第5章 习题课 求数列通项的常用方法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

习题课　求数列通项的常用方法 ［学习目标］　1.熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式.2.能够利用公式an=及累加法、累乘法、构造数列法等求数列通项公式. 一、已知Sn=f(n)或Sn=f(an)，求数列的通项公式an 例1　已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n； (2)Sn=2n+3. 解　(1)当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-［2(n-1)2-3(n-1)］=4n-5. 因为a1=-1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an=4n-5. (2)当n=1时，a1=S1=5； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3) =2n-1. 因为a1=5不符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an= 反思感悟　已知Sn=f(n)求an的步骤 第一步，令n=1，得a1=S1，求出a1. 第二步，当n≥2时，用n-1替换Sn中的n得到Sn-1的关系式，利用an=Sn-Sn-1便可求出当n≥2时an的表达式. 第三步，检验a1是否符合第二步中求出的an的表达式. 第四步，写出数列的通项公式. 注意：若第三步中当n=1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示. 例2　已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1，n∈N+. (1)求a2的值； (2)求数列{an}的通项公式. 解　(1)因为a1=1，an+1=2+1， 所以a2=2+1=2+1=3. (2)方法一　将an+1=2+1两边平方， 得4Sn=(an+1-1)2. 所以当n≥2时，4Sn-1=(an-1)2， 两式相减，得4an=(an+1-1)2-(an-1)2， 化简得(an+1-an-2)(an+1+an)=0. 因为数列{an}的各项均为正数， 所以an+1-an-2=0，即an+1-an=2， 又a2-a1=3-1=2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 即an=1+2(n-1)=2n-1. 方法二　由an+1=2+1， 得Sn+1-Sn=2+1， 故Sn+1=(+1)2. 因为an>0，所以Sn>0， 所以=+1， 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以=1+(n-1)=n， 所以Sn=n2. 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1， 又a1=1符合上式， 所以an=2n-1. 反思感悟　已知Sn与an之间的关系式求an，解决此类问题通常有两种途径 (1)由关系式消去Sn，建立an与an-1(或an+1)之间的关系求an. (2)由关系式消去an，建立Sn与Sn-1(或Sn+1)之间的关系求Sn，进而求an. 跟踪训练1　(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项公式为　　　　　　　　.  答案　an=2n-10 解析　∵Sn=n2-9n，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-9n-［(n-1)2-9(n-1)］=2n-10， 又a1=S1=-8符合上式， ∴an=2n-10. (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an-4，n∈N+，则an等于(　　) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 答案　A 解析　因为Sn=2an-4，所以当n≥2时，Sn-1=2an-1-4， 两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1， 即an=2an-2an-1， 整理得an=2an-1，所以=2. 因为S1=a1=2a1-4，即a1=4， 所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列， 则an=4×2n-1=2n+1. 二、已知an+1-an=f(n)或=f(n)，求数列的通项公式an 例3　已知an=an-1+(n≥2且n∈N+)，a1=1，求an. 解　已知等式变形为an-an-1=-， 则a2-a1=1-， a3-a2=-， a4-a3=-， a5-a4=-， …， an-an-1=-， 以上各式两边分别相加可得an-a1=1-， ∴an=2-(n>1)， 验证知n=1时，a1=1符合上式. ∴对任意正整数n，有an=2-. 反思感悟　an+1-an=f(n)型求通项公式的方法 (1)若f(n)为常数，即an+1-an=d，则数列{an}为等差数列，an=a1+(n-1)d. (2)若f(n)为关于n的函数，用累加法求通项an. 其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 例4　在数列{an}中，a1=2，an+1=an，求数列{an}的通项公式. 解　由题意可得an≠0，所以=， 则有=，=，=，…，=， 把以上各式叠乘，得=n. 又因为a1=2，所以an=2n. 反思感悟　=f(n)型求通项公式的方法 (1)当f(n)为常数，即=q(其中q是不为0的常数)时，数列{an}为等比数列，an=a1·qn-1. (2)当f(n)为关于n的函数时，用累乘法. 跟踪训练2　(1)数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n，求数列{an}的通项公式； (2)已知数列{an}中，a1=3，an+1=an(n∈N+)，求数列{an}的通项公式. 