综合检测试卷(一)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

综合检测试卷(一)　［时间：120分钟　分值：150分］ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.从集合｛1，2，3，…，10｝中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成等比数列，则这样的等比数列的个数是（　　） A.8 B.10 C.12 D.16 答案　A 解析　当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个. 2.设函数f（x）=ax3+b，若f'（-1）=3，则a的值为（　　） A.-1 B. C.1 D. 答案　C 解析　∵f'（x）=3ax2 ， ∴f'（-1）=3a=3，∴a=1. 3.已知数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0（n≥2）.若S5=，则a1等于（　　） A.1 B.-3 C. D.- 答案　C 解析　由an+2SnSn-1=0（n≥2），得Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0，同时除以SnSn-1，得-=2，所以数列是公差为2的等差数列，所以=+4×2=11，所以a1=S1=. 4.函数f（x）=ex-x（e为自然对数的底数）在区间［-1，1］上的最大值是（　　） A.1+ B.1 C.e+1 D.e-1 答案　D 解析　f'（x）=ex-1，令f'（x）=0，得x=0. 又f（0）=e0-0=1，f（1）=e-1>1， f（-1）=+1>1， 且e-1-=e--2=>0， 所以f（x）max=f（1）=e-1. 5.函数y=的大致图象可能是（　　） 答案　D 解析　当x=e时，y=1，即函数过点（e，1），排除A； ∵y=，∴y'=-，x>0且x≠1， 当x>1时，函数单调递减；当0<x<1时，函数单调递减，排除B，C. 6.设等比数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足a1+a4=，S6=9S3.若bn=log2an，则数列｛bn｝的前10项和是（　　） A.-35 B.-25 C.25 D.35 答案　C 解析　设等比数列｛an｝的公比为q.由题意知q≠1， 则解得 所以an=×2n-1=，所以bn=n-3， 所以数列｛bn｝的前10项和T10==5×（-2+7）=25. 7.中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他的杰作《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（　　） A.78石 B.76石 C.75石 D.74石 答案　A 解析　今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列｛an｝，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d===-18，则前3项和S3=3a1+×（-18）=180，解得a1=78.所以甲应该分得78石. 8.定义在（1，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），且（x-1）f'（x）-f（x）>x2-2x对任意x∈（1，+∞）恒成立.若f（2）=3，则不等式f（x）>x2-x+1的解集为（　　） A.（1，2） B.（2，+∞） C.（1，3） D.（3，+∞） 答案　B 解析　由（x-1）f'（x）-f（x）>x2-2x， 得（x-1）f'（x）-f（x）+1>（x-1）2， 即-1>0， 即'>0对任意x∈（1，+∞）恒成立， 令g（x）=-x，则g（x）在（1，+∞）上单调递增， ∵f（2）=3，∴g（2）=0， ∴f（x）>x2-x+1等价于-x>0， 即g（x）>g（2），∴x>2. ∴不等式f（x）>x2-x+1的解集为（2，+∞）. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.函数f（x）=x3-（m∈R）的图象可能是（　　） 答案　ABD 解析　由题意可知，函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞）， 当m>0时，f'（x）=3x2+>0，函数f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，故B正确； 当m=0时，f（x）=x3，f'（x）=3x2>0，所以在（-∞，0），（0，+∞）上单调递增，故D正确； 当m<0时，若x>0，f（x）=x3->0； 若x<0，f（x）=x3-<0； 故A正确，C错误. 10.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则（　　） A.a8>0 B.a9<0 C.，，…，中最大的项为 D.，，…，中最大的项为 答案　ABD 解析　由S15==15a8>0，得a8>0，A正确；由S16==<0，得a9+a8<0，所以a9<0，且d<0，B正确；因为d<0，所以数列｛an｝为递减数列，所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn为负，则，…，为正，，…，为负，C错误；当n≤8时，Sn单调递增，an单调递减，所以单调递增，所以，，…，中最大的项为，D正确. 11.若函数f（x）=ex-1与g（x）=ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为（　　） A.2 B.0 C.1 D.