综合检测试卷(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

综合检测试卷(二)　［时间：120分钟　分值：150分］ 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1.已知函数f（x）=sin x，则等于（　　） A. B.1 C. D. 答案　C 解析　由导数的定义可知=f'，又f'（x）=cos x，f'=cos =. 2.若函数f（x）=x2-3x-5ln x的导函数为f'（x），则f'（x）>0的解集为（　　） A.（0，+∞） B.（-1，0）∪ C.（-1，0） D. 答案　D 解析　∵函数f（x）=x2-3x-5ln x的导函数为f'（x）=2x-3-（x>0），令f'（x）>0， ∴解得x>. 3.已知｛an｝是递增数列，则｛an｝的通项公式可能为（　　） A.an=-n2+10n B.an=n3-7n+1 C.an= D.an=2-n 答案　C 解析　对于A，an=-n2+10n=-（n-5）2+25，a5=25>a6=24，A不符合题意； 对于B，an=n3-7n+1，则a1=1-7+1=-5，a2=23-7×2+1=-5，即a1=a2，B不符合题意； 对于C，an==1-，当n增大时，减小，则an=1-增大，C符合题意； 对于D，an=2-n=随着n的增大而减小，D不符合题意. 4.设曲线y=sin x上任一点（x，y）处的切线斜率为g（x），则函数y=x2g（x）的部分图象可以为（　　） 答案　C 解析　由曲线方程y=sin x，可知g（x）=cos x， 所以y=x2g（x）=x2cos x为偶函数，排除A，B； 当x=0时，y=0，排除D，故选C. 5.已知等差数列共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为（　　） A.-3 B.-2 C.2 D.3 答案　D 解析　∵a1+a3+a5+a7+a9=5，a2+a4+a6+a8+a10=20，∴5d=15，∴d=3. 6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有（　　） A.（87-8）人 B.（89-8）人 C.人 D.人 答案　D 解析　由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 8+84+85+86+87+88=8+=人. 7.已知首项为1的数列｛an｝满足（n+2）an+1=2nan对任意正整数n恒成立，则数列的前n项和Sn为（　　） A. B. C. D. 答案　C 解析　由题意易知an≠0， 由（n+2）an+1=2nan变形为=，故=，n≥2， 所以an=an-1=·an-2=··an-3 =…=····…·×a1， 因为a1=1，所以an=，n≥2， 又a1=1符合该式，所以an=， 故==-， 所以Sn=1-+-+-+…+-=1-=. 8.已知数列的前n项和Sn=n2-16n，则等于（　　） A.-55 B.0 C.55 D.73 答案　D 解析　∵Sn=n2-16n， ∴当n=1时，a1=-15， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =n2-16n-［（n-1）2-16（n-1）］=2n-17， 令an≤0，解得n≤8， 令Tn= =-a1-a2-a3-…-a8+a9+a10+a11 =15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.设f（x），g（x）在［a，b］上可导，且f'（x）>g'（x），则当a<x<b时，有（　　） A.f（x）>g（x） B.f（x）<g（x） C.f（x）+g（a）>g（x）+f（a） D.f（x）+g（b）<g（x）+f（b） 答案　CD 解析　因为f'（x）-g'（x）>0， 所以［f（x）-g（x）］'>0， 所以f（x）-g（x）在［a，b］上单调递增， 所以当a<x<b时，f（b）-g（b）>f（x）-g（x）>f（a）-g（a）， 所以f（x）+g（a）>g（x）+f（a），f（x）+g（b）<g（x）+f（b）. 10.已知数列中，前n项和为Sn，且Sn=an，则的值不可能为（　　） A.2 B.5 C.3 D.4 答案　BD 解析　∵Sn=an， ∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1， 化为==1+， 由于数列为递减数列， 可得当n=2时，取得最大值2. ∴的最大值为3. 11.已知函数f（x）=sin x+x3-ax，则下列结论正确的是（　　） A.f（x）是奇函数 B.当a=-3时，函数f（x）恰有两个零点 C.若f（x）为增函数，则a≤1 D.当a=3时，函数f（x）恰有两个极值点 答案　ACD 解析　对于A选项，函数f（x）=sin x+x3-ax的定义域为R， f（-x）=sin（-x）+（-x）3+ax=-sin x-x3+ax=-f（x），函数f（x）为奇函数，A选项正确； 对于B选项，当a=-3时，f（x）=sin x+x3+3x，则f'（x）=cos x+3x2+3>0， 所以函数f（x）在R上为增函数，又f（0）=0，所以函数f（x）有且只有一个零点，B选项错误； 对于C选项，f'（x）=cos x+3x2-a， 由于函数f（x）为增函数，则f'（x）≥0对任意的x∈R恒成立，即a≤3x2+cos x. 