第7章 7.3.2 离散型随机变量的方差-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

7.3.2　离散型随机变量的方差 [学习目标]　1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.掌握离散型随机变量的方差的性质.3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题. 导语 均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征——方差进行研究. 一、离散型随机变量的方差、标准差 问题1　要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？ 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 提示　通过计算可得，E(X1)=8，E(X2)=8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平. 知识梳理 设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn (1)方差：D(X)=(x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn= (xi-E(X))2pi.  (2)标准差：，记为σ(X). 注意点： (1)一般地，随机变量的方差是非负常数. (2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小. (3)方差也可以用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2计算. (4)若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p) .(其中p为成功概率) 例1　有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽出3张，记这3张卡片上的数字和为X，则D(X)=　　　　.  答案　 解析　由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12，且P(X=6)==， P(X=9)==， P(X=12)==. 因此E(X)=6×+9×+12×=， D(X)=×+×+×=. 反思感悟　求离散型随机变量方差的步骤 (1)理解随机变量X的意义，写出X的取值. (2)求出X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)计算E(X). (5)计算D(X). 跟踪训练1　某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=　　　　.  答案　 解析　由题意知X的可能取值有0，1，2，3， 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. 故E(X)=0×+1×+2×+3×=， D(X)=×+×+×+×=×+×+×+×=. 二、方差的性质 问题2　你能推导出D与D的关系吗？ 提示　D=a2D. 知识梳理 离散性随机变量的方差的性质 若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且D(aX+b)=a2D(X). 例2　已知X的分布列如表所示： X -1 0 1 P a (1)求X2的分布列； (2)计算X的方差； (3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差. 解　(1)由分布列的性质知++a=1， 解得a=， 所以X2的分布列为 X2 0 1 P (2)方法一　由(1)知a=， 所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-， D(X)=×+×+×=. 方法二　由(1)知a=， 所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-. E(X2)=0×+1×=， 所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=. (3)因为Y=4X+3，所以E(Y)=4E(X)+3=2， D(Y)=42D(X)=11. 反思感悟　方差性质应用的关注点 (1)公式：D(aX+b)=a2D(X). (2)优势：既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程. 跟踪训练2　已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，则D(2X-1)等于(　　) A. B. C.4 D.5 答案　D 解析　∵P(X=k)=，k=1，2，3，4， ∴E(X)=×(1+2+3+4)=， D(X)=×=， ∴D(2X-1)=22D(X)=4×=5. 三、方差的实际应用 例3　有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示： ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). 解　E(ξA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125， E(ξB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125. D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(135-125)2=50， D(ξB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2+0.2×(145-125)2=165. 由此可见E(ξA)=E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)， 故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好. 反思感悟　均值、方差在决策中的作用 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 跟踪训练3　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等. (1)求a，b，c的值； (2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 解　(1)依题意得，++a=1，解得a=. 