第5章 5.2.1 第2课时 等差数列的性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

第2课时　等差数列的性质 ［学习目标］　1.能理解等差中项的概念.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质简化计算.4.能运用等差数列解决实际问题. 导语　 同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an=n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10，…，容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质. 一、等差中项 问题1　如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？ 提示　因为x，A，y是等差数列，所以A-x=y-A， 即A=. 知识梳理　 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A=. 注意点： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N+)，则{an}为等差数列. 例1　(1)若a=，b=，则a，b的等差中项为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，a，b的等差中项为 =-++)=. (2)在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解　因为-1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是-1与7的等差中项，则b==3， 又a是-1与3的等差中项， 所以a==1. 又c是3与7的等差中项， 所以c==5. 所以该数列为-1，1，3，5，7. 反思感悟　在等差数列{an}中，有an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N+)，即an=，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 解　由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m+n=10. 两式相加，得3m+3n=18，即m+n=6. 所以m和n的等差中项为=3. 二、等差数列的性质 问题2　设数列{an}的通项公式为an=3n-1，求出a2+a7，a3+a6，并比较它们的大小. 提示　a2+a7=3×2-1+3×7-1=25， a3+a6=3×3-1+3×6-1=25， 所以a2+a7=a3+a6. 知识梳理　 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则as+at=ap+aq，特别地，如果2s=p+q，则有2as=ap+aq. 注意点： (1)推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. (4)在等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，则这些项组成的数列仍为等差数列. (5)若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N+) {pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p，q为常数) 例2　(1)已知等差数列{an}中，a2+a6+a10=1，求a4+a8. (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，求a11+a12+a13的值. 解　(1)方法一　根据等差数列的通项公式，得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+(a1+9d)=3a1+15d. 由题意知，3a1+15d=1，即a1+5d=. ∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=. 方法二　根据等差数列性质得a2+a10=a4+a8=2a6. 由a2+a6+a10=1，得3a6=1， 解得a6=，∴a4+a8=2a6=. (2){an}是公差为正数的等差数列，设公差为d， ∵a1+a3=2a2， ∴a1+a2+a3=15=3a2，∴a2=5， 又a1a2a3=80，∴a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去)， ∴a12=a2+10d=35，a11+a12+a13=3a12=105. 延伸探究　已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75. 解　方法一　(利用an=am+(n-m)d) 设等差数列 {an}的公差为d， 则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20， 所以d===， 所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24. 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第4项， 所以a60=a15+3d，解得d=4， 所以a75=a60+d=24. 反思感悟　等差数列运算的两种常用思路 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N+)，则am+an=ap+aq=2ar. 三、等差数列的实际应用 例3　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明：从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡上升到第6年平均每个养鸡场出产2万只鸡.乙调查表明：从第1年养鸡场个数为30减少到第6年养鸡场个数为10. (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是扩大了还是缩小了？请说明理由； (3)这个县的养鸡业哪一年的规模最大？请说明理由. 