第5章 习题课 数列求和(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

习题课　数列求和(一) ［学习目标］　1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式.2.掌握分组求和、倒序相加求和、并项求和等数列求和的方法. 一、分组求和 例1　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，点(Sn，)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ (2)在(1)的结论下，设bn=log4，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 解　(1)因为点(Sn，)在直线y=3x+1上， 所以=3Sn+1， 当n≥2时，an=3+1. 于是-an=3(Sn-)⇒-an=3an⇒=4an. 又当n=1时，a2=3S1+1⇒a2=3a1+1=3t+1， 所以当t=1时，a2=4a1，此时，数列{an}是等比数列. (2)由(1)，可得an=，=4n， 所以bn=log4=n，cn=+n， 那么Tn=c1+c2+…+cn =(40+1)+(41+2)+…+(+n) =(40+41+…+)+(1+2+…+n) =+. 反思感悟　分组求和的适用题型 (1)若an=bn±cn，且数列{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{an}的前n项和. (2)通项公式为an=的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 跟踪训练1　设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1=b1=2，a3=b1+b2，S3=b3+4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn=(k∈N+)，求数列{cn}的前21项的和.(答案可保留指数幂的形式) 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意， 得 解得d=q=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n， 数列{bn}的通项公式为bn=2n. (2)由(1)知，a2k-1=4k-2，数列{a2k-1}是等差数列，首项为2，公差为4， b2k=22k=4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 又cn=(k∈N+)， 则数列{cn}的前21项的和 T21=(a1+a3+…+a21)+(b2+b4+…+b20) =11×2+×4+ =， 所以数列{cn}的前21项的和为. 二、倒序相加求和 例2　已知数列{an}的通项公式为an=n-2(n∈N+)，设f(x)=x+log2，则数列{f(an)}的各项之和为(　　) A.36 B.33 C.30 D.27 答案　D 解析　由f(x)=x+log2，知>0， 解得-2<x<8. 所以-2<an<8.又因为an=n-2(n∈N+)，所以满足f(an)的an所有的取值为-1，0，1，2，…，7，即a1，a2，…，a9. 因为f(6-x)=6-x+log2， 所以f(x)+f(6-x)=6. 设数列{f(an)}的各项之和为S，则S=f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=f(-1)+f(0)+…+f(7).因为S=f(7)+f(6)+…+f(-1)，所以2S=［f(-1)+f(7)］+［f(0)+f(6)］+…+［f(7)+f(-1)］=6×9=54.所以S=27. 反思感悟　倒序相加求和适合的题型 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 跟踪训练2　德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律得出，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an=，则a1+a2+…+a98等于(　　) A.96 B.97 C.98 D.99 答案　C 解析　令S=a1+a2+…+a97+a98 =++…++， 则S=a98+a97+…+a2+a1 =++…++， 两式相加得， 2S=+ =++…++=98×2， 所以S=98. 三、拆项、并项求和 例3　已知an=(-1)n(2n-1)，求Sn. 解　因为an=(-1)n(2n-1)， 故当n=2k(k∈N+)时， S2k=(-1+3)+(-5+7)+…+［-(4k-3)+(4k-1)］==2k，此时Sn=n(n为偶数)； 当n=2k-1(k∈N+)时，S2k-1=S2k-a2k=2k-(4k-1)=-2k+1=-(2k-1)， 此时Sn=-n(n为奇数). 综上，可知Sn=(-1)n·n. 反思感悟　并项求和适用的题型 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式进行求和. 跟踪训练3　若an=(-1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn. 解　若n是偶数，Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+［-(n-1)2+n2］ =3+7+11+…+2n-1，共有项， 故Sn=×3+×4=+； 若n是奇数，Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+(-n2) =3+7+11+…+(-n2)，其中前项是等差数列，故有Sn=×3+×4-n2 =--， 综上所述，Sn=n∈N+. 1.知识清单： (1)分组求和. (2)倒序相加求和. (3)拆项、并项求和. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶性. 1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1=1，公比q=2，则数列{b2n-1}的前10项的和为(　　) A.×(49-1) B.×(410-1) C.×(49-1) D.×(410-1) 答案　D 解析　数列{b2n-1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则其前10项的和为=. 2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1=1，a2=2，且满足an+2-an=1+(n∈N+)，则该医院30天入院治疗流感的共有(　　) A.225人 B.255人 C.365人 D.465人 答案　B 解析　当n为奇数时，an+2=an， 当n为偶数时，an+2-an=2， 所以a1=a3=…=a29=1， a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=15+15×2+×2=255. 3.设Sn为数列{an}的前n项和，an=1+2+22+…+2n-1，则Sn的值为(　　) A.2n-1 B.2n-1-1 C.2n-n-1 D.2n+1-n-2 答案　D 解析　∵an=1+2+22+…+2n-1= =2n-1，∴Sn=++…+=-n=2n+1-n-2. 4.已知f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f+f+…+f=　　　　.  答案　2 024 解析　f(x)+f(1-x)=+==2， 令S=f+f+…+f， 则S=f+f+…+f， 两式相加得，2S=2 024×2，∴S=2 024. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.若数列{an}的通项公式是an=，则a1+a2+…+a10等于(　　) A.15 B.12 C.-12 D.-15 答案　A 解析　因为an=，所以a1+a2=-2+5=3，a3+a4=-8+11=3，a5+a6=-14+17=3，a7+a8=-20+23=3，a9+a10=-26+29=3，因此a1+a2+…+a10=3×5=15. 2.已知数列{an}中，a1=1，an+an+1=3，Sn为其前n项和，则S2 024等于(　　) A.3 033 B.3 034 C.3 035 D.3 036 答案　D 解析　由题意a2=2，a3=1，a4=2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 024=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 021+a2 022)+(a2 023+a2 024)=3×1 012=3 036. 3.数列1，3，5，7…的前n项和Sn为(　　) A.n2+1- B.n2+2- C.n2+1- D.n2+2- 答案　C 解析　数列1，3，5，7…的通项公式为an=2n-1+， 所以Sn=++++…+ =+ =+=n2+1-. 4.已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，Sn为其前n项和，则S5的值为(　　) A.63 B.61 C.62 D.57 答案　D 解析　由数列的递推关系可得，an+1+1=2，a1+1=2 ， 据此可得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则an+1=2×2n-1⇒an=2n-1 ， 分组求和有S5=-5=57. 5.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 023=0，若f(x)=，则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)等于(　　) A.2 021 B.4 036 C.2 023 D.4 038 答案　C 解析　∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 023=0， ∴lg(a1·a2 023)=0，即a1·a2 023=1. ∵函数f=， ∴f(x)+f=+==2. 令T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)， 则T=f(a2 023)+f(a2 022)+…+f(a1)， ∴2T=f(a1)+f(a2 023)+f(a2)+f(a2 022)+…+f(a2 023)+f(a1)=2×2 023， ∴T=2 023. 6.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an+1=2an+3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是(　　) A.a3=13 B.数列是等比数列 C.an=4n-3 D.Sn=2n+1-n-2 答案　AB 解析　an+1=2an+3，∴an+1+3=2，∴数列是公比为2的等比数列， 又∵a1=1， ∴an+3=2n-1=2n+1， ∴an=2n+1-3， ∴a3=13， ∴Sn=-3n=2n+2-3n-4. 7.(5分)若f(x)+f(1-x)=2，an=f(0)+f+f+…+f+f(1)(n∈N+)，则数列{an}的通项公式是　　　　.  答案　an=n+1 解析　an=f+f+f+…+f+f， an=f+f+…+f+f+f，两式相加可得 2an=++…++， 因为f(x)+f(1-x)=2，所以2an=2， 所以an=n+1. 8.(5分)设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则+++…+=　　　　.  