-1 答案　BCD 解析　f（x）=ex-1与g（x）=ax恒过点（0，0），如图， 当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点， 当a>0时，函数f（x）=ex-1与g（x）=ax的图象恰有一个公共点，则g（x）=ax为f（x）=ex-1的切线，且切点为（0，0）， 由f'（x）=ex，所以a=f'（0）=e0=1， 综上所述，a的可能取值为0，-1或1. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.若函数f（x）=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，则a=　　　　.  答案　3 解析　由f（x）=-x3+ax2-4， 可得f'（x）=-3x2+2ax， 因为x=2是函数f（x）的极值点，可得f'（2）=0， 所以-3×4+2a×2=0，解得a=3. 经检验，符合题意. 13.若数列｛an｝满足an+1=，a3=3，则a2 024=　　　　.  答案　 解析　因为an+1=，a3=3，所以a3==3，解得a2=.又a2==，解得a1=-.又a4==-，a5==，a6==3，显然，接下去a7=-，a8=，a9=3，…，所以数列｛an｝是以3为周期的数列，则a2 024=a2+3×674=a2=. 14.若函数f（x）=ax3-x2+1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　当a=0时，f（x）=-x2+1有两个零点，不符合题意； 当a≠0时，f'（x）=3ax2-3x=3x（ax-1）， 令f'（x）=0，解得x1=0，x2=. ①若a>0，则>0，令f'（x）>0，得x<0或x>；令f'（x）<0，得0<x<，则f（x）在（-∞，0），上单调递增，在上单调递减； 又f（-1）=-a-<0，f（0）=1，则此时f（x）在（-∞，0）上存在零点，不符合题意. ②若a<0，则<0，令f'（x）>0，得<x<0；令f'（x）<0，得x<或x>0，则f（x）在上单调递增， 在，（0，+∞）上单调递减. 要使存在唯一的零点x0且x0>0，则满足f=1->0，解得a<-， 综上，实数a的取值范围是. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）已知函数f（x）=x2+aln x. （1）若a=-1，求函数f（x）的极值，并指出是极大值还是极小值；（7分） （2）若a=1，求函数f（x）在［1，e］上的最大值和最小值.（6分） 解　（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）， 当a=-1时，f'（x）=x-=， 令f'（x）=0，得x=1或x=-1（舍去）， 当x∈（0，1）时，f'（x）<0， 函数f（x）单调递减； 当x∈（1，+∞）时，f'（x）>0， 函数f（x）单调递增， 所以f（x）在x=1处取得极小值，极小值为，无极大值. （2）当a=1时，易知函数f（x）在［1，e］上单调递增， 所以f（x）min=f（1）=， f（x）max=f（e）=e2+1. 16.（15分）在等差数列｛an｝中，a2=3，a5=9，在等比数列｛bn｝中，b1=a2，b2=a5. （1）求数列｛an｝，｛bn｝的通项公式；（7分） （2）若cn=anbn，求数列｛cn｝的前n项和Tn.（8分） 解　（1）在等差数列｛an｝中，设首项为a1，公差为d. 由a2=3，a5=9， 得 解得 所以an=2n-1. 又设的公比为q， 由b1=a2=3，b2=a5=9，得q=3， 所以bn=3n. （2）cn=anbn=（2n-1）·3n， Tn=3+3×32+5×33+…+（2n-1）·3n， ① 3Tn=32+3×33+5×34+…+（2n-3）×3n+（2n-1）·3n+1， ② 由①-②得 -2Tn=3+2（32+33+34+…+3n）-（2n-1）·3n+1 =3+2×-（2n-1）·3n+1 =-6+2（1-n）·3n+1， 所以Tn=3+（n-1）·3n+1. 17.（15分）正项数列｛an｝的前n项和Sn满足-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0. （1）求数列｛an｝的通项公式an；（7分） （2）令bn=，数列｛bn｝的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.（8分） （1）解　由-（n2+n-1）Sn-（n2+n）=0， 得［Sn-（n2+n）］（Sn+1）=0. 由于数列｛an｝是正项数列， 所以Sn>0，所以Sn=n2+n. 则a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =n2+n-（n-1）2-（n-1）=2n， 又a1=2=2×1满足上式. 综上，数列｛an｝的通项公式为an=2n（n∈N*）. （2）证明　因为an=2n，所以bn= ==. Tn= =< =. 所以对于任意的n∈N*，都有Tn<. 18.（17分）某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x-6）2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. （1）求实数a的值；（7分） （2）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值.（10分） 解　（1）∵当x=5时，y=11， ∴由函数式y=+10（x-6）2， 得+10=11， ∴a=2. （2）由（1）知该商品每日的销售量y=+10（x-6）2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为 f（x）=（x-3） =2+10（x-3）（x-6）2，3<x<6， f'（x）=10［（x-6）2+2（x-3）（x-6）］ =30（x-4）（x-6）， 令f'（x）=0，得x=4， 当3<x<4时，f'（x）>0，函数f（x）在（3，4）上单调递增； 当4<x<6时，f'（x）<0，函数f（x）在（4，6）上单调递减， ∴当x=4时，函数f（x）取得最大值f（4）=42， ∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 19.