第6章 6.3.2 第1课时 二项式系数的性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

6.3.2　二项式系数的性质 第1课时　二项式系数的性质 [学习目标]　1.理解二项式系数的性质并灵活运用.2.掌握“赋值法”并会灵活应用. 导语被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a+b)n的展开式在n=1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了600年左右. 一、二项式系数的对称性、增减性与最大值 问题1　将(a+b)n展开式的二项式系数，，…，，…，写成如图所示的形式，请写出你发现的二项式系数的规律. 提示　每行两端都是1；每一行中的系数具有对称性；每一行中的系数都是先增后减，中间一项或两项的系数最大；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 知识梳理 1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即=. 2.增减性与最大值： (1)若n为奇数，当k≤时，<，此时递增，当k≥时，>，此时递减；若n为偶数，当k≤时，<，此时递增，当k≥时，>，此时递减. (2)当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值. 例1　已知在(x-2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 解　(1)依题意得，=，解得n=8. (2)因为n=8，展开式中共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，于是展开式中二项式系数最大的项为x4(-2)4=1 120x4. 反思感悟　通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a+b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题. 跟踪训练1　(1)已知(a+b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x-1)n的展开式中x3的系数为(　　) A.80 B.40 C.-40 D.-80 答案　A 解析　由题意=，所以3+7=2n，解得n=5， 则(2x-1)5的展开式的通项为 Tk+1=(2x)5-k(-1)k=(-1)k25-kx5-k， 由5-k=3，得k=2，所以x3的系数为(-1)2××23=80. (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于(　　) A.20 B.21 C.22 D.23 答案　C 解析　由a=7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11+5=16，所以b=6+16=22. 二、各二项式系数的和 问题2　在二项展开式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-kbk+…+bn中，令a=b=1，可得到什么结论？令a=1，b=-1，可得到什么结论？ 提示　+++…+=2n； +++…=+++…=2n-1. 知识梳理 1.++…+=2n. 2.+++…=+++…=2n-1. 例2　(1)的展开式中所有二项式系数的和是　　　　；展开式中所有偶数项的二项式系数和是　　　　.(用数字作答)  答案　256　128 解析　的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27=128. (2)已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=　　　　　　　　　.  答案　2 解析　由题意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通项公式为Tk+1=x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为(-m)3=-160，解得m=2. 反思感悟　(a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n. 跟踪训练2　已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　) A.512 B.210 C.211 D.212 答案　A 解析　∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210， ∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等， ∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29=512. 三、二项展开式的各项系数的和 例3　若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求： (1)a1+a2+…+a7； (2)a1+a3+a5+a7； (3)|a0|+|a1|+…+|a7|. 解　(1)令x=0，得a0=-1. 令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128， ① ∴a1+a2+…+a7=129. (2)令x=-1，则a0-a1+…+a6-a7=(-4)7， ② 由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7， ∴a1+a3+a5+a7=8 256. (3)∵Tk+1=(3x)7-k(-1)k， ∴|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-…-a6+a7=47=16 384. 反思感悟　求展开式的各项系数之和常用赋值法 (1)对形如(ax+b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 跟踪训练3　设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R). (1)求a0的值； (2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值； (3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值. 