设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x -0.2x 0 P X2 0.3x -0.1x P b c 所以E(X1)=0.4x×+(-0.2x)×+0×=0.2x， E(X2)=0.3bx-0.1cx， 因为E(X1)=E(X2)， 所以0.3bx-0.1cx=0.2x， 即0.3b-0.1c=0.2. ① 又b+c=1， ② 由①②，解得b=，c=， 所以a=，b=，c=. (2)选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由(1)知x=100， 所以E(X1)=E(X2)=20， D(X1)=(40-20)2×+(-20-20)2×+(0-20)2×=600， D(X2)=(30-20)2×+(-10-20)2×=300. 因为E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 1.知识清单 (1)离散型随机变量的方差、标准差. (2)方差的性质. (3)方差的应用. 2.方法归纳：公式法、转化化归. 3.常见误区：方差公式套用错误，混淆方差的概念. 1.已知随机变量X满足D(X)=2，则D(3X+2)等于(　　) A.6 B.8 C.18 D.20 答案　C 解析　∵D(X)=2，∴D(3X+2)=9D(X)=18. 2.已知离散型随机变量X的分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)等于(　　) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 答案　C 解析　由离散型随机变量的分布列的性质 得0.5+m+0.2=1，解得m=0.3， 所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4， 所以D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44. 3.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)=m，令随机变量X=则X的方差D(X)等于(　　) A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 答案　D 解析　由题意得X服从两点分布，P(X=1)=m，P(X=0)=1-m，所以D(X)=m(1-m). 4.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差D(X)=　　　　.  答案　 解析　X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)=， 所以E(X)=0×+1×+2×=， D(X)=×+×+×=. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是(　　) A.E(X)是反映随机变量的平均取值 B.D(X)越小，说明X越集中于E(X) C.E(aX+b)=aE(X)+b D.D(aX+b)=a2D(X)+b 答案　ABC 解析　离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确； 由均值和方差的性质可得，E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)，即C正确，D错误. 2.设X，Y为随机变量，且E(X)=2，E(X2)=6，Y=2X-1，则D(Y)等于(　　) A.9 B.8 C.5 D.4 答案　B 解析　由题意，D(X)=E(X2)-(E(X))2=6-4=2，故D(Y)=D(2X-1)=22D(X)=8. 3.已知口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)等于(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意，得X可能取值为2，3， X=2表示取出的两个球为1，2， 所以P(X=2)==， X=3表示取出的两个球为1，3或2，3， 所以P(X=3)==， 所以E(X)=2×+3×=， D(X)=22×+32×-=. 4.甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1 000件，X表示甲机床生产1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断(　　) 表一 X 0 1 2 3 P 0.7 0 0.2 0.1 表二 Y 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 答案　B 解析　由分布列可求甲的次品数的均值为E(X)=0×0.7+1×0+2×0.2+3×0.1=0.7，乙的次品数的均值为E(Y)=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7， D(X)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21， D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01， E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以乙比甲质量好. 5.设a>0，已知随机变量ξ的分布列为 ξ -1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是(　　) A.D(ξ) B.D(|ξ|) C.D(2ξ-1) D.D(2|ξ|+1) 答案　C 解析　由题意得，a+2a+3a=1，解得a=， 则E(ξ)=-1×+0×+2×=， E(|ξ|)=1×+0×+2×=， 所以D(ξ)=×+×+×=， D(|ξ|)=×+×+×=. 所以D(2ξ-1)=4×=， D(2|ξ|+1)=4×=. 所以D(2ξ-1)>D(2|ξ|+1)>D(ξ)>D(|ξ|). 6.编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为(　　) A. B. C. D.1 答案　D 解析　X的所有可能取值为0，1，3， P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=3)==， E(X)=0×+1×+3×=1，D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1. 7.(5分)根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示. 