第6章 6.2.3-6.2.4 第1课时 组合与组合数-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第三册教师用书（人教A版2019）

6.2.3　组　合 6.2.4　组合数 第1课时　组合与组合数 [学习目标]　1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系.2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题. 导语 小明五一到某地旅游，要从A，B，C，D4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 一、组合概念的理解 问题1　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？ 提示　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种；由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，不是排列问题. 知识梳理 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注意点： (1)排列与组合的共同点：都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个； 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关. (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 例1　(1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的是(　　) A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本 答案　CD 解析　A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题. (2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积. 解　得到的对数有log23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12个， 所有的乘积有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6个. 反思感悟　判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 跟踪训练1　(1)下列各事件中，属于组合问题的是(　　) A.从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习 B.从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上 C.某同学从4门课程中选修2门 D.从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员 答案　C 解析　从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习与顺序有关，是排列问题；从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上与顺序有关，是排列问题；某同学从4门课程中选修2门，与顺序无关，是组合问题；从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员与顺序有关，是排列问题. (2)写出从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合； 解　从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 二、利用组合数公式化简、求值与证明 问题2　类比排列数，请写出组合数的概念. 提示　从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 问题3　我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数. 提示　“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 根据分步乘法计数原理，有=x·，即x=. 知识梳理 (1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示. (2)组合数公式： ==或=(n，m∈N*，且m≤n). (3)规定：=1. (4)性质1：=， 性质2：=+. 注意点： (1)m≤n，m，n∈N*； (2)==常用于计算； =常用于证明. (3)性质1(互补性质)多用于当m≥时的化简求值；性质2(组合恒等式)的特征为：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数，多用于恒等变形，简化运算. 例2　(1)+等于(　　) A.25 B.30 C.35 D.40 答案　B 解析　+=+=10+20=30. (2)若=，则+++…+的值为(　　) A.45 B.55 C.120 D.165 答案　D 解析　因为=，则m+m+2=22，解得m=10，故+++…+=+++…+=++…+=++…+=…=+==165. 反思感悟　(1)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验. (2)合理选用组合数的两个性质=，=-能起到简化运算的作用，需熟练掌握. 跟踪训练2　(1)(多选)下列等式正确的是(　　) A.若=，则n=8 B.=+ C.++=7 D.7-4=0 答案　BCD 解析　对于A，由=，得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18，解得n=2或n=8(舍去)，A不正确； 对于B，由组合数的性质知B正确； 对于C，++=1+3+3=7，C正确； 对于D，7-4=7×-4×=140-140=0，D正确. (2)计算：++++++=　　　　.  答案　490 解析　++++++=++++++-5=-5 =-5=-5=490. 三、组合数的简单应用 例3　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？ (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 解　(1)4人中男生和女生各选2人，共有×=10×6=60(种)选法. (2)除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21(种)选法. (3)方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有=21(种)选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有=70(种)选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91(种)选法. 方法二　(间接法)男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有=35(种)选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有-=126-35=91(种)选法. (4)方法一　(直接法)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女.