第5章 5.2.1 第3课时 等差数列的综合问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第3课时　等差数列的综合问题 ［学习目标］　1.掌握等差数列常见的判定与证明方法.2.掌握等差数列中项的设法.3.能解决等差数列的综合问题. 一、等差数列的判定与证明 例1　已知数列{an}满足a1=2，an+1=. (1)数列是否为等差数列？说明理由； (2)求an. 解　(1)数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=， ∴==+， ∴-=， 即是首项为=， 公差为d=的等差数列. (2)由(1)可知=+(n-1)d=， ∴an=，n∈N+. 延伸探究　将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4-(n>1)，记bn=”. (1)证明数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式. (1)证明　bn+1-bn=- =-=- ==. 又b1==， ∴数列{bn}是首项为，公差为的等差数列. (2)解　由(1)知bn=+(n-1)×=. ∵bn=， ∴an=+2=+2. ∴数列{an}的通项公式为an=+2，n∈N+. 反思感悟　判断等差数列的方法 (1)定义法 an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2，n∈N+)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 二、等差数列中项的设法 例2　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数. 解　(1)设这三个数依次为a-d，a，a+d， 则 解得 所以这三个数为4，3，2. (2)设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)， 依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8， 即a=1，a2-9d2=-8， 所以d2=1， 所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4. 反思感悟　等差数列的常见设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设an=a1+(n-1)d. (2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…. 对称项设法的优点是若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na. 跟踪训练1　成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数. 解　设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得 ∴解得或 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 三、等差数列的综合应用 例3　在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N+). (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若λan+≥λ对任意n≥2恒成立，求实数λ的取值范围. (1)证明　由3anan-1+an-an-1=0(n≥2)， 整理得-=3(n≥2)， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. (2)解　由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2， 所以an=，n∈N+. (3)解　λan+≥λ对任意n≥2恒成立， 即+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立， 即λ≤对任意的n≥2恒成立. 令f(n)=， 则f(n+1)-f(n)=-==3-. 因为n≥2，所以f(n+1)-f(n)>0， 即f(2)<f(3)<f(4)<…， 所以f(2)最小. 又f(2)=，所以λ≤， 所以实数λ的取值范围为. 反思感悟　解决数列的综合问题往往涉及构造等差数列求数列通项，当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an. 由递推关系转化为等差数列的常见形式如下： (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数，则数列{an+1-an}是等差数列. (2)转化为-=常数，则数列是等差数列. (3)转化为-=常数，则数列是等差数列. (4)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. (5)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. 跟踪训练2　已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9=　　　　.  答案　27 解析　方法一　由性质可知，数列a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9是等差数列，所以2(a2+a5+a8)=(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)，则a3+a6+a9=2×33-39=27. 方法二　设等差数列{an}的公差为d，则(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=(a2-a1)+(a5-a4)+(a8-a7)=3d=-6， 解得d=-2，所以a3+a6+a9=a2+d+a5+d+a8+d=27. 1.知识清单： (1)等差数列的判定与证明. (2)等差数列中项的设法. (3)等差数列的综合应用. 2.方法归纳：方程组法. 3.常见误区：不能用通项公式的函数特征证明数列为等差数列. 1.如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是(　　) A.该数列一定是等差数列 B.该数列一定不是等差数列 C.该数列不一定是等差数列 D.该数列的第六项为6 答案　C 解析　等差数列定义中要求从第二项起与它前一项的差都等于同一个常数，仅由部分满足不足以说明该数列是等差数列. 2.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为 (　　) A. B.± C.- D.- 答案　D 解析　由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π， ∴a7=. ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-. 3.在等差数列{an}中，若+2a2a8+a6a10=16，则a4a6=　　　　.  答案　4 解析　∵在等差数列{an}中，+2a2a8+a6a10=16， ∴+a2(a6+a10)+a6a10=16， ∴(a2+a6)(a2+a10)=16，∴2a4·2a6=16， ∴a4a6=4. 4.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为　　　　.  答案　-2，2，6或6，2，-2 解析　设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得或 故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共12分 1.已知数列{an}，对任意n∈N+，点Pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为(　　) A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列 C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列 答案　A 解析　由等差数列与函数的关系可知，一次函数的一次项系数即为等差数列的公差. 2.已知等差数列{an}中，若a1+a2=8，a3+a8=2a5+2，则a1等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　设等差数列{an}的公差为d， 则a3+a8=a5+a6=2a5+2，解得d=a6-a5=2， a1+a2=2a1+d=2a1+2=8，解得a1=3. 3.(多选)在数列{an}中，若a1=1，a2=，=+(n∈N+)，则下列说法正确的是(　　) A.{an}是等差数列 B.是等差数列 C.an= D.an=n 答案　BC 解析　由=+，得-=-，则数列是首项为=1，公差为-=2-1=1的等差数列，所以=n，即an=. 4.一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是(　　) A.d> B.d< C.<d< D.<d≤ 答案　D 解析　由题意可得即 所以<d≤.故选D. 5.有穷等差数列5，8，11，…，3n+11(n∈N+)的项数是(　　) A.n B.3n+11 C.n+4 D.n+3 答案　D 解析　由题意知a1=5，a2=8，所以d=3，所以an=5+(n-1)×3=3n+2，设3n+11(n∈N+)是数列中的第k项，即3n+11=3k+2，解得k=n+3. 6.(多选)已知首项为正数的等差数列{an}满足(a5+a6+a7+a8)(a6+a7+a8)<0，则(　　) A.a6+a7<0 B.a6>0 C.a7>0 D.a6+a7>0 答案　BD 解析　由等差数列的性质可得(a5+a6+a7+a8)·(a6+a7+a8)=2(a6+a7)(3a7)=6(a6+a7)a7<0， 故可得或 因为首项为正数的数列{an}为等差数列， 若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾， 所以 所以a6>0>a7. 7.(5分)若三个数成等差数列，它们的和为12，积为-36，则这三个数的平方和为　　　　.  答案　98 解析　设这三个数为a-d，a，a+d， 则 解得或 ∴这三个数为-1，4，9或9，4，-1. ∴它们的平方和为98. 8.(5分)在等差数列{an}中，a5+a6=4，则log2(··…·)=　　　　.  答案　20 解析　在等差数列{an}中，a5+a6=4，所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6)=20， 则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20. 9.(10分)已知，，成等差数列.求证：，，也成等差数列. 证明　因为，，成等差数列， 所以=+，即2ac=b(a+c). 因为+= = = ==， 所以，，成等差数列. 10.(11分)各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)，且a2=-1. (1)求证：数列为等差数列；(5分) (2)若≥λ对任意n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围.(6分) (1)证明　∵各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)， 两边取倒数得=+3， ∴-=3， ∵a2=-1，∴-=3， 解得a1=-. ∴数列为等差数列，且首项为-4，公差为3. (2)解　由(1)得=-4+3(n-1)=3n-7， ∴an=. ∵≥λ对任意n∈N+恒成立， ∴λ≤对任意n∈N+恒成立. 令f(n)===1-. 当n=1时，f(1)=4； 当n=2时，f(2)=-； 当n≥3时，f(n)单调递增. 则=f(3)≤f(n)<1， ∴f(n)min=f(2)=-，∴λ≤-， ∴实数λ的取值范围为. 11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小一份的面包个数为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　设五个人所分得的面包个数为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，其中d>0， 则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100，∴a=20. 由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d， 得3a+3d=7(2a-3d)， ∴24d=11a， ∴d=， ∴最小的一份为a-2d=20-=. 12.已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn=，若对任意的n∈N+，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是(　　) A.(-8，-7) B.(-7，-6) C.(-8，-6) D.(-6，-5) 答案　A 解析　因为对任意的n∈N+，都有bn≥b8成立，且bn=，所以.又数列{an}的公差为1，所以数列{an}为递增数列，所以即解得-8<a<-7. 13.在等差数列{an}中，a1=-9，a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1，2，…)，则数列{Tn}(　　) A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d， 由 得 解得d=2. ∴an=2n-11(n=1，2，…)， Tn=(-9)×(-7)×…×(2n-11). 