解　由图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列，记为{an}，设公差为d1，且a1=1，a6=2； 从第1年到第6年的养鸡场个数也成等差数列，记为{bn}，设公差为d2，且b1=30，b6=10. 从第1年到第6年全县每年出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn=anbn. (1)由a1=1，a6=2，得 ∴∴a2=1.2. 由b1=30，b6=10， 得 ∴b2=26. ∴c2=a2b2=1.2×26=31.2， 故第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数是31.2万. (2)c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30， ∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了. (3)∵an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6，n∈N+)， bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6，n∈N+)， ∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) =-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6，n∈N+). ∵2与2.25最接近， ∴当n=2时，cn最大. 故第2年的规模最大. 反思感悟　解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 跟踪训练2　某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将开始亏损？ 解　设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1=200，an+1-an=-20(n∈N+)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20) =220-20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an=220-20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将开始亏损. 1.知识清单： (1)等差中项. (2)等差数列的性质. (3)等差数列的实际应用. 2.方法归纳：解方程组法、构造法. 3.常见误区： (1)对等差数列的性质不理解而致错. (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐. 1.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于(　　) A.30° B.60° C.90° D.120° 答案　B 解析　因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A+C=2B，又因为A+B+C=180°，所以3B=180°，从而B=60°. 2.等差数列{an}中，a4+a5=15，a7=12，则a2等于(　　) A.3 B.-3 C. D.- 答案　A 解析　由等差数列的性质，得a4+a5=a2+a7， 所以a2=15-12=3. 3.在等差数列{an}中，a2，a6是方程x2-3x+1=0的根，则a4=　　　　.  答案　 解析　由等差数列的性质及根与系数的关系，得a4=(a2+a6)=. 4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费　　　　元.  答案　23.2 解析　根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2，表示4 km处的车费，公差d=1.2，那么当出租车行至14 km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元). 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知等差数列{an}的前三项为a-1，a+1，2a+1，则此数列的通项公式为(　　) A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1 答案　C 解析　2=+， 解得a=2，所以a1=1，d=2，所以an=a1+d=2n-1. 2.在等差数列{an}中，若a2+a6=6，a5=8，则a2+a7等于(　　) A.22 B.14 C.20 D.11 答案　D 解析　因为a2+a6=2a4=6，所以a4=3.又a5=8，所以a2+a7=a4+a5=11. 3.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　∵b是x，2x的等差中项， ∴b==， 又∵x是a，b的等差中项， ∴2x=a+b， ∴a=， ∴=. 4.在等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 012+a2 023等于(　　) A.10 B.15 C.20 D.40 答案　B 解析　∵a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 022=10， 由等差数列的性质得2a1 012=10，即a1 012=5， ∴a1+a1 012+a2 023=3a1 012=15. 5.在等差数列-5，-3，-2，-，…中，每组相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为(　　) A.an=n- B.an=-5-(n-1) C.an=-5-(n-1) D.an=n2-3n 答案　A 解析　首项仍为-5，公差d==，故an=-5+(n-1)=n-. 6.程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一道“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为(　　) A.3.4升 B.2.4升 C.2.3升 D.3.6升 答案　A 解析　设从下至上各节的容积分别为a1，a2，…，a9， 由题意知{an}为等差数列，公差为d， 因为 解得 所以a4+a5=2a1+7d=3.4. 7.