答案　1 033 解析　∵数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an=2+×1=n+1， ∵是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴bn=1×2n-1=2n-1，∴=2n-1+1， ∴+++…+=+10=1 033. 9.(10分)已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式；(4分) (2)设bn=an+2n，求数列的前n项和Sn.(6分) 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得或 所以an=或an=-2+3=3n-5. (2)当an=时，bn=+2n， 此时Sn=b1+b2+…+bn=n+=2n+1+n-2； 当an=3n-5时，bn=+2n， 此时Sn=b1+b2+…+bn=·n+=2n+1+n2-n-2. 综上， Sn= 10.(12分)已知函数f(x)=. (1)求证：对任意实数x都有f(x)+f(1-x)=1；(5分) (2)若an=f，其中m∈N+，n=1，2，…，m.求数列{an}的前m项的和.(7分) (1)证明　f(1-x)===， ∴f(x)+f(1-x)=+==1. (2)解　设{an}的前m项的和为Sm，则 Sm=a1+a2+…+am=f+f+…+f+f(1)， ① 又Sm=am+am-1+…+a1=f(1)+f+…+f+f， ② ①+②，得2Sm=f(1)+++…+ +f(1)=m-1+2f(1)=m-1+2×=m+， ∴Sm=+， ∴数列{an}的前m项的和为+. 11.已知{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn-1=n，则S2 023的值为(　　) A.1 008 B.1 009 C.1 011 D.1 012 答案　D 解析　由题意，当n≥2时，可得Sn-1=Sn-an， 因为an+2Sn-1=n，所以an+2(Sn-an)=n，即2Sn=an+n， 当n≥3时，2Sn-1=an-1+n-1， 两式相减，可得2an=an-an-1+1，即an+an-1=1， 所以a2+a3=1，a4+a5=1，a6+a7=1，…， 所以S2 023=a1+++…+=1+×1=1 012. 12.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n，记数列{2an-n}的前n项和为Sn，则Sn等于(　　) A.2n-- B.2n---1 C.2n+1---2 D.2n---2 答案　C 解析　因为a1+a2+a3+…+an=n， ① 所以有a1=1， 当n≥2，n∈N+时，有a1+a2+a3+…+·an-1=n-1， ② ①-②得，an=1⇒an=2n-1，显然当n=1时，也适合， 所以an=2n-1(n∈N+)，令 2an-n=bn，所以bn=2n-n，因此有 Sn=(2-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n) =(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n) =- =2n+1-2--. 13.已知F(x)=f-3是R上的奇函数，an=f(0)+f+…+f+f(1)，n∈N+，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=n+1 B.an=3n+1 C.an=3n+3 D.an=n2-2n+3 答案　C 解析　由题意知F=f-3是R上的奇函数， 故F=-F， 代入得f+f=6， ∴函数f关于点对称， 令t=-x，则+x=1-t，得到f+f=6， ∵an=f+f+…+f+f， an=f+f+…+f+f， 倒序相加可得2an=6， 即an=3. 14.(5分)已知数列{an}：，，，，，，，，，，，，…的前n项和为Sn，则S120=　　　　.  答案　60 解析　将此数列分组，第一组：=，共21-1项；第二组：++==，共22-1项的和；第三组：++++++===，共23-1项的和；…第n组：++++++…+==，共2n-1项的和， 由+++…+=2×-n=120，解得n=6， 因此前120项之和正好等于前6组之和，即S120=++…+===60. 15.(5分)在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)，则a1+a2+…+a51=　　　　.  答案　676 解析　当n为偶数时，an+2-an=2，an=2+×2=n； 当n为奇数时，an+2-an=0，an=1； 所以a1+a2+…+a51=26×1+(2+4+6+…+50)=26×1+×25×(2+50)=676. 16.(12分)已知数列{an}的通项公式为an=求数列{an}的前n项和Sn. 解　①当n为大于或等于3的奇数时， Sn=［1+13+…+(6n-5)］+(42+44+…+4n-1) =·+ =+ =+. 当n=1时，S1=a1=1，上式同样成立. ②当n为偶数时， Sn=［1+13+…+(6n-11)］+(42+44+…+4n-2+4n)=+. 综上，Sn= 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 习题课　数列求和(一) 1.熟练掌握等差数列和等比数列的求和公式. 2.掌握分组求和、倒序相加求和、并项求和等数列求和的方法. 学习目标 一、分组求和 二、倒序相加求和 课时对点练 三、拆项、并项求和 随堂演练 内容索引 分组求和 一 已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=t，点(Sn，)在直线y=3x+1上. (1)当实数t为何值时，数列{an}是等比数列？ 例 1 因为点(Sn，)在直线y=3x+1上， 所以=3Sn+1， 当n≥2时，an=3+1. 于是-an=3(Sn-)⇒-an=3an⇒=4an. 