则4人中必须既有男生又有女生共有++=20+60+40=120(种)选法. 方法二　(间接法)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有--=120(种)选法. 反思感悟　解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 跟踪训练3　一个口袋内装有7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 解　(1)从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是==56. (2)从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是==21. (3)由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是 ==35. 1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)组合数的计算与证明. (3)组合数的简单应用. 2.方法归纳：公式法、间接法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”. 1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.30种 答案　B 解析　三张票没区别，从10人中选3人即可，即. 2.若=36，则n的值为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　C 解析　∵=36，∴=36， 即n2-n-72=0，∴(n-9)(n+8)=0. ∵n∈N*，∴n=9. 3.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有(　　) A.200种 B.400种 C.100种 D.300种 答案　A 解析　从6门选修课中任意选择3门有种方法，从5种课外活动小组中选择2种有种方法，由分步乘法计数原理得=20×10=200(种)，所以不同的选法有200种. 4.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为(　　) A.28 B.49 C.56 D.85 答案　B 解析　依题意，满足条件的选法种数为+=49. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.下列问题中不是组合问题的是(　　) A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B.平面上有2 024个点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条直线 C.集合｛a1，a2，a3，…，an｝的含有三个元素的子集有多少个 D.从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法 答案　D 解析　选项A，B，C与顺序无关，是组合问题；选项D与顺序有关，是排列问题. 2.(多选)方程=的解为(　　) A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=9 答案　AD 解析　由题意，得x=3x-8或x+3x-8=28，且x满足不等式组解得x=4或x=9. 3.(多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有(　　) A.“其中恰有2件次品”的取法有8种 B.“其中恰有1件次品”的取法有28种 C.“其中没有次品”的取法有56种 D.“其中至少有1件次品”的取法有56种 答案　BD 解析　抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=8(种)，A正确； 抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=56(种)，B错误； 抽到的3件产品中没有次品的取法有=56(种)，C正确； 抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有+=64(种)，D错误. 4.如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为(　　) A.220 B.200 C.190 D.170 答案　C 解析　任取三个点有种，其中三点共线的有3种，故能构成三角形的数量为-3=190. 5.若>，则n的取值集合是(　　) A.｛6，7，8，9｝ B.｛6，7，8｝ C.｛n∈N*|n≥6｝ D.｛7，8，9｝ 答案　A 解析　∵>， ∴ 即解得6≤n<10. ∵n∈N*，∴n=6，7，8，9. ∴n的取值集合为. 6.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有(　　) A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 答案　D 解析　从7人中选4人，共有=35(种)选法，4人全是男生的选法有=1(种).故4人中既有男生又有女生的选法种数为35-1=34. 7.(5分)10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为　　　　　.(用数字作答)  答案　210 解析　从10人中任选出4人作为甲组， 则剩下的人即为乙组，这是组合问题， 共有=210(种)分法. 8.(5分)计算：+++=　　　　.  答案　128 解析　+++=2(+) =2× =2×(8+56)=128. 9.(10分)(1)求值：+；(5分) (2)若+++…+=55，求正整数n.(5分) 解　(1)由+可得 解得n=10， 则+=+=+=466. (2)+++…+ =++++…+-1 =+++…+-1 =++…+-1=-1=55， 故=56=，解得n=7. 10.(11分)某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？ (1)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个；(3分) (2)甲、乙两个景点至多选一个；(4分) (3)甲、乙两个景点至少选一个.(4分) 解　(1)甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个，有=12(种)选法. (2)若甲、乙两个景点都不去有=15(种)选法，甲、乙两个景点只去一个有=12(种)选法. 则甲、乙两个景点至多选1个有15+12=27(种)选法. (3)甲、乙两个景点都不去有种选法， 则甲、乙两个景点至少选1个的选法有-=28-15=13(种). 11.新课程改革后，某地区普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中选三门参加考试，某考生计划从物理、历史两科中至少选一门，那么该考生选科的种类有(　　) A.14种 B.15种 C.16种 D.17种 答案　C 解析　物理、历史两科中选一门有=12(种)选法； 物理和历史都选有=4(种)选法， 所以物理、历史两科中至少选一门，该考生选科的种类有12+4=16(种). 12.甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有(　　) A.15种 B.30种 C.45种 D.60种 答案　D 解析　甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；丙选剩下的2天即可，有种选法，故不同的排班方案共有=60(种). 