解　(1)∵an+1=an+n+1， ∴an+1-an=n+1， 即a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n(n≥2). 等式两边同时相加得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2)， 即an=a1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=(n≥2). 又a1=1也适合上式，∴an=，n∈N+. (2)由已知等式变形为=， 则····…·=····…·， 可得=. 又a1=3， ∴an=(n∈N+). 三、已知an=pan-1+q或an=pan-1+qn-1，求数列的通项公式an 例5　(1)已知数列{an}中，a1=1，an=3an-1+4(n∈N+且n≥2)，则数列{an}的通项公式an=　　　　.  答案　3n-2 解析　设an+x=3(an-1+x)，则an=3an-1+2x. 又an=3an-1+4， ∴2x=4，即x=2，∴an+2=3(an-1+2)， ∴=3(n≥2).又∵a1+2=3， ∴{an+2}是公比为3，首项为3的等比数列， 即an+2=3×3n-1， ∴an=3n-2. (2)已知数列{an}满足an+1=2an+3·2n，a1=2，求数列{an}的通项公式. 解　将an+1=2an+3·2n两边同时除以2n+1， 得=+， 则-=. 又==1， 故数列是以1为首项，为公差的等差数列. 由等差数列的通项公式， 得=1+(n-1)=n-， 所以数列{an}的通项公式为an=(3n-1)·2n-1. 反思感悟　(1)满足an=pan-1+q型的数列{an}求通项公式时，可利用待定系数法将其变形为an+λ=p(an-1+λ)，再设an+λ=bn，则{bn}是以b1=a1+λ为首项，p为公比的等比数列，求出{bn}的通项公式，进而求出an. (2)满足an=pan-1+qn-1型的数列{an}求通项公式时，一般要先在原递推公式两边同除以qn，得=·+，引入辅助数列{bn}，得bn=bn-1+，再应用类型(1)的方法解决. 跟踪训练3　已知数列{an}满足a1=4，an+1=2an+3，求数列{an}的通项公式. 解　设an+1+a=2(an+a)，a为待定系数，展开得an+1=2an+a，与原式对比知a=3，则有an+1+3=2(an+3). 因为a1+3=7，所以{an+3}是以7为首项，2为公比的等比数列， 所以an+3=7×2n-1， 所以an=×2n-3. 1.知识清单： (1)利用公式an=求通项公式an. (2)累加法和累乘法求通项公式. (3)构造数列法求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项时忽视对n=1时的验证. 1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1，则其通项公式为(　　) A.an=6n-5 B.an= C.an=5n-6 D.an= 答案　B 解析　当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-［3(n-1)2-2(n-1)+1］=6n-5， 显然当n=1时，不满足上式. 故数列的通项公式为an= 2.数列{an}中，a1=2，an+1-an=2n，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=2n-1+1 B.an=2n C.an=3n-1 D.an=3n-1+1 答案　B 解析　因为a1=2，an+1-an=2n，所以a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，…，an-an-1=2n-1(n≥2)，以上各式累加得an-a1=2+22+23+…+2n-1，故an=+2=2n，当n=1时，a1也符合上式，所以an=2n. 3.已知数列{an}中，a1=2，(n+2)an+1-(n+1)an=0(n∈N+)，则数列{an}的通项公式为　　　　.  答案　an= 解析　因为a1=2，(n+2)an+1-(n+1)an=0，所以=， 即=，=，=，…，=， 以上各式累乘得=， 所以an=，当n=1时，a1=2也符合上式， 故数列{an}的通项公式为an=. 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+3n，则an=　　　　.  答案　n·3n-1 解析　由an+1=3an+3n，可得=，即-=， 所以是公差为的等差数列，所以=+(n-1)×=，所以an=n·3n-1. 　　　　 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.在数列{an}中，a1=1，a2=，且2anan+2=an+1·an+2+an·an+1(n∈N+)，则数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题设变形可得=+，所以成等差数列，故公差为-=-1=1，所以=+(n-1)×1=n，所以an=. 2.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=(1-an)，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an= D.an=3· 答案　B 解析　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)=-an+an-1，化简得2an=-an+an-1，即=. 又由S1=a1=(1-a1)，得a1=， 所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列， 所以an=×=. 3.数列{an}满足a1=1，a2=，且+=(n∈N+，n≥2)，则an等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　数列是首项为1，公差为的等差数列， ∴=1+(n-1)=， ∴an=. 4.