第5章 5.2.1 第1课时 等差数列的定义-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教B版2019）

5.2.1　等差数列 第1课时　等差数列的定义 ［学习目标］　1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题.3.体会等差数列与一次函数的关系. 导语　 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出第六个龙年是哪一年吗？ 一、等差数列的定义及应用 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份：1682，1758，1834，1910，1986. (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，… (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的年份吗？ 提示　对于(1)，我们发现1 758-1 682=76，1 834-1 758=76，1 910-1 834=76，1 986-1 910=76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的年份应该是1 986+76=2 062.对于(2)，有270-275=-5，…；对于(3)，10-10=0，有同样的取值规律. 知识梳理 一般地，如果数列{an}从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d，即an+1-an=d恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的公差. 注意点： (1)概念的符号表示：an+1-an=d. (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 例1　判断下列数列是否为等差数列，请说明理由. (1)1，3，5，7，9，…； (2)2，-2，2，-2，2，-2，…； (3)1，1，1，1，…； (4)6，5，3，1，-1，-3，…； (5)m，m+n，m+2n，2m+n； (6)a-d，a，a+d. 解　(1)∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2， ∴该数列是等差数列. (2)∵-2-2=-4，2-(-2)=4，不是同一个常数，∴该数列不是等差数列. (3)∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0，∴该数列是等差数列. (4)∵5-6=-1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2，∴该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列. (5)∵(m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n，2m+n-(m+2n)=m-n，∴当m=2n时，该数列是等差数列，当m≠2n时，该数列不是等差数列. (6)∵a-(a-d)=a+d-a=d， ∴该数列是等差数列. 反思感悟　判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数”即可. 跟踪训练1　(1)若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an}是(　　) A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为-的等差数列 D.不是等差数列 答案　B 解析　由3an+1=3an+1，得3an+1-3an=1， 即an+1-an=. 所以数列{an}是公差为的等差数列. (2)若数列1，3，a+3，b是等差数列，则a=　　　　，b=　　　　.  答案　2　7　 解析　由题意得a+3-3=3-1， ∴a=2，公差d=3-1=2， ∴b=5+2=7. 二、等差数列的通项公式 问题2　等差数列的定义给出了相邻两项的递推关系，你能根据定义推导等差数列的通项公式吗？ 提示　方法一　由等差数列的定义可得 an-an-1=d， an-1-an-2=d， …… a3-a2=d， a2-a1=d， 将这n-1个式子两边分别相加，则有 an-a1=(n-1)d， 可得到等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d. 方法二　一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义有 an+1-an=d， 即an+1=an+d，从而 a2=a1+d， a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d， a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d， …… 由此可归纳出等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d. 知识梳理　 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. 注意点： (1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. (2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. (3)等差数列通项公式的推广和变形：an=am+(n-m)d(m，n∈N+)，d=(m，n∈N+，且m≠n). 例2　(1)求等差数列10，8，6，…的第20项； (2)100是不是等差数列2，9，16，…中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由； (3)在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36，求通项公式an. 解　(1)由题意得a1=10，d=-2， ∴an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，n∈N+. ∴a20=-2×20+12=-28. (2)由于a1=2，d=7， ∴an=2+(n-1)×7=7n-5，n∈N+. 由7n-5=100，解得n=15. ∴100是这个数列的第15项. (3)由题意得 解得∴an=2+(n-1)×2=2n. 反思感悟　等差数列通项公式的求法与应用技巧 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 跟踪训练2　在等差数列{an}中， (1)若a5=15，a17=39，试判断91是否为此数列中的项； (2)若a2=11，a8=5，求a10. 