第5章 培优课 与ex、ln x有关的常用不等式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

培优课　与ex、ln x有关的常用不等式 ［学习目标］　1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x+1和ln x≤x-1以及它们常见的几种变形形式.2.掌握一般的证明不等式的方法. 一、经典不等式ex≥x+1 例1　证明不等式ex≥x+1. 证明　设f（x）=ex-x-1， 则f'（x）=ex-1，由f'（x）=0，得x=0， 所以当x<0时，f'（x）<0；当x>0时，f'（x）>0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增，所以f（x）≥f（0）=0，即ex-x-1≥0，所以ex≥x+1. 反思感悟　与ex有关的常用不等式 （1）ex≥x+1（x∈R）. （2）ex≥ex（x∈R）. 跟踪训练1　求证：ex-1≥x. 证明　方法一　令H（x）=ex-1-x， 则H'（x）=ex-1-1. 若x<1，则H'（x）<0，H（x）在（-∞，1）上单调递减； 若x>1，则H'（x）>0，H（x）在（1，+∞）上单调递增. ∴H（x）min=H（1）=0，∴H（x）≥0， ∴ex-1≥x. 方法二　令t=x-1，则x=t+1.由et≥t+1，得ex-1≥x. 二、经典不等式ln x≤x-1 例2　证明不等式ln x≤x-1. 证明　由题意知x>0，令f（x）=x-1-ln x， 所以f'（x）=1-=， 所以当x>1时，f'（x）>0； 当0<x<1时，f'（x）<0， 故f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以f（x）有最小值f（1）=0， 故有f（x）=x-1-ln x≥f（1）=0， 即ln x≤x-1成立. 延伸探究　 1.证明不等式ln（x+1）≤x. 证明　由题意知x>-1，令f（x）=ln（x+1）-x，所以f'（x）=-1=， 所以当-1<x<0时，f'（x）>0； 当x>0时，f'（x）<0，故f（x）在（-1，0）上单调递增，在（0，+∞）上单调递减， 所以f（x）有最大值f（0）=0， 故有f（x）=ln（x+1）-x≤f（0）=0， 即ln（x+1）≤x成立. 2.已知x>0，求证：<ln（1+x）. 证明　方法一　令g（x）=ln（1+x）-， 当x>0时，g'（x）=- =>0. 即当x>0时，函数g（x）单调递增. 即g（x）>g（0）=0. 故g（x）=ln（1+x）->0， 即<ln（1+x）. 方法二　∵ln x≤x-1，当且仅当x=1时等号成立. ∴当x>0时，ln <-1， 即ln <， ∴<ln（x+1）. 反思感悟　与ln x有关的常用不等式 （1）≤ln x≤x-1（x>0，当且仅当x=1时，等号成立）. （2）ln x≤（x>0，当且仅当x=e时，等号成立）. （3）ln x≤（0<x≤1，当且仅当x=1时，等号成立）. （4）ln x≥（x≥1，当且仅当x=1时，等号成立）. （5）ln x≥（0<x≤1，当且仅当x=1时，等号成立）. （6）ln x≤（x≥1，当且仅当x=1时，等号成立）. 跟踪训练2　求证：对于∀x∈R，都有x2≥ln（x2+1）. 证明　令f（x）=x2-ln（x2+1），则f（x）的定义域为R， f'（x）=2x-=， 当x<0时，f'（x）<0，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减； 当x>0时，f'（x）>0，所以f（x）在（0，+∞）上单调递增， 所以f（x）在x=0处取得极小值，也是最小值. 又f（0）=0， 所以f（x）≥f（0）=0，即x2-ln（x2+1）≥0， 所以x2≥ln（x2+1）. 三、与ex和ln x有关的不等式 例3　已知函数f（x）=aex-ln x-1. （1）设x=2是f（x）的极值点，求a的值，并求f（x）的单调区间； （2）证明：当a≥时，f（x）≥0. （1）解　f（x）的定义域为（0，+∞）， f'（x）=aex-. 由题设知，f'（2）=0，所以a=. 从而f（x）=ex-ln x-1， f'（x）=ex-. 当0<x<2时，f'（x）<0； 当x>2时，f'（x）>0. 所以f（x）的单调递增区间为（2，+∞），单调递减区间为（0，2）. （2）证明　当a≥时，f（x）≥-ln x-1. 设g（x）=-ln x-1（x∈（0，+∞））， 则g'（x）=-. 当0<x<1时，g'（x）<0； 当x>1时，g'（x）>0. 