解　(1)在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，令x=0，得1=a0，∴a0=1. (2)令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024， ∴a1+a2+a3+…+a2 024=0. (3)分别令x=-1，x=1， 得 ②-①得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023). ∴a1+a3+a5+…+a2 023=. 1.知识清单： (1)二项式系数的对称性、增减性与最大值. (2)各二项式系数的和. (3)二项展开式的各项系数的和. 2.方法归纳：赋值法. 3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数. 1.在(a-b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是(　　) A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 答案　B 解析　第6项的二项式系数为，又=，所以第16项符合条件. 2.的展开式中二项式系数最大的项是(　　) A.第3项 B.第6项 C.第6，7项 D.第5，7项 答案　C 解析　的展开式中第+1项和+1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大. 3.若的展开式中所有二项式系数的和为64，则展开式中的常数项是(　　) A.240 B.-240 C.160 D.-160 答案　A 解析　由二项式系数的性质可知，二项式系数和为2n=64，所以n=6，的展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k=(-1)k26-kx6-3k， 令6-3k=0，则k=2， 则常数项为T3=(-1)224=240. 4.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，则a0+a1+a2+…+a6+a7的值为　　　　.  答案　128 解析　令x=0，得a0+a1+a2+…+a7=27=128. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为(　　) A.212 B.312 C.310 D.210 答案　C 解析　因为的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以=，解得n=10，令x=1，得所有项的系数之和为310. 2.若(x+3y)n展开式的各项系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为(　　) A.5 B.8 C.10 D.15 答案　A 解析　(7a+b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x=1，y=1，得(x+3y)n展开式的各项系数之和为4n，则由题意知，4n=210，解得n=5. 3.(多选)(1+x)n展开式中，是最大的二项式系数，则n可以是(　　) A.8 B.9 C.10 D.11 答案　BCD 解析　当n=9时，=，且，均为最大；当n=10时，最大；当n=11时，=，且，均为最大. 4.已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　) A.1 B.±1 C.2 D.±2 答案　C 解析　由题意知2n=32，即n=5，在二项展开式的通项Tk+1=)5-k=ak中，令15-5k=0，得k=3. 所以a3=80，解得a=2. 5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为1∶4，则展开式中二项式系数最大的项为(　　) A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 答案　B 解析　的展开式的通项为Tk+1=)n-k·=·2k·， 第3项为T3=·22·，其系数为·22， 倒数第3项为Tn-1=·2n-2·，其系数为·2n-2， 由题意得，=24-n==2-2，所以n=6， 所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 6.(多选)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，则下列结论正确的是(　　) A.a2+a5=588 B.a1+a2+…+a7=1 C.a1+a3+a5+a7= D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1 答案　ACD 解析　因为(2x-1)7展开式的通项为 Tk+1=(2x)7-k(-1)k=(-1)k27-kx7-k， 又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7， 所以a2=(-1)527-5=-84， a5=(-1)227-2=672，则a2+a5=588，故A正确； 令x=1，则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1， 令x=0，则(0-1)7=a0=-1； 令x=-1，则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37， 故a1+a2+…+a7=1-a0=2，故B错误； a1+a3+a5+a7=-=，故C正确； |a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37-1，故D正确. 7.(5分)若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是　　　　.  答案　10 解析　令x=1，得2n=32，故n=5. Tk+1=(x2)5-k=x10-2k-3k=x10-5k， 令10-5k=0，得k=2. 故展开式中的常数项为T3==10. 8.(5分)设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6，则=　　　　.  答案　- 解析　令x=1，得a0+a1+a2+…+a6=1；令x=0，得a0-a1+a2-…+a6=64，两式相减得2(a1+a3+a5)=-63，两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65，故=-. 9.(10分)在二项式的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为-1∶14，求： (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和；(5分) (2)二项展开式中的各项的系数之和.