令g（x）=3x2+cos x，则g'（x）=6x-sin x，令φ（x）=6x-sin x，则φ'（x）=6-cos x>0， 所以函数g'（x）在R上为增函数， 当x<0时，g'（x）<g'（0）=0，函数g（x）单调递减； 当x>0时，g'（x）>g'（0）=0，函数g（x）单调递增. 所以g（x）min=g（0）=1，∴a≤1，C选项正确； 对于D选项，当a=3时，f（x）=sin x+x3-3x，则f'（x）=cos x+3x2-3. 由C选项可知，函数f'（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增， ∵f'（-1）=f'（1）=cos 1>0，f'（0）=-2<0， ∴由函数零点存在定理可知，函数f'（x）在（-1，0）和（0，1）上都存在一个零点， 因此，当a=3时，函数f（x）有两个极值点，D选项正确. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.在数列｛an｝中，若a1=21，前n项和Sn=-2n2+bn，则Sn的最大值为　　　　.  答案　66 解析　由题意，S1=a1=-2×12+1×b=21，解得b=23，则Sn=-2n2+23n， 二次函数y=-2x2+23x的图象开口向下，对称轴为直线x==5.75， 故当n=5或n=6时Sn取得最大值， S5=-2×52+23×5=65，S6=-2×62+23×6=66，S6>S5， 所以Sn的最大值为66. 13.函数f（x）=（1+x2）ex-1的零点个数为　　　　　　. 答案　1 解析　因为f'（x）=2xex+（1+x2）ex=（1+x）2ex≥0， 所以f（x）单调递增，又因为f（0）=0， 所以f（x）有且仅有1个零点. 14.已知数列｛an｝满足a1=1，且对任意n∈N*，有an+1=an+（-1）n·n，则a22=　　　　.  答案　-10 解析　依题意， a2=a1-1， a3=a2+2， a4=a3-3， a5=a4+4，…， a21=a20+20， a22=a21-21， 上述21个式子相加得a22=a1+10×1-21=1-11=-10. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15.（13分）设函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax+8，其中a∈R.已知f（x）在x=3处取得极值. （1）求f（x）的解析式；（6分） （2）求f（x）在点A（1，16）处的切线方程.（7分） 解　（1）f'（x）=6x2-6（a+1）x+6a. 因为f（x）在x=3处取得极值， 所以f'（3）=6×9-6（a+1）×3+6a=0， 解得a=3. 所以f（x）=2x3-12x2+18x+8. （2）点A在f（x）上， 由（1）可知f'（x）=6x2-24x+18， f'（1）=6-24+18=0， 所以切线方程为y=16. 16.（15分）在①Sn=n2+n，②a3+a5=16，S3+S5=42，③=，S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，数列｛bn｝为等比数列，　　　　，b1=a1，b2=.求数列的前n项和Tn.  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 解　选①： 当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n， 又n=1满足an=2n， 所以an=2n，Sn=n2+n（n∈N*）； 选②： 设数列｛an｝的公差为d，由a3+a5=16，S3+S5=42， 得 解得 所以an=2n，Sn==n2+n（n∈N*）； 选③： 由=， 得=， 所以=， 即an=a1·n， S7=7a4=28a1=56， 所以a1=2， 所以an=2n，Sn==n2+n（n∈N*）. ①②③均可求得an=2n， Sn=n2+n（n∈N*）， 设｛bn｝的公比为q， 又因为a1=2，a2=4， 由b1=a1=2，b2==4， 得b1=2，q=2， 所以bn=2n（n∈N*）， 所以数列｛bn｝的前n项和为=2n+1-2， 因为===-， 所以数列的前n项和为1-+-+…+-=1-， 故Tn=2n+1-2+1-=2n+1--1. 17.（15分）函数f（x）=ax3+3x2+3x（a≠0）. （1）讨论函数f（x）的单调性；（8分） （2）若函数f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围.（7分） 解　（1）f'（x）=3ax2+6x+3，令f'（x）=0， 即3ax2+6x+3=0，因为a≠0，则Δ=36（1-a）. ①若a≥1，则Δ≤0，f'（x）≥0， 所以f（x）在R上是增函数. ②当a<1时，Δ>0，f'（x）=0有两个根， x1=，x2=， 若0<a<1，则当x∈（-∞，x2）或x∈（x1，+∞）时，f'（x）>0，故f（x）在（-∞，x2），（x1，+∞）上单调递增； 当x∈（x2，x1）时，f'（x）<0，故f（x）在（x2，x1）上单调递减. 当a<0时，则当x∈（-∞，x1）或x∈（x2，+∞）时，f'（x）<0，故f（x）在（-∞，x1），（x2，+∞）上单调递减；当x∈（x1，x2）时，f'（x）>0，故f（x）在（x1，x2）上单调递增. （2）当a>0，x>0时，f'（x）=3ax2+6x+3>0， 所以当a>0时，f（x）在区间（1，2）上单调递增. 