所以x=1是g（x）的最小值点. 故当x>0时，g（x）≥g（1）=0. 因此，当a≥时，f（x）≥0. 反思感悟　与ex和ln x（x>0）有关的不等式之间的关系 ex>x+1>x>x-1≥ln x，常用该不等式通过放缩证明一些问题. 跟踪训练3　已知函数f（x）=x2-（a-2）x-aln x（a∈R）. （1）讨论函数f（x）的单调性； （2）当a=1时，证明：对任意的x>0，f（x）+ex>x2+x+2. （1）解　函数f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）=2x-（a-2）-=， 当a≤0时，f'（x）>0对任意x∈（0，+∞）恒成立， ∴函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递增； 当a>0时，由f'（x）>0得x>， 由f'（x）<0，得0<x<， ∴函数f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减. （2）证明　当a=1时，f（x）=x2+x-ln x，要证明f（x）+ex>x2+x+2， 只需证明ex-ln x-2 >0，先证明当x>0时，ex>x+1， 令g（x）=ex-x-1， 则g'（x）=ex-1，当x>0时，g'（x）>0，g（x）单调递增， ∴当x>0时，g（x）>g（0）=0，即ex>x+1， ∴ex-ln x-2>x+1-ln x-2=x-ln x-1. 令h（x）=x-ln x-1（x>0）， 则h'（x）=1-=（x>0），易知h（x）在（0，1）上单调递减，在［1，+∞）上单调递增， ∴h（x）≥h（1）=0，即x-ln x-1≥0成立， ∴f（x）+ex>x2+x+2成立. 1.知识清单： （1）常见的几种经典不等式. （2）一般不等式的证明方法. 2.方法归纳：构造法、转化法、分类讨论. 3.常见误区：在证明不等式的转化过程中未做到等价转化. 1.若a=，b=，c=，则（　　） A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c 答案　C 解析　设f（x）=，则f'（x）=， 所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，即有f（6）<f（4）<f（3），所以<=<，故c<a<b. 2.已知m，n都是正整数，且em+ln n<m+n，则（　　） A.n>em B.m>em C.n<em D.m>en 答案　A 解析　由m，n都是正整数，得m，n≥1，ln n≥0，由em+ln n<m+n，得em-m<n-ln n=eln n-ln n. 令f（x）=ex-x（x≥0），则f（m）<f（ln n）， ∵f'（x）=ex-1在［0，+∞）上单调递增， f'（0）=0，∴f'（x）≥0，∴f（x）在［0，+∞）上单调递增， ∴m<ln n， ∴em<n. 3.（多选）已知a>b>0，ab=ba，下列结论正确的是（　　） A.b<e B.b>e C.任意a，b满足a·b<e2 D.存在a，b满足a·b>e2 答案　AD 解析　由ab=ba两边取对数得bln a=aln b⇒=.对于y=，由图象易知当b<e<a时，才可能满足题意.故A正确，B错误；另外，由ab=ba，令a=4，b=2，则a>e，b<e，ab=8>e2，故D正确，C错误. 4.若函数y=ln（ex-x+a）的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　（-∞，-1］ 解析　欲使函数的值域为R，只需ex-x+a能取遍所有正数. 令f（x）=ex-x+a， ∵ex≥x+1，∴ex-x+a≥1+a， ∴f（x）min=1+a≤0， ∴a≤-1. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.“x>1”是“ln x>”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　不等式ln x>等价于ln x-1+>0， 令f=ln x-1+， 则f'=-=， 当0<x<1时，f'<0，当x>1时，f'>0， 所以当x=1时， f取得最小值f=0， 所以当x>1时，f>0，ln x>， 而当ln x>时，x>0且x≠1， 所以“x>1”是“ln x>”的充分不必要条件. 2.