当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0， 故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0. 故数列{Tn}有最大项T4，无最小项. 14.(5分)在如表所示的5×5正方形的25个空格中填入非负整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格中应填的数是　　　　.  * 74 2y 186 y 103 0 x 2x 答案　142 解析　记aij为第i行第j列的空格中所填的数，则a52=x，a41=y. 由第3行得a33=， 由第3列得a33=2×103-2x， 所以2x+y=113. ① 由第1列得a21=3y， 则由第2行得a23=2×74-3y， 由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x， 所以2×74-3y=3×103-4x， 即4x-3y=161， ② 联立①②，解得x=50，y=13， 所以a15=2×186-a55=2×186-4x=172，a13=2a33-a53=112，a14==142， 故标有*号的空格中应填142. 15.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为(　　) A.99 B.131 C.139 D.141 答案　D 解析　设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图， 由图可得 则故选D. 16.(12分)已知无穷等差数列{an}，首项a1=3，公差d=-5，依次取出项的序号为被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2；(4分) (2)求数列{bn}的通项公式；(4分) (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？(4分) 解　(1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m=4n-1，n∈N+. 所以b1=a3=8-5×3=-7， b2=a7=8-5×7=-27. (2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20， 所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1=-7，公差d'=-20，所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n. (3)因为m=4n-1，n∈N+， 所以当n=110时，m=4×110-1=439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 等差数列的综合问题 第3课时 1.掌握等差数列常见的判定与证明方法. 2.掌握等差数列中项的设法. 3.能解决等差数列的综合问题. 学习目标 一、等差数列的判定与证明 二、等差数列中项的设法 课时对点练 三、等差数列的综合应用 随堂演练 内容索引 等差数列的判定与证明 一 已知数列{an}满足a1=2，an+1=. (1)数列是否为等差数列？说明理由； 例 1 5 数列是等差数列，理由如下： ∵a1=2，an+1=， ∴==+， ∴-=， 即=， 公差为d=的等差数列. 6 (2)求an. 由(1)可知=+(n-1)d=， ∴an=，n∈N+. 7 将本例中的条件“a1=2，an+1=”换为“a1=4，an=4-(n>1)，记bn=”. (1)证明数列{bn}为等差数列； 延伸探究 8 bn+1-bn=- =-=- ==. 又b1==， ∴数列{bn}是首项为的等差数列. 9 (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)知bn=+(n-1)×=. ∵bn=， ∴an=+2=+2. ∴数列{an}的通项公式为an=+2，n∈N+. 10 (1)定义法 an+1-an=d(n∈N+)或an-an-1=d(n≥2，n∈N+)⇔数列{an}是等差数列. (2)等差中项法 2an+1=an+an+2(n∈N+)⇔数列{an}为等差数列. (3)通项公式法 数列{an}的通项公式形如an=pn+q(p，q为常数)⇔数列{an}为等差数列. 反 思 感 悟 判断等差数列的方法 11 二 等差数列中项的设法 　(1)三个数成等差数列，其和为9，前两项之积为后一项的6倍，求这三个数； 例 2 设这三个数依次为a-d，a，a+d， 则 解得 所以这三个数为4，3，2. 13 (2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为-8，求这四个数. 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)， 依题意得2a=2且(a-3d)(a+3d)=-8， 即a=1，a2-9d2=-8， 所以d2=1， 所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列，所以d>0， 所以d=1，故所求的四个数为-2，0，2，4. 14 (1)通项法：设数列的通项公式，即设an=a1+(n-1)d. (2)对称项设法：当等差数列{an}的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差为d向两边分别设项：…，a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，…；当等差数列{an}的项数为偶数时，可设中间两项分别为a-d，a+d，再以公差为2d向两边分别设项：…，a-3d，a-d，a+d，a+3d，…. 对称项设法的优点是若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列，则其各项和为na. 反 思 感 悟 等差数列的常见设法 15 成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这四个数. 跟踪训练 1 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得 ∴ 所以这四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 16 等差数列的综合应用 三 　在数列{an}中，a1=1，3anan-1+an-an-1=0(n≥2，n∈N+). (1)证明：数列是等差数列； 例 3 由3anan-1+an-an-1=0(n≥2)， 整理得-=3(n≥2)， 所以数列是以1为首项，3为公差的等差数列. 18 由(1)可得=1+3(n-1)=3n-2， 所以an=，n∈N+. (2)求数列{an}的通项公式； 19 (3)若λan+≥λ对任意n≥2恒成立，求实数λ的取值范围. 