(5分) 解　二项式的展开式的通项为 Tk+1=)n-k=(-2)k， ∵(-2)3∶(-2)6=-1∶14，∴n=10. (1)++…+=210=1 024. (2)令x=1，得各项系数之和为(-1)10=1. 10.(10分)设(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求： (1)a1+a2+a3+a4；(3分) (2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2；(3分) (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|.(4分) 解　(1)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4=1， 令x=0，得(0-3)4=a0=81， 所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0 =1-81=-80. (2)在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4. ① 令x=-1，得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4. ② 所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4) =(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625. (3)由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4 =a0-a1+a2-a3+a4-a0 =625-81=544. 11.若(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024(x∈R)，则++…+的值为(　　) A.2 B.0 C.-2 D.-1 答案　D 解析　(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024， 令x=0，得a0=1， 令x=，得a0+++…+=0， 所以++…+=-1. 12.(多选)若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中(　　) A.各项二项式系数和为128 B.项数为奇数的各项系数和为-64 C.有理项共有4项 D.第4项与第5项的系数相等且最大 答案　AC 解析　因为的二项展开式共有8项，故n=7，则二项式系数和为2n=27=128，故A正确；的展开式的通项为Tk+1=(-1)k，故项数为奇数的各项系数和为+++=64，故B错误；根据Tk+1=(-1)k，当k取0，2，4，6时，Tk+1=(-1)k为有理项，共有4项，故C正确；T4=-，T5=x，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误. 13.(5分)已知(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3).若a1+a2+a3+…+an=134，则a3=　　　　.  答案　36 解析　对于(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3)， 令x=0，得a0=2； 令x=1，得(1+1)3+(1+1)n=a0+a1+a2+a3+…+an=2+134， 即2n=128，n=7，故a3=×10+×14=36. 14.(5分)已知(2x-1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+++…+=　　　　.  答案　255 解析　设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知，B-A=38. 令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n =(-3)n， 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…) =(-3)n， 即B-A=(-3)n. ∴(-3)n=38=(-3)8，∴n=8. 由二项式系数的性质，可得 +++…+=2n-=28-1=255. 15.已知(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024，则a2 023+2a2 022+3a2 021+4a2 020+…+2 023a1+2 024a0等于(　　) A.2 024×22 024 B.2 023×22 023 C.2 024×22 023 D.2 023×22 022 答案　C 解析　令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a2 024=22 024，故2 024(a0+a1+a2+a3+…+a2 024)=2 024×22 024， ① 等式(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024两边求导得2 024(1+x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023， 令x=1，则2 024×22 023=a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024， ② 由①②得a2 023+2a2 022+3a2 021+4a2 020+…+2 023a1+2 024a0 =2 024(a0+a1+a2+…+a2 024)-(a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024) =2 024×22 024-2 024×22 023=2 024×22 023. 16.(12分)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角. (1)求第20行中从左到右的第4个数；(5分) (2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：第m-1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数. 试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明.(7分) 解　(1)=1 140. (2)++…+=. 