（17分）已知函数f（x）=3（x-1）-2xln x. （1）求f（x）的单调递增区间；（5分） （2）若当x≥1时，f（x）≤aln x恒成立，求实数a的取值范围.（12分） 解　（1）因为函数f（x）=3（x-1）-2xln x，x>0， 所以f'（x）=1-2ln x，x>0， 令f'（x）>0， 解得0<x<， 所以f（x）的单调递增区间为. （2）因为当x≥1时，f（x）≤aln x恒成立， 所以当x≥1时，3（x-1）-2xln x-aln x≤0恒成立， 令g（x）=3（x-1）-2xln x-aln x， 则g（1）=0， 且g'（x）=， 令h（x）=x-a-2xln x，h（1）=1-a， 则h'（x）=-1-2ln x， 因为当x≥1 时，h'（x）<0恒成立， 所以h（x）在［1，+∞）上单调递减. 当a≥1时，h（x）≤h（1）≤0，即g'（x）≤0， 所以g（x）在［1，+∞）上单调递减， 故g（x）≤g（1）=0，符合题意； 当a∈（-e，1）时，h（1）>0，h（e）=-e-a<0， 因为h（x）在［1，+∞）上单调递减， 故存在x0∈（1，e）使得h（x0）=0， 则当x∈（1，x0）时，h（x）>0，即g'（x）>0，所以g（x）单调递增，此时g（x）>g（1）=0，不符合题意； 当a∈（-∞，-e］时，h（1）>0，h=a<0，因为h（x）在［1，+∞）上单调递减， 故存在 x0∈使得h（x0）=0， 则当x∈（1，x0）时，h（x）>0，即g'（x）>0，所以g（x）单调递增，此时g（x）>g（1）=0，不符合题意. 综上，a的取值范围为［1，+∞）. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合检测试卷(一) 1.从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使得这三个数依次成等比数列，则这样的等比数列的个数是 A.8 B.10 C.12 D.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 一、单项选择题 √ 当公比为2时，等比数列可为1，2，4；2，4，8；当公比为3时，等比数列可为1，3，9；当公比为时，等比数列可为4，6，9.同时，4，2，1；8，4，2；9，3，1和9，6，4也是等比数列，共8个. 2.设函数f(x)=ax3+b，若f'(-1)=3，则a的值为 A.-1 B. C.1 D. ∵f'(x)=3ax2 ， ∴f'(-1)=3a=3，∴a=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an+2SnSn-1=0(n≥2).若S5=，则a1等于 A.1 B.-3 C. D.- 由an+2SnSn-1=0(n≥2)，得Sn-Sn-1+2Sn·Sn-1=0，同时除以SnSn-1，得-=2，所以数列是公差为2的等差数列，所以=+4×2=11，所以a1=S1=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 4.函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数)在区间[-1，1]上的最大值是 A.1+ B.1 C.e+1 D.e-1 f'(x)=ex-1，令f'(x)=0，得x=0. 又f(0)=e0-0=1，f(1)=e-1>1， f(-1)=+1>1， 且e-1-=e--2=>0， 所以f(x)max=f(1)=e-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 5.函数y=的大致图象可能是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x=e时，y=1，即函数过点(e，1)，排除A； ∵y=，∴y'=-，x>0且x≠1， 当x>1时，函数单调递减；当0<x<1时，函数单调递减，排除B，C. 6.设等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1+a4=，S6=9S3.若bn=log2an，则数列{bn}的前10项和是 A.-35 B.-25 C.25 D.35 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 8 设等比数列{an}的公比为q.由题意知q≠1， 则 所以an=×2n-1=，所以bn=n-3， 所以数列{bn}的前10项和T10==5×(-2+7)=25. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9 7.中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他的杰作《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得 A.78石 B.76石 C.75石 D.74石 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，设他们分得的米数构成等差数列{an}，只知道甲比丙多分三十六石，因此公差d===-18，则前3项和S3=3a1+×(-18)=180，解得a1=78.所以甲应该分得78石. 8.定义在(1，+∞)上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且(x-1)f'(x)-f(x)>x2-2x对任意x∈(1，+∞)恒成立.若f(2)=3，则不等式f(x)>x2-x+1的解集为 A.(1，2) B.(2，+∞) C.(1，3) D.