已知a1=1，an=n(an+1-an)(n∈N+)，则数列{an}的通项公式是(　　) A.2n-1 B. C.n2 D.n 答案　D 解析　∵an=n(an+1-an)， ∴=， ∴an=×××…×××a1 =×××…×××1=n. 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn等于(　　) A.2n-1 B. C. D. 答案　B 解析　由an+1=Sn+1-Sn， 得Sn=Sn+1-Sn， 即Sn+1=Sn(n≥1)， 又S1=a1=1， 所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列， 所以Sn=. 6.已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn=an，则的最大值为(　　) A.-3 B.-1 C.3 D.1 答案　C 解析　由Sn=an得，当n≥2时，Sn-1=an-1， 两式作差可得an=Sn-Sn-1=an-an-1， 整理得==1+， 由此可得，当n=2时，取得最大值，其最大值为3. 7.(5分)已知在数列{an}中，a1=1，an+1=，则an=　　　　.  答案　 解析　由an+1=，知=， 即=+2，所以-=2， 即为等差数列，公差为2， 所以=+(n-1)×2=2n-1， 所以an=. 8.(5分)若数列{an}的前n项和Sn=an+，则{an}的通项公式an=　　　　.  答案　(-2)n-1 解析　由Sn=an+得，当n≥2时，Sn-1=an-1+， 两式相减，整理得an=-2an-1， 又当n=1时，S1=a1=a1+， ∴a1=1， ∴{an}是首项为1，公比为-2的等比数列， 故an=(-2)n-1. 9.(12分)根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1=2，an+1=an+ln；(4分) (2)a1=1，an+1=2nan；(4分) (3)a1=1，an+1=3an+2.(4分) 解　(1)由题意知an+1-an=ln， an-an-1=ln=ln (n≥2)， ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln +ln +…+ln +ln 2+2 =2+ln=2+ln n(n≥2). 又a1=2适合上式，故an=2+ln n(n∈N+). (2)∵an+1=2nan， ∴=2n-1(n≥2)， ∴an=··…··a1 =2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=. 又a1=1适合上式，故an=. (3)∵an+1=3an+2， ∴an+1+1=3(an+1)， 又a1=1，∴a1+1=2， 故数列{an+1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an+1=2·3n-1， ∴an=2·3n-1-1. 10.(10分)在数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+)，求数列{an}的通项公式an. 解　由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1，得 当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an， 两式作差得nan=an+1-an， 得(n+1)an+1=3nan(n≥2)， 即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1=1，a2=1， 于是2a2=2，故当n≥2时，nan=2×3n-2. 于是an= 11.(多选)已知函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+)，则下列说法正确的是(　　) A.a1=1 B.an=n C.an=2n-1 D.an= 答案　AD 解析　由题意，知f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+). 又f(xy)=f(x)+f(y)， ∴Sn+2=3an，Sn-1+2=3an-1(n≥2)， 两式相减得2an=3an-1. 又当n=1时，S1+2=3a1=a1+2， ∴a1=1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an=. 12.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=anan+1，则a2+a4+a6+…+a2n等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　当n=1时，3S1=a1a2，3a1=a1a2，∴a2=3. 当n≥2时，由3Sn=anan+1，可得3Sn-1=an-1an， 两式相减得3an=an(an+1-an-1)， 又∵an≠0，∴an+1-an-1=3， ∴{a2n}是以3为首项，3为公差的等差数列， ∴a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3 =. 13.(5分)已知数列{an}满足：an+1+an=4n-3(n∈N+)，且a1=2，则数列{an}的通项公式an=　　　　.  答案　 解析　由an+1+an=4n-3，得an+an-1=4n-7(n≥2)， 两式相减得an+1-an-1=4(n≥2). 由等差数列的定义可知，数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列. 方法一　由a1=2及a2+a1=4-3=1，知a2=-1， 所以当n为奇数时，an=a1+×4=2n； 当n为偶数时，an=a2+×4=2n-5. 综上，数列{an}的通项公式为 an= 方法二　当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N+， 则k=，a2k-1=a1+4(k-1)， 即an=a1+4=2n； 当n为偶数时，设n=2k，k∈N+，则k=， a2k=a2+4(k-1)，a2=-1， 即an=a2+4=2n-5. 