20 λan+≥λ对任意n≥2恒成立， 即+3n-2≥λ对任意的n≥2恒成立， 即λ≤对任意的n≥2恒成立. 令f(n)=， 则f(n+1)-f(n)=-==3-. 因为n≥2，所以f(n+1)-f(n)>0， 21 即f(2)<f(3)<f(4)<…， 所以f(2)最小. 又f(2)=，所以λ≤， 所以实数λ的取值范围为. 22 解决数列的综合问题往往涉及构造等差数列求数列通项，当已知数列{an}不是等差数列时，需构造与已知数列相关的等差数列，利用等差数列的通项公式，求出包含an的关系式，进而求出an. 由递推关系转化为等差数列的常见形式如下： (1)转化为(an+2-an+1)-(an+1-an)=常数，则数列{an+1-an}是等差数列. 反 思 感 悟 23 (2)转化为-=常数，则数列是等差数列. (3)转化为-=常数，则数列是等差数列. (4)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. (5)转化为-=常数，则数列{}是等差数列. 反 思 感 悟 24 已知等差数列{an}中，a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9=　　.  跟踪训练 2 27 25 方法一　由性质可知，数列a1+a4+a7，a2+a5+a8，a3+a6+a9是等差数列，所以2(a2+a5+a8)=(a1+a4+a7)+(a3+a6+a9)，则a3+a6+a9=2×33-39=27. 方法二　设等差数列{an}的公差为d，则(a2+a5+a8)-(a1+a4+a7)=(a2-a1)+(a5-a4)+(a8-a7)=3d=-6， 解得d=-2，所以a3+a6+a9=a2+d+a5+d+a8+d=27. 26 1.知识清单： (1)等差数列的判定与证明. (2)等差数列中项的设法. (3)等差数列的综合应用. 2.方法归纳：方程组法. 3.常见误区：不能用通项公式的函数特征证明数列为等差数列. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.如果一个数列的前5项分别是1，2，3，4，5，则下列说法正确的是 A.该数列一定是等差数列 B.该数列一定不是等差数列 C.该数列不一定是等差数列 D.该数列的第六项为6 √ 等差数列定义中要求从第二项起与它前一项的差都等于同一个常数，仅由部分满足不足以说明该数列是等差数列. 1 2 3 4 2.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为 A. B.± C.- D.- √ 由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π， ∴a7=. ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-. 3.在等差数列{an}中，若+2a2a8+a6a10=16，则a4a6=　　.  1 2 3 4 ∵在等差数列{an}中，+2a2a8+a6a10=16， ∴+a2(a6+a10)+a6a10=16， ∴(a2+a6)(a2+a10)=16，∴2a4·2a6=16， ∴a4a6=4. 4 1 2 3 4 4.三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为　　 　　.  设这三个数分别为a-d，a，a+d. 由题意可得 解得 故所求三个数为-2，2，6或6，2，-2. -2，2，6或6，2，-2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}，对任意n∈N+，点Pn(n，an)都在直线y=2x+1上，则{an}为 A.公差为2的等差数列 B.公差为1的等差数列 C.公差为-2的等差数列 D.非等差数列 √ 由等差数列与函数的关系可知，一次函数的一次项系数即为等差数列的公差. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知等差数列{an}中，若a1+a2=8，a3+a8=2a5+2，则a1等于 A.1 B.2 C.3 D.4 设等差数列{an}的公差为d， 则a3+a8=a5+a6=2a5+2，解得d=a6-a5=2， a1+a2=2a1+d=2a1+2=8，解得a1=3. √ 3.(多选)在数列{an}中，若a1=1，a2=，=+(n∈N+)，则下列说法正确的是 A.{an}是等差数列 B.是等差数列 C.an= D.an=n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由=+-=-=1，公差为-=2-1=1的等差数列，所以=n，即an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d的取值范围是 A.d>　　　B.d<　　C.<d<　　　D.<d≤ √ 由题意可得 所以<d≤.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.有穷等差数列5，8，11，…，3n+11(n∈N+)的项数是 A.n B.3n+11 C.n+4 D.n+3 √ 由题意知a1=5，a2=8，所以d=3，所以an=5+(n-1)×3=3n+2，设3n+11(n∈N+)是数列中的第k项，即3n+11=3k+2，解得k=n+3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)已知首项为正数的等差数列{an}满足(a5+a6+a7+a8)(a6+a7+a8)<0，则 A.a6+a7<0 B.a6>0 C.a7>0 D.a6+a7>0 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由等差数列的性质可得(a5+a6+a7+a8)·(a6+a7+a8)=2(a6+a7)(3a7)=　6(a6+a7)a7<0， 故可得 因为首项为正数的数列{an}为等差数列， 若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾， 所以 所以a6>0>a7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若三个数成等差数列，它们的和为12，积为-36，则这三个数的平方和为　　.  98 设这三个数为a-d，a，a+d， 则 解得 ∴这三个数为-1，4，9或9，4，-1. ∴它们的平方和为98. 8.在等差数列{an}中，a5+a6=4，则log2(··…·)=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在等差数列{an}中，a5+a6=4，所以a1+a10=a2+a9=a3+a8=a4+a7=a5+a6=4，所以a1+a2+…+a10=(a1+a10)+(a2+a9)+(a3+a8)+(a4+a7)+(a5+a6)=5(a5+a6) =20， 则log2(··…·)=log2=a1+a2+…+a10=20. 