解　设数列{an}的公差为d， (1)由题意得 解得 所以an=7+2(n-1)=2n+5，n∈N+. 令2n+5=91，得n=43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. (2)由题意得 解得 所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n，n∈N+， 所以a10=13-10=3. 三、等差数列与函数的关系 知识梳理　 如果记f(x)=dx+a1-d，则等差数列的通项公式an=f(n)，而且 (1)当公差d=0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是常数列(因此，公差为0的等差数列是常数列)； (2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因此，当d>0时，{an}是递增数列；当d<0时，{an}是递减数列. 注意点： (1)点(n，an)落在直线y=dx+(a1-d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1-d. (2)这些点的横坐标每增加1，函数值就增加d(d>0时)或减少-d(d<0时). 例3　(1)(多选)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中正确的是(　　) A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an+3nd}是递增数列 答案　AD 解析　对于A，an=a1+(n-1)d，d>0， ∴an-an-1=d>0，则A正确； 对于B，nan=na1+n(n-1)d， ∴nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d，这个值与0的大小关系和a1的取值情况有关. 故数列{nan}不一定递增，则B不正确； 对于C，=+d， ∴-=， 当d-a1>0，即d>a1时，数列是递增数列， 但d>a1不一定成立，则C不正确； 对于D，设bn=an+3nd， 则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0. ∴数列{an+3nd}是递增数列，则D正确. (2)已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 解　取数列{an}中任意两项an和an-1(n≥2)， 作差得an-an-1=(pn+q)-［p(n-1)+q］ =pn+q-(pn-p+q)=p. 它是一个与n无关的常数， 所以{an}是等差数列. 由于an=pn+q=q+p+(n-1)p， 所以首项a1=p+q，公差d=p. 反思感悟　数列{an}是等差数列的充要条件是an=kn+b，其中k，b是常数. 跟踪训练3　(1)设{an}是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　C 解析　由题意可得公差 d=a2-a1=a3-a2>0， 所以数列{an}是递增数列，即充分性成立； 若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2<a3， 即必要性成立. (2)已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n(n∈N+)，则它的公差d为(　　) A.2 B.3 C.-2 D.-3 答案　C 解析　方法一　由等差数列的定义，得d=a2-a1=-1-1=-2. 方法二　an=3-2n=-2n+3，由等差数列的函数特征知，d=-2. 1.知识清单： (1)等差数列的有关概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列与函数的关系. 2.方法归纳：迭代法、定义法. 3.常见误区：在具体应用问题中项数不明确. 1.(多选)下列说法正确的是(　　) A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B.数列a，a-1，a-2，a-3是公差为-1的等差数列 C.等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k，b为常数) D.数列{2n+1}(n∈N+)是等差数列 答案　BCD 解析　根据等差数列的概念可知，数列6，4，2，0的公差为-2，故A错误；易知B，C，D均正确. 2.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为(　　) A.52 B.62 C.-62 D.-52 答案　A 解析　公差d=-2-(-5)=3，a20=a1+(20-1)d=-5+19×3=52. 3.在等差数列{an}中，如果a4=3，a7=9，an=17，那么n=　　　　.  答案　11 解析　由题意知d==2， ∴an=a4+(n-4)d， ∴17=3+2(n-4)， ∴n=11. 4.在-3和6之间插入两个数a，b，使-3，a，b，6成等差数列，则这个等差数列的公差为　　　　.  答案　3 解析　由等差数列的定义可知 解得所以d=3. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5(n∈N+)，则此数列(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案　A 解析　∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2， ∴{an}是公差为2的等差数列. 2.已知在各项均不为零的等差数列{an}中，满足a1+a3=，则a2等于(　　) A.-2 B.1 C.2 D.4 答案　C 解析　∵an为等差数列，∴a2-a1=a3-a2， ∴a1+a3=2a2， ∴2a2=，解得a2=2(a2=0舍去). 3.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 答案　B 解析　a1=20，d=-3，∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n，∴a7=2>0，a8=-1<0. 4.一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为(　　) A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 答案　C 解析　设公差为d，d∈Z，由a6=23+5d>0，且a7=23+6d<0，得-<d<-. 