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为　　　　.  答案　9.8 解析　由题意得，P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3， D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数Y的方差为9.8. 8.(5分)若抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为随机变量X，则随机变量X的方差D(X)=　　　.  答案　 解析　依题意得X的可能取值为1，2，3，4，5，6， 且P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=， 所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=， 则D(X)=×+×+×+×+×+×=. 9.(10分)有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果分别如表一、表二所示： 表一 X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 表二 X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量. 解　由表中的数据得，E(X甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1=30， E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30. D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1， D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+(32-30)2×0.13=1.38. 由上面的计算知，尽管甲、乙两种棉花的纤维长度的均值相等，但D(X甲)=1.1<D(X乙)=1.38，即甲品种棉花的纤维长度比乙品种棉花的纤维长度更均匀一些，从这个意义上说，甲品种棉花的质量好于乙品种棉花的质量. 10.(10分)开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所示(用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立). 男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值；(6分) (2)在(1)中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小.(4分) 解　(1)记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方案二中抽取到女生”为事件B， 则P(A)==，P(B)==，则X的可能取值为0，1，2， 所以P=×=， P=×+×=， P=×=， 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. (2)依题意可得Y=2-X，所以D(Y)=D=D(X)=D(X)，即D(Y)=D(X). 11.随机变量ξ的分布列如表： ξ 1 a 9 P b 1-2b b 其中1<a<9，0<b<，则下列说法正确的是(　　) A.若a=5，则当0<b<时，E(ξ)随b的增大而增大 B.若a=5，则当0<b<时，E(ξ)随b的增大而减小 C.若b=，则当a=5时，D(ξ)有最小值 D.若b=，则当a=5时，D(ξ)有最大值 答案　C 解析　若a=5，则E(ξ)=1×b+5×(1-2b)+9×b=5，故A，B错误； 若b=，则E(ξ)=1×+a×+9×=，D(ξ)=×+×+×=(6a2-60a+438)，其对称轴为a=-=5，则当a=5时，D(ξ)有最小值，故C正确，D错误. 12.(多选)已知A=B=｛1，2，3｝，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X，P(X=n)=Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中正确的是(　　) A.P4=2P2 B.P(3≤X≤5)= C.E(X)=4 D.D(X)= 答案　BCD 解析　因为A=B=｛1，2，3｝，点P(a，b)恰好落在直线x+y=n上，所以X的所有可能取值为2，3，4，5，6.从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)==，P(X=5)=，P(X=6)=.对于A，P4=3P2，故A不正确；对于B，P(3≤X≤5)=++=，故B正确；对于C，E(X)=2×+3×+4×+5×+6×=4，故C正确；对于D，D(X)=(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(5-4)2×+(6-4)2×=，故D正确. 13.(5分)若X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1<x2，又已知E(X)=，D(X)=，则x1+x2的值为　　　　.  答案　3 解析　由已知得 即 解得或又x1<x2，所以 所以x1+x2=3. 14.(5分)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=，则D(X)=　　　　.  答案　 解析　由P(X=0)=知，×(1-p)2=， 得p=， 由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值是0，1，2，3， P(X=1)=×+××+××=， P(X=2)=××+××+××=， P(X=3)=×=， 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=， 所以D(X)=×+×+×+×=. 15.(多选)已知随机变量ξ的分布列如表所示，则下列说法错误的是(　　) ξ x y P y x A.存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B.对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤ C.对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)<E(ξ) D.