(5分)已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N+)，且a2=5，a5=13，则a8=　　　　.  答案　21 解析　由题意得数列{an}为等差数列， ∴a2+a8=2a5，即a8=21. 8.(5分)设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=　　　　.  答案　35 解析　因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an+bn}也构成等差数列， 所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)， 所以2×21=7+a5+b5，所以a5+b5=35. 9.(10分)在等差数列{an}中. (1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13；(5分) (2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求公差d.(5分) 解　方法一　(1)直接化成a1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48， 即4(a1+12d)=48， ∴4a13=48，∴a13=12. (2)直接化成a1和d的方程如下： 解得或 ∴d=3或-3. 方法二　　(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48， 得4a13=48， ∴a13=12. (2)由a2+a3+a4+a5=34， 得2(a2+a5)=34， 即a2+a5=17， 由 解得或 ∴d===3或d===-3. 10.(11分)某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(单位：元)，求an. 解　设购买n件商品时，每件的单价为bn元，则数列组成以b1=265为首项，-15为公差的等差数列. 又单价不能低于160元，则265+(n-1)·(-15)≥160.解得n≤8. 所以当n>8时，bn=160. 综上所述，得bn=n∈N+. 从而an=n∈N+. 11.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有(　　) A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=0 答案　CD 解析　根据等差数列的性质得，a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51，由于a1+a2+a3+…+a101=0， 所以a51=0，a3+a99=2a51=0. 12.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-a11的值为(　　) A.14 B.15 C.16 D.17 答案　C 解析　设公差为d， ∵a4+a6+a8+a10+a12=120， ∴5a8=120，a8=24， ∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16. 13.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是(　　) A.{|an|} B.{an+1-an} C.{pan+q}(p，q为常数) D.{2an+n} 答案　BCD 解析　数列-1，1，3是等差数列， 取绝对值后为1，1，3，不是等差数列，A不成立； 若{an}是等差数列，由等差数列的定义， 知{an+1-an}为常数列， 故{an+1-an}是等差数列，B成立； 若{an}的公差为d， 则(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd，为常数， 故{pan+q}是等差数列，C成立； (2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1 =2d+1， 故{2an+n}是等差数列，D成立. 14.(5分)在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，则am+n=　　　.  答案　0 解析　设公差为d， 则d===-1， 从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0. 15.(5分)若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成首项为的等差数列，则|m-n|=　　　　.  答案　 解析　设x2-x+m=0，x2-x+n=0的根分别为x1，x2，x3，x4.则x1+x2=x3+x4=1(且1-4m>0，1-4n>0). 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质知，数列的第4项为x2，由题意知x1=， ∴x2=，数列的公差d==， ∴数列的中间两项分别为+=，+=.∴x1·x2=m=，x3·x4=n=×=. 经检验，符合题意， ∴|m-n|==. 16.(12分)已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bk}：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 解　由题意知an=3n+2(n∈N+)， bk=4k-1(k∈N+)， 两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得， 所以n=k-1，而n∈N+，k∈N+， 所以设k=3r(r∈N+)，得n=4r-1. 由已知 且r∈N+，可得1≤r≤25. 所以共有25个相同数值的项. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 等差数列的性质 第2课时 1.能理解等差中项的概念. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 3.能运用等差数列的性质简化计算. 4.能运用等差数列解决实际问题. 学习目标 同学们，前面我们学习了等差数列的概念，明白了等差数列是一种特殊的函数，在学习过程中，我们发现了一件非常有意思的事情，比如说an=n，这是一个正整数数列，如果我们把其中的偶数拿出来，即2，4，6，8，10，…，容易发现这也是一个等差数列，同样，如果我们把所有的奇数拿出来，也能构成一个新的数列，今天我们就具体研究等差数列中有哪些性质. 