又因为d∈Z，所以d=-4. 5.若等差数列{an}的首项a1=5，am=3，则等于(　　) A.13 B.3- C.3- D.5- 答案　B 解析　设等差数列{an}的公差为d， 因为a1=5，am=3， 所以d==. 所以=am+2d=3+=3-. 6.《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金杖由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是(　　) A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 答案　B 解析　依题意，金杖由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1=4，则a5=2，设公差为d，则2=4+4d，解得d=-，所以a2=4-=. 7.(5分)在等差数列{an}中，a5=9，且2a3=a2+6，则a1=　　　.  答案　-3 解析　设数列{an}的公差为d， 则 解得 8.(5分)首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是　　　　.  答案　 解析　设an=-24+(n-1)d， 则解得<d≤3. 9.(10分)(1)求等差数列8，5，2，…的第20项；(4分) (2)判断-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项，如果是，是第几项？(6分) 解　(1)由a1=8，a2=5，得d=a2-a1=5-8=-3， 由n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. (2)由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1. 由题意，令-401=-4n-1，得n=100， 则-401是这个数列的第100项. 10.(12分)在等差数列{an}中，公差为d. (1)已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d；(4分) (2)已知a1=9，d=-2，an=-15，求n；(4分) (3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通项公式.(4分) 解　(1)因为a5-a3=12，所以d=6. 由a12=a1+11d=20，所以a1=-46. (2)由an=a1+(n-1)d，得-15=9-2(n-1)，解得n=13. (3)由已知可得解得 所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12. 11.已知数列{an}满足a1=1，n∈N+，若点在直线x-y+1=0上，则an等于(　　) A.n2 B.n C.n+2 D.n+1 答案　A 解析　由题设可得-+1=0， 即-=1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为=1+(n-1)×1=n， 所以an=n2(n∈N+). 12.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则下列说法正确的是(　　) A.a3a6>a4a5 B.a3a6<a4a5 C.a3+a6>a4+a5 D.a3a6=a4a5 答案　B 解析　由通项公式，得a3=a1+2d，a6=a1+5d，那么a3+a6=2a1+7d，a3a6=(a1+2d)(a1+5d)=+7a1d+10d2，同理，a4+a5=2a1+7d，a4a5=+7a1d+12d2，显然a3+a6=a4+a5，a3a6-a4a5=-2d2<0，故a3a6<a4a5. 13.(多选)设等差数列{an}的公差为d，若bn=，且数列{bn}为递减数列，则下列说法一定正确的是(　　) A.d<0 B.a1d<0 C.为常数列 D.数列{bn}为等差数列 答案　BC 解析　∵{bn}为递减数列，∴bn+1<bn， 即<， ∴a1an+1-a1an<0，即a1d<0，又==为常数，∴B，C正确. 14.(5分)若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别为d1和d2，则的值为　　　　.  答案　 解析　因为n-m=3d1，所以d1=(n-m). 又n-m=4d2，所以d2=(n-m). 故==. 15.(5分)若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3，则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　　.  答案　an=2n-(n∈N+) 解析　由题意得an+1+an=4n-3， ① an+2+an+1=4n+1， ② ②-①得an+2-an=4. ∵{an}是等差数列，设公差为d， ∴d=2. ∵a1+a2=1， ∴a1+a1+d=1，∴a1=-. ∴an=-+(n-1)×2=2n-(n∈N+). 16.(12分)若数列{bn}对于n∈N+，都有bn+2-bn=d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn=则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N+，都有an+an+1=2n. (1)求证：数列{an}为准等差数列；(5分) (2)求数列{an}的通项公式.(7分) (1)证明　因为an+an+1=2n(n∈N+)， ① 所以an+1+an+2=2(n+1)， ② ②-①得an+2-an=2(n∈N+)， 所以数列{an}是公差为2的准等差数列. (2)解　因为a1=a，an+an+1=2n(n∈N+)， 所以a1+a2=2×1，即a2=2-a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2-a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an=2-a+×2=n-a， 当n为奇数时，an=a+×2=n+a-1. 所以an= 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章 <<< 等差数列的定义 第1课时 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一次函数的关系. 学习目标 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出第六个龙年是哪一年吗？ 