存在x，y∈(0，1)，D(ξ)> 答案　ABD 解析　依题意可得，E(ξ)=2xy， 因为x+y=1， 所以2xy≤=，当且仅当x=y=时等号成立，即E(ξ)≤，故A，B错误； D(ξ)=(x2y+y2x)-(2xy)2=xy(x+y-4xy)=xy(1-4xy)， D(ξ)-E(ξ)=xy(1-4xy-2)=-xy(1+4xy)， 由于xy>0，所以D(ξ)-E(ξ)<0，故C正确； 令t=xy，t∈，则D(ξ)=t(1-4t)=-4+，则D(ξ)≤，故D错误. 16.(12分)某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能的)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的小时数. (1)求ξ的分布列；(7分) (2)求ξ的均值和方差.(5分) 解　(1)ξ的所有可能取值为1，3，4，6， 当ξ=1时，直接从1号通道走出，则P(ξ=1)=； 当ξ=3时，先走2号通道，再走1号通道， 则P(ξ=3)=×=； 当ξ=4时，先走3号通道，再走1号通道， 则P(ξ=4)=×=； 当ξ=6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，则P(ξ=6)=2××1=. 所以ξ的分布列为 ξ 1 3 4 6 P (2)E(ξ)=1×+3×+4×+6×=， D(ξ)=×+×+×+×=. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 <<< 7.3.2 离散型随机变量的方差 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念. 2.掌握离散型随机变量的方差的性质. 3.会用离散型随机变量的均值和方差解决一些实际应用问题. 学习目标 均值是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机试验中取值的平均值，在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.本节我们将对反映随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度的数字特征——方差进行研究. 导 语 一、离散型随机变量的方差、标准差 二、方差的性质 课时对点练 三、方差的实际应用 随堂演练 内容索引 4 一 离散型随机变量的方差、标准差 要从甲、乙两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，能否利用均值决定应派哪位同学参赛？ 问题1 甲同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 乙同学击中目标靶的环数X2的分布列为 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 提示　通过计算可得，E(X1)=8，E(X2)=8，因为两个均值相等，所以只根据均值无法判断这两名同学的射击水平. 设离散型随机变量X的分布列为 (1)方差：D(X)= = (xi-E(X))2pi.  (2)标准差：_________，记为σ(X). (x1-E(X))2 p1 +(x2-E(X))2 p2+…+(xn-E(X))2pn X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 知识梳理 (1)一般地，随机变量的方差是非负常数. (2)D(X)越小，随机变量X越稳定，波动越小. (3)方差也可以用公式D(X)=E(X2)-(E(X))2计算. (4)若X服从两点分布，则D(X)=p(1-p) .(其中p为成功概率) 注 意 点 <<< 9 　有10张卡片，其中8张标有数字2，2张标有数字5，若从中随机抽 出3张，记这3张卡片上的数字和为X，则D(X)=　　　.  例 1 10 由题意得，随机变量X的可能取值为6，9，12，且P(X=6)==， P(X=9)==， P(X=12)==. 因此E(X)=6×+9×+12×=， D(X)=×+×+×=. 11 (1)理解随机变量X的意义，写出X的取值. (2)求出X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)计算E(X). (5)计算D(X). 反 思 感 悟 求离散型随机变量方差的步骤 12 某旅游公司为三个旅游团提供了a，b，c，d四条旅游线路，每 个旅游团可任选其中一条线路，则选择a线路的旅游团数X的方差D(X)=　　.  跟踪训练 1 13 由题意知X的可能取值有0，1，2，3， 则P(X=0)==，P(X=1)==， P(X=2)==，P(X=3)==. 故E(X)=0×+1×+2×+3×=， D(X)=×+×+×+×=× +×+×+×=. 14 二 方差的性质 提示　D=a2D. 你能推导出D与D的关系吗？ 问题2 离散性随机变量的方差的性质 若Y=aX+b，其中a，b均是常数(X是随机变量)，则Y也是随机变量，且D(aX+b) = . a2D(X) 知识梳理 已知X的分布列如表所示： 例 2 (1)求X2的分布列； X -1 0 1 P a 18 由分布列的性质知++a=1， 解得a=， 所以X2的分布列为 X2 0 1 P 19 (2)计算X的方差； 20 方法一　由(1)知a=， 所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-， D(X)=×+×+×=. 方法二　由(1)知a=， 所以E(X)=(-1)×+0×+1×=-. E(X2)=0×+1×=， 所以D(X)=E(X2)-(E(X))2=. 21 (3)若Y=4X+3，求Y的均值和方差. 因为Y=4X+3，所以E(Y)=4E(X)+3=2， D(Y)=42D(X)=11. 22 反 思 感 悟 (1)公式：D(aX+b)=a2D(X). (2)优势：既避免了求随机变量Y=aX+b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程. 方差性质应用的关注点 　 已知随机变量X的分布列为P(X=k)=，k=1，2，3，4，则D(2X-1)等于 A. B. C.4 D.5 跟踪训练 2 ∵P(X=k)=，k=1，2，3，4， ∴E(X)=×(1+2+3+4)=， D(X)=×=， ∴D(2X-1)=22D(X)=4×=5. √ 24 三 方差的实际应用 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如表所示： 例 3 其中，ξA，ξB分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120，试比较甲、乙两种建筑材料的稳定程度(哪一个的稳定性较好). ξA 110 120 125 130 135 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 ξB 100 115 125 130 145 P 0.1 0.2 0.4 0.1 0.2 26 E(ξA)=110×0.1+120×0.2+125×0.4+130×0.1+135×0.2=125， E(ξB)=100×0.1+115×0.2+125×0.4+130×0.1+145×0.2=125. D(ξA)=0.1×(110-125)2+0.2×(120-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2 +0.2×(135-125)2=50， D(ξB)=0.1×(100-125)2+0.2×(115-125)2+0.4×(125-125)2+0.1×(130-125)2 +0.2×(145-125)2=165. 