20 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.已知，，成等差数列.求证：，，也成等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为成等差数列， 所以=+，即2ac=b(a+c). 因为+= = = ==， 所以成等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)，且a2=-1. (1)求证：数列为等差数列； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵各项不为0的数列{an}满足an=(n≥2，n∈N+)， 两边取倒数得=+3， ∴-=3， ∵a2=-1，∴-=3， 解得a1=-. ∴数列为等差数列，且首项为-4，公差为3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若≥λ对任意n∈N+恒成立，求实数λ的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)得=-4+3(n-1)=3n-7， ∴an=. ∵≥λ对任意n∈N+恒成立， ∴λ≤对任意n∈N+恒成立. 令f(n)===1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=1时，f(1)=4； 当n=2时，f(2)=-； 当n≥3时，f(n)单调递增. 则=f(3)≤f(n)<1， ∴f(n)min=f(2)=-，∴λ≤-， ∴实数λ的取值范围为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的等于较小的两份之和，则最小一份的面包个数为 A. B. C. D. √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设五个人所分得的面包个数为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，其中d>0， 则(a-2d)+(a-d)+a+(a+d)+(a+2d)=5a=100，∴a=20. 由(a+a+d+a+2d)=a-2d+a-d， 得3a+3d=7(2a-3d)， ∴24d=11a， ∴d=， ∴最小的一份为a-2d=20-=. 12.已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn=，若对任意的n∈N+，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是 A.(-8，-7)　　　B.(-7，-6)　　　C.(-8，-6)　　　D.(-6，-5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为对任意的n∈N+，都有bn≥b8成立，且bn=.又数列{an}的公差为1，所以数列{an}为递增数列，所以解得-8<a<-7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.在等差数列{an}中，a1=-9，a5=-1.记Tn=a1a2…an(n=1，2，…)，则数列{Tn} A.有最大项，有最小项 B.有最大项，无最小项 C.无最大项，有最小项 D.无最大项，无最小项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 由 得 解得d=2. ∴an=2n-11(n=1，2，…)，Tn=(-9)×(-7)×…×(2n-11). 当n≤5时，an<0，当n>5时，an>0， 故T1<0，T2>0，T3<0，T4>0，T5<0，T6<0，…，Tn<0. 故数列{Tn}有最大项T4，无最小项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在如表所示的5×5正方形的25个空格中填入非负整数，使得每一行，每一列都成等差数列，问标有*号的空格中应填的数是　　　.  142       *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 记aij为第i行第j列的空格中所填的数， 则a52=x，a41=y. 由第3行得a33=， 由第3列得a33=2×103-2x， 所以2x+y=113. ① 由第1列得a21=3y， 则由第2行得a23=2×74-3y， 由第3列得a33+103=a23+2x，则a23=3×103-4x，  　     *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以2×74-3y=3×103-4x， 即4x-3y=161， ② 联立①②，解得x=50，y=13， 所以a15=2×186-a55=2×186-4x= 172，a13=2a33-a53=112，a14==142， 故标有*号的空格中应填142.  　     *     74       2y       186 y   103     0 x 2x     1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前7项分别为1，5，11，21，37，61，95，则该数列的第8项为 A.99 B.131 C.139 D.141 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该高阶等差数列的第8项为x，根据所给定义，用数列的后一项减去前一项得到一个数列，得到的数列也用后一项减去前一项得到一个数列，即得到了一个等差数列，如图， 由图可得 则故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知无穷等差数列{an}，首项a1=3，公差d=-5，依次取出项的序号为被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； 由题意得，等差数列{an}的通项公式为an=3-5(n-1)=8-5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m=4n-1，n∈N+. 所以b1=a3=8-5×3=-7， b2=a7=8-5×7=-27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{bn}的通项公式； 由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20， 所以数列{bn}也为等差数列，且首项b1=-7，公差d'=-20，所以bn= b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 因为m=4n-1，n∈N+， 所以当n=110时，m=4×110-1=439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 第五章 <<< $$