以下不等式不成立的是（　　） A.x>sin x，x∈ B.ln x<x（x>0） C.ex>x（x>0） D.ln x+1-ex>0，x∈（0，+∞） 答案　D 解析　对于A，令f（x）=x-sin x，x∈，由f'（x）=1-cos x>0，则f（x）在上单调递增，则f（x）>f（0）=0⇒x-sin x>0⇒x>sin x，不等式成立； 对于B，令h（x）=x-ln x（x>0），则h'（x）=1-=， 当0<x<1时，h'（x）<0，h（x）单调递减；当x>1时，h'（x）>0，h（x）单调递增， 故h（x）≥h（1）=1>0，则x>ln x（x>0），不等式成立； 对于C，令f（x）=ex-x（x>0），则f'（x）=ex-1>0， 则f（x）在（0，+∞）上单调递增，故f（x）>f（0）=1>0，则ex>x（x>0），不等式成立； 对于D，令f（x）=ln x+1-ex，x∈（0，+∞），当x=1时，f（1）=1-e<0，所以不等式不成立. 3.已知在△ABC中，<A<B<C<，f（x）=cos x·ex，则下列结论一定成立的是（　　） A.f（A）>f（B）>f（C） B.f（A）<f（B）<f（C） C.f（A）>f（C）>f（B） D.f（B）<f（A）<f（C） 答案　A 解析　f'=·ex+cos x•ex =·ex， 当<x<时，cos x-sin x<0， 即f'<0，f在上单调递减， 又<A<B<C<， ∴f>f>f. 4.若关于x的不等式ex+x+ln ≥mx+ln m恒成立，则实数m的最大值为（　　） A.2 B.e C.3 D.e2 答案　B 解析　由题意得，ex+x≥mx+ln（mx），即ex+ln ex≥mx+ln（mx），x∈（0，+∞）， 令f（x）=x+ln x，因为f'（x）=1+>0，所以函数f（x）在（0，+∞）上单调递增， 则不等式转化为f（ex）≥f（mx），所以ex≥mx， 则≥m. 令g（x）=，则g'（x）=， 则当0<x<1时，g'（x）<0，g（x）单调递减；当x>1时，g'（x）>0，g（x）单调递增， 所以当x=1时，g（x）有最小值，即g（x）min=g（1）=e，则m的最大值为e. 5.（多选）下列四个命题为真命题的是（　　） A.ln 5<ln 2 B.ln π> C.<11 D.3eln 2>4 答案　BC 解析　构造函数f（x）=，则f'（x）=，当x∈（0，e）时，f'（x）>0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f'（x）<0，f（x）单调递减. A项，ln 5<ln 2⇒2ln <ln 2⇒<， 又2<<e，故A错误； B项，ln π>⇒2ln >⇒>=， 又e>>，故B正确； C项，<11⇒ln 2<ln 11=2ln⇒=<，又4>>e，故C正确； D项，3eln 2>4⇒2eln >2×⇒>，又>e，故D错误. 6.下列不等式中恒成立的有（　　） A.ln（1+x）≥x-x2 B.ln x> C.ex≤1+x+x2 D.cos x≥1-x2 答案　D 解析　A选项，当x=3时，ln（1+3）<3-，此时ln（1+x）<x-x2，故A不正确； B选项，令f=ln x-， 则f'=-==-≤0显然恒成立， 所以f=ln x-在（0，+∞）上单调递减， 又f=0，所以当x∈（1，+∞）时，f<f=0，即ln x<，故B不正确； C选项，当x=3时，e3>1+3+32，此时ex>1+x+x2，故C不正确； D选项，令f=cos x-1+x2， 则f'=-sin x+x， 令h（x）=f'（x）=-sin x+x， 则h'（x）=-cos x+1≥0恒成立， 即函数f'=-sin x+x单调递增， 又f'=0， 所以当x>0时，f'>0， 即f=cos x-1+x2单调递增； 当x<0时，f'<0， 即f=cos x-1+x2单调递减， 所以f=f=0， 因此cos x≥1-x2恒成立，故D正确. 7.（5分）已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln（a+b），则a，b，c的大小关系为　　　　.  答案　c<a<b 解析　设f（x）=ln x-x+1， 则f'（x）=-1=， 当x∈（0，1）时，f'（x）>0，f（x）单调递增； 当x∈（1，+∞）时，f'（x）<0，f（x）单调递减， ∴f（x）≤f（1）=0，即ln x≤x-1， ∴ln（a+b）≤a+b-1， ∴a+b+c≤a+b-1，即c≤-1， 又ac=b2>0，∴a<0， 由a+b>0，∴b>-a>0， ∴b2>a2，即ac>a2，∴c<a， ∴c<a<b. 8.（5分）已知不等式ax≤（2x+1）ex对任意x∈［1，+∞）恒成立，则正实数a的取值范围是　　　　　.  答案　（0，3e］ 解析　因为x≥1，不等式ax≤（2x+1）ex可变形为a≤. 