若a<0时，f（x）在区间（1，2）上单调递增， 则f'（1）≥0且f'（2）≥0，解得-≤a<0. 综上，a的取值范围是∪（0，+∞）. 18.（17分）某公司自2022年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2022年起（2022年为第1年），因为设备升级，第n年可新增的盈利an=（单位：万元），求： （1）第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金；（8分） （2）第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额.（9分） 解　（1）当n≤5时，an=80（n-1）>500， 解得n>7.25，即n≥8，不成立， 当n≥6时，an=1 000（1-0.6n-5）>500， 即0.6n-5<0.5，0.6n-5随着n的增大而减小， 当n=6时，0.66-5=0.6<0.5不成立，当n=7时，0.67-5=0.36<0.5成立， 故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金. （2）当n=5时，累计新增盈利总额 S5=a1+a2+a3+a4+a5=0+80+160+240+320=800<500×5， 可得所求n超过5，当n≥6时， Sn=S5+1 000（n-5）->500n， 整理得n+3×0.6n-5>11.4， 由于3×0.6n-5随着n的增大而减小， 又当n=11时，11+3×0.611-5<11.4，故不成立， 当n=12时，12+3×0.612-5>11.4，故成立， 故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额. 19.（17分）已知函数f（x）=x2+3aln x（a∈R）. （1）讨论f（x）的单调性；（7分） （2）若函数g（x）=f（x）-4x，且x1，x2是g（x）的两个极值点，求g（x1）+g（x2）的最小值.（10分） 解　（1）因为f（x）=x2+3aln x，则f'（x）=x+=，x∈（0，+∞）， 当a≥0时，f'（x）>0，函数f（x）是（0，+∞）上的增函数， 当a<0时，f'（x）=， 当x∈（0，）时，f'（x）<0，f（x）单调递减； 当x∈（，+∞）时，f'（x）>0，f（x）单调递增， 综上所述，当a≥0时，函数f（x）是（0，+∞）上的增函数； 当a<0时，函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增. （2）因为g（x）=f（x）-4x=x2+3aln x-4x，x∈（0，+∞）， 则g'（x）=x+-4=， 因为函数g（x）有两个极值点x1，x2， 所以方程x2-4x+3a=0在（0，+∞）上有两个不相等的实根x1，x2， 则Δ=（-4）2-12a>0，即a<， 且x1+x2=4>0，x1x2=3a>0，所以0<3a<4， 所以g（x1）+g（x2）=+3aln x1-4x1++3aln x2-4x2 =［（x1+x2）2-2x1x2］+3aln（x1x2）-4（x1+x2） =（16-6a）+3aln（3a）-16 =3aln（3a）-3a-8， 令t=3a，则t∈（0，4），设h（t）=tln t-t-8， 所以h'（t）=ln t+1-1=ln t， 可得函数h（t）在（0，1）上单调递减，在（1，4）上单调递增， 所以当t=1时，h（t）有极小值，即最小值，且h（1）=-9， 此时t=3a=1，即当a=时，g（x1）+g（x2）取得最小值-9. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 综合检测试卷(二) 1.已知函数f(x)=sin x，则等于 A.B.1 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 一、单项选择题 由导数的定义可知=f'，又f'(x)=cos x， f'=cos =. √ 2.若函数f(x)=x2-3x-5ln x的导函数为f'(x)，则f'(x)>0的解集为 A.(0，+∞) B.(-1，0)∪ C.(-1，0) D. ∵函数f(x)=x2-3x-5ln x的导函数为f'(x)=2x-3-(x>0)，令f'(x)>0， ∴解得x>. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 3.已知{an}是递增数列，则{an}的通项公式可能为 A.an=-n2+10n B.an=n3-7n+1 C.an= D.an=2-n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 对于A，an=-n2+10n=-(n-5)2+25，a5=25>a6=24，A不符合题意； 对于B，an=n3-7n+1，则a1=1-7+1=-5，a2=23-7×2+1=-5，即a1=a2，B不符合题意； 对于C，an==1-，当n增大时，减小，则an=1-增大，C符合题意； 对于D，an=2-n=随着n的增大而减小，D不符合题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 4.