导 语 一、等差中项 二、等差数列的性质 课时对点练 三、等差数列的实际应用 随堂演练 内容索引 等差中项 一 如果x，A，y是等差数列，根据等差数列的定义，你能求出A的值吗？ 问题1 提示　因为x，A，y是等差数列，所以A-x=y-A， 即A=. 如果x，A，y是等差数列，那么称A为x与y的等差中项，且A=. 知识梳理 (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)利用等差中项可以判定给定数列是否为等差数列，即若2an-1=an+an-2(n≥3，n∈N+)，则{an}为等差数列. 注 意 点 <<< 8 (1)若a=，b=，则a，b的等差中项为 A. B. C. D. 例 1 √ 由题意知，a，b的等差中项为 =-++)=. 9 (2)在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 因为-1，a，b，c，7成等差数列， 所以b是-1与7的等差中项，则b==3， 又a是-1与3的等差中项， 所以a==1. 又c是3与7的等差中项， 所以c==5. 所以该数列为-1，1，3，5，7. 10 在等差数列{an}中，有an+1-an=an-an-1(n≥2，n∈N+)，即an=，从而由等差中项的定义知，等差数列从第2项起的每一项都是它前一项与后一项的等差中项. 反 思 感 悟 11 　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 跟踪训练 1 由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m+n=10. 两式相加，得3m+3n=18，即m+n=6. 所以m和n的等差中项为=3. 12 二 等差数列的性质 设数列{an}的通项公式为an=3n-1，求出a2+a7，a3+a6，并比较它们的大小. 问题2 提示　a2+a7=3×2-1+3×7-1=25， a3+a6=3×3-1+3×6-1=25， 所以a2+a7=a3+a6. 一般地，如果{an}是等差数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则as+at= ，特别地，如果2s=p+q，则有 =ap+aq. ap+aq 2as 知识梳理 (1)推广：若m+n+p=x+y+z，则am+an+ap=ax+ay+az. (2)该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同. (3)在有穷等差数列中，与首末两项等距离的两项之和都相等，即a1+an=a2+an-1=…. (4)在等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，则这些项组成的数列仍为等差数列. 注 意 点 <<< 16 (5)若{an}，{bn}分别是公差为d，d'的等差数列，则有 注 意 点 <<< 数列 结论 {c+an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an+an+k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N+) {pan+qbn} 公差为pd+qd'的等差数列(p，q为常数) 17 　 (1)已知等差数列{an}中，a2+a6+a10=1，求a4+a8. 例 2 方法一　根据等差数列的通项公式，得a2+a6+a10=(a1+d)+(a1+5d)+ (a1+9d)=3a1+15d. 由题意知，3a1+15d=1，即a1+5d=. ∴a4+a8=2a1+10d=2(a1+5d)=. 方法二　根据等差数列性质得a2+a10=a4+a8=2a6. 由a2+a6+a10=1，得3a6=1， 解得a6=，∴a4+a8=2a6=. 18 (2)设{an}是公差为正数的等差数列，若a1+a2+a3=15，a1a2a3=80，求a11+a12+a13的值. {an}是公差为正数的等差数列，设公差为d， ∵a1+a3=2a2， ∴a1+a2+a3=15=3a2，∴a2=5， 又a1a2a3=80，∴a1a3=(5-d)(5+d)=16⇒d=3或d=-3(舍去)， ∴a12=a2+10d=35，a11+a12+a13=3a12=105. 19 已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，求a75. 延伸探究 20 方法一　(利用an=am+(n-m)d) 设等差数列 {an}的公差为d， 则a60=a15+(60-15)d=8+45d=20， 所以d===， 所以a75=a60+(75-60)d=20+15×=24. 21 方法二　(利用隔项成等差数列) 因为{an}为等差数列， 所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列， 设其公差为d，a15为首项，则a60为第4项， 所以a60=a15+3d，解得d=4， 所以a75=a60+d=24. 22 (1)基本量法：根据已知条件，列出关于a1，d的方程(组)，确定a1，d，然后求其他量. (2)巧用性质法：观察等差数列中项的序号，若满足m+n=p+q=2r(m，n，p，q，r∈N+)，则am+an=ap+aq=2ar. 反 思 感 悟 等差数列运算的两种常用思路 23 等差数列的实际应用 三 　甲、乙两人连续6年对某县农村养鸡业规模进行调查，提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表明： 从第1年平均每个养鸡场出产1万只鸡 上升到第6年平均每个养鸡场出产2万 只鸡.乙调查表明：从第1年养鸡场个 数为30减少到第6年养鸡场个数为10. (1)求第2年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数； 例 3 25 由图可知，从第1年到第6年平均每个养鸡场出产鸡的只数成等差数列，记为{an}，设公差为d1， 且a1=1，a6=2； 从第1年到第6年的养鸡场个数 也成等差数列，记为{bn}， 设公差为d2，且b1=30，b6=10. 从第1年到第6年全县每年出产鸡的总只数记为数列{cn}，则cn=anbn. 26 由a1=1，a6=2，得 ∴∴a2=1.2. 