综上，数列{an}的通项公式为 an= 14.(5分)已知数列{an}满足a1=，an+1=3an-4n+2(n∈N+).数列{bn}满足bn=an-2n，则数列{bn}的通项公式为　　　　　　　　.  答案　bn=3n-2 解析　∵an+1=3an-4n+2， ∴an+1-2n-2=3an-6n， 即an+1-2(n+1)=3(an-2n)， ∴bn+1=3bn. 又bn=an-2n≠0，n∈N+， ∴=3. 又b1=a1-2=-2=， ∴数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列. ∴bn=×3n-1=3n-2. 15.(5分)已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N+)，且a1=2，则数列的通项公式an=　　　　.  答案　n·2n 解析　令x=2，y=2n-1，则f(x·y)=f(2n) =2f(2n-1)+2n-1f(2)， 即f(2n)=2f(2n-1)+2n-1a1， 即an=2an-1+2n，=+1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 由此可得=1+(n-1)=n，an=n·2n. 16.(12分)已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证：{an+1+2an}是等比数列；(6分) (2)求数列{an}的通项公式.(6分) (1)证明　∵an+1=an+6an-1(n≥2)， ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 又a1=5，a2=5，∴a2+2a1=15， ∴an+2an-1≠0(n≥2)， ∴=3(n≥2)， ∴数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列. (2)解　由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n， 则an+1=-2an+5×3n， ∴an+1-3n+1=-2(an-3n). 又∵a1-3=2，∴an-3n≠0， ∴{an-3n}是以2为首项，-2为公比的等比数列. ∴an-3n=2×(-2)n-1， 即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N+). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 习题课　求数列通项的常用方法 1.熟练掌握等差数列和等比数列的通项公式. 2.能够利用公式an=及累加法、累乘法、构造数列法等求数列通项公式. 学习目标 一、已知Sn=f(n)或Sn=f(an)，求数列的通项公式an 二、已知an+1-an=f(n)或=f(n)，求数列的通项公式an 课时对点练 三、已知an=pan-1+q或an=pan-1+qn-1，求数列的通项公式an 随堂演练 内容索引 已知Sn=f(n)或Sn=f(an)，求数列的通项公式an 一 已知下列各数列{an}的前n项和Sn的公式，求数列{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n； 例 1 当n=1时，a1=S1=-1； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5. 因为a1=-1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an=4n-5. 5 (2)Sn=2n+3. 当n=1时，a1=S1=5； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n+3-(2n-1+3)=2n-1. 因为a1=5不符合上式， 所以数列{an}的通项公式为an= 6 第一步，令n=1，得a1=S1，求出a1. 第二步，当n≥2时，用n-1替换Sn中的n得到Sn-1的关系式，利用an=Sn-Sn-1便可求出当n≥2时an的表达式. 第三步，检验a1是否符合第二步中求出的an的表达式. 第四步，写出数列的通项公式. 注意：若第三步中当n=1时，an表达式的值不等于a1，则数列的通项公式一定要分段表示. 反 思 感 悟 已知Sn=f(n)求an的步骤 7 已知数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，且满足a1=1，an+1=2+1，n∈N+. (1)求a2的值； 例 2 因为a1=1，an+1=2+1， 所以a2=2+1=2+1=3. 8 (2)求数列{an}的通项公式. 9 方法一　将an+1=2+1两边平方， 得4Sn=(an+1-1)2. 所以当n≥2时，4Sn-1=(an-1)2， 两式相减，得4an=(an+1-1)2-(an-1)2， 化简得(an+1-an-2)(an+1+an)=0. 因为数列{an}的各项均为正数， 所以an+1-an-2=0，即an+1-an=2， 又a2-a1=3-1=2， 所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列， 即an=1+2(n-1)=2n-1. 10 方法二　由an+1=2+1， 得Sn+1-Sn=2+1， 故Sn+1=(+1)2. 因为an>0，所以Sn>0， 所以=+1， 所以数列{}是首项为1，公差为1的等差数列， 所以=1+(n-1)=n， 所以Sn=n2. 11 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1， 又a1=1符合上式， 所以an=2n-1. 12 (1)由关系式消去Sn，建立an与an-1(或an+1)之间的关系求an. (2)由关系式消去an，建立Sn与Sn-1(或Sn+1)之间的关系求Sn，进而求an. 反 思 感 悟 已知Sn与an之间的关系式求an，解决此类问题通常有两种途径 13 　(1)已知数列{an}的前n项和Sn=n2-9n，则其通项公式为　　 .  