导 语 一、等差数列的定义及应用 二、等差数列的通项公式 课时对点练 三、等差数列与函数的关系 随堂演练 内容索引 等差数列的定义及应用 一 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)在过去的300多年里，人们记下了哈雷彗星出现的年份：1682，1758，1834，1910，1986. (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的确定鞋号脚长值按从大到小的顺序可排列为：275，270，265，260，255，250，… (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？你能预测一下哈雷彗星下一次出现的年份吗？ 问题1 提示　对于(1)，我们发现1 758-1 682=76，1 834-1 758=76，1 910-1 834=76，1 986-1 910=76，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，于是我们可以大胆预测下一次哈雷彗星出现的年份应该是1 986+76=2 062. 对于(2)，有270-275=-5，…；对于(3)，10-10=0，有同样的取值规律. 一般地，如果数列{an}从第 项起，每一项与它的前一项之差都等于_____________，即 恒成立，则称{an}为等差数列，其中d称为等差数列的 . 2 同一个常数d an+1-an=d 公差 知识梳理 (1)概念的符号表示：an+1-an=d. (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 注 意 点 <<< 9 判断下列数列是否为等差数列，请说明理由. (1)1，3，5，7，9，…； 例 1 ∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数2， ∴该数列是等差数列. 10 (2)2，-2，2，-2，2，-2，…； ∵-2-2=-4，2-(-2)=4，不是同一个常数，∴该数列不是等差数列. (3)1，1，1，1，…； ∵该数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数0， ∴该数列是等差数列. 11 (4)6，5，3，1，-1，-3，…； ∵5-6=-1，而从第3项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数-2，∴该数列不是等差数列，但可以说从第2项起是等差数列. (5)m，m+n，m+2n，2m+n； ∵(m+n)-m=(m+2n)-(m+n)=n，2m+n-(m+2n)=m-n，∴当m=2n时，该数列是等差数列，当m≠2n时，该数列不是等差数列. 12 (6)a-d，a，a+d. ∵a-(a-d)=a+d-a=d， ∴该数列是等差数列. 13 判断一个数列是否是等差数列，关键是看它是否符合等差数列的定义，逐一检验定义中“从第2项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数”即可. 反 思 感 悟 14 　(1)若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an}是 A.公差为1的等差数列 B.公差为的等差数列 C.公差为-的等差数列 D.不是等差数列 跟踪训练 1 √ 由3an+1=3an+1，得3an+1-3an=1，即an+1-an=. 所以数列{an}是公差为的等差数列. 15 (2)若数列1，3，a+3，b是等差数列，则a=　　，b=　　.  由题意得a+3-3=3-1， ∴a=2，公差d=3-1=2， ∴b=5+2=7. 2 7 16 二 等差数列的通项公式 等差数列的定义给出了相邻两项的递推关系，你能根据定义推导等差数列的通项公式吗？ 问题2 提示　方法一　由等差数列的定义可得 an-an-1=d， an-1-an-2=d， …… a3-a2=d， a2-a1=d， 将这n-1个式子两边分别相加，则有 an-a1=(n-1)d， 可得到等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d. 方法二　一般地，如果等差数列{an}的首项是a1，公差是d，那么根据等差数列的定义有 an+1-an=d， 即an+1=an+d，从而 a2=a1+d， a3=a2+d=(a1+d)+d=a1+2d， a4=a3+d=(a1+2d)+d=a1+3d， …… 由此可归纳出等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d. 以a1为首项，d为公差的等差数列{an}的通项公式为an= . a1+(n-1)d 知识梳理 (1)已知首项a1和公差d，便可写出通项公式. (2)等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一. (3)等差数列通项公式的推广和变形：an=am+(n-m)d(m，n∈N+)，d=(m，n∈N+，且m≠n). 注 意 点 <<< 22 　 (1)求等差数列10，8，6，…的第20项； 例 2 由题意得a1=10，d=-2， ∴an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，n∈N+. ∴a20=-2×20+12=-28. 23 (2)100是不是等差数列2，9，16，…中的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由； 由于a1=2，d=7， ∴an=2+(n-1)×7=7n-5，n∈N+. 由7n-5=100，解得n=15. ∴100是这个数列的第15项. 24 (3)在等差数列{an}中，已知a6=12，a18=36，求通项公式an. 由题意得 解得∴an=2+(n-1)×2=2n. 25 (1)等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可. (2)等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一”. 反 思 感 悟 等差数列通项公式的求法与应用技巧 26 在等差数列{an}中， (1)若a5=15，a17=39，试判断91是否为此数列中的项； 跟踪训练 2 27 设数列{an}的公差为d， 由题意得 解得 所以an=7+2(n-1)=2n+5，n∈N+. 令2n+5=91，得n=43. 因为43为正整数，所以91是此数列中的项. 28 (2)若a2=11，a8=5，求a10. 由题意得 解得 所以an=12+(n-1)×(-1)=13-n，n∈N+， 所以a10=13-10=3. 29 等差数列与函数的关系 三 如果记f(x)=dx+a1-d，则等差数列的通项公式an=f(n)，而且 (1)当公差d=0时，f(x)是常数函数，此时数列{an}是 (因此，公差为0的等差数列是常数列)； (2)当公差d≠0时，f(x)是一次函数，而且f(x)的增减性依赖于公差d的符号，因此，当 时，{an}是递增数列；当 时，{an}是递减数列. 