第7章 7.4.2 超几何分布-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

7.4.2　超几何分布 [学习目标]　1.通过具体实例，了解超几何分布的概念与特征.2.会求超几何分布的概率及分布列.3.掌握超几何分布的均值的求解方法. 导语 为促进各学校的共同发展，学校之间派部分老师相互交流.已知一学校派出16名一级教师，4名高级教师组成一队伍去相互交流学习，现在需要从这20人中任意选取3人去甲学校，设X表示其中高级教师的人数，则X的可能取值有哪些，你能求出当X=2时对应的概率吗？这里的X的分布列有怎样的规律？ 一、超几何分布的概念与特征 问题1　已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列. 提示　若采用有放回抽样，则X服从二项分布，即X~B(3，0.4)，其分布列为P(X=k)=0.4k(1-0.4)3-k，k=0，1，2，3. 若采用不放回抽样，“X=k”，k=0，1，2，3表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出(3-k)件，共有种取法，故X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，3. 知识梳理 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 注意点：(1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n次”. (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 例1　下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由. (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个(除颜色外无区别)，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，求X的分布列. 解　(1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n个样本中某类样本被抽取的个数，是超几何分布问题. 反思感悟　判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象. (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类被抽取的个体的个数. 跟踪训练1　下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是(　　) A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X C.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 答案　B 解析　由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布. 二、超几何分布的概率及分布列 例2　(1)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名参加某活动，若2名学生都是甲班的概率为. ①求7名学生中甲班的学生数； ②设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求｛ξ≥1｝的概率. 解　①设甲班的学生数为M， 则==，M2-M-6=0， 解得M=3或M=-2(舍去). ∴7名学生中甲班的学生数为3. ②由题意可知，ξ服从超几何分布，且ξ=0，1，2， ∴P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2) =+=+=. (2)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题，且每道题完成与否互不影响.规定至少正确完成其中2道题便可过关.记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列. 解　由题意得X的可能取值为1，2，3， P(X=1)==，P(X=2)==， P(X=3)==， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 反思感悟　求超几何分布的分布列的步骤 跟踪训练2　(1)袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中任取3个球，记红球个数为X，求至少有一个红球的概率. 解　由题意知X服从超几何分布，且X=0，1，2，3，其中N=7，M=4，n=3. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. ∴至少有一个红球的概率P=++=(或P=1-=). (2)在10个乒乓球中有8个正品，2个次品.从中任取3个，求其中所含次品数的分布列. 解　记任取的3个乒乓球中，所含次品的个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2. 有P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 三、超几何分布的均值 问题2　若随机变量X服从超几何分布，那么X的均值是什么？ 提示　设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E=p，即E(X)=np. 实际上，令m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝，由随机变量均值的定义： 当m>0时，E(X)= k=M. (1) 因为=， 所以E(X)====np. 当m=0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. 例3　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值. 解　(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. (2)依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N=10，M=4，n=3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X=k)=，k=0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=. 反思感悟　(1)求解超几何分布的分布列与均值 ①验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取每一个值时的概率. ②求分布列，计算随机变量的均值. (2)若一个随机变量X服从超几何分布，则E(X)=. 跟踪训练3　袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.4 答案　B 解析　由题意，得X的可能取值为0或2，其中“X=0”表示取得2个白球，“X=2”表示取得1个白球和1个红球，所以P(X=0)==，P(X=2)==，故X的均值E(X)=0×+2×=1. 1.知识清单： (1)超几何分布的概念及特征. (2)超几何分布的概率及分布列. (3)超几何分布的均值. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：超几何分布的判断错误. 1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有(　　) A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X B.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲型电脑的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个红绿灯，记此学生遇到红灯的个数为X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 答案　ABD 解析　依据超几何分布模型定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故C中随机变量X不服从超几何分布. 