由此可见E(ξA)=E(ξB)，D(ξA)<D(ξB)， 故两种材料的抗拉强度的均值相等，但稳定程度材料乙明显不如材料甲，即甲的稳定性较好. 27 反 思 感 悟 (1)均值：均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，均值越大，平均水平越高. (2)方差：方差反映了离散型随机变量取值的离散波动程度，方差越大越不稳定. (3)在决策中常结合实际情形依据均值、方差做出决断. 均值、方差在决策中的作用 　某投资公司对以下两个项目进行前期市场调研.项目A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利40%、亏损20%、不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为，，a.项目B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所有可能结果为获利30%、亏损10%，且这两种情况发生的概率分别为b，c. 经测算，当投入A，B两个项目的资金相等时，它们所获得的平均收益(即均值)也相等. (1)求a，b，c的值； 跟踪训练 3 29 依题意得，++a=1，解得a=. 设投到项目A，B的资金都为x万元，变量X1和X2分别表示投资项目A和B所获得的利润， 则X1和X2的分布列分别为 X1 0.4x -0.2x 0 P X2 0.3x -0.1x P b c 30 所以E(X1)=0.4x×+(-0.2x)×+0×=0.2x， E(X2)=0.3bx-0.1cx， 因为E(X1)=E(X2)， 所以0.3bx-0.1cx=0.2x， 即0.3b-0.1c=0.2. ① 又b+c=1， ② 由①②，解得b=，c=， 所以a=，b=，c=. 31 (2)若将100万元全部投资其中一个项目，请你从投资回报稳定性的角度考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由. 32 选择项目B.理由如下： 当投入100万元资金时，由(1)知x=100， 所以E(X1)=E(X2)=20， D(X1)=(40-20)2×+(-20-20)2×+(0-20)2×=600， D(X2)=(30-20)2×+(-10-20)2×=300. 因为E(X1)=E(X2)，D(X1)>D(X2)，说明虽然项目A和项目B的平均收益相等，但项目B更稳妥，所以从投资回报稳定性的角度考虑，建议该投资公司选择项目B. 33 1.知识清单 (1)离散型随机变量的方差、标准差. (2)方差的性质. (3)方差的应用. 2.方法归纳：公式法、转化化归. 3.常见误区：方差公式套用错误，混淆方差的概念. 课堂小结 34 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知随机变量X满足D(X)=2，则D(3X+2)等于 A.6 B.8 C.18 D.20 √ ∵D(X)=2，∴D(3X+2)=9D(X)=18. 2.已知离散型随机变量X的分布列为 1 2 3 4 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差D(X)等于 A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 √ 1 2 3 4 由离散型随机变量的分布列的性质 得0.5+m+0.2=1，解得m=0.3， 所以E(X)=1×0.5+3×0.3+5×0.2=2.4， 所以D(X)=(1-2.4)2×0.5+(3-2.4)2×0.3+(5-2.4)2×0.2=2.44. 3.设随机试验的结果只有A发生和A不发生，且P(A)=m，令随机变量X=则X的方差D(X)等于 A.m B.2m(1-m) C.m(m-1) D.m(1-m) 1 2 3 4 √ 由题意得X服从两点分布，P(X=1)=m，P(X=0)=1-m，所以D(X)=m(1-m). 4.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱中，则A邮箱的信件数X的方差 D(X)=　　　.  1 2 3 4 1 2 3 4 X的所有可能取值为0，1，2， P(X=0)==， P(X=1)==， P(X=2)=， 所以E(X)=0×+1×+2×=， D(X)=×+×+×=. 课时对点练 五 1.(多选)对于离散型随机变量X，有关它的均值E(X)和方差D(X)，下列说法正确的是 A.E(X)是反映随机变量的平均取值 B.D(X)越小，说明X越集中于E(X) C.E(aX+b)=aE(X)+b D.D(aX+b)=a2D(X)+b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 离散型随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差越小，说明随机变量的取值越集中于均值，即A，B正确； 由均值和方差的性质可得，E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)，即C正确，D错误. 2.设X，Y为随机变量，且E(X)=2，E(X2)=6，Y=2X-1，则D(Y)等于 A.9 B.8 C.5 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意，D(X)=E(X2)-(E(X))2=6-4=2，故D(Y)=D(2X-1)=22D(X)=8. 3.已知口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)等于 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，得X可能取值为2，3， X=2表示取出的两个球为1，2， 所以P(X=2)==， X=3表示取出的两个球为1，3或2，3， 所以P(X=3)==， 所以E(X)=2×+3×=， D(X)=22×+32×-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.