证明如下： 左边=++…+ =++…+ =…=+==右边. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 第1课时 二项式系数的性质 1.理解二项式系数的性质并灵活运用. 2.掌握“赋值法”并会灵活应用. 学习目标 被誉为“世界七大奇迹”之一的古埃及的金字塔，以其宏伟的气势、严密的结构、精美绝伦的整体外观让世界叹服.而数学上也有“金字塔”，这就是二项式(a+b)n的展开式在n=1，2，…时的二项式系数而垒成的金字塔，称为杨辉三角，它是我国南宋数学家杨辉首先发现的，比欧洲的帕斯卡早发现了600年左右. 导 语 一、二项式系数的对称性、增减性与最大值 二、各二项式系数的和 课时对点练 三、二项展开式的各项系数的和 随堂演练 内容索引 一 二项式系数的对称性、增减性与最大值 将(a+b)n展开式的二项式系数，，…，，…，写成如图所示的形式，请写出你发现的二项式系数的规律. 问题1 提示　每行两端都是1；每一行中的系数具有对称性；每一行中的系数都是先增后减，中间一项或两项的系数最大；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. 1.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数 ，即=. 2.增减性与最大值： (1)若n为奇数，当k≤时，，此时递增，当k≥时，，此时递减；若n为偶数，当k≤时，，此时递增，当k≥时，，此时递减. (2)当n是偶数时，中间的一项_____取得最大值；当n是奇数时，中间的 两项______与______相等，且同时取得最大值. 相等 < < > > 知识梳理 　 已知在(x-2)n(n∈N*)的展开式中，第2项与第8项的二项式系数相等. (1)求n的值； 例 1 依题意得，=，解得n=8. 8 (2)求展开式中二项式系数最大的项. 因为n=8，展开式中共有9项，根据二项式系数的性质，可得第5项的二项式系数最大，于是展开式中二项式系数最大的项为x4(-2)4=1 120x4. 9 通过二项式系数的性质，利用对称性二项式系数相等；利用对(a+b)n的n的值进行讨论，求解二项式系数最大问题. 反 思 感 悟 10 　 (1)已知(a+b)2n的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则(2x-1)n的展开式中x3的系数为 A.80 B.40 C.-40 D.-80 跟踪训练 1 √ 由题意=，所以3+7=2n，解得n=5， 则(2x-1)5的展开式的通项为 Tk+1=(2x)5-k(-1)k=(-1)k25-kx5-k， 由5-k=3，得k=2，所以x3的系数为(-1)2××23=80. 11 (2)如图是与杨辉三角有类似性质的三角形数垒，a，b是某行的前两个数，当a=7时，b等于 A.20 B.21 C.22 D.23 √ 由a=7，可知b左肩上的数为6，右肩上的数为11+5=16，所以b=6+16=22. 12 二 各二项式系数的和 提示　+++…+=2n； +++…=+++…=2n-1. 在二项展开式(a+b)n=an+an-1b+an-2b2+…+an-kbk+…+bn 中，令a=b=1，可得到什么结论？令a=1，b=-1，可得到什么结论？ 问题2 1.++…+=_____. 2.+++…=+++…=_______. 2n 2n-1 知识梳理 　 (1)的展开式中所有二项式系数的和是　　　；展开式 中所有偶数项的二项式系数和是　　　.(用数字作答)  例 2 的展开式中所有二项式系数的和是28=256，展开式中所有偶数项的二项式系数和是27=128. 256 128 16 (2)已知(x-my)n的展开式中二项式系数之和为64，x3y3的系数为-160，则实数m=　　　.  由题意得，2n=64，解得n=6，而(x-my)6的通项公式为Tk+1=x6-k(-my)k，0≤k≤6，k∈N，所以x3y3的系数为(-m)3=-160，解得m=2. 2 17 反 思 感 悟 (a+b)n的展开式的各二项式系数的和为2n. 　已知(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为 A.512 B.210 C.211 D.212 跟踪训练 2 √ ∵(1+2x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等， ∴=，解得n=10，各二项式系数之和为210， ∵奇数项的二项式系数与偶数项的二项式系数的和相等， ∴(1+2x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210=29=512. 19 三 二项展开式的各项系数的和 　若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0，求： (1)a1+a2+…+a7； 例 3 令x=0，得a0=-1. 令x=1，得a0+a1+…+a7=27=128， ① ∴a1+a2+…+a7=129. 21 (2)a1+a3+a5+a7； 令x=-1，则a0-a1+…+a6-a7=(-4)7， ② 由①-②得2(a1+a3+a5+a7)=128-(-4)7， ∴a1+a3+a5+a7=8 256. 22 (3)|a0|+|a1|+…+|a7|. ∵Tk+1=(3x)7-k(-1)k， ∴|a0|+|a1|+…+|a7|=-a0+a1-a2+a3-…-a6+a7=47=16 384. 23 反 思 感 悟 (1)对形如(ax+b)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x=1即可；对形如(ax+by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x=y=1即可. (2)若f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+…=，偶数项系数之和为a1+a3+a5+…=. 求展开式的各项系数之和常用赋值法 　设(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024(x∈R). (1)求a0的值； 跟踪训练 3 在(1-2x)2 024=a0+a1x+a2x2+…+a2 024x2 024中，令x=0，得1=a0，∴a0=1. 25 (2)求a1+a2+a3+…+a2 024的值； 令x=1，得1=a0+a1+a2+a3+…+a2 024， ∴a1+a2+a3+…+a2 024=0. 26 (3)求a1+a3+a5+…+a2 023的值. 分别令x=-1，x=1， 得 ②-①得1-32 024=2(a1+a3+…+a2 023). ∴a1+a3+a5+…+a2 023=. 