设g（x）=（x≥1），则g'（x）==. 当x∈［1，+∞）时，g'（x）>0，所以函数g（x）在［1，+∞）上单调递增， 则g（x）min=g（1）=3e，所以0<a≤3e.故正实数a的取值范围是（0，3e］. 9.（10分）已知函数f（x）=ex-ln（x+2），求证：f（x）>0. 证明　令g（x）=ex-x-1，则g'（x）=ex-1，令g'（x）=0，得x=0，当x<0时，g'（x）<0，g（x）单调递减，当x>0时，g'（x）>0，g（x）单调递增， ∴g（x）≥g（0）=0，即ex-x-1≥0， ∴ex≥x+1（当且仅当x=0时，等号成立）. ① 令h（x）=x+1-ln（x+2），则h'（x）=1-=（x>-2），易知h（x）在（-2，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，∴h（x）≥h（-1）=0，即x+1-ln（x+2）≥0，即x+1≥ln（x+2）（当且仅当x=-1时，等号成立）. ② ∵①和②中的等号不能同时成立，∴由①和②得ex>ln（x+2），即f（x）>0. 10.（11分）已知函数f（x）=aln x+1（a∈R）. （1）若g（x）=x-f（x），讨论函数g（x）的单调性；（4分） （2）若t（x）=x2+x，h（x）=ex-1（其中e是自然对数的底数），且a=1，x∈（0，+∞），求证：h（x）>t（x）>f（x）.（7分） （1）解　由题意得，g（x）=x-f（x）=x-aln x-1， 其定义域为（0，+∞），g'（x）=1-=， 当a≤0时，g'（x）>0在（0，+∞）上恒成立，则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a>0时，易得函数g（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增. （2）证明　设u（x）=h（x）-t（x）=ex-1-x2-x，则u'（x）=ex-x-1， 设m（x）=u'（x）=ex-x-1， 则m'（x）=ex-1， 当x>0时，m'（x）>0恒成立， 则m（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴m（x）>m（0）=0， 则u（x）在（0，+∞）上单调递增， ∴u（x）>u（0）=0， ∴h（x）-t（x）>0在（0，+∞）上恒成立， 即h（x）>t（x）. 当a=1时，设v（x）=t（x）-x=x2， ∵当x>0时，v（x）>0，即t（x）>x. 设s（x）=x-ln x-1，则s'（x）=1-=. 易得s（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， ∴s（x）≥s（1）=0， ∴x≥ln x+1=f（x）， ∴t（x）>x≥f（x），即t（x）>f（x）， 综上所述，h（x）>t（x）>f（x）. 11.∃m∈R，对∀x∈［1，n］（n>1），不等式e|x+m|<ex恒成立，则正整数n的最大值与最小值之和为（　　） A.8 B.6 C.5 D.2 答案　B 解析　由e|x+m|<ex在［1，n］上恒成立，可得|x+m|<ln x+1， 即-x-ln x-1<m<-x+ln x+1在［1，n］上恒成立， 只需求出-x+ln x+1的最小值，-x-ln x-1的最大值. 设h（x）=-x+ln x+1，x∈［1，n］， 则h'（x）=-1+=≤0， ∴h（x）在［1，n］上单调递减，得h（x）min=h（n）=-n+ln n+1. 再设φ（x）=-x-ln x-1，x∈［1，n］， 易得φ（x）在［1，n］上单调递减， ∴φ（x）max=φ（1）=-2，故有-2<m<-n+ln n+1. 若m存在，则必有-n+ln n+1>-2，即ln n+3>n， 又n>1，且n为整数，故n=2，3，4满足要求，n≥5的整数都不成立， 故正整数n的最大值为4，最小值为2， ∴最大值与最小值之和为6. 12.（多选）已知函数f=ex，若f=f，且x1<x2，则下列命题正确的是（　　） A.f>f B.f>f C.f>f D.f>f 答案　BC 解析　函数f（x）的定义域为R. f'（x）=·ex， 当x<0时，f'（x）>0； 当x>0时，f'（x）<0. ∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，0），单调递减区间为（0，+∞）. 由f（x1）=f（x2），且x1<x2，可知x1<0，x2>0， 当x<1时，由>0，ex>0，得f（x）>0；同理，当x>1时，f（x）<0. 由上可知，x1∈（-∞，0），x2∈（0，1）. 