2.在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能中奖的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　记X为2张奖券中的中奖数，则P(X=2)==. 3.在10个排球中有6个正品，4个次品，从中任取4个，则正品数比次品数少的概率为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品.由超几何分布的概率可知，取出0个正品4个次品的概率P1==，取出1个正品3个次品的概率P2===，所以正品数比次品数少的概率为P1+P2=+=. 4.袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则得分的均值为　　　　.  答案　1.5 解析　用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，且N=10，M=3，n=5，于是E(X)=n·=5×=1.5. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.一个袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个大小相同的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的变量是(　　) A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 答案　D 解析　由超几何分布的概念知D符合. 2.(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为(　　) A.1- B. C.1- D. 答案　AD 解析　从12个产品中任意抽取4个，样本点总数为； 其中恰好有1个二等品的样本点有个， ∴恰好有1个二等品的概率P=； 也可由对立事件计算可得P=1-. 3.(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球、6个白球，现从中任取3个球，设取出的3个球中白球的个数为X，则下列结论正确的是(　　) A.随机变量X服从超几何分布 B.随机变量X服从二项分布 C.P(X=2)= D.E(X)= 答案　ACD 解析　由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N=10，M=6，n=3，故A正确，B错误； P(X=2)==，故C正确； E(X)===，故D正确. 4.一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率中等于的是(　　) A.P(0<X≤2) B.P(X≤1) C.P(X=2) D.P(X=1) 答案　B 解析　由已知得X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=. 5.盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为(　　) A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的 答案　C 解析　对于A，事件的概率为=； 对于B，事件的概率为=； 对于C，事件的概率为=； 对于D，事件的概率为=. 6.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有(　　) A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 答案　C 解析　设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7-n)本，则2本都是语文课本的概率是=.所以n2-n-12=0， 解得n=4或n=-3(舍去)，所以n=4. 7.(5分)袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分，取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则P(X≥8)=　　　　.  答案　 解析　由题意知X的所有可能取值为4，6，8，10，12，则P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1--=. 8.(5分)莫高窟坐落在甘肃的敦煌，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中，莫高窟第96窟、第16窟、第17窟被誉为非常值得参观的洞窟.某游客为了节省时间，需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个非常值得参观的洞窟的概率是　　　　.  答案　 解析　已知8个开放洞窟中有3个非常值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个非常值得参观洞窟包括2个或3个两种情况. 则所求概率P==. 9.(10分)老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列；(6分) (2)该同学能及格的概率.(4分) 解　(1)设抽到他能背诵的课文的数量为X， X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 则P(X=k)=，k=0，1，2，3， P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)该同学能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=. 10.(10分)为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生参加一次测试，数学学科成绩(单位：分)都在[50，100]内，按区间分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀. (1)求这80名学生的平均成绩(同一区间的数据用该区间中点值作代表)；(3分) (2)按优秀与非优秀用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和均值.(7分) 解　(1)80名学生的平均成绩为(55×0.01+65×0.03+75×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=73.5(分). (2)根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为(0.025+0.005)×10=0.3， 则非优秀学生对应的频率为1-0.3=0.7， 所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3=3(人)，非优秀学生10×0.7=7(人). 则X所有可能的取值为0，1，2，3， P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 11.摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　当摇出的3个小球中有1个标有数字2，2个标有数字5时，X=12，故P(X=12)==. 12.已知在10件产品中存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ=1)=，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为(　　) A.10% B.20% C.30% D.40% 答案　B 解析　设10件产品中有x件次品， 则P(ξ=1)===， 所以x=2或x=8. 因为次品率不超过40%，所以x=2， 所以这10件产品的次品率为=20%. 13.(多选)盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数，则下列说法中正确的是(　　) A.E(X)=，E(η)= B.E(X2)=E(η) C.E(η2)=E(X) D.D(X)=D(η)= 答案　ABD 解析　由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布. ∴E(X)==，E(η)==. 由题意知X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X2)=02×+12×+22×=， D(X)=E(X2)-[E(X)]2=-=. η的分布列为 η 1 2 3 P ∴E(η2)=12×+22×+32×=， D(η)=E(η2)-[E(η)]2=-=. ∴E(X2)=E(η)，E(η2)≠E(X)，D(X)=D(η)=. 14.(5分)把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中钝角三角形的个数X的均值为　　　　.  答案　 解析　以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，一共能画出=10(个)三角形， 其中钝角三角形有7个，所以X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)==， P(X=1)===， P(X=2)===， P(X=3)===， 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 15.(5分)50张彩票中只有2张中奖票，从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为　　　　.  答案　15 解析　用X表示中奖票数，P(X≥1)=+>0.5，化简得n2-99n+25×49<0，解得<n<，故n至少为15. 16.(12分)某城市的垃圾分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了该城市某垃圾处理厂2023年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如图所示. (1)现从2023年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；(5分) (2)从2023年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数.求X的分布列及均值.(7分) 解　(1)记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A， 由图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨， ∴P(A)=. (2)6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，共3个月. ∴X的所有可能取值为0，1，2. P(X=0)===， P(X=1)===， P(X=2)===， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴均值E(X)=0×+1×+2×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 <<< 7.4.2 超几何分布 1.通过具体实例，了解超几何分布的概念与特征. 2.会求超几何分布的概率及分布列. 3.掌握超几何分布的均值的求解方法. 学习目标 为促进各学校的共同发展，学校之间派部分老师相互交流.已知一学校派出16名一级教师，4名高级教师组成一队伍去相互交流学习，现在需要从这20人中任意选取3人去甲学校，设X表示其中高级教师的人数，则X的可能取值有哪些，你能求出当X=2时对应的概率吗？这里的X的分布列有怎样的规律？ 导 语 一、超几何分布的概念与特征 二、超几何分布的概率及分布列 课时对点练 三、超几何分布的均值 随堂演练 内容索引 4 一 超几何分布的概念与特征 已知在10件产品中有4件次品，分别采取有放回和不放回的方式随机抽取3件，设抽取的3件产品中次品数为X，试写出X的分布列. 问题1 提示　若采用有放回抽样，则X服从二项分布，即X~B(3，0.4)，其分布列为P(X=k)=0.4k(1-0.4)3-k，k=0，1，2，3. 若采用不放回抽样，“X=k”，k=0，1，2，3表示“取出的3件产品中恰有k件次品”，这意味着，从4件次品中取出k件，再从6件正品中取出(3-k)件，共有种取法，故X的分布列为P(X=k)=，k=0，1，2，3. 超几何分布：一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的 分布列为P(X=k)=____________，k=m，m+1，m+2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 知识梳理 (1)在超几何分布的模型中，“任取n件”应理解为“不放回地一次取一件，连续取n次”. (2)超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 注 意 点 <<< 8 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由. (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； (3)盒子中有红球3个，黄球4个，蓝球5个(除颜色外无区别)，任取3个球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，其中女生人数记为X，求X的分布列. 例 1 9 (1)(2)中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. (3)(4)符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n个样本中某类样本被抽取的个数，是超几何分布问题. 10 判断一个随机变量是否服从超几何分布，应看三点： (1)总体是否可分为两类明确的对象. (2)是否为不放回抽样. (3)随机变量是否为样本中其中一类被抽取的个体的个数. 反 思 感 悟 11 　下列随机事件中的随机变量X服从超几何分布的是 A.将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数 为X C.某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸 出黑球时摸取的次数为X 跟踪训练 1 √ 由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量X服从超几何分布. 12 二 超几何分布的概率及分布列 　(1)现有来自甲、乙两班的学生共7名，从中任选2名参加某活动，若2名学生都是甲班的概率为. ①求7名学生中甲班的学生数； 例 2 设甲班的学生数为M， 则==，M2-M-6=0， 解得M=3或M=-2(舍去). ∴7名学生中甲班的学生数为3. 14 ②设所选2名学生中甲班的学生数为ξ，求｛ξ≥1｝的概率. 由题意可知，ξ服从超几何分布，且ξ=0，1，2， ∴P(ξ≥1)=P(ξ=1)+P(ξ=2) =+=+=. 15 (2)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题.甲能正确完成其中的4道题，且每道题完成与否互不影响.规定至少正确完成其中2道题便可过关.记所抽取的3道题中，甲答对的题数为X，求X的分布列. 16 由题意得X的可能取值为1，2，3， P(X=1)==，P(X=2)==， P(X=3)==， 故X的分布列为 X 1 2 3 P 17 反 思 感 悟 求超几何分布的分布列的步骤 　(1)袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中任取3个球，记红球个数为X，求至少有一个红球的概率. 跟踪训练 2 19 由题意知X服从超几何分布，且X=0，1，2，3，其中N=7，M=4，n=3. P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. ∴至少有一个红球的概率P=++=(或P=1-=). 