甲、乙两台自动机床各生产同种标准产品1 000件，X表示甲机床生产 1 000件产品中的次品数，Y表示乙机床生产1 000件产品中的次品数，经过一段时间的考察，X，Y的分布列分别如表一、表二所示.据此判断 表一 X 0 1 2 3 P 0.7 0 0.2 0.1 表二 Y 0 1 2 3 P 0.6 0.2 0.1 0.1 A.甲比乙质量好 B.乙比甲质量好 C.甲与乙质量相同 D.无法判定 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由分布列可求甲的次品数的均值为E(X)=0×0.7+1×0+2×0.2+3×0.1=0.7，乙的次品数的均值为E(Y)=0×0.6+1×0.2+2×0.1+3×0.1=0.7， D(X)=(0-0.7)2×0.7+(1-0.7)2×0+(2-0.7)2×0.2+(3-0.7)2×0.1=1.21， D(Y)=(0-0.7)2×0.6+(1-0.7)2×0.2+(2-0.7)2×0.1+(3-0.7)2×0.1=1.01， E(X)=E(Y)，D(X)>D(Y)，所以乙比甲质量好. 5.设a>0，已知随机变量ξ的分布列为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ -1 0 2 P a 2a 3a 则下列方差值中最大的是 A.D(ξ) B.D(|ξ|) C.D(2ξ-1) D.D(2|ξ|+1) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，a+2a+3a=1，解得a=， 则E(ξ)=-1×+0×+2×=， E(|ξ|)=1×+0×+2×=， 所以D(ξ)=×+×+×=， D(|ξ|)=×+×+×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以D(2ξ-1)=4×=， D(2|ξ|+1)=4×=. 所以D(2ξ-1)>D(2|ξ|+1)>D(ξ)>D(|ξ|). 6.编号为1，2，3的3位同学随意入座编号为1，2，3的3个座位，每位同学坐一个座位，设与座位编号相同的学生个数是X，则X的方差为 A. B. C. D.1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ X的所有可能取值为0，1，3， P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=3)==， E(X)=0×+1×+3×=1，D(X)=(0-1)2×+(1-1)2×+(3-1)2×=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X(单位：mm)对工期的影响如表所示. 降水量X X<300 300≤X<700 700≤X<900 X≥900 工期延误天数Y 0 2 6 10 历史气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为　　　　.  9.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，P(X<300)=0.3，P(300≤X<700)=P(X<700)-P(X<300)=0.7-0.3=0.4，P(700≤X<900)=P(X<900)-P(X<700)=0.9-0.7=0.2，P(X≥900)=1-P(X<900)=1-0.9=0.1. 所以随机变量Y的分布列为 Y 0 2 6 10 P 0.3 0.4 0.2 0.1 故E(Y)=0×0.3+2×0.4+6×0.2+10×0.1=3， D(Y)=(0-3)2×0.3+(2-3)2×0.4+(6-3)2×0.2+(10-3)2×0.1=9.8. 故工期延误天数Y的方差为9.8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若抛掷一枚质地均匀的骰子，记向上的点数为随机变量X，则随机变量 X的方差D(X)=　　　.  56 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意得X的可能取值为1，2，3，4，5，6， 且P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=， 所以E(X)=1×+2×+3×+4×+5×+6×=， 则D(X)=×+×+×+×+ ×+×=. 57 9.有甲、乙两种棉花，从中各抽取等量的样品进行检验，结果分别如表一、表二所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 表一 X甲 28 29 30 31 32 P 0.1 0.15 0.5 0.15 0.1 表二 X乙 28 29 30 31 32 P 0.13 0.17 0.4 0.17 0.13 其中X表示纤维长度(单位：mm)，根据纤维长度的均值和方差比较甲、乙两种棉花的质量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由表中的数据得，E(X甲)=28×0.1+29×0.15+30×0.5+31×0.15+32×0.1 =30， E(X乙)=28×0.13+29×0.17+30×0.4+31×0.17+32×0.13=30. D(X甲)=(28-30)2×0.1+(29-30)2×0.15+(30-30)2×0.5+(31-30)2×0.15+(32-30)2×0.1=1.1， D(X乙)=(28-30)2×0.13+(29-30)2×0.17+(30-30)2×0.4+(31-30)2×0.17+ (32-30)2×0.13=1.38. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由上面的计算知，尽管甲、乙两种棉花的纤维长度的均值相等，但D(X甲)=1.1<D(X乙)=1.38，即甲品种棉花的纤维长度比乙品种棉花的纤维长度更均匀一些，从这个意义上说，甲品种棉花的质量好于乙品种棉花的质量. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.开展中小学生课后服务，是促进学生健康成长、帮助家长解决接送学生困难的重要举措，是进一步增强教育服务能力、使人民群众具有更多获得感和幸福感的民生工程，某校为确保学生课后服务工作顺利开展，制定了两套工作方案，为了解学生对这两套方案的支持情况，现随机抽取100个学生进行调查，获得数据如表所示(用频率估计概率，且所有学生对活动方案是否支持相互独立).   