设曲线y=sin x上任一点(x，y)处的切线斜率为g(x)，则函数y=x2g(x)的部分图象可以为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 由曲线方程y=sin x，可知g(x)=cos x， 所以y=x2g(x)=x2cos x为偶函数，排除A，B； 当x=0时，y=0，排除D，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 5.已知等差数列共有10项，其偶数项之和为20，奇数项之和为5，则该数列的公差为 A.-3 B.-2 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ ∵a1+a3+a5+a7+a9=5，a2+a4+a6+a8+a10=20，∴5d=15，∴d=3. 6.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“诸葛亮领八员将，每将又分八个营，每营里面排八阵，每阵先锋有八人，每人旗头俱八个，每个旗头八队成，每队更该八个甲，每个甲头八个兵.”则该问题中将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 A.(87-8)人 B.(89-8)人 C.人 D.人 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 9 由题意可得将官、营、阵、先锋、旗头、队长、甲头、士兵依次成等比数列，且首项为8，公比也是8， 所以将官、先锋、旗头、队长、甲头、士兵共有 8+84+85+86+87+88=8+=人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 7.已知首项为1的数列{an}满足(n+2)an+1=2nan对任意正整数n恒成立，则数列的前n项和Sn为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意易知an≠0， 由(n+2)an+1=2nan变形为==，n≥2， 所以an=an-1=·an-2=··an-3 =…=····…·×a1， 因为a1=1，所以an=，n≥2， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 又a1=1符合该式，所以an=， 故==-， 所以Sn=1-+-+-+…+-=1-=. 8.已知数列的前n项和Sn=n2-16n，则等于 A.-55 B.0 C.55 D.73 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ ∵Sn=n2-16n， ∴当n=1时，a1=-15， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =n2-16n-[(n-1)2-16(n-1)]=2n-17， 令an≤0，解得n≤8， 令Tn= =-a1-a2-a3-…-a8+a9+a10+a11 =15+13+11+9+7+5+3+1+1+3+5=73. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 9.设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f'(x)>g'(x)，则当a<x<b时，有 A.f(x)>g(x) B.f(x)<g(x) C.f(x)+g(a)>g(x)+f(a) D.f(x)+g(b)<g(x)+f(b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 二、多项选择题 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f'(x)-g'(x)>0， 所以[f(x)-g(x)]'>0， 所以f(x)-g(x)在[a，b]上单调递增， 所以当a<x<b时，f(b)-g(b)>f(x)-g(x)>f(a)-g(a)， 所以f(x)+g(a)>g(x)+f(a)，f(x)+g(b)<g(x)+f(b). 16 17 18 19 17 10.已知数列中，前n项和为Sn，且Sn=an，则的值不可能为 A.2 B.5 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 ∵Sn=an， ∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1， 化为==1+， 由于数列为递减数列， 可得当n=2时，取得最大值2. ∴的最大值为3. 11.已知函数f(x)=sin x+x3-ax，则下列结论正确的是 A.f(x)是奇函数 B.当a=-3时，函数f(x)恰有两个零点 C.若f(x)为增函数，则a≤1 D.当a=3时，函数f(x)恰有两个极值点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于A选项，函数f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R， f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-sin x-x3+ax=-f(x)，函数f(x)为奇函数，A选项正确； 对于B选项，当a=-3时，f(x)=sin x+x3+3x，则f'(x)=cos x+3x2+3>0， 所以函数f(x)在R上为增函数，又f(0)=0，所以函数f(x)有且只有一个零点，B选项错误； 对于C选项，f'(x)=cos x+3x2-a， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由于函数f(x)为增函数，则f'(x)≥0对任意的x∈R恒成立，即a≤3x2+cos x. 