跟踪训练 1 an=2n-10 ∵Sn=n2-9n，∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2-9n-[(n-1)2-9(n-1)]=2n-10， 又a1=S1=-8符合上式， ∴an=2n-10. 14 (2)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn=2an-4，n∈N+，则an等于 A.2n+1　　　　　B.2n　　　　　C.2n-1　　　　　D.2n-2 因为Sn=2an-4，所以当n≥2时，Sn-1=2an-1-4， 两式相减可得Sn-Sn-1=2an-2an-1， 即an=2an-2an-1， 整理得an=2an-1，所以=2. 因为S1=a1=2a1-4，即a1=4， 所以数列{an}是首项为4，公比为2的等比数列， 则an=4×2n-1=2n+1. √ 15 二 已知an+1-an=f(n)或=f(n)，求数列的通项公式an 　已知an=an-1+(n≥2且n∈N+)，a1=1，求an. 例 3 17 已知等式变形为an-an-1=-， 则a2-a1=1-， a3-a2=-， a4-a3=-， a5-a4=-， …， 18 an-an-1=-， 以上各式两边分别相加可得an-a1=1-， ∴an=2-(n>1)， 验证知n=1时，a1=1符合上式. ∴对任意正整数n，有an=2-. 19 (1)若f(n)为常数，即an+1-an=d，则数列{an}为等差数列，an=a1+(n-1)d. (2)若f(n)为关于n的函数，用累加法求通项an. 其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数. 若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； 若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和； 若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； 若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和. 反 思 感 悟 an+1-an=f(n)型求通项公式的方法 20 　在数列{an}中，a1=2，an+1=an，求数列{an}的通项公式. 例 4 由题意可得an≠0，所以=， 则有===，…，=， 把以上各式叠乘，得=n. 又因为a1=2，所以an=2n. 21 (1)当f(n)为常数，即=q(其中q是不为0的常数)时，数列{an}为等比数列，an=a1·qn-1. (2)当f(n)为关于n的函数时，用累乘法. 反 思 感 悟 =f(n)型求通项公式的方法 22 (1)数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n，求数列{an}的通项公式； 跟踪训练 2 ∵an+1=an+n+1， ∴an+1-an=n+1， 即a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n(n≥2). 等式两边同时相加得an-a1=2+3+4+…+n(n≥2)， 即an=a1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=(n≥2). 又a1=1也适合上式，∴an=，n∈N+. 23 (2)已知数列{an}中，a1=3，an+1=an(n∈N+)，求数列{an}的通项公式. 由已知等式变形为=， 则····…·=····…·， 可得=. 又a1=3， ∴an=(n∈N+). 24 三 已知an=pan-1+q或an=pan-1+ qn-1，求数列的通项公式an 　(1)已知数列{an}中，a1=1，an=3an-1+4(n∈N+且n≥2)，则数列{an}的通项公式an=　　　.  例 5 3n-2 26 设an+x=3(an-1+x)，则an=3an-1+2x. 又an=3an-1+4， ∴2x=4，即x=2，∴an+2=3(an-1+2)， ∴=3(n≥2).又∵a1+2=3， ∴{an+2}是公比为3，首项为3的等比数列， 即an+2=3×3n-1， ∴an=3n-2. 27 (2)已知数列{an}满足an+1=2an+3·2n，a1=2，求数列{an}的通项公式. 28 将an+1=2an+3·2n两边同时除以2n+1， 得=+， 则-=. 又==1， 故数列是以1为首项，为公差的等差数列. 由等差数列的通项公式， 得=1+(n-1)=n-， 所以数列{an}的通项公式为an=(3n-1)·2n-1. 29 (1)满足an=pan-1+q型的数列{an}求通项公式时，可利用待定系数法将其变形为an+λ=p(an-1+λ)，再设an+λ=bn，则{bn}是以b1=a1+λ为首项，p为公比的等比数列，求出{bn}的通项公式，进而求出an. (2)满足an=pan-1+qn-1型的数列{an}求通项公式时，一般要先在原递推公式两边同除以qn，得=·+，引入辅助数列{bn}，得bn=bn-1+，再应用类型(1)的方法解决. 反 思 感 悟 30 已知数列{an}满足a1=4，an+1=2an+3，求数列{an}的通项公式. 跟踪训练 3 设an+1+a=2(an+a)，a为待定系数，展开得an+1=2an+a，与原式对比知a=3，则有an+1+3=2(an+3). 因为a1+3=7，所以{an+3}是以7为首项，2为公比的等比数列， 所以an+3=7×2n-1， 所以an=×2n-3. 31 1.知识清单： (1)利用公式an=求通项公式an. (2)累加法和累乘法求通项公式. (3)构造数列法求通项公式. 2.方法归纳：构造法、转化法. 3.常见误区：利用an=Sn-Sn-1(n≥2)求通项时忽视对n=1时的验证. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列{an}的前n项和Sn=3n2-2n+1，则其通项公式为 A.an=6n-5 B.an= C.an=5n-6 D.an= √ 1 2 3 4 当n=1时，a1=S1=3×12-2×1+1=2； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n2-2n+1-[3(n-1)2-2(n-1)+1]=6n-5， 显然当n=1时，不满足上式. 故数列的通项公式为an= 1 2 3 4 2.数列{an}中，a1=2，an+1-an=2n，则数列{an}的通项公式为 A.an=2n-1+1 B.an=2n C.an=3n-1 D.an=3n-1+1 因为a1=2，an+1-an=2n，所以a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23，…，an-an-1 =2n-1(n≥2)，以上各式累加得an-a1=2+22+23+…+2n-1，故an= +2=2n，当n=1时，a1也符合上式，所以an=2n. √ 3.已知数列{an}中，a1=2，(n+2)an+1-(n+1)an=0(n∈N+)，则数列{an}的通 项公式为　　　　. 1 2 3 4 an= 因为a1=2，(n+2)an+1-(n+1)an=0，所以=， 即===，…，=， 以上各式累乘得=， 所以an=，当n=1时，a1=2也符合上式， 故数列{an}的通项公式为an=. 1 2 3 4 4.已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+3n，则an=　　　.  n·3n-1 由an+1=3an+3n，可得=-=， 所以=+(n-1)×=，所以an=n·3n-1. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.在数列{an}中，a1=1，a2=，且2anan+2=an+1·an+2+an·an+1(n∈N+)，则数列{an}的通项公式为 A.　　　B.　　　C.　　　D. √ 由题设变形可得=+-=-1=1，所以=+(n-1)×1=n，所以an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=(1-an)，则数列{an}的通项公式为 A.an= B.an= C.an= D.an=3· √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)=-an+an-1，化简得2an=-an+an-1，即=. 又由S1=a1=(1-a1)，得a1=， 所以数列{an}是首项为的等比数列， 所以an=×=. 3.数列{an}满足a1=1，a2=，且+=(n∈N+，n≥2)，则an等于 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数列是首项为1，公差为的等差数列， ∴=1+(n-1)=， ∴an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知a1=1，an=n(an+1-an)(n∈N+)，则数列{an}的通项公式是 A.2n-1　　　B.　　　C.n2　　　D.n √ ∵an=n(an+1-an)， ∴=， ∴an=×××…×××a1 =×××…×××1=n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，Sn=2an+1，则Sn等于 A.2n-1 B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an+1=Sn+1-Sn， 得Sn=Sn+1-Sn， 即Sn+1=Sn(n≥1)， 又S1=a1=1， 所以数列{Sn}是首项为1，公比为的等比数列， 所以Sn=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn=an，则的最大值为 A.-3 B.-1 C.3 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由Sn=an得，当n≥2时，Sn-1=an-1， 两式作差可得an=Sn-Sn-1=an-an-1， 整理得==1+， 由此可得，当n=2时，取得最大值，其最大值为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知在数列{an}中，a1=1，an+1=，则an=　　　　. 由an+1==， 即=+2，所以-=2， 即为等差数列，公差为2， 所以=+(n-1)×2=2n-1， 所以an=. 8.若数列{an}的前n项和Sn=an+，则{an}的通项公式an=　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (-2)n-1 由Sn=an+得，当n≥2时，Sn-1=an-1+， 两式相减，整理得an=-2an-1， 又当n=1时，S1=a1=a1+， ∴a1=1， ∴{an}是首项为1，公比为-2的等比数列， 故an=(-2)n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.根据下列条件，确定数列{an}的通项公式： (1)a1=2，an+1=an+ln； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知an+1-an=ln， an-an-1=ln=ln (n≥2)， ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =ln +ln +…+ln +ln 2+2 =2+ln=2+ln n(n≥2). 又a1=2适合上式，故an=2+ln n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1=2nan， ∴=2n-1(n≥2)， ∴an=··…··a1 =2n-1·2n-2·…·2·1=21+2+3+…+(n-1)=. 又a1=1适合上式，故an=. (2)a1=1，an+1=2nan； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1=3an+2， ∴an+1+1=3(an+1)， 又a1=1，∴a1+1=2， 故数列{an+1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴an+1=2·3n-1， ∴an=2·3n-1-1. (3)a1=1，an+1=3an+2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在数列{an}中，a1=1，a1+2a2+3a3+…+nan=an+1(n∈N+)，求数列{an}的通项公式an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由a1+2a2+3a3+…+nan=an+1，得 当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1=an， 两式作差得nan=an+1-an， 得(n+1)an+1=3nan(n≥2)， 即数列{nan}从第二项起是公比为3的等比数列，且a1=1，a2=1， 于是2a2=2，故当n≥2时，nan=2×3n-2. 于是an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知函数f(x)是定义在(0，+∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(xy)=f(x)+f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+)，则下列说法正确的是 A.a1=1 B.an=n C.an=2n-1 D.an= √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，知f(Sn+2)-f(an)=f(3)(n∈N+). 又f(xy)=f(x)+f(y)， ∴Sn+2=3an，Sn-1+2=3an-1(n≥2)， 两式相减得2an=3an-1. 又当n=1时，S1+2=3a1=a1+2， ∴a1=1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an=. 12.各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且3Sn=anan+1，则a2+a4+a6+…+a2n等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=1时，3S1=a1a2，3a1=a1a2，∴a2=3. 当n≥2时，由3Sn=anan+1，可得3Sn-1=an-1an， 两式相减得3an=an(an+1-an-1)， 又∵an≠0，∴an+1-an-1=3， ∴{a2n}是以3为首项，3为公差的等差数列， ∴a2+a4+a6+…+a2n=3n+×3=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列{an}满足：an+1+an=4n-3(n∈N+)，且a1=2，则数列{an}的通项 公式an=　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an+1+an=4n-3，得an+an-1=4n-7(n≥2)， 两式相减得an+1-an-1=4(n≥2). 由等差数列的定义可知，数列{an}的奇数项与偶数项分别构成以4为公差的等差数列. 方法一　由a1=2及a2+a1=4-3=1，知a2=-1， 所以当n为奇数时，an=a1+×4=2n； 当n为偶数时，an=a2+×4=2n-5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上，数列{an}的通项公式为 an= 方法二　当n为奇数时，设n=2k-1，k∈N+， 则k=，a2k-1=a1+4(k-1)， 即an=a1+4=2n； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n为偶数时，设n=2k，k∈N+，则k=， a2k=a2+4(k-1)，a2=-1， 即an=a2+4=2n-5. 综上，数列{an}的通项公式为 an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知数列{an}满足a1=，an+1=3an-4n+2(n∈N+).数列{bn}满足bn=an-2n，则数列{bn}的通项公式为　　　　. bn=3n-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1=3an-4n+2， ∴an+1-2n-2=3an-6n， 即an+1-2(n+1)=3(an-2n)， ∴bn+1=3bn. 又bn=an-2n≠0，n∈N+， ∴=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又b1=a1-2=-2=， ∴数列{bn}是首项为，公比为3的等比数列. ∴bn=×3n-1=3n-2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数，对于任意的x，y∈R，都有f(x·y)=xf(y)+yf(x)成立.数列{an}满足an=f(2n)(n∈N+)，且a1=2，则数列的通项公式an=　　　. n·2n 令x=2，y=2n-1，则f(x·y)=f(2n) =2f(2n-1)+2n-1f(2)， 即f(2n)=2f(2n-1)+2n-1a1， 即an=2an-1+2n，=+1， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 由此可得=1+(n-1)=n，an=n·2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an-1(n≥2). (1)求证：{an+1+2an}是等比数列； ∵an+1=an+6an-1(n≥2)， ∴an+1+2an=3an+6an-1=3(an+2an-1)(n≥2). 又a1=5，a2=5，∴a2+2a1=15， ∴an+2an-1≠0(n≥2)， ∴=3(n≥2)， ∴数列{an+1+2an}是以15为首项，3为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)得an+1+2an=15×3n-1=5×3n， 则an+1=-2an+5×3n， ∴an+1-3n+1=-2(an-3n). 又∵a1-3=2，∴an-3n≠0， ∴{an-3n}是以2为首项，-2为公比的等比数列. ∴an-3n=2×(-2)n-1， 即an=2×(-2)n-1+3n(n∈N+). 第五章 <<< $$