(3，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由(x-1)f'(x)-f(x)>x2-2x， 得(x-1)f'(x)-f(x)+1>(x-1)2， 即-1>0， 即'>0对任意x∈(1，+∞)恒成立， 令g(x)=-x，则g(x)在(1，+∞)上单调递增， ∵f(2)=3，∴g(2)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∴f(x)>x2-x+1等价于-x>0， 即g(x)>g(2)，∴x>2. ∴不等式f(x)>x2-x+1的解集为(2，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.函数f(x)=x3-(m∈R)的图象可能是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意可知，函数f(x)的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， 当m>0时，f'(x)=3x2+>0，函数f(x)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故B正确； 当m=0时，f(x)=x3，f'(x)=3x2>0，所以在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增，故D正确； 当m<0时，若x>0，f(x)=x3->0； 若x<0，f(x)=x3-<0； 故A正确，C错误. 16 17 18 19 16 10.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S15>0，S16<0，则 A.a8>0 B.a9<0 C.，，…，中最大的项为 D.，，…，中最大的项为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由S15==15a8>0，得a8>0，A正确； 由S16==<0，得a9+a8<0，所以a9<0，且d<0，B正确； 因为d<0，所以数列{an}为递减数列，所以a1，…，a8为正，a9，…，an为负，且S1，…，S15为正，S16，…，Sn为负，则，…，，…，为负，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当n≤8时，Sn单调递增，an单调递减，所以，…，，D正确. 11.若函数f(x)=ex-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点，则实数a的可能取值为 A.2 B.0 C.1 D.-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ f(x)=ex-1与g(x)=ax恒过点(0，0)，如图， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a≤0时，两函数图象恰有一个公共点， 当a>0时，函数f(x)=ex-1与g(x)=ax的图象恰有一个公共点，则g(x)=ax为f(x)=ex-1的切线，且切点为(0，0)， 由f'(x)=ex，所以a=f'(0)=e0=1， 综上所述，a的可能取值为0，-1或1. 12.若函数f(x)=-x3+ax2-4在x=2处取得极值，则a=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题 由f(x)=-x3+ax2-4， 可得f'(x)=-3x2+2ax， 因为x=2是函数f(x)的极值点，可得f'(2)=0， 所以-3×4+2a×2=0，解得a=3. 经检验，符合题意. 13.若数列{an}满足an+1=，a3=3，则a2 024=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为an+1=，a3=3，所以a3==3，解得a2=.又a2==，解得a1=-.又a4==-，a5==，a6==3，显然，接下去a7=-，a8=，a9=3，…，所以数列{an}是以3为周期的数列，则a2 024=a2+3×674=a2=. 14.若函数f(x)=ax3-x2+1存在唯一的零点x0，且x0>0，则实数a的取值范围是　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a=0时，f(x)=-x2+1有两个零点，不符合题意； 当a≠0时，f'(x)=3ax2-3x=3x(ax-1)， 令f'(x)=0，解得x1=0，x2=. ①若a>0，则>0，令f'(x)>0，得x<0或x>；令f'(x)<0，得0<x<，则f(x)在(-∞，0)，上单调递减； 又f(-1)=-a-<0，f(0)=1，则此时f(x)在(-∞，0)上存在零点，不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ②若a<0，则<0，令f'(x)>0，得<x<0；令f'(x)<0，得x<或x>0，则f(x)在上单调递增， 在，(0，+∞)上单调递减. 要使存在唯一的零点x0且x0>0，则满足f=1->0，解得a<-， 综上，实数a的取值范围是. 15.已知函数f(x)=x2+aln x. (1)若a=-1，求函数f(x)的极值，并指出是极大值还是极小值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 函数f(x)的定义域为(0，+∞)， 当a=-1时，f'(x)=x-=， 令f'(x)=0，得x=1或x=-1(舍去)， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0， 函数f(x)单调递减； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 函数f(x)单调递增， 所以f(x)在x=1处取得极小值，极小值为，无极大值. (2)若a=1，求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a=1时，易知函数f(x)在[1，e]上单调递增， 所以f(x)min=f(1)=， f(x)max=f(e)=e2+1. 