令g(x)=3x2+cos x，则g'(x)=6x-sin x，令φ(x)=6x-sin x，则φ'(x)=6-cos x >0， 所以函数g'(x)在R上为增函数， 当x<0时，g'(x)<g'(0)=0，函数g(x)单调递减； 当x>0时，g'(x)>g'(0)=0，函数g(x)单调递增. 所以g(x)min=g(0)=1，∴a≤1，C选项正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 对于D选项，当a=3时，f(x)=sin x+x3-3x，则f'(x)=cos x+3x2-3. 由C选项可知，函数f'(x)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增， ∵f'(-1)=f'(1)=cos 1>0，f'(0)=-2<0， ∴由函数零点存在定理可知，函数f'(x)在(-1，0)和(0，1)上都存在一个零点， 因此，当a=3时，函数f(x)有两个极值点，D选项正确. 12.在数列{an}中，若a1=21，前n项和Sn=-2n2+bn，则Sn的最大值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 三、填空题 由题意，S1=a1=-2×12+1×b=21，解得b=23，则Sn=-2n2+23n， 二次函数y=-2x2+23x的图象开口向下，对称轴为直线x==5.75， 故当n=5或n=6时Sn取得最大值， S5=-2×52+23×5=65，S6=-2×62+23×6=66，S6>S5， 所以Sn的最大值为66. 13.函数f(x)=(1+x2)ex-1的零点个数为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 因为f'(x)=2xex+(1+x2)ex=(1+x)2ex≥0， 所以f(x)单调递增，又因为f(0)=0， 所以f(x)有且仅有1个零点. 14.已知数列{an}满足a1=1，且对任意n∈N*，有an+1=an+(-1)n·n，则a22=　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -10 依题意， a2=a1-1， a3=a2+2， a4=a3-3， a5=a4+4，…， a21=a20+20， a22=a21-21， 上述21个式子相加得a22=a1+10×1-21=1-11=-10. 15.设函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax+8，其中a∈R.已知f(x)在x=3处取得极值. (1)求f(x)的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 四、解答题 f'(x)=6x2-6(a+1)x+6a. 因为f(x)在x=3处取得极值， 所以f'(3)=6×9-6(a+1)×3+6a=0， 解得a=3. 所以f(x)=2x3-12x2+18x+8. (2)求f(x)在点A(1，16)处的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 点A在f(x)上， 由(1)可知f'(x)=6x2-24x+18， f'(1)=6-24+18=0， 所以切线方程为y=16. 16.在①Sn=n2+n，②a3+a5=16，S3+S5=42，③=，S7=56这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并加以解答. 设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，　　　　，b1=a1，b2=.求数列的前n项和Tn.  注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 选①： 当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n， 又n=1满足an=2n， 所以an=2n，Sn=n2+n(n∈N*)； 选②： 设数列{an}的公差为d，由a3+a5=16，S3+S5=42， 得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 解得 所以an=2n，Sn==n2+n(n∈N*)； 选③： 由=， 得=， 所以=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即an=a1·n， S7=7a4=28a1=56， 所以a1=2， 所以an=2n，Sn==n2+n(n∈N*). ①②③均可求得an=2n， Sn=n2+n(n∈N*)， 设{bn}的公比为q， 又因为a1=2，a2=4， 由b1=a1=2，b2==4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 得b1=2，q=2， 所以bn=2n(n∈N*)， 所以数列{bn}的前n项和为=2n+1-2， 因为===-， 所以数列的前n项和为1-+-+…+-=1-， 故Tn=2n+1-2+1-=2n+1--1. 17.