在等腰直角三角形中，，，，点D为上一点，过点D作于点E，点P为x轴上一动点，点P关于的对称点为点Q，连接、、． （1）点B的坐标为 ； （2）若点P的坐标为，延长交于点F．当时，求点D的坐标； （3）若点M为y轴上一动点，是否存在以A、P、M为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）求出，从而可得，由此即可得； （2）设与交于点，先证出，从而得，再证出，根据全等三角形的性质可得，然后求出，最后证出为等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质可得，由此即可得； （3）分两种情况：①点在轴的正半轴上；②点在轴的负半轴上；过点作轴于点，证出，根据全等三角形的性质可得，，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【小问2详解】 解：如图1，设与交于点， ∵，， ∵，，， ∴， ∵点关于对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为． 【小问3详解】 解：存在，求解过程如下： ∵点在轴上， ∴分以下两种情况： ①当点在轴的正半轴上时， 如图2，过点作轴于点， ∵， ∴， ∵是以为斜边的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为． ②当点在轴的负半轴上时， 如图3，过点作轴于点， 同理可证：，， ∴， ∴点的坐标为． 综上，存在以为顶点且以为斜边的三角形为等腰直角三角形，此时点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了点的坐标、轴对称的性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $