第5章 习题课 等差数列前n项和性质的综合问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第五章 <<< 习题课　等差数列前n项和 性质的综合问题 1.掌握总项数为奇数或偶数时前n项和的特点. 2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法. 3.会解决等差数列前n项和的比值问题. 学习目标 一、等差数列中奇、偶项的和 二、含绝对值的等差数列的前n项和 课时对点练 三、等差数列前n项和的比值问题 随堂演练 内容索引 等差数列中奇、偶项的和 一 提示　S2n==n(a1+a2n)，S2n-1=，由等差数列的性质m+n=p+q⇒am+an=ap+aq可知，a1+a2n=an+an+1，a1+a2n-1=2an，即S2n= n(an+an+1)，S2n-1=(2n-1)an，发现总项数为偶数时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数时，其和可用中间一项表示. 我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n-1吗？ 问题1 提示　S奇=a1+a3+…+a2n-1= =nan， S偶=a2+a4+…+a2n==nan+1， 则有S偶-S奇=nan+1-nan=n(an+1-an)=nd， ==. 当总项数为2n时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？ 问题2 提示　S奇=a1+a3+…+a2n-1= =nan， S偶=a2+a4+…+a2n-2= =(n-1)an，则有S奇-S偶=an，=. 当总项数为2n-1时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？ 问题3 1.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n= ，S偶-S奇= ，=. 2.若等差数列{an}的项数为2n+1，则S2n+1= ，S偶-S奇= ，=. n(an+an+1) nd (2n+1)an+1 -an+1 知识梳理 (1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数； (2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半. 注 意 点 <<< 9 在等差数列{an}中，S10=120，且在这10项中，=，则公差d=　 .  例 1 2 由 得 所以S偶-S奇=5d=10，所以d=2. 10 一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项. 反 思 感 悟 11 　已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是　　.  跟踪训练 1 -4 设等差数列{an}的项数为2m， ∵末项与首项的差为-28， ∴a2m-a1=(2m-1)d=-28， ① ∵S奇=50，S偶=34， ∴S偶-S奇=34-50=-16=md， ② 由①②得d=-4. 12 二 含绝对值的等差数列的前n项和 已知等差数列an=2n-9，求{|an|}的前n项和. 问题4 提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn. 则当n≤4时，Tn=-Sn=-n2+8n， 当n≥5时，Tn=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(-a4)+a5+a6+…+an=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32. ∴Tn= 1.若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak+1>0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+. 2.若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak+1<0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+. 知识梳理 (1)要先去掉绝对值才能求和； (2)找准分界点是解决此类问题的关键. 注 意 点 <<< 16 　数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； 例 2 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n. ∵a1=S1=100×1-12=99，满足上式， ∴an=101-2n(n∈N+). 又an+1-an=-2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为-2的等差数列. 17 (2)设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 18 令an=101-2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N+，∴n≤50(n∈N+). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn=|an|=an， ∴数列{bn}的前n项和Tn=100n-n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn=|an|=-an， 由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an) =-(Sn-S50)=S50-Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2 500-(100n-n2)= 5 000-100n+n2. 19 由①②得数列{bn}的前n项和为 Tn=n∈N+. 20 本例中若an=2n-101，求数列{bn}的前n项和. 延伸探究 由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn=-an，数列的前n项和Tn=-n2+100n， 当n≥51时，an>0，b51+b52+…+bn=a51+a52+…+an. 数列的前n项和Tn=-S50+Sn-S50=n2-100n+5 000， 综上，Tn=n∈N+. 21 求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，即找到正负项的“分界点”，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解. 反 思 感 悟 22 在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12，求数列{|an|}的前n项和. 跟踪训练 2 23 由a1=-60，a17=-12，知 等差数列{an}的公差d===3. 所以an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由an≤0，知3n-63≤0，即n≤21. 所以{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数. 设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和. 24 当n≤20时， Tn=-Sn=-=-n2+n. 当n>20时， Tn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20 =-60n+-2 =n2-n+1 260， 综上，Tn= 25 等差数列前n项和的比值问题 三 设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. 知识梳理 　有两个等差数列{an}，{bn}满足=，求. 例 3 28 方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则= =， 则有=， ① 又由于=， ② 观察①，②，可在①中取n=9，得==.故=. 29 方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn， 则有=，其中An=， 由于a1+a9=2a5. 即=a5，故A9==9a5. 同理B9=9b5.故=. 故===. 30 方法三　因为等差数列的前n项和为 Sn=an2+bn=an， 根据已知，可令An=(7n+2)kn，Bn=(n+3)kn(k≠0). 所以a5=A5-A4 =(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4=65k， b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k. 所以==. 31 方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由== ==. 32 (1)本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，因为公式an=，所以an∶bn=S2n-1∶T2n-1. (2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征.利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果. 反 思 感 悟 33 已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，=，则等于 A. B. C.1 D.2 跟踪训练 3 √ 由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11==11a6， 同理可得T11=11b6，因此，====，故选A. 34 1.知识清单： (1)等差数列中奇、偶项的和. (2)含绝对值的等差数列的前n项和. (3)等差数列前n项和的比值问题. 2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法. 3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 A.5 B.4 C.3 D.2 √ 设等差数列的公差为d，由题意，得S偶-S奇=30-15=5d=15，解得d=3. 1 2 3 4 2.已知等差数列{an}中，公差d=1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为　　　.  99 由题意，得S奇+S偶=148， S偶-S奇=50d=50， 解得S偶=99. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5=5a3，则=　　.  1 2 3 4 9 ===×5=9. 1 2 3 4 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-9，S5=-25，bn=|an|，的前n项和为Tn，则T10=　　.  50 1 2 3 4 设等差数列{an}的公差为d， ∵a1=-9，S5=-25. ∴-9×5+×d=-25， 解得d=2. ∴an=-9+2(n-1)=2n-11. ∵bn=， 所以bn=， ∴T10=+++++1+3+5+7+9=2=50. 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是 A.0.5，0.5 B.0.5，1 C.0.5，2 D.1，0.5 √ 由于项数为10，故S偶-S奇=15-12.5=5d，∴d=0.5，由15+12.5=10a1+ ×0.5， 得a1=0.5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.一个等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于 A.6 B.8 C.10 D.12 ∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=132，S偶=a2+a4+…+a2n =120， ∴S奇-S偶=a2n+1-nd=an+1=12， ∴=S奇+S偶=252= =an+1=12，解得n=10. √ 3.一个等差数列的项数为2n，若a1+a3+…+a2n-1=90，a2+a4+…+=72，且a1-a2n=33，则该数列的公差是 A.3 B.-3 C.-2 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ (a2+a4+…+a2n)-(a1+a3+…+a2n-1)=nd=72-90=-18. 又a1-a2n=-(2n-1)d=33，所以d=-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是 A.2 B.3 C.4 D.5 √ ∵====7+为正整数，∴n=1，2，3，5，11，共5个. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.设等差数列{an}和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，若=，则t等于 A.5 B.6 C.22 D. √ 由题意可得b3+b11=2b7，则===，解得t=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1+Sn=4(n+1)2，则下列说法正确的有 A.若首项a1=1，则数列{an}的奇数项成等差数列 B.若首项a1=1，则数列{an}的偶数项成等差数列 C.若首项a1=1，则S15=477 D.若首项a1=a，且对任意n∈N+，an<an+1恒成立，则a的取值范围是(3，5) √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由Sn+1+Sn=4(n+1)2， ① 得Sn+Sn-1=4n2(n≥2). ② ①-②可得an+1+an=4(n+1)2-4n2 =4(2n+1)(n≥2)， ③ 所以an+an-1=4(2n-1)(n≥3). ④ ③-④可得an+1-an-1=8(n≥3)， 因此数列{an}从第二项开始，奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a1=1，即S1=a1=1， 则S2+S1=4×(1+1)2， 即a2+2a1=16，所以a2=14，S2=15； 由S3+S2=4×(2+1)2得a3+2S2=36， 则a3=6，所以a3-a1=5≠8， 因此数列{an}的奇数项不成等差数列， 偶数项成等差数列，故A错误，B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 S15=a1+(a3+a5+…+a15)+(a2+a4+…+a14) =1++ =477，故C正确； 因为a3，a5，a7，…，a2n+1，…成公差为8的等差数列， a2，a4，a6，…，a2n…也成公差为8的等差数列， 所以为使对任意n∈N+，an<an+1恒成立， 只需a1<a2<a3<a4，若a1=a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由S2+S1=4×(1+1)2=16， 得a2=16-2a； 由S3+S2=4×(2+1)2=36， 得a3=36-2S2=4+2a； 由S4+S3=4×(3+1)2=64， 得a4=64-2S3=24-2a. 由a<16-2a<4+2a<24-2a， 解得3<a<5，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn= (2n+1)∶(3n-2)，则=　　　. ∵{an}，{bn}均为等差数列， ∴====. 8.设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　　，项数是　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的项数为2n+1(n∈N+)， S奇=a1+a3+…+a2n+1 ==(n+1)an+1， S偶=a2+a4+a6+…+a2n ==nan+1， 所以==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解得n=3，所以项数为2n+1=7， 又S奇-S偶=an+1， 即a4=44-33=11为所求的中间项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2=16，S4=24，求数列{|an|}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由S2=16，S4=24，得 即 所以等差数列{an}的通项公式为 an=11-2n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an≥0，解得n≤5，则 ①当n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n. ②当n≥6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn =2×(-52+10×5)-(-n2+10n) =n2-10n+50， 故Tn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+an+1=2n+1(n∈N+)，求S21. 将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2， 由an+an+1=2n+1①，可以得到an+1+an+2=2n+3②，②-①得an+2-an=2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a21=1+ 10×2=21，a20=2+9×2=20， 所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=+=231. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|等于 A.15 B.35 C.66 D.100 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 易得an= |a1|=1，|a2|=1，|a3|=1， 令an>0，则2n-5>0， ∴n≥3. ∴|a1|+|a2|+…+|a10| =1+1+a3+…+a10 =2+(S10-S2) =2+[(102-4×10+2)-(22-4×2+2)]=66. 12.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为 A.　B.　　C.　　D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得数列{an}为等差数列，a1=6，S30=11×40+3×10=470， 设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得 S30=30×6+d=470，解得d=， 所以an=6+×=n+， a1+a3+…+a29==15a15， a2+a4+…+a30==15a16， 所以===. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶 数项的和之比为　　.  由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇==6a6， 偶数项的和为S偶==5a6， 所以其奇数项的和与偶数项的和之比为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且=(n∈N+)，则+=　　　.  因为b3+b18=b6+b15=b10+b11， 所以+======. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.(多选)已知数列{an}满足a1=10，a5=2，且an+2-2an+1+an=0(n∈N+)，则下列结论正确的是 A.an=12-2n B.|an|的最小值为0 C.|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=11n-n2 D.当且仅当n=5时，a1+a2+a3+…+an取得最大值30 √ √ 由an+2-2an+1+an=0， 得an+2+an=2an+1， 故数列{an}为等差数列. 设其公差为d，则d==-2， ∴an=10-2(n-1)=12-2n，A正确； ∵|an|≥0，且当n=6时，|an|=0， ∴|an|的最小值为0，B正确； 令an≥0，得n≤6， 则当n≥7时，an<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≤6时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =a1+a2+a3+…+an ==11n-n2； 当n≥7时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an) =2×(11×6-62)- =n2-11n+60， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =C错误； ∵当n≤5时，an>0， 当n=6时，an=0， 当n≥7时，an<0， ∴当n=5或n=6时，a1+a2+a3+…+an取得最大值30，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式； 因为数列是公差为2的等差数列，且=a1=1，所以=1+×　2=2n-1，所以Sn=2n2-n， 又因为an=Sn-Sn-1，所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-3， 又因为a1=1符合上式，所以an=4n-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若bn=(-1)nan，求数列的前n项和Tn. 因为bn=an=， 当n为偶数时，Tn=+5++13+…+[-]+， 所以Tn=[+5]+[+13]+…+{[-(4n-7)]+(4n-3)}=4×=2n， 当n为奇数时，Tn=Tn-1+bn=2+[-(4n-3)]=1-2n， 综上可知，Tn= 第五章 <<< $$ 习题课　等差数列前n项和性质的综合问题 ［学习目标］　1.掌握总项数为奇数或偶数时前n项和的特点.2.掌握含绝对值的等差数列的前n项和的求法.3.会解决等差数列前n项和的比值问题. 一、等差数列中奇、偶项的和 问题1　我们知道等差数列前n项和公式中的n表示等差数列的项数，你能利用公式表示S2n，S2n-1吗？ 提示　S2n==n(a1+a2n)，S2n-1=，由等差数列的性质m+n=p+q⇒am+an=ap+aq可知，a1+a2n=an+an+1，a1+a2n-1=2an，即S2n=n(an+an+1)，S2n-1=(2n-1)an，发现总项数为偶数时，其和可用中间两项表示，总项数为奇数时，其和可用中间一项表示. 问题2　当总项数为2n时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？ 提示　S奇=a1+a3+…+a2n-1= =nan， S偶=a2+a4+…+a2n==nan+1， 则有S偶-S奇=nan+1-nan=n(an+1-an)=nd， ==. 问题3　当总项数为2n-1时，其奇数项和S奇与偶数项和S偶有何特点？ 提示　S奇=a1+a3+…+a2n-1= =nan， S偶=a2+a4+…+a2n-2= =(n-1)an，则有S奇-S偶=an，=. 知识梳理 1.若等差数列{an}的项数为2n，则S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=nd，=. 2.若等差数列{an}的项数为2n+1，则S2n+1=(2n+1)an+1，S偶-S奇=-an+1，=. 注意点： (1)总项数为奇数时，其中间项的下标是1和总项数的平均数； (2)总项数为偶数时，其中间有两项，中间第一项的下标为总项数的一半. 例1　在等差数列{an}中，S10=120，且在这10项中，=，则公差d=　　　　.  答案　2 解析　由 得 所以S偶-S奇=5d=10，所以d=2. 反思感悟　一般地，求等差数列奇、偶项的和需注意：如果已知和，能判断它的中间项是哪一项或哪两项；如果已知某一项或某两项，能判断它是多少项和的中间项. 跟踪训练1　已知数列{an}是项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和是50，偶数项的和为34，若它的末项比首项小28，则该数列的公差是　　　　.  答案　-4 解析　设等差数列{an}的项数为2m， ∵末项与首项的差为-28， ∴a2m-a1=(2m-1)d=-28， ① ∵S奇=50，S偶=34， ∴S偶-S奇=34-50=-16=md， ② 由①②得d=-4. 二、含绝对值的等差数列的前n项和 问题4　已知等差数列an=2n-9，求{|an|}的前n项和. 提示　设{an}的前n项和为Sn，{|an|}的前n项和为Tn. 则当n≤4时，Tn=-Sn=-n2+8n， 当n≥5时，Tn=(-a1)+(-a2)+(-a3)+(-a4)+a5+a6+…+an=-S4+(Sn-S4)=Sn-2S4=n2-8n+32. ∴Tn= 知识梳理 1.若一个等差数列a1<0，d>0，且ak≤0，ak+1>0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+. 2.若一个等差数列a1>0，d<0，且ak≥0，ak+1<0，则其绝对值的前n项和为Tn=n∈N+. 注意点： (1)要先去掉绝对值才能求和； (2)找准分界点是解决此类问题的关键. 例2　数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(100n-n2)-［100(n-1)-(n-1)2］=101-2n. ∵a1=S1=100×1-12=99，满足上式， ∴an=101-2n(n∈N+). 又an+1-an=-2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为-2的等差数列. (2)令an=101-2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N+，∴n≤50(n∈N+). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn=|an|=an， ∴数列{bn}的前n项和Tn=100n-n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn=|an|=-an， 由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an) =-(Sn-S50)=S50-Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2. 由①②得数列{bn}的前n项和为 Tn=n∈N+. 延伸探究　本例中若an=2n-101，求数列{bn}的前n项和. 解　由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn=-an，数列的前n项和Tn=-n2+100n， 当n≥51时，an>0，b51+b52+…+bn=a51+a52+…+an. 数列的前n项和Tn=-S50+Sn-S50=n2-100n+5 000， 综上，Tn=n∈N+. 反思感悟　求等差数列{an}前n项绝对值的和，首先要搞清哪些项是正数哪些项是负数，正的直接去掉绝对值，负的变为原来的相反数，即找到正负项的“分界点”，再转化为等差数列{an}的前n项和的形式求解. 跟踪训练2　在等差数列{an}中，a1=-60，a17=-12，求数列{|an|}的前n项和. 解　由a1=-60，a17=-12，知 等差数列{an}的公差d===3. 所以an=a1+(n-1)d=-60+(n-1)×3=3n-63. 由an≤0，知3n-63≤0，即n≤21. 所以{an}中前20项是负数，从第21项起是非负数. 设Sn和Tn分别表示{an}和{|an|}的前n项和. 当n≤20时， Tn=-Sn=-=-n2+n. 当n>20时， Tn=-S20+(Sn-S20)=Sn-2S20 =-60n+-2 =n2-n+1 260， 综上，Tn= 三、等差数列前n项和的比值问题 知识梳理　 设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. 例3　有两个等差数列{an}，{bn}满足=，求. 解　方法一　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则= =， 则有=， ① 又由于=， ② 观察①，②，可在①中取n=9，得==.故=. 方法二　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn， 则有=，其中An=， 由于a1+a9=2a5. 即=a5，故A9==9a5. 同理B9=9b5.故=. 故===. 方法三　因为等差数列的前n项和为 Sn=an2+bn=an， 根据已知，可令An=(7n+2)kn，Bn=(n+3)kn(k≠0). 所以a5=A5-A4 =(7×5+2)k×5-(7×4+2)k×4=65k， b5=B5-B4=(5+3)k×5-(4+3)k×4=12k. 所以==. 方法四　设{an}，{bn}的前n项和分别为An，Bn，由=，有===. 反思感悟　(1)本题反映了等差数列的前n项和的比值与项的比值之间的转化，因为公式an=，所以an∶bn=S2n-1∶T2n-1. (2)等差数列的项随项数而均匀变化，这是等差数列的最本质特征.利用等差数列的性质解题，就是要从等差数列的本质特征入手去思考、推理分析题目，这样做必定会获得事半功倍的效果. 跟踪训练3　已知等差数列{an}，{bn}，其前n项和分别为Sn，Tn，=，则等于(　　) A. B. C.1 D.2 答案　A 解析　由等差数列的前n项和公式以及等差中项的性质得S11==11a6， 同理可得T11=11b6，因此，====，故选A. 1.知识清单： (1)等差数列中奇、偶项的和. (2)含绝对值的等差数列的前n项和. (3)等差数列前n项和的比值问题. 2.方法归纳：公式法、整体代换法、分类讨论法. 3.常见误区：求数列{|an|}的前n项和时不讨论，最后不用分段函数表示. 1.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 答案　C 解析　设等差数列的公差为d，由题意，得S偶-S奇=30-15=5d=15，解得d=3. 2.已知等差数列{an}中，公差d=1，且前100项和为148，则前100项中的所有偶数项的和为　　　　.  答案　99 解析　由题意，得S奇+S偶=148， S偶-S奇=50d=50， 解得S偶=99. 3.设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5=5a3，则=　　　　.  答案　9 解析　===×5=9. 4.记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1=-9，S5=-25，bn=|an|，的前n项和为Tn，则T10=　　　　.  答案　50 解析　设等差数列{an}的公差为d， ∵a1=-9，S5=-25. ∴-9×5+×d=-25， 解得d=2. ∴an=-9+2(n-1)=2n-11. ∵bn=， 所以bn=， ∴T10=+++++1+3+5+7+9=2=50. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15，奇数项之和是12.5，则它的首项与公差分别是(　　) A.0.5，0.5 B.0.5，1 C.0.5，2 D.1，0.5 答案　A 解析　由于项数为10，故S偶-S奇=15-12.5=5d，∴d=0.5，由15+12.5=10a1+×0.5， 得a1=0.5. 2.一个等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C 解析　∵S奇=a1+a3+…+a2n+1=132，S偶=a2+a4+…+a2n =120， ∴S奇-S偶=a2n+1-nd=an+1=12， ∴=S奇+S偶=252= =an+1=12，解得n=10. 3.一个等差数列的项数为2n，若a1+a3+…+a2n-1=90，a2+a4+…+=72，且a1-a2n=33，则该数列的公差是(　　) A.3 B.-3 C.-2 D.-1 答案　B 解析　(a2+a4+…+a2n)-(a1+a3+…+a2n-1)=nd=72-90=-18. 又a1-a2n=-(2n-1)d=33，所以d=-3. 4.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=，则使得为整数的正整数n的个数是(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 答案　D 解析　∵====7+为正整数，∴n=1，2，3，5，11，共5个. 5.设等差数列{an}和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，若=，则t等于(　　) A.5 B.6 C.22 D. 答案　A 解析　由题意可得b3+b11=2b7，则===，解得t=5. 6.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn+1+Sn=4(n+1)2，则下列说法正确的有(　　) A.若首项a1=1，则数列{an}的奇数项成等差数列 B.若首项a1=1，则数列{an}的偶数项成等差数列 C.若首项a1=1，则S15=477 D.若首项a1=a，且对任意n∈N+，an<an+1恒成立，则a的取值范围是(3，5) 答案　BCD 解析　由Sn+1+Sn=4(n+1)2， ① 得Sn+Sn-1=4n2(n≥2). ② ①-②可得an+1+an=4(n+1)2-4n2 =4(2n+1)(n≥2)， ③ 所以an+an-1=4(2n-1)(n≥3). ④ ③-④可得an+1-an-1=8(n≥3)， 因此数列{an}从第二项开始，奇数项成等差数列，偶数项也成等差数列. 若a1=1，即S1=a1=1， 则S2+S1=4×(1+1)2， 即a2+2a1=16，所以a2=14，S2=15； 由S3+S2=4×(2+1)2得a3+2S2=36， 则a3=6，所以a3-a1=5≠8， 因此数列{an}的奇数项不成等差数列， 偶数项成等差数列，故A错误，B正确； S15=a1+(a3+a5+…+a15)+(a2+a4+…+a14) =1++ =477，故C正确； 因为a3，a5，a7，…，a2n+1，…成公差为8的等差数列， a2，a4，a6，…，a2n…也成公差为8的等差数列， 所以为使对任意n∈N+，an<an+1恒成立， 只需a1<a2<a3<a4，若a1=a， 由S2+S1=4×(1+1)2=16， 得a2=16-2a； 由S3+S2=4×(2+1)2=36， 得a3=36-2S2=4+2a； 由S4+S3=4×(3+1)2=64， 得a4=64-2S3=24-2a. 由a<16-2a<4+2a<24-2a， 解得3<a<5，故D正确. 7.(5分)已知两个等差数列{an}与{bn}的前n项和分别是Sn和Tn，且an∶bn=(2n+1)∶(3n-2)，则=　　　　.  答案　 解析　∵{an}，{bn}均为等差数列， ∴====. 8.(5分)设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是　　　，项数是　　　.  答案　11　7 解析　设等差数列{an}的项数为2n+1(n∈N+)， S奇=a1+a3+…+a2n+1 ==(n+1)an+1， S偶=a2+a4+a6+…+a2n ==nan+1， 所以==， 解得n=3，所以项数为2n+1=7， 又S奇-S偶=an+1， 即a4=44-33=11为所求的中间项. 9.(10分)已知等差数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若S2=16，S4=24，求数列{|an|}的前n项和Tn. 解　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由S2=16，S4=24，得 即解得 所以等差数列{an}的通项公式为 an=11-2n(n∈N+). 由an≥0，解得n≤5，则 ①当n≤5时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+10n. ②当n≥6时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a5-a6-a7-…-an=2S5-Sn =2×(-52+10×5)-(-n2+10n) =n2-10n+50， 故Tn= 10.(11分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+an+1=2n+1(n∈N+)，求S21. 解　将n=1代入an+an+1=2n+1得a2=3-1=2， 由an+an+1=2n+1①，可以得到an+1+an+2=2n+3②，②-①得an+2-an=2，所以数列{an}的奇数项、偶数项都是以2为公差的等差数列，则a21=1+10×2=21，a20=2+9×2=20， 所以S21=(a1+a3+a5+…+a21)+(a2+a4+a6+…+a20)=+=231. 11.若数列{an}的前n项和是Sn=n2-4n+2，则|a1|+|a2|+…+|a10|等于(　　) A.15 B.35 C.66 D.100 答案　C 解析　易得an= |a1|=1，|a2|=1，|a3|=1， 令an>0，则2n-5>0， ∴n≥3. ∴|a1|+|a2|+…+|a10| =1+1+a3+…+a10 =2+(S10-S2) =2+［(102-4×10+2)-(22-4×2+2)］=66. 12.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织六尺，今一月织十一匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织6尺，一月织了十一匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，记该女子一个月中的第n天所织布的尺数为an，则的值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意，得数列{an}为等差数列，a1=6，S30=11×40+3×10=470， 设数列{an}的公差为d，由等差数列前n项和公式，得 S30=30×6+d=470，解得d=， 所以an=6+×=n+， a1+a3+…+a29==15a15， a2+a4+…+a30==15a16， 所以===. 13.(5分)已知一个有11项且各项都不为零的等差数列，那么其奇数项的和与偶数项的和之比为　　　　.  答案　 解析　由题意，得等差数列共有11项，所以奇数项的和为S奇==6a6， 偶数项的和为S偶==5a6， 所以其奇数项的和与偶数项的和之比为. 14.(5分)已知Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，且=(n∈N+)，则+=　　　　.  答案　 解析　因为b3+b18=b6+b15=b10+b11， 所以+======. 15.(多选)已知数列{an}满足a1=10，a5=2，且an+2-2an+1+an=0(n∈N+)，则下列结论正确的是(　　) A.an=12-2n B.|an|的最小值为0 C.|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=11n-n2 D.当且仅当n=5时，a1+a2+a3+…+an取得最大值30 答案　AB 解析　由an+2-2an+1+an=0， 得an+2+an=2an+1， 故数列{an}为等差数列. 设其公差为d，则d==-2， ∴an=10-2(n-1)=12-2n，A正确； ∵|an|≥0，且当n=6时，|an|=0， ∴|an|的最小值为0，B正确； 令an≥0，得n≤6， 则当n≥7时，an<0， 当n≤6时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =a1+a2+a3+…+an ==11n-n2； 当n≥7时，|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an) =2(a1+a2+…+a6)-(a1+a2+…+a6+a7+a8+…+an) =2×(11×6-62)- =n2-11n+60， 即|a1|+|a2|+|a3|+…+|an| =C错误； ∵当n≤5时，an>0， 当n=6时，an=0， 当n≥7时，an<0， ∴当n=5或n=6时，a1+a2+a3+…+an取得最大值30，D错误. 16.(12分)已知数列{an}的首项a1=1，前n项和为Sn，且数列是公差为2的等差数列. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若bn=(-1)nan，求数列的前n项和Tn.(6分) 解　(1)因为数列是公差为2的等差数列，且=a1=1，所以=1+×2=2n-1，所以Sn=2n2-n， 又因为an=Sn-Sn-1，所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=4n-3， 又因为a1=1符合上式，所以an=4n-3. (2)因为bn=an=， 当n为偶数时，Tn=+5++13+…+［-］+， 所以Tn=［+5］+［+13］+…+ {［-(4n-7)］+(4n-3)}=4×=2n， 当n为奇数时，Tn=Tn-1+bn=2+［-(4n-3)］=1-2n， 综上可知，Tn= 学科网（北京）股份有限公司 $$