下面证明：∀x∈（0，+∞），f（x）<f（-x）， 即证·ex<·e-x，x∈（0，+∞）. 此不等式等价于（1-x）ex-<0，x∈（0，+∞）. 令g（x）=（1-x）ex-， 则g'（x）=-xe-x（e2x-1）. 当x∈（0，+∞）时，g'（x）<0，g（x）单调递减， ∴g（x）<g（0）=0. 即（1-x）ex-<0. ∴∀x∈（0，+∞），f（x）<f（-x）. 由x1∈（-∞，0），x2∈（0，1），可知f（x1）=f（x2）>f（-x1），故B，C正确； f（x1）=f（x2）<f（-x2），故A，D错误. 13.已知0<x1<x2<1，则（　　） A.> B.< C.x2ln x1>x1ln x2 D.x2ln x1<x1ln x2 答案　D 解析　设f=xln x，则f'=ln x+1，由f'>0，得x>，所以函数f在上单调递增；由f'<0，得0<x<，函数f在上单调递减，故函数f在上不单调，所以f与f的大小无法确定，从而排除A，B；设g=，则g'=，由g'>0，得0<x<e，即函数g在上单调递增，故函数g在上单调递增，所以g<g，即<，所以x2ln x1<x1ln x2.故选D. 14.（5分）已知a，b∈R，若关于x的不等式ln x≤a（x-2）+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，实数b的值为　　　　　.  答案　ln 3- 解析　不等式ln x≤a（x-2）+b对一切正实数x恒成立， 即直线y=a（x-2）+b不位于曲线y=ln x的下方. 当a+b最小，即直线y=a（x-2）+b与直线x=3交点的纵坐标最小. 根据图象可知， 当x=3时，y=a+b≥ln 3， 所以当直线y=a（x-2）+b与曲线y=ln x相切于点（3，ln 3）时，a+b取最小值ln 3. 因为（ln x）'=，所以a=，所以b=ln 3-. 15.（5分）已知函数f（x）=ex-ax-1，g=ln x-ax-1，其中0<a<1，e为自然对数的底数，若∃x0∈（0，+∞），使fg>0，则实数a的取值范围是　　　　.  答案　 解析　令M=ex-x-1，x∈， 则M'=ex-1，当x∈时，M'>0， 所以M在上单调递增， 所以M>M=0， 所以ex>x+1. 由于0<a<1，所以当x∈时，f（x）=ex-ax-1>0， 故∃x0∈（0，+∞），使fg>0， 转化为∃x0∈（0，+∞），g>0， 则g=ln x0-ax0-1>0， 即a<-. 令h=-，h'=. 当x∈时，h'>0， 当x∈时，h'<0， 所以函数h在上单调递增，在上单调递减. 所以h≤h=-=. 所以0<a<，即a∈. 16.（12分）设函数f（x）=x3+ln（x+1）. （1）求曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程；（4分） （2）证明：当n∈N*且n≥2时，ln（n+1）>++…+.（8分） （1）解　f'（x）=3x2+，x∈（-1，+∞）， 故f'（0）=1，故曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为y-0=f'（0）（x-0），即y=x. （2）证明　令g（x）=x3+ln（x+1）-x2， x∈（-1，+∞）， 则g'（x）=3x2-2x+==， 当x≥0时，g'（x）>0，g（x）单调递增， 则g（x）≥g（0）=0， 所以当x≥0时，ln（x+1）+x3-x2≥0， 令x=，n∈N*，得ln+->0， 即ln（n+1）-ln n>-=， 由此可得，ln 2-ln 1>1-1=0， ln 3-ln 2>-=， ln 4-ln 3>-=，…， ln（n+1）-ln n>-=， 累加得ln（n+1）>++…+， 即当n∈N*且n≥2时， ln（n+1）>++…+. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 培优课 第五章 <<< 与ex、ln x有关的常用不等式 1.熟悉常见的两类经典不等式ex≥x+1和ln x≤x-1以及它们常见的几种变形形式. 2.掌握一般的证明不等式的方法. 学习目标 一、经典不等式ex≥x+1 二、经典不等式ln x≤x-1 课时对点练 三、与ex和ln x有关的不等式 随堂演练 内容索引 一 经典不等式ex≥x+1 证明不等式ex≥x+1. 例 1 设f(x)=ex-x-1， 则f'(x)=ex-1，由f'(x)=0，得x=0， 所以当x<0时，f'(x)<0；当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)在上单调递增，所以f(x)≥f(0)=0，即ex-x-1≥0，所以ex≥x+1. 