13.(5分)从5名男生和2名女生中选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有　　　　种.  答案　25 解析　从5名男生和2名女生中，选出3名代表的方法总数为=35，从5名男生和2名女生中，选出3名代表全是男生的方法数为=10，所以从5名男生和2名女生中选出至少包含1名女生的方法数为35-10=25. 14.(5分)4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有　　　　种.  答案　36 解析　把4名学生分成3组有种方法，再把3组学生分配到3所学校有种方法，故共有=36(种)保送方案. 15.(5分)某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　　条.  答案　126 解析　要使路线最短，只能向东或向北走，途中不能向西或向南走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有=126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条. 16.(12分)如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1的有多少个？(6分) (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？(6分) 解　(1)可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点构成一个三角形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取一点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取两点构成一个三角形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取一点构成一个三角形，有个. 所以共有++=116(个). 其中含点C1的三角形有=36(个). (2)构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， 因此可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取四点构成一个四边形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取一点构成一个四边形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取两点构成一个四边形，有个. 所以共有++=360(个). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 <<< 第1课时 组合与组合数 1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.掌握组合数公式及性质的应用，会用组合知识解决一些简单的组合问题. 学习目标 小明五一到某地旅游，要从A，B，C，D4处景点中选择2处，上午选1处，下午选1处，有多少种不同的旅游方案？如果仅从A，B，C，D4处景点中选择2处，又有多少种不同的旅游方案呢？ 导 语 一、组合概念的理解 二、利用组合数公式化简、求值与证明 课时对点练 三、组合数的简单应用 随堂演练 内容索引 一 组合概念的理解 从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？这一问题是排列问题吗？ 问题1 提示　从甲、乙、丙3名同学中选2名去参加一项活动，不同的选法有：甲乙、甲丙、乙丙，共3种；由于只需将选出的2名同学作为一组，不需要考虑顺序，不是排列问题. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 作为一组 知识梳理 (1)排列与组合的共同点：都是从n个不同元素中取出m(m≤n)个； 不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关. (2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 注 意 点 <<< 8 　 (1)(多选)下列四个问题中，属于组合问题的是 A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.将3本相同的书分给10人中的3人，每人1本 例 1 A，B与顺序有关，是排列问题，而C，D与顺序无关，是组合问题. √ √ 9 (2)从2，3，4，5四个数中任取2个数作为对数式logab的底数与真数，试写出得到的所有对数；若从四个数中任取2个数相乘，试写出所有的乘积. 得到的对数有log23，log24，log25，log32，log34，log35，log42，log43，log45，log52，log53，log54，共12个， 所有的乘积有2×3=6，2×4=8，2×5=10，3×4=12，3×5=15，4×5=20，共6个. 10 判断组合与排列的依据是看是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题. 反 思 感 悟 11 　(1)下列各事件中，属于组合问题的是 A.从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习 B.从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上 C.某同学从4门课程中选修2门 D.从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员 跟踪训练 1 √ 12 从3名教师中，选出2名分别去北京、上海学习与顺序有关，是排列问题；从10名司机中选出4名，分配到4辆汽车上与顺序有关，是排列问题；某同学从4门课程中选修2门，与顺序无关，是组合问题；从13位同学中任选出两位担任学习委员、体育委员与顺序有关，是排列问题. 13 (2)写出从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合； 从a，b，c，d，e五个元素中任取两个不同元素的所有组合有ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de. 14 二 利用组合数公式化简、求值与证明 提示　从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 类比排列数，请写出组合数的概念. 问题2 提示　“从n个不同元素中取出m个元素的排列数”可以看作由以下两个步骤得到： 第1步，从n个不同元素中取出m个元素作为一组，设共有x种不同的取法； 第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法. 我们前面学习了排列和组合的关系，请利用这种关系，用排列数表示组合数. 问题3 根据分步乘法计数原理，有=x·，即x=. (1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的___________________， 叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号_____表示. (2)组合数公式： ==____________________或=(n，m∈N*，且m≤n). (3)规定：=1. (4)性质1：=_________， 性质2：=+. 