函数f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0). (1)讨论函数f(x)的单调性； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=3ax2+6x+3，令f'(x)=0， 即3ax2+6x+3=0，因为a≠0，则Δ=36(1-a). ①若a≥1，则Δ≤0，f'(x)≥0， 所以f(x)在R上是增函数. ②当a<1时，Δ>0，f'(x)=0有两个根， x1=，x2=， 若0<a<1，则当x∈(-∞，x2)或x∈(x1，+∞)时，f'(x)>0， 故f(x)在(-∞，x2)，(x1，+∞)上单调递增； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x∈(x2，x1)时，f'(x)<0，故f(x)在(x2，x1)上单调递减. 当a<0时，则当x∈(-∞，x1)或x∈(x2，+∞)时，f'(x)<0，故f(x)在(-∞，x1)，(x2，+∞)上单调递减；当x∈(x1，x2)时，f'(x)>0，故f(x)在(x1，x2)上单调递增. (2)若函数f(x)在区间(1，2)上单调递增，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a>0，x>0时，f'(x)=3ax2+6x+3>0， 所以当a>0时，f(x)在区间(1，2)上单调递增. 若a<0时，f(x)在区间(1，2)上单调递增， 则f'(1)≥0且f'(2)≥0，解得-≤a<0. 综上，a的取值范围是∪(0，+∞). 18.某公司自2022年起，每年投入的设备升级资金为500万元，预计自2022年起(2022年为第1年)，因为设备升级，第n年可新增的盈利 an=(单位：万元)，求： (1)第几年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n≤5时，an=80(n-1)>500， 解得n>7.25，即n≥8，不成立， 当n≥6时，an=1 000(1-0.6n-5)>500， 即0.6n-5<0.5，0.6n-5随着n的增大而减小， 当n=6时，0.66-5=0.6<0.5不成立，当n=7时，0.67-5=0.36<0.5成立， 故第7年起，当年新增盈利超过当年设备升级资金. 16 17 18 19 (2)第几年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当n=5时，累计新增盈利总额 S5=a1+a2+a3+a4+a5=0+80+160+240+320=800<500×5， 可得所求n超过5，当n≥6时， Sn=S5+1 000(n-5)->500n， 整理得n+3×0.6n-5>11.4， 由于3×0.6n-5随着n的增大而减小， 又当n=11时，11+3×0.611-5<11.4，故不成立， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当n=12时，12+3×0.612-5>11.4，故成立， 故从第12年起，累计新增盈利总额超过累计设备升级资金总额. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19.已知函数f(x)=x2+3aln x(a∈R). (1)讨论f(x)的单调性； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为f(x)=x2+3aln x，则f'(x)=x+=，x∈(0，+∞)， 当a≥0时，f'(x)>0，函数f(x)是(0，+∞)上的增函数， 当a<0时，f'(x)=， 当x∈(0，)时，f'(x)<0，f(x)单调递减； 当x∈(，+∞)时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 综上所述，当a≥0时，函数f(x)是(0，+∞)上的增函数； 当a<0时，函数f(x)在(0，，+∞)上单调递增. (2)若函数g(x)=f(x)-4x，且x1，x2是g(x)的两个极值点，求g(x1)+g(x2)的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 因为g(x)=f(x)-4x=x2+3aln x-4x，x∈(0，+∞)， 则g'(x)=x+-4=， 因为函数g(x)有两个极值点x1，x2， 所以方程x2-4x+3a=0在(0，+∞)上有两个不相等的实根x1，x2， 则Δ=(-4)2-12a>0，即a<， 且x1+x2=4>0，x1x2=3a>0，所以0<3a<4， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以g(x1)+g(x2)=+3aln x1-4x1++3aln x2-4x2 =[(x1+x2)2-2x1x2]+3aln(x1x2)-4(x1+x2) =(16-6a)+3aln(3a)-16 =3aln(3a)-3a-8， 令t=3a，则t∈(0，4)，设h(t)=tln t-t-8， 所以h'(t)=ln t+1-1=ln t， 可得函数h(t)在(0，1)上单调递减，在(1，4)上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 所以当t=1时，h(t)有极小值，即最小值，且h(1)=-9， 此时t=3a=1，即当a=时，g(x1)+g(x2)取得最小值-9. $$