16.在等差数列{an}中，a2=3，a5=9，在等比数列{bn}中，b1=a2，b2=a5. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 在等差数列{an}中，设首项为a1，公差为d. 由a2=3，a5=9， 得 解得 所以an=2n-1. 又设的公比为q， 由b1=a2=3，b2=a5=9，得q=3， 所以bn=3n. (2)若cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 cn=anbn=(2n-1)·3n， Tn=3+3×32+5×33+…+(2n-1)·3n， ① 3Tn=32+3×33+5×34+…+(2n-3)×3n+(2n-1)·3n+1， ② 由①-②得 -2Tn=3+2(32+33+34+…+3n)-(2n-1)·3n+1 =3+2×-(2n-1)·3n+1 =-6+2(1-n)·3n+1， 所以Tn=3+(n-1)·3n+1. 17.正项数列{an}的前n项和Sn满足-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0. (1)求数列{an}的通项公式an； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由-(n2+n-1)Sn-(n2+n)=0， 得[Sn-(n2+n)](Sn+1)=0. 由于数列{an}是正项数列， 所以Sn>0，所以Sn=n2+n. 则a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =n2+n-(n-1)2-(n-1)=2n， 又a1=2=2×1满足上式. 综上，数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*). (2)令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为an=2n，所以bn= ==. Tn= =< =. 所以对于任意的n∈N*，都有Tn<. 18.某商场销售某件商品的经验表明，该商品每日的销量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2，其中3<x<6，a为常数.已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克. (1)求实数a的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵当x=5时，y=11， ∴由函数式y=+10(x-6)2， 得+10=11， ∴a=2. 16 17 18 19 (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大，并求出最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)知该商品每日的销售量y=+10(x-6)2， ∴商场每日销售该商品所获得的利润为 f(x)=(x-3) =2+10(x-3)(x-6)2，3<x<6， f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)] =30(x-4)(x-6)， 令f'(x)=0，得x=4， 当3<x<4时，f'(x)>0，函数f(x)在(3，4)上单调递增； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当4<x<6时，f'(x)<0，函数f(x)在(4，6)上单调递减， ∴当x=4时，函数f(x)取得最大值f(4)=42， ∴当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大，最大值为42. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.已知函数f(x)=3(x-1)-2xln x. (1)求f(x)的单调递增区间； 因为函数f(x)=3(x-1)-2xln x，x>0， 所以f'(x)=1-2ln x，x>0， 令f'(x)>0， 解得0<x<， 所以f(x)的单调递增区间为. (2)若当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立，求实数a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为当x≥1时，f(x)≤aln x恒成立， 所以当x≥1时，3(x-1)-2xln x-aln x≤0恒成立， 令g(x)=3(x-1)-2xln x-aln x， 则g(1)=0， 且g'(x)=， 令h(x)=x-a-2xln x，h(1)=1-a， 则h'(x)=-1-2ln x， 因为当x≥1 时，h'(x)<0恒成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以h(x)在[1，+∞)上单调递减. 当a≥1时，h(x)≤h(1)≤0，即g'(x)≤0， 所以g(x)在[1，+∞)上单调递减， 故g(x)≤g(1)=0，符合题意； 当a∈(-e，1)时，h(1)>0，h(e)=-e-a<0， 因为h(x)在[1，+∞)上单调递减， 故存在x0∈(1，e)使得h(x0)=0， 则当x∈(1，x0)时，h(x)>0，即g'(x)>0，所以g(x)单调递增，此时g(x)>g(1)=0，不符合题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a∈(-∞，-e]时，h(1)>0，h=a<0，因为h(x)在[1，+∞)上单调递减， 故存在 x0∈使得h(x0)=0， 则当x∈(1，x0)时，h(x)>0，即g'(x)>0，所以g(x)单调递增，此时g(x)>g(1)=0，不符合题意. 综上，a的取值范围为[1，+∞). $$