又当n=1时，a2=3S1+1⇒a2=3a1+1=3t+1， 所以当t=1时，a2=4a1，此时，数列{an}是等比数列. 5 (2)在(1)的结论下，设bn=log4，cn=an+bn，Tn是数列{cn}的前n项和，求Tn. 由(1)，可得an==4n， 所以bn=log4=n，cn=+n， 那么Tn=c1+c2+…+cn =(40+1)+(41+2)+…+(+n) =(40+41+…+)+(1+2+…+n) =+. 6 (1)若an=bn±cn，且数列{bn}，{cn}为等差数列或等比数列，则可采用分组求和法求数列{an}的前n项和. (2)通项公式为an=的数列，其中数列{bn}， {cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和. 反 思 感 悟 分组求和的适用题型 7 　设等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的各项都为正数，且满足a1=b1=2，a3=b1+b2，S3=b3+4. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 跟踪训练 1 设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q>0)，依题意， 得 解得d=q=2， 所以数列{an}的通项公式为an=2n， 数列{bn}的通项公式为bn=2n. 8 (2)记cn=(k∈N+)，求数列{cn}的前21项的和.(答案可保留指数幂的形式) 9 由(1)知，a2k-1=4k-2，数列{a2k-1}是等差数列，首项为2，公差为4， b2k=22k=4k，数列{b2k}是等比数列，首项为4，公比为4， 又cn=(k∈N+)， 则数列{cn}的前21项的和 T21=(a1+a3+…+a21)+(b2+b4+…+b20) =11×2+×4+=， 所以数列{cn}的前21项的和为. 10 二 倒序相加求和 　已知数列{an}的通项公式为an=n-2(n∈N+)，设f(x)=x+log2，则数列{f(an)}的各项之和为 A.36 B.33 C.30 D.27 例 2 √ 12 由f(x)=x+log2>0， 解得-2<x<8. 所以-2<an<8.又因为an=n-2(n∈N+)，所以满足f(an)的an所有的取值为 -1，0，1，2，…，7，即a1，a2，…，a9. 因为f(6-x)=6-x+log2， 所以f(x)+f(6-x)=6. 设数列{f(an)}的各项之和为S，则S=f(a1)+f(a2)+…+f(a9)=f(-1)+f(0)+… +f(7).因为S=f(7)+f(6)+…+f(-1)，所以2S=[f(-1)+f(7)]+[f(0)+f(6)]+…+ [f(7)+f(-1)]=6×9=54.所以S=27. 13 一般情况下，数列项数较多，且距首末等距离的项之间隐含某种关系，需要结合题意主动发现这种关系，利用推导等差数列前n项和公式的方法，倒序相加求和. 反 思 感 悟 倒序相加求和适合的题型 14 德国数学家高斯是近代数学奠基者之一，有“数学王子”之称，在历史上有很大的影响.他幼年时就表现出超人的数学天赋，10岁时，他在进行1+2+3+…+100的求和运算时，就提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律得出，因此，此方法也称为高斯算法.已知数列an=，则a1+a2+…+a98等于 A.96 B.97 C.98 D.99 跟踪训练 2 √ 15 令S=a1+a2+…+a97+a98 =++…++， 则S=a98+a97+…+a2+a1 =++…++， 两式相加得， 2S=+ =++…++=98×2， 所以S=98. 16 三 拆项、并项求和 　已知an=(-1)n(2n-1)，求Sn. 例 3 18 因为an=(-1)n(2n-1)， 故当n=2k(k∈N+)时， S2k=(-1+3)+(-5+7)+…+[-(4k-3)+(4k-1)]==2k，此时Sn=n(n为偶数)； 当n=2k-1(k∈N+)时，S2k-1=S2k-a2k=2k-(4k-1)=-2k+1=-(2k-1)， 此时Sn=-n(n为奇数). 综上，可知Sn=(-1)n·n. 19 一般地，对于摆动数列适用于并项求和，此类问题需要对项数的奇偶性进行分类讨论，有些摆动型的数列也可采用分组求和.若摆动数列为等比数列，也可用等比数列求和公式进行求和. 反 思 感 悟 并项求和适用的题型 20 若an=(-1)nn2，求数列{an}的前n项和Sn. 跟踪训练 3 21 若n是偶数，Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+[-(n-1)2+n2] =3+7+11+…+2n-1，共有项， 故Sn=×3+×4=+； 若n是奇数，Sn=(-12+22)+(-32+42)+(-52+62)+…+(-n2) =3+7+11+…+(-n2)，其中前项是等差数列，故有Sn=×3+ ×4-n2=--， 综上所述，Sn=n∈N+. 22 1.知识清单： (1)分组求和. (2)倒序相加求和. (3)拆项、并项求和. 2.方法归纳：公式法、转化法. 3.常见误区：并项求和易忽略总项数的奇偶性. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列{bn}为等比数列，且首项b1=1，公比q=2，则数列{b2n-1}的前10项的和为 A.×(49-1) B.×(410-1) C.×(49-1) D.×(410-1) √ 数列{b2n-1}中的项是数列{bn}中的所有奇数项，已知数列{bn}为等比数列，故其所有的奇数项也构成等比数列，公比为4，首项为1，则其前10项的和为=. 1 2 3 4 2.冬春季节是流感多发期，某地医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1=1，a2=2，且满足an+2-an=1+(n∈N+)，则该医院30天入院治疗流感的共有 A.225人 B.255人 C.365人 D.465人 √ 1 2 3 4 当n为奇数时，an+2=an， 当n为偶数时，an+2-an=2， 所以a1=a3=…=a29=1， a2，a4，…，a30是以2为首项，2为公差的等差数列， 所以S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=15+15×2+×2=255. 