由b1=30，b6=10， 得 ∴b2=26. ∴c2=a2b2=1.2×26=31.2， 故第2年养鸡场的个数为26，全县出产鸡的总只数是31.2万. 27 c6=a6b6=2×10=20<c1=a1b1=30， ∴到第6年这个县的养鸡业比第1年缩小了. (2)到第6年这个县的养鸡业比第1年是 扩大了还是缩小了？请说明理由； 28 (3)这个县的养鸡业哪一年的规模最大？请说明理由. 29 ∵an=1+(n-1)×0.2=0.2n+0.8(1≤n≤6，n∈N+)， bn=30+(n-1)×(-4)=-4n+34(1≤n≤6，n∈N+)， ∴cn=anbn=(0.2n+0.8)(-4n+34) =-0.8n2+3.6n+27.2(1≤n≤6，n∈N+). ∵2与2.25最接近， ∴当n=2时，cn最大. 故第2年的规模最大. 30 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列.合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题. 反 思 感 悟 31 某公司经销一种数码产品，第一年可获利200万元，从第二年起由于市场竞争方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将开始亏损？ 跟踪训练 2 32 设从第一年起，第n年的利润为an万元， 则a1=200，an+1-an=-20(n∈N+)， ∴每年的利润构成一个等差数列{an}， 从而an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20) =220-20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损. ∴由an=220-20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将开始亏损. 33 1.知识清单： (1)等差中项. (2)等差数列的性质. (3)等差数列的实际应用. 2.方法归纳：解方程组法、构造法. 3.常见误区： (1)对等差数列的性质不理解而致错. (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知在△ABC中，三个内角A，B，C成等差数列，则角B等于 A.30° B.60° C.90° D.120° √ 因为A，B，C成等差数列，所以B是A，C的等差中项，则有A+C=2B，又因为A+B+C=180°，所以3B=180°，从而B=60°. 1 2 3 4 2.等差数列{an}中，a4+a5=15，a7=12，则a2等于 A.3 B.-3 C. D.- √ 由等差数列的性质，得a4+a5=a2+a7， 所以a2=15-12=3. 3.在等差数列{an}中，a2，a6是方程x2-3x+1=0的根，则a4=　　. 1 2 3 4 由等差数列的性质及根与系数的关系，得a4=(a2+a6)=. 1 2 3 4 4.某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，则需要支付车费　　　元.  根据题意知，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元.所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费.令a1=11.2，表示4 km处的车费，公差d=1.2，那么当出租车行至14 km处时，n=11，此时需要支付车费a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元). 23.2 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知等差数列{an}的前三项为a-1，a+1，2a+1，则此数列的通项公式为 A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1 √ 2=+， 解得a=2，所以a1=1，d=2，所以an=a1+d=2n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.在等差数列{an}中，若a2+a6=6，a5=8，则a2+a7等于 A.22 B.14 C.20 D.11 因为a2+a6=2a4=6，所以a4=3.又a5=8，所以a2+a7=a4+a5=11. √ 3.一个等差数列的前4项是a，x，b，2x，则等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵b是x，2x的等差中项， ∴b==， 又∵x是a，b的等差中项， ∴2x=a+b， ∴a=， ∴=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.在等差数列{an}中，若a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根，则a1+a1 012+ a2 023等于 A.10 B.15 C.20 D.40 √ ∵a2，a2 022为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 022=10， 由等差数列的性质得2a1 012=10，即a1 012=5， ∴a1+a1 012+a2 023=3a1 012=15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在等差数列-5，-3，-2，-，…中，每组相邻两项之间插入一个数，使之组成一个新的等差数列，则新数列的通项公式为 A.an=n- B.an=-5-(n-1) C.an=-5-(n-1) D.an=n2-3n √ 首项仍为-5，公差d==，故an=-5+(n-1)=n-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.程大位是我国明代著名的数学家，他的应用巨著《算法统宗》中有一道“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节六升六，上梢四节四升四，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明.”(注：六升六：6.6升，次第盛：盛米容积依次相差同一数量)用你所学的数学知识求得中间两节竹的容积为 A.3.4升 B.2.4升 C.2.3升 D.3.6升 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设从下至上各节的容积分别为a1，a2，…，a9， 由题意知{an}为等差数列，公差为d， 因为 解得 所以a4+a5=2a1+7d=3.4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2，n∈N+)，且a2=5，a5=13，则a8=　　.  