27 1.知识清单： (1)二项式系数的对称性、增减性与最大值. (2)各二项式系数的和. (3)二项展开式的各项系数的和. 2.方法归纳：赋值法. 3.常见误区：系数与二项式系数的区别，中间项的个数，含绝对值的系数. 课堂小结 28 随堂演练 四 1 2 3 4 1.在(a-b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是 A.第15项 B.第16项 C.第17项 D.第18项 √ 第6项的二项式系数为=，所以第16项符合条件. 2.的展开式中二项式系数最大的项是 A.第3项 B.第6项 C.第6，7项 D.第5，7项 1 2 3 4 √ +1项和+1项，即第6，7项的二项式系数相等，且最大. 3.若的展开式中所有二项式系数的和为64，则展开式中的常数项是 A.240 B.-240 C.160 D.-160 1 2 3 4 √ 由二项式系数的性质可知，二项式系数和为2n=64，所以n=6，的展开式的通项为Tk+1=(2x)6-k=(-1)k26-kx6-3k， 令6-3k=0，则k=2， 则常数项为T3=(-1)224=240. 4.若(2-x)7=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a7(1+x)7，则a0+a1+a2+…+a6+a7的值为　　　.  1 2 3 4 令x=0，得a0+a1+a2+…+a7=27=128. 128 课时对点练 五 1.已知的二项展开式中，第3项与第9项的二项式系数相等，则所有项的系数之和为 A.212 B.312 C.310 D.210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 因为的二项展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，所以=，解得n=10，令x=1，得所有项的系数之和为310. 2.若(x+3y)n展开式的各项系数和等于(7a+b)10展开式中的二项式系数之和，则n的值为 A.5 B.8 C.10 D.15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ (7a+b)10的展开式的二项式系数之和为210，令x=1，y=1，得(x+3y)n展开式的各项系数之和为4n，则由题意知，4n=210，解得n=5. 3.(多选)(1+x)n展开式中，是最大的二项式系数，则n可以是 A.8 B.9 C.10 D.11 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 当n=9时，=均为最大；当n=10时，最大；当n=11时，=均为最大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为 A.1 B.±1 C.2 D.±2 √ 由题意知2n=32，即n=5，在二项展开式的通项Tk+1=)5-k= ak中，令15-5k=0，得k=3. 所以a3=80，解得a=2. 5.已知的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为1∶4，则展开式中二项式系数最大的项为 A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 的展开式的通项为Tk+1=)n-k·=·2k·， 第3项为T3=·22··22， 倒数第3项为Tn-1=·2n-2··2n-2， 由题意得，=24-n==2-2，所以n=6， 所以展开式中二项式系数最大的项为第4项. 6.(多选)设(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7，则下列结论正确的是 A.a2+a5=588 B.a1+a2+…+a7=1 C.a1+a3+a5+a7= D.|a1|+|a2|+…+|a7|=37-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为(2x-1)7展开式的通项为 Tk+1=(2x)7-k(-1)k=(-1)k27-kx7-k， 又(2x-1)7=a0+a1x+a2x2+…+a6x6+a7x7， 所以a2=(-1)527-5=-84， a5=(-1)227-2=672，则a2+a5=588，故A正确； 令x=1，则(2-1)7=a0+a1+a2+…+a6+a7=1， 令x=0，则(0-1)7=a0=-1； 令x=-1，则(-2-1)7=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=-37， 故a1+a2+…+a7=1-a0=2，故B错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1+a3+a5+a7=-=，故C正确； |a1|+|a2|+…+|a7|=a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7)+a0=37 -1，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是　　　.  令x=1，得2n=32，故n=5. Tk+1=(x2)5-k=x10-2k-3k=x10-5k， 令10-5k=0，得k=2. 故展开式中的常数项为T3==10. 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.设(3x-2)6=a0+a1(2x-1)+a2(2x-1)2+…+a6(2x-1)6，则=　　　.  - 令x=1，得a0+a1+a2+…+a6=1；令x=0，得a0-a1+a2-…+a6=64，两式相减得2(a1+a3+a5)=-63，两式相加得2(a0+a2+a4+a6)=65，故=-. 45 9.在二项式的展开式中，若第4项的系数与第7项的系数比为 -1∶14，求： (1)二项展开式中的各项的二项式系数之和； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Tk+1=)n-k=(-2)k， ∵(-2)3∶(-2)6=-1∶14，∴n=10. ++…+=210=1 024. 二项式的展开式的通项为 (2)二项展开式中的各项的系数之和. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=1，得各项系数之和为(-1)10=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.