常数列 d>0 d<0 知识梳理 (1)点(n，an)落在直线y=dx+(a1-d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1-d. (2)这些点的横坐标每增加1，函数值就增加d(d>0时)或减少-d(d<0时). 注 意 点 <<< 32 　 (1)(多选)下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法，其中 正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an+3nd}是递增数列 例 3 √ √ 33 对于A，an=a1+(n-1)d，d>0， ∴an-an-1=d>0，则A正确； 对于B，nan=na1+n(n-1)d， ∴nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d，这个值与0的大小关系和a1的取值情况有关. 故数列{nan}不一定递增，则B不正确； 对于C，=+d， ∴-=， 当d-a1>0，即d>a1时，数列是递增数列， 但d>a1不一定成立，则C不正确； 34 对于D，设bn=an+3nd， 则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0. ∴数列{an+3nd}是递增数列，则D正确. 35 取数列{an}中任意两项an和an-1(n≥2)， 作差得an-an-1=(pn+q)-[p(n-1)+q] =pn+q-(pn-p+q)=p. 它是一个与n无关的常数， 所以{an}是等差数列. 由于an=pn+q=q+p+(n-1)p， 所以首项a1=p+q，公差d=p. (2)已知数列{an}的通项公式an=pn+q，其中p，q为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，首项和公差分别是多少？ 36 数列{an}是等差数列的充要条件是an=kn+b，其中k，b是常数. 反 思 感 悟 37 (1)设{an}是等差数列，则“a1<a2<a3”是“数列{an}是递增数列”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 跟踪训练 3 √ 38 由题意可得公差 d=a2-a1=a3-a2>0， 所以数列{an}是递增数列，即充分性成立； 若数列{an}是递增数列，则必有a1<a2<a3， 即必要性成立. 39 (2)已知等差数列{an}的通项公式为an=3-2n(n∈N+)，则它的公差d为 A.2 B.3 C.-2 D.-3 √ 方法一　由等差数列的定义，得d=a2-a1=-1-1=-2. 方法二　an=3-2n=-2n+3，由等差数列的函数特征知，d=-2. 40 1.知识清单： (1)等差数列的有关概念. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列与函数的关系. 2.方法归纳：迭代法、定义法. 3.常见误区：在具体应用问题中项数不明确. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.(多选)下列说法正确的是 A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B.数列a，a-1，a-2，a-3是公差为-1的等差数列 C.等差数列的通项公式一定能写成an=kn+b的形式(k，b为常数) D.数列{2n+1}(n∈N+)是等差数列 √ 根据等差数列的概念可知，数列6，4，2，0的公差为-2，故A错误； 易知B，C，D均正确. √ √ 1 2 3 4 2.已知等差数列-5，-2，1，…，则该数列的第20项为 A.52 B.62 C.-62 D.-52 √ 公差d=-2-(-5)=3，a20=a1+(20-1)d=-5+19×3=52. 3.在等差数列{an}中，如果a4=3，a7=9，an=17，那么n=　　.  1 2 3 4 由题意知d==2， ∴an=a4+(n-4)d， ∴17=3+2(n-4)， ∴n=11. 11 1 2 3 4 4.在-3和6之间插入两个数a，b，使-3，a，b，6成等差数列，则这个等差数列的公差为　　. 由等差数列的定义可知 解得所以d=3. 3 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.已知数列{an}的通项公式an=2n+5(n∈N+)，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 √ ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2， ∴{an}是公差为2的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.已知在各项均不为零的等差数列{an}中，满足a1+a3=，则a2等于 A.-2 B.1 C.2 D.4 ∵an为等差数列，∴a2-a1=a3-a2， ∴a1+a3=2a2， ∴2a2=，解得a2=2(a2=0舍去). √ 3.等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是 A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1=20，d=-3，∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n，∴a7=2>0，a8=-1<0. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.一个等差数列的首项为23，公差为整数，且前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为 A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 √ 设公差为d，d∈Z，由a6=23+5d>0，且a7=23+6d<0，得-<d<-. 又因为d∈Z，所以d=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若等差数列{an}的首项a1=5，am=3，则等于 A.13 B.3- C.3- D.5- √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 因为a1=5，am=3， 所以d==. 所以=am+2d=3+=3-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺.斩本一尺，重四斤.斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何？”意思是：“现在有一根金杖，长五尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”按这一问题的题设，假设金杖由粗到细各尺质量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的质量是 A.斤 B.斤 C.斤 D.3斤 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 依题意，金杖由粗到细各尺质量构成一个等差数列，设首项为a1=4，则a5=2，设公差为d，则2=4+4d，解得d=-，所以a2=4-=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.在等差数列{an}中，a5=9，且2a3=a2+6，则a1=　　. -3 设数列{an}的公差为d， 则 解得 8.首项为-24的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围 是　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设an=-24+(n-1)d， 则<d≤3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.(1)求等差数列8，5，2，…的第20项； 由a1=8，a2=5，得d=a2-a1=5-8=-3， 由n=20，得a20=8+(20-1)×(-3)=-49. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项，如果是，是第几项？ 由a1=-5，d=-9-(-5)=-4，得这个数列的通项公式为an=-5+(n-1)×(-4)=-4n-1. 由题意，令-401=-4n-1，得n=100， 则-401是这个数列的第100项. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列{an}中，公差为d. (1)已知a5-a3=12，a12=20，求a1和d； 因为a5-a3=12，所以d=6. 由a12=a1+11d=20，所以a1=-46. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a1=9，d=-2，an=-15，求n； 由an=a1+(n-1)d，得-15=9-2(n-1)，解得n=13. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)已知a3=9，a9=3，求{an}的通项公式. 由已知可得 所以an=a1+(n-1)d=11-(n-1)=-n+12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知数列{an}满足a1=1，n∈N+，若点在直线x-y+1=0上，则an等于 A.n2 B.n C.n+2 D.n+1 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题设可得-+1=0， 即-=1，所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 故通项公式为=1+(n-1)×1=n， 所以an=n2(n∈N+). 12.如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，且公差d≠0，则下列说法正确的是 A.a3a6>a4a5 B.a3a6<a4a5 C.a3+a6>a4+a5 D.a3a6=a4a5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由通项公式，得a3=a1+2d，a6=a1+5d，那么a3+a6=2a1+7d，a3a6= (a1+2d)(a1+5d)=+7a1d+10d2，同理，a4+a5=2a1+7d，a4a5=+7a1d+ 12d2，显然a3+a6=a4+a5，a3a6-a4a5=-2d2<0，故a3a6<a4a5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(多选)设等差数列{an}的公差为d，若bn=，且数列{bn}为递减数列，则下列说法一定正确的是 A.d<0 B.a1d<0 C.为常数列 D.数列{bn}为等差数列 √ √ ∵{bn}为递减数列，∴bn+1<bn， 即<， ∴a1an+1-a1an<0，即a1d<0，又==为常数，∴B，C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若m≠n，两个等差数列m，a1，a2，n与m，b1，b2，b3，n的公差分别 为d1和d2，则的值为　　.  因为n-m=3d1，所以d1=(n-m). 又n-m=4d2，所以d2=(n-m). 故==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 15.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3，则数列{an}的通项公式为 　　 　　. an=2n-(n∈N+) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得an+1+an=4n-3， ① an+2+an+1=4n+1， ② ②-①得an+2-an=4. ∵{an}是等差数列，设公差为d， ∴d=2. ∵a1+a2=1， ∴a1+a1+d=1，∴a1=-. ∴an=-+(n-1)×2=2n-(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.若数列{bn}对于n∈N+，都有bn+2-bn=d(d为常数)，则称数列{bn}是公差为d的准等差数列.例如cn=则数列{cn}是公差为8的准等差数列.设数列{an}满足：a1=a，对于n∈N+，都有an+an+1=2n. (1)求证：数列{an}为准等差数列； 因为an+an+1=2n(n∈N+)， ① 所以an+1+an+2=2(n+1)， ② ②-①得an+2-an=2(n∈N+)， 所以数列{an}是公差为2的准等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1=a，an+an+1=2n(n∈N+)， 所以a1+a2=2×1，即a2=2-a. 因为a1，a3，a5，…是以a为首项，2为公差的等差数列， a2，a4，a6，…是以2-a为首项，2为公差的等差数列， 所以当n为偶数时，an=2-a+×2=n-a， 当n为奇数时，an=a+×2=n+a-1. 所以an= 第五章 <<< $$