20 (2)在10个乒乓球中有8个正品，2个次品.从中任取3个，求其中所含次品数的分布列. 21 记任取的3个乒乓球中，所含次品的个数为X，则X的所有可能取值为0，1，2. 有P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==. 所以X的分布列为 X 0 1 2 P 22 三 超几何分布的均值 若随机变量X服从超几何分布，那么X的均值是什么？ 问题2 提示　设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=，则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率，我们猜想E=p，即E(X)=np. 实际上，令m=max｛0，n-N+M｝，r=min｛n，M｝，由随机变量均值的定义： 当m>0时，E(X)= k=M. (1) 因为=， 所以E(X)====np. 当m=0时，注意到(1)式中间求和的第一项为0，类似可以证明结论依然成立. 　某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学.在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率； 例 3 设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P(A)==.所以选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为. 26 (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列及均值. 依据条件，随机变量X服从超几何分布，其中N=10，M=4，n=3，且随机变量X的可能取值为0，1，2，3.P(X=k)=，k=0，1，2，3. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以随机变量X的均值E(X)=0×+1×+2×+3×=. 27 反 思 感 悟 (1)求解超几何分布的分布列与均值 ①验证随机变量服从超几何分布，代入公式计算随机变量取每一个值时的概率. ②求分布列，计算随机变量的均值. (2)若一个随机变量X服从超几何分布，则E(X)=. 　袋中有3个白球，1个红球，从中任取2个，取得1个白球得0分，取得1 个红球得2分，则所得分数X的均值E(X)等于 A.0 B.1 C.2 D.4 跟踪训练 3 √ 由题意，得X的可能取值为0或2，其中“X=0”表示取得2个白球，“X=2”表示取得1个白球和1个红球，所以P(X=0)==，P(X=2)==，故X的均值E(X)=0×+2×=1. 29 1.知识清单： (1)超几何分布的概念及特征. (2)超几何分布的概率及分布列. (3)超几何分布的均值. 2.方法归纳：公式法. 3.常见误区：超几何分布的判断错误. 课堂小结 30 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列随机变量中，服从超几何分布的有 A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到 的次品数为X B.从3台甲型电脑和2台乙型电脑中任取2台，记X表示所取的2台电脑中甲 型电脑的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个红绿灯，记此学生遇到红灯的个数 为X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X √ √ √ 1 2 3 4 依据超几何分布模型定义可知，A，B，D中随机变量X服从超几何分布. 而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故C中随机变量X不服从超几何分布. 2.在100张奖券中，有4张能中奖，从这100张奖券中任取2张，则2张都能中奖的概率是 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 记X为2张奖券中的中奖数，则P(X=2)==. 3.在10个排球中有6个正品，4个次品，从中任取4个，则正品数比次品数少的概率为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品.由超几何分布的概率可知，取出0个正品4个次品的概率P1==，取出1个正品3个次品的概率P2===，所以正品数比次品数少的概率为P1+P2=+=. 4.袋中有3个红球，7个白球，这些球除颜色不同外其余完全相同，从中无放回地任取5个，取出几个红球就得几分，则得分的均值为　　　.  1 2 3 4 1.5 用X表示所得分数，则X也是取得的红球数，X服从超几何分布，且N=10，M=3，n=5，于是E(X)=n·=5×=1.5. 课时对点练 五 1.一个袋中有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个大小相同的白球，编号为7，8，9，10.现从中任取4个球，有如下几种变量，其中服从超几何分布的变量是 A.X表示取出的最大号码 B.X表示取出的最小号码 C.取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分 D.X表示取出的黑球个数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由超几何分布的概念知D符合. 2.(多选)某企业生产的12个产品中有10个一等品、2个二等品，现从这批产品中任意抽取4个，则其中恰好有1个二等品的概率为 A.1- B. C.1- D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从12个产品中任意抽取4个，样本点总数为； 其中恰好有1个二等品的样本点有个， ∴恰好有1个二等品的概率P=； 也可由对立事件计算可得P=1-. 3.(多选)在一个袋中装有大小相同的4个黑球、6个白球，现从中任取3个球，设取出的3个球中白球的个数为X，则下列结论正确的是 A.随机变量X服从超几何分布 B.随机变量X服从二项分布 C.P(X=2)= D.E(X)= √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知，随机变量X服从超几何分布，且N=10，M=6，n=3，故A正确，B错误； P(X=2)==，故C正确； E(X)===，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一个盒子里装有大小相同的黑球10个，红球12个，白球4个，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率中等于的是 A.P(0<X≤2) B.P(X≤1) C.P(X=2) D.P(X=1) √ 由已知得X的所有可能取值为0，1，2.P(X=0)=，P(X=1)=，P(X=2)=，∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=. 5.盒中有10个螺丝钉，其中3个是坏的.现从盒中随机抽取4个，则概率是的事件为 A.恰有1个是坏的 B.4个全是好的 C.恰有2个是好的 D.至多有2个是坏的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，事件的概率为=； 对于B，事件的概率为=； 对于C，事件的概率为=； 对于D，事件的概率为=. 6.现有语文、数学课本共7本(其中语文课本不少于2本)，从中任取2本，至多有1本语文课本的概率是，则语文课本有 A.2本 B.3本 C.4本 D.5本 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设语文课本有n(n≥2)本，则数学课本有(7-n)本，则2本都是语文课本的概率是=.所以n2-n-12=0， 解得n=4或n=-3(舍去)，所以n=4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.袋中装有5个红球和4个黑球，从袋中任取4个球，取到1个红球得3分， 取到1个黑球得1分，设得分为随机变量X，则P(X≥8)=　　　.  