所有不同组合的个数 知识梳理 (1)m≤n，m，n∈N*； (2)==常用于计算； =常用于证明. (3)性质1(互补性质)多用于当m≥时的化简求值；性质2(组合恒等式)的特征为：下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数，多用于恒等变形，简化运算. 注 意 点 <<< 19 　(1)+等于 A.25 B.30 C.35 D.40 例 2 √ +=+=10+20=30. 20 (2)若=，则+++…+的值为 A.45 B.55 C.120 D.165 √ 因为=，则m+m+2=22，解得m=10，故+++…+= +++…+=++…+=++…+=…=+==165. 21 (1)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件n≥m.求出方程或不等式的解后，要进行检验. (2)合理选用组合数的两个性质=，=-能起到简化运算的作用，需熟练掌握. 反 思 感 悟 22 　(1)(多选)下列等式正确的是 A.若=，则n=8 B.=+ C.++=7 D.7-4=0 跟踪训练 2 √ √ √ 23 对于A，由=，得3n+6=4n-2或3n+6+4n-2=18，解得n=2或n=8(舍去)，A不正确； 对于B，由组合数的性质知B正确； 对于C，++=1+3+3=7，C正确； 对于D，7-4=7×-4×=140-140=0，D正确. 24 (2)计算：++++++=　　　.  ++++++=++++++-5=-5 =-5=-5=490. 490 25 三 组合数的简单应用 　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. (1)如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法？ 例 3 4人中男生和女生各选2人，共有×=10×6=60(种)选法. 27 (2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？ 除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21(种)选法. 28 (3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？ 方法一　(直接法)男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有=21(种)选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有=70(种)选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91(种)选法. 方法二　(间接法)男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有=35(种)选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有-=126-35=91(种)选法. 29 (4)如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法？ 方法一　(直接法)如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女.则4人中必须既有男生又有女生共有++=20+60+40=120(种)选法. 方法二　(间接法)如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有--=120(种)选法. 30 反 思 感 悟 解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题.与两个基本原理的应用有关的问题，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏. 一个口袋内装有7个白球和1个黑球. (1)从口袋内取出3个球，共有多少种取法？ 跟踪训练 3 从口袋内的8个球中取出3个球， 取法种数是==56. 32 (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ 从口袋内取出3个球有1个是黑球，于是还要从7个白球中再取出2个，取法种数是==21. 33 (3)从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？ 由于所取出的3个球中不含黑球，也就是要从7个白球中取出3个球，取法种数是==35. 34 1.知识清单： (1)组合与组合数的定义. (2)组合数的计算与证明. (3)组合数的简单应用. 2.方法归纳：公式法、间接法. 3.常见误区：分不清“排列”还是“组合”. 课堂小结 35 随堂演练 四 1 2 3 4 1.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 A.种 B.种 C.种 D.30种 √ 三张票没区别，从10人中选3人即可，即. 2.若=36，则n的值为 A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 3 4 √ ∵=36，∴=36， 即n2-n-72=0，∴(n-9)(n+8)=0. ∵n∈N*，∴n=9. 3.学生可从本年级开设的6门选修课中任意选择3门，并从5种课外活动小组中选择2种，则不同的选法有 A.200种 B.400种 C.100种 D.300种 1 2 3 4 √ 从6门选修课中任意选择3门有种方法，从5种课外活动小组中选择2种有=20×10=200(种)，所以不同的选法有200种. 4.从10名大学毕业生中选3人担任村主任助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的选法种数为 A.28 B.49 C.56 D.85 1 2 3 4 依题意，满足条件的选法种数为+=49. √ 课时对点练 五 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 1.下列问题中不是组合问题的是 A.10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次 B.平面上有2 024个点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成 多少条直线 C.集合｛a1，a2，a3，…，an｝的含有三个元素的子集有多少个 D.从高二(6)班的50名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独 舞节目，有多少种选法 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 选项A，B，C与顺序无关，是组合问题； 选项D与顺序有关，是排列问题. 2.(多选)方程=的解为 A.x=4 B.x=5 C.x=6 D.x=9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意，得x=3x-8或x+3x-8=28，且x满足不等式组解得x=4或x=9. √ 3.(多选)在10件产品中，有2件次品，若从中任取3件，则下列结论错误的有 A.“其中恰有2件次品”的取法有8种 B.“其中恰有1件次品”的取法有28种 C.“其中没有次品”的取法有56种 D.