男 女 支持方案一 24 16 支持方案二 25 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)从该校支持方案一和支持方案二的学生中各随机抽取1人，设X为两人中抽出女生的人数，求X的分布列与均值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记“从方案一中抽取到女生”为事件A，“从方案二中抽取到女生”为事件B， 则P(A)==，P(B)==，则X的可能取值为0，1，2， 所以P=×=， P=×+×=， P=×=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以X的分布列为 X 0 1 2 P E(X)=0×+1×+2×=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在(1)中，设Y表示两人中抽出男生的人数，试判断方差D(X)与D(Y)的大小. 依题意可得Y=2-X，所以D(Y)=D=D(X)=D(X)，即D(Y)=D(X). 11.随机变量ξ的分布列如表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 ξ 1 a 9 P b 1-2b b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 其中1<a<9，0<b<，则下列说法正确的是 A.若a=5，则当0<b<时，E(ξ)随b的增大而增大 B.若a=5，则当0<b<时，E(ξ)随b的增大而减小 C.若b=，则当a=5时，D(ξ)有最小值 D.若b=，则当a=5时，D(ξ)有最大值 √ ξ 1 a 9 P b 1-2b b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若a=5，则E(ξ)=1×b+5×(1-2b)+9×b=5，故A，B错误； 若b=，则E(ξ)=1×+a×+9×=，D(ξ)=×+×+×=(6a2-60a+438)，其对称轴为a=-=5，则当a=5时，D(ξ)有最小值，故C正确，D错误. 12.(多选)已知A=B=｛1，2，3｝，分别从集合A，B中各随机取一个数a，b，得到平面上一个点P(a，b)，事件“点P(a，b)恰好落在直线x+y=n上”对应的随机变量为X，P(X=n)=Pn，X的均值和方差分别为E(X)，D(X)，则下列结论中正确的是 A.P4=2P2 B.P(3≤X≤5)= C.E(X)=4 D.D(X)= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为A=B=｛1，2，3｝，点P(a，b)恰好落在直线x+y=n上，所以X的所有可能取值为2，3，4，5，6.从A，B中分别任取1个数，共有9种情况，所以P(X=2)=，P(X=3)=，P(X=4)==，P(X=5)=，P(X=6)=.对于A，P4=3P2，故A不正确； 对于B，P(3≤X≤5)=++=，故B正确； 对于C，E(X)=2×+3×+4×+5×+6×=4，故C正确； 对于D，D(X)=(2-4)2×+(3-4)2×+(4-4)2×+(5-4)2×+(6-4)2×=，故D正确. 13.若X是离散型随机变量，P(X=x1)=，P(X=x2)=，且x1<x2，又已知E(X) =，D(X)=，则x1+x2的值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得 即 解得又x1<x2，所以 所以x1+x2=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试机会的概率为，得到乙、丙两个公司面试机会的概率均为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的.设X为该毕业生得到面试机会的公司个数.若P(X=0)=，则D(X)=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由P(X=0)=×(1-p)2=， 得p=， 由题意知X为该毕业生得到面试机会的公司个数，则X的所有可能取值是0，1，2，3， P(X=1)=×+××+××=， P(X=2)=××+××+××=， P(X=3)=×=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以E(X)=0×+1×+2×+3×=， 所以D(X)=×+×+×+×=. 15.(多选)已知随机变量ξ的分布列如表所示，则下列说法错误的是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 ξ x y P y x A.存在x，y∈(0，1)，E(ξ)> B.对任意x，y∈(0，1)，E(ξ)≤ C.对任意x，y∈(0，1)，D(ξ)<E(ξ) D.存在x，y∈(0，1)，D(ξ)> √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意可得，E(ξ)=2xy， 因为x+y=1， 所以2xy≤=，当且仅当x=y=时等号成立，即E(ξ)≤，故A，B错误； D(ξ)=(x2y+y2x)-(2xy)2=xy(x+y-4xy)=xy(1-4xy)， D(ξ)-E(ξ)=xy(1-4xy-2)=-xy(1+4xy)， 由于xy>0，所以D(ξ)-E(ξ)<0，故C正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令t=xy，t∈，则D(ξ)=t(1-4t)=-4+，则D(ξ)≤，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门.首次到达此门，系统会随机(即等可能的)为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门.再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走出迷宫为止.令ξ表示走出迷宫所需的小时数. (1)求ξ的分布列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ξ的所有可能取值为1，3，4，6， 当ξ=1时，直接从1号通道走出，则P(ξ=1)=； 当ξ=3时，先走2号通道，再走1号通道， 则P(ξ=3)=×=； 当ξ=4时，先走3号通道，再走1号通道， 则P(ξ=4)=×=； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当ξ=6时，先走2号通道，再走3号通道，最后再走1号通道，或者先走3号通道，再走2号通道，最后再走1号通道，则P(ξ=6)=2××1=. 所以ξ的分布列为 ξ 1 3 4 6 P 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求ξ的均值和方差. E(ξ)=1×+3×+4×+6×=， D(ξ)=×+×+×+×=. 第七章 <<< $$