由题意知X的所有可能取值为4，6，8，10，12，则P(X≥8)=1-P(X=6)-P(X=4)=1--=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，在这8个洞窟中，莫高窟第96窟、第16窟、第17窟被誉为非常值得参观的洞窟.某游客为了节省时间，需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包含2个非常值得参观的洞窟的概率是　　　.  49 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知8个开放洞窟中有3个非常值得参观，随机选择4个进行参观，至少包含2个非常值得参观洞窟包括2个或3个两种情况. 则所求概率P==. 50 9.老师要从10篇课文中随机抽3篇让学生背诵，规定至少要背出其中2篇才能及格.某同学只能背诵其中的6篇，试求： (1)抽到他能背诵的课文的数量的分布列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设抽到他能背诵的课文的数量为X， X的可能取值为0，1，2，3，且服从超几何分布， 则P(X=k)=，k=0，1，2，3， P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==.所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)该同学能及格的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 该同学能及格的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.为了调动学生学习数学的积极性，提高学生的学习成绩，张老师对自己的教学方法进行改革，经过一学期的教学实验，张老师所教的80名学生参加一次测试，数学学科成绩(单位：分)都在[50，100]内，按区间分组为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，绘制成如图所示的频率分布直方图，规定不低于80分(百分制) 为优秀. (1)求这80名学生的平均成绩(同一区间的数据 用该区间中点值作代表)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 80名学生的平均成绩为(55×0.01+65×0.03+75 ×0.03+85×0.025+95×0.005)×10=73.5(分). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)按优秀与非优秀用比例分配的分层随机抽样方法随机抽取10名学生座谈，再在这10名学生中，选3名学生发言，记优秀学生发言的人数为随机变量X，求X的分布列和均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据频率分布直方图知，优秀学生对应的频率为(0.025+0.005)×10=0.3， 则非优秀学生对应的频率为1-0.3=0.7， 所以抽取的10名学生中，有优秀学生10×0.3=3(人)，非优秀学生10×0.7=7(人). 则X所有可能的取值为0，1，2，3， P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 11.摇奖器内有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金X(元)为这3个小球上所标数字之和，则获得12元奖金的概率是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 当摇出的3个小球中有1个标有数字2，2个标有数字5时，X=12，故P(X=12)==. 12.已知在10件产品中存在次品，从中抽取2件检查，其中次品数为ξ，已知P(ξ=1)=，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为 A.10% B.20% C.30% D.40% 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设10件产品中有x件次品， 则P(ξ=1)===， 所以x=2或x=8. 因为次品率不超过40%，所以x=2， 所以这10件产品的次品率为=20%. 13.(多选)盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数，则下列说法中正确的是 A.E(X)=，E(η)= B.E(X2)=E(η) C.E(η2)=E(X) D.D(X)=D(η)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知X服从超几何分布，η也服从超几何分布. ∴E(X)==，E(η)==. 由题意知X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X2)=02×+12×+22×=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=-=. η的分布列为 ∴E(η2)=12×+22×+32×=， D(η)=E(η2)-[E(η)]2=-=. ∴E(X2)=E(η)，E(η2)≠E(X)，D(X)=D(η)=. η 1 2 3 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.把半圆弧分成4等份，以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个不同的三角形，则这3个不同的三角形中 钝角三角形的个数X的均值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以这些分点(包括直径的两端点)为顶点，一共能画出=10(个)三角形， 其中钝角三角形有7个，所以X的所有可能取值为0，1，2，3， P(X=0)==， P(X=1)===， P(X=2)===， P(X=3)===， 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=. 15.50张彩票中只有2张中奖票，从中任取n张，为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15 用X表示中奖票数，P(X≥1)=+>0.5，化简得n2-99n+25×49<0，解得<n<，故n至少为15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某城市的垃圾分类标准为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾和其他垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.某环保小组调查了该城市某垃圾处理厂2023年6月至12月生活垃圾回收情况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量(单位：吨)的折线图如图所示. (1)现从2023年6月至12月中随机选取1个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件A， 由图知，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨， ∴P(A)=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)从2023年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中废纸的回收量超过3.7吨的月份的个数.求X的分布列及均值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6月至12月废纸的回收量超过3.7吨的月份有7月、8月、10月，共3个月. ∴X的所有可能取值为0，1，2. P(X=0)===， P(X=1)===， P(X=2)===， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴均值E(X)=0×+1×+2×=. 第七章 <<< $$