21 由题意得数列{an}为等差数列， ∴a2+a8=2a5，即a8=21. 8.设数列{an}，{bn}都是等差数列，若a1+b1=7，a3+b3=21，则a5+b5=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}，{bn}都是等差数列， 所以数列{an+bn}也构成等差数列， 所以2(a3+b3)=(a1+b1)+(a5+b5)， 所以2×21=7+a5+b5，所以a5+b5=35. 35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.在等差数列{an}中. (1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13； 方法一　直接化成a1和d的方程如下： (a1+d)+(a1+2d)+(a1+22d)+(a1+23d)=48， 即4(a1+12d)=48， ∴4a13=48，∴a13=12. 方法二　根据已知条件a2+a3+a23+a24=48， 得4a13=48， ∴a13=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求公差d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　直接化成a1和d的方程如下： 解得 ∴d=3或-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　由a2+a3+a4+a5=34， 得2(a2+a5)=34， 即a2+a5=17， 由 解得 ∴d===3或d===-3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某商场用如下方法促销某品牌的上衣：原销售价为每件280元，改为买一件的单价为265元，买两件的单价为250元，依此类推，每多买一件，则所买各件的单价均再减少15元，但每件的价格不低于160元.设an为购买n件这类上衣所花费的金额(单位：元)，求an. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设购买n件商品时，每件的单价为bn元，则数列组成以b1=265为首项，-15为公差的等差数列. 又单价不能低于160元，则265+(n-1)·(-15)≥160.解得n≤8. 所以当n>8时，bn=160. 综上所述，得bn=n∈N+. 从而an=n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有 A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=0 √ 综合运用 √ 根据等差数列的性质得，a1+a101=a2+a100=…=a50+a52=2a51，由于a1+a2+a3+…+a101=0， 所以a51=0，a3+a99=2a51=0. 12.在等差数列{an}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-a11的值为 A.14 B.15 C.16 D.17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设公差为d， ∵a4+a6+a8+a10+a12=120， ∴5a8=120，a8=24， ∴a9-a11=(a8+d)-(a8+3d)=a8=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的是 A.{|an|} B.{an+1-an} C.{pan+q}(p，q为常数) D.{2an+n} √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列-1，1，3是等差数列， 取绝对值后为1，1，3，不是等差数列，A不成立； 若{an}是等差数列，由等差数列的定义， 知{an+1-an}为常数列， 故{an+1-an}是等差数列，B成立； 若{an}的公差为d， 则(pan+1+q)-(pan+q)=p(an+1-an)=pd，为常数， 故{pan+q}是等差数列，C成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2an+1+n+1)-(2an+n)=2(an+1-an)+1 =2d+1， 故{2an+n}是等差数列，D成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在等差数列{an}中，已知am=n，an=m，则am+n=　　. 设公差为d， 则d===-1， 从而am+n=am+(m+n-m)d=n+n·(-1)=0. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.若关于x的方程x2-x+m=0和x2-x+n=0(m，n∈R，且m≠n)的四个根组成 首项为的等差数列，则|m-n|=　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设x2-x+m=0，x2-x+n=0的根分别为x1，x2，x3，x4.则x1+x2=x3+x4=1(且1-4m>0，1-4n>0). 设数列的首项为x1，则根据等差数列的性质知，数列的第4项为x2，由题意知x1=， ∴x2=，数列的公差d==， ∴数列的中间两项分别为+=+=.∴x1·x2=m=，x3·x4=n=×=. 经检验，符合题意，∴|m-n|==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知两个等差数列{an}：5，8，11，…与{bk}：3，7，11，…，它们的项数均为100，则它们有多少个彼此具有相同数值的项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知an=3n+2(n∈N+)，bk=4k-1(k∈N+)， 两数列的共同项可由3n+2=4k-1求得， 所以n=k-1，而n∈N+，k∈N+， 所以设k=3r(r∈N+)，得n=4r-1. 由已知 且r∈N+，可得1≤r≤25. 所以共有25个相同数值的项. 第五章 <<< $$