“其中至少有1件次品”的取法有56种 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 抽到的3件产品中恰好有2件次品的取法有=8(种)，A正确； 抽到的3件产品中恰好有1件次品的取法有=56(种)，B错误； 抽到的3件产品中没有次品的取法有=56(种)，C正确； 抽到的3件产品中至少有1件次品的取法有+=64(种)，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.如图，在正三角形的12个点中任取三个点构成三角形，能构成三角形的数量为 A.220 B.200 C.190 D.170 √ 任取三个点有种，其中三点共线的有3 -3=190. 5.若>，则n的取值集合是 A.｛6，7，8，9｝ B.｛6，7，8｝ C.｛n∈N*|n≥6｝ D.｛7，8，9｝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵>， ∴ 即解得6≤n<10. ∵n∈N*，∴n=6，7，8，9.∴n的取值集合为. 6.某中学从4名男生和3名女生中选4人参加某高校自主招生考试，若这4人 中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有 A.140种 B.120种 C.35种 D.34种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 从7人中选4人，共有=35(种)选法，4人全是男生的选法有=1(种).故4人中既有男生又有女生的选法种数为35-1=34. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.10个人分成甲、乙两组，甲组4人，乙组6人，则不同的分组种数为　　　.(用数字作答)  从10人中任选出4人作为甲组， 则剩下的人即为乙组，这是组合问题， 共有=210(种)分法. 210 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.计算：+++=　　　.  128 +++=2(+)=2×=2×(8+56)=128. 51 9.(1)求值：+； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由+可得 解得n=10， 则+=+=+=466. (2)若+++…+=55，求正整数n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 +++…+ =++++…+-1 =+++…+-1 =++…+-1=-1=55， 故=56=，解得n=7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.某旅行团要从8个景点中选2个作为当天的旅游地，满足下列条件的选法各有多少种？ (1)甲、乙两个景点必须选一个且只能选一个； 甲、乙两个景点必须选1个且只能选1个，有=12(种)选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)甲、乙两个景点至多选一个； 若甲、乙两个景点都不去有=15(种)选法，甲、乙两个景点只去一个有=12(种)选法. 则甲、乙两个景点至多选1个有15+12=27(种)选法. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)甲、乙两个景点至少选一个. 甲、乙两个景点都不去有种选法， 则甲、乙两个景点至少选1个的选法有-=28-15=13(种). 11.新课程改革后，某地区普通高校招生方案规定：每位考生从物理、化学、生物、地理、政治、历史六门学科中选三门参加考试，某考生计划从物理、历史两科中至少选一门，那么该考生选科的种类有 A.14种 B.15种 C.16种 D.17种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 物理、历史两科中选一门有=12(种)选法； 物理和历史都选有=4(种)选法， 所以物理、历史两科中至少选一门，该考生选科的种类有12+4=16(种). 12.甲、乙、丙三人值班，周一到周六每人分别值班2天，若甲不在周一值班，则不同的排班方案有 A.15种 B.30种 C.45种 D.60种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 甲从周二至周六5天中选2天值班，有种选法；乙可从剩下的4天中任选2天值班，有种选法；丙选剩下的2天即可，有=60(种). 13.从5名男生和2名女生中选出3名代表，要求至少包含1名女生，则不同的选法有　　　种.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 从5名男生和2名女生中，选出3名代表的方法总数为=35，从5名男生和2名女生中，选出3名代表全是男生的方法数为=10，所以从5名男生和2名女生中选出至少包含1名女生的方法数为35-10=25. 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去1名，则不同的保送方案有　　　种.  36 把4名学生分成3组有种方法，再把3组学生分配到3所学校有=36(种)保送方案. 15.某城市纵向有6条道路，横向有5条道路，构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路)，则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有　　　条.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 126 要使路线最短，只能向东或向北走，途中不能向西或向南走.因此，从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段，从9个行走时段中任取4个时段走纵线段，其余5个时段走横线段，共有=126(种)走法，故从A地到B地的最短路线共有126条. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，C3，C4，C5，C6，直径AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点(不包括A，B)中的3个点为 顶点作三角形可作出多少个？其中含点C1 的有多少个？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点构成 一个三角形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取一点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取两点构成一个三角形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4这四个点中任取一点构成一个三角形，有个. 所以共有++=116(个). 其中含点C1的三角形有=36(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)以图中的12个点(包括A，B)中的4个点为顶点，可作出多少个四边形？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 构成一个四边形，需要四个点，且无三点共线， 因此可分三种情况处理： ①在C1，C2，…，C6这六个点中任取四点构成 一个四边形，有个； ②在C1，C2，…，C6这六个点中任取三点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取一点构成一个四边形，有个； ③在C1，C2，…，C6这六个点中任取两点，D1，D2，D3，D4，A，B这六个点中任取两点构成一个四边形，有个. 所以共有++=360(个). 第六章 <<< $$