设(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，求： (1)a1+a2+a3+a4； 在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4=1， 令x=0，得(0-3)4=a0=81， 所以a1+a2+a3+a4=a0+a1+a2+a3+a4-a0 =1-81=-80. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2； 在(2x-3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4中， 令x=1，得(2-3)4=a0+a1+a2+a3+a4. ① 令x=-1，得(-2-3)4=a0-a1+a2-a3+a4. ② 所以(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2 =(a0-a1+a2-a3+a4)(a0+a1+a2+a3+a4) =(-2-3)4(2-3)4=(2+3)4(2-3)4=625. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)|a1|+|a2|+|a3|+|a4|. 由展开式知a0，a2，a4为正，a1，a3为负， 所以|a1|+|a2|+|a3|+|a4|=-a1+a2-a3+a4 =a0-a1+a2-a3+a4-a0 =625-81=544. 11.若(1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024(x∈R)，则++…+的值为 A.2 B.0 C.-2 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 (1-2x)2 024=a0+a1x+…+a2 024x2 024， 令x=0，得a0=1， 令x=，得a0+++…+=0， 所以++…+=-1. 12.(多选)若的二项展开式共有8项，则该二项展开式中 A.各项二项式系数和为128 B.项数为奇数的各项系数和为-64 C.有理项共有4项 D.第4项与第5项的系数相等且最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为的二项展开式共有8项，故n=7，则二项式系数和为2n=27=128，故A正确； 的展开式的通项为Tk+1=(-1)k +++=64，故B错误； 根据Tk+1=(-1)k，当k取0，2，4，6时，Tk+1=(-1)k为有理项，共有4项，故C正确； T4=-，T5=x，第4项与第5项的系数互为相反数，故D错误. 13.已知(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3).若a1+a2+ a3+…+an=134，则a3=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于(1+x)3+(1+x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn(n∈N，且n≥3)， 令x=0，得a0=2； 令x=1，得(1+1)3+(1+1)n=a0+a1+a2+a3+…+an=2+134， 即2n=128，n=7，故a3=×10+×14=36. 36 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知(2x-1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则+++…+=　　　.  255 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设(2x-1)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B. 则A=a1+a3+a5+…，B=a0+a2+a4+a6+…. 由已知，B-A=38. 令x=-1，得a0-a1+a2-a3+…+an(-1)n=(-3)n， 即(a0+a2+a4+a6+…)-(a1+a3+a5+a7+…)=(-3)n， 即B-A=(-3)n. ∴(-3)n=38=(-3)8，∴n=8. 由二项式系数的性质，可得+++…+=2n-=28-1=255. 15.已知(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024，则a2 023+2a2 022+3a2 021+ 4a2 020+…+2 023a1+2 024a0等于 A.2 024×22 024 B.2 023×22 023 C.2 024×22 023 D.2 023×22 022 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令x=1，则a0+a1+a2+a3+…+a2 024=22 024， 故2 024(a0+a1+a2+a3+…+a2 024)=2 024×22 024， ① 等式(1+x)2 024=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 024x2 024两边求导得 2 024(1+x)2 023=a1+2a2x+3a3x2+…+2 024a2 024x2 023， 令x=1，则2 024×22 023=a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024， ② 由①②得a2 023+2a2 022+3a2 021+4a2 020+…+2 023a1+2 024a0 =2 024(a0+a1+a2+…+a2 024)-(a1+2a2+3a3+…+2 024a2 024) =2 024×22 024-2 024×22 023=2 024×22 023. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，它的许多性质与组合数的性质有关，杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律，如图是一个11阶杨辉三角. (1)求第20行中从左到右的第4个数； =1 140. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)在第2斜列中，前5个数依次为1，3，6，10，15，在第3斜列中，第5个数为35.显然，1+3+6+10+15=35.事实上，一般地有这样的结论：第m-1斜列中(从右上到左下)前k个数之和，一定等于第m斜列中第k个数. 试用含有m，k(m，k∈N*)的数学公式表示上述结论，并给予证明. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ++…+=. 证明如下： 左边=++…+ =++…+ =…=+==右边. 第六章 <<< $$