3.设Sn为数列{an}的前n项和，an=1+2+22+…+2n-1，则Sn的值为 A.2n-1 B.2n-1-1 C.2n-n-1 D.2n+1-n-2 1 2 3 4 ∵an=1+2+22+…+2n-1= =2n-1，∴Sn=++…+=-n=2n+1-n-2. √ 1 2 3 4 4.已知f(x)=，利用课本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得f+f+…+f=　　　　. 2 024 f(x)+f(1-x)=+==2， 令S=f+f+…+f， 则S=f+f+…+f， 两式相加得，2S=2 024×2，∴S=2 024. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.若数列{an}的通项公式是an=，则a1+a2+…+a10等于 A.15 B.12 C.-12 D.-15 √ 因为an=，所以a1+a2=-2+5=3，a3+a4=-8+11=3，a5+a6=-14+17=3，a7+a8=-20+23=3，a9+a10=-26+29=3，因此a1+a2+… +a10=3×5=15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知数列{an}中，a1=1，an+an+1=3，Sn为其前n项和，则S2 024等于 A.3 033 B.3 034 C.3 035 D.3 036 由题意a2=2，a3=1，a4=2，…，故奇数项为1，偶数项为2，则S2 024= (a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2 021+a2 022)+(a2 023+a2 024)=3×1 012=3 036. √ 3.数列1，3，5，7…的前n项和Sn为 A.n2+1- B.n2+2- C.n2+1- D.n2+2- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列1，3，5，7…的通项公式为an=2n-1+， 所以Sn=++++…+ =+ =+=n2+1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}中，a1=1，an+1=2an+1，Sn为其前n项和，则S5的值为 A.63 B.61 C.62 D.57 √ 由数列的递推关系可得，an+1+1=2，a1+1=2 ， 据此可得，数列是首项为2，公比为2的等比数列，则an+1=2×2n-1⇒an=2n-1 ， 分组求和有S5=-5=57. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 023=0，若f(x)=，则f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)等于 A.2 021 B.4 036 C.2 023 D.4 038 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵正项数列{an}是公比不等于1的等比数列，且lg a1+lg a2 023=0， ∴lg(a1·a2 023)=0，即a1·a2 023=1. ∵函数f=， ∴f(x)+f=+==2. 令T=f(a1)+f(a2)+…+f(a2 023)， 则T=f(a2 023)+f(a2 022)+…+f(a1)， ∴2T=f(a1)+f(a2 023)+f(a2)+f(a2 022)+…+f(a2 023)+f(a1)=2×2 023， ∴T=2 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)数列{an}是首项为1的正项数列，an+1=2an+3，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论正确的是 A.a3=13 B.数列是等比数列 C.an=4n-3 D.Sn=2n+1-n-2 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an+1=2an+3，∴an+1+3=2，∴数列是公比为2的等比数列， 又∵a1=1， ∴an+3=2n-1=2n+1， ∴an=2n+1-3， ∴a3=13， ∴Sn=-3n=2n+2-3n-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若f(x)+f(1-x)=2，an=f(0)+f+f+…+f+f(1)(n∈N+)，则数列{an}的通项公式是　　　　. an=n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an=f+f+f+…+f+f， an=f+f+…+f+f+f，两式相加可得 2an=++…++， 因为f(x)+f(1-x)=2，所以2an=2， 所以an=n+1. 8.设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，是以1为首项，2为公比的等比数列，则+++…+=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 033 ∵数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列，∴an=2+×1 =n+1， ∵是以1为首项，2为公比的等比数列， ∴bn=1×2n-1=2n-1，∴=2n-1+1， ∴+++…+=+10=1 033. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知等差数列{an}的前4项和为10，且a2，a3，a7成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 由题意，得 解得 所以an=或an=-2+3=3n-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)设bn=an+2n，求数列的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当an=时，bn=+2n， 此时Sn=b1+b2+…+bn=n+=2n+1+n-2； 当an=3n-5时，bn=+2n， 此时Sn=b1+b2+…+bn=·n+=2n+1+n2-n-2. 综上， Sn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=. (1)求证：对任意实数x都有f(x)+f(1-x)=1； f(1-x)===， ∴f(x)+f(1-x)=+==1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若an=f，其中m∈N+，n=1，2，…，m.求数列{an}的前m项的和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的前m项的和为Sm，则 Sm=a1+a2+…+am=f+f+…+f+f(1)， ① 又Sm=am+am-1+…+a1=f(1)+f+…+f+f， ② ①+②，得2Sm=f(1)+++…+ +f(1)=m-1+2f(1)=m-1+2×=m+， ∴Sm=+， ∴数列{an}的前m项的和为+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知{an}的前n项和为Sn，a1=1，当n≥2时，an+2Sn-1=n，则S2 023的值为 A.1 008 B.1 009 C.1 011 D.1 012 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，当n≥2时，可得Sn-1=Sn-an， 因为an+2Sn-1=n，所以an+2(Sn-an)=n，即2Sn=an+n， 当n≥3时，2Sn-1=an-1+n-1， 两式相减，可得2an=an-an-1+1，即an+an-1=1， 所以a2+a3=1，a4+a5=1，a6+a7=1，…， 所以S2 023=a1+++…+=1+×1= 1 012. 12.已知数列{an}满足a1+a2+a3+…+an=n，记数列{2an-n}的前n项和为Sn，则Sn等于 A.2n-- B.2n---1 C.2n+1---2 D.2n---2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1+a2+a3+…+an=n， ① 所以有a1=1， 当n≥2，n∈N+时，有a1+a2+a3+…+·an-1=n-1， ② ①-②得，an=1⇒an=2n-1，显然当n=1时，也适合， 所以an=2n-1(n∈N+)，令 2an-n=bn，所以bn=2n-n，因此有 Sn=(2-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n) =(2+22+23+…+2n)-(1+2+3+…+n)=-=2n+1-2--. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知F(x)=f-3是R上的奇函数，an=f(0)+f+…+f+f(1)，n∈N+，则数列{an}的通项公式为 A.an=n+1 B.an=3n+1 C.an=3n+3 D.an=n2-2n+3 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知F=f-3是R上的奇函数， 故F=-F， 代入得f+f=6， ∴函数f对称， 令t=-x，则+x=1-t，得到f+f=6， ∵an=f+f+…+f+f， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an=f+f+…+f+f， 倒序相加可得2an=6， 即an=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}：，，，，，，，，，，，，…的前n项和为Sn，则S120=　　.  60 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 将此数列分组，第一组：=，共21-1项；第二组：++==，共22-1项的和；第三组：++++++===，共23-1项的和；…第n组：++++++…+==，共2n-1项的和， 由+++…+=2×-n=120，解得n=6， 因此前120项之和正好等于前6组之和，即S120=++…+ ===60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.在数列{an}中，a1=1，a2=2，且an+2-an=1+(-1)n(n∈N+)，则a1+a2+…+a51=　　　.  676 当n为偶数时，an+2-an=2，an=2+×2=n； 当n为奇数时，an+2-an=0，an=1； 所以a1+a2+…+a51=26×1+(2+4+6+…+50)=26×1+×25×(2+50)=676. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的通项公式为an=求数列{an}的前n项和Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ①当n为大于或等于3的奇数时， Sn=[1+13+…+(6n-5)]+(42+44+…+4n-1) =·+ =+ =+. 当n=1时，S1=a1=1，上式同样成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②当n为偶数时， Sn=[1+13+…+(6n-11)]+(42+44+…+4n-2+4n)=+. 综上，Sn= 第五章 <<< $$