5 反 思 感 悟 与ex有关的常用不等式 (1)ex≥x+1(x∈R). (2)ex≥ex(x∈R). 求证：ex-1≥x. 跟踪训练 1 方法一　令H(x)=ex-1-x， 则H'(x)=ex-1-1. 若x<1，则H'(x)<0，H(x)在(-∞，1)上单调递减； 若x>1，则H'(x)>0，H(x)在(1，+∞)上单调递增. ∴H(x)min=H(1)=0，∴H(x)≥0， ∴ex-1≥x. 方法二　令t=x-1，则x=t+1.由et≥t+1，得ex-1≥x. 7 二 经典不等式ln x≤x-1 证明不等式ln x≤x-1. 例 2 9 由题意知x>0，令f(x)=x-1-ln x， 所以f'(x)=1-=， 所以当x>1时，f'(x)>0； 当0<x<1时，f'(x)<0， 故f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增，所以f(x)有最小值f(1)=0， 故有f(x)=x-1-ln x≥f(1)=0， 即ln x≤x-1成立. 10 1.证明不等式ln(x+1)≤x. 延伸探究 由题意知x>-1，令f(x)=ln(x+1)-x，所以f'(x)=-1=， 所以当-1<x<0时，f'(x)>0； 当x>0时，f'(x)<0，故f(x)在(-1，0)上单调递增，在(0，+∞)上单调递减， 所以f(x)有最大值f(0)=0， 故有f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0， 即ln(x+1)≤x成立. 11 2.已知x>0，求证：<ln(1+x). 12 方法一　令g(x)=ln(1+x)-， 当x>0时，g'(x)=- =>0. 即当x>0时，函数g(x)单调递增. 即g(x)>g(0)=0. 故g(x)=ln(1+x)->0， 即<ln(1+x). 13 方法二　∵ln x≤x-1，当且仅当x=1时等号成立. ∴当x>0时，ln <-1， 即ln <， ∴<ln(x+1). 14 反 思 感 悟 与ln x有关的常用不等式 (1)≤ln x≤x-1(x>0，当且仅当x=1时，等号成立). (2)ln x≤(x>0，当且仅当x=e时，等号成立). (3)ln x≤(0<x≤1，当且仅当x=1时，等号成立). (4)ln x≥(x≥1，当且仅当x=1时，等号成立). (5)ln x≥(0<x≤1，当且仅当x=1时，等号成立). (6)ln x≤(x≥1，当且仅当x=1时，等号成立). 求证：对于∀x∈R，都有x2≥ln(x2+1). 跟踪训练 2 16 令f(x)=x2-ln(x2+1)，则f(x)的定义域为R， f'(x)=2x-=， 当x<0时，f'(x)<0，所以f(x)在(-∞，0)上单调递减； 当x>0时，f'(x)>0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以f(x)在x=0处取得极小值，也是最小值. 又f(0)=0， 所以f(x)≥f(0)=0，即x2-ln(x2+1)≥0， 所以x2≥ln(x2+1). 17 三 与ex和ln x有关的不等式 已知函数f(x)=aex-ln x-1. (1)设x=2是f(x)的极值点，求a的值，并求f(x)的单调区间； 例 3 f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=aex-. 由题设知，f'(2)=0，所以a=. 从而f(x)=ex-ln x-1， f'(x)=ex-. 当0<x<2时，f'(x)<0； 当x>2时，f'(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2，+∞)，单调递减区间为(0，2). (2)证明：当a≥时，f(x)≥0. 当a≥时，f(x)≥-ln x-1. 设g(x)=-ln x-1(x∈(0，+∞))， 则g'(x)=-. 当0<x<1时，g'(x)<0； 当x>1时，g'(x)>0. 所以x=1是g(x)的最小值点. 故当x>0时，g(x)≥g(1)=0. 因此，当a≥时，f(x)≥0. 22 反 思 感 悟 与ex和ln x(x>0)有关的不等式之间的关系 ex>x+1>x>x-1≥ln x，常用该不等式通过放缩证明一些问题. 已知函数f(x)=x2-(a-2)x-aln x(a∈R). (1)讨论函数f(x)的单调性； 跟踪训练 3 函数f(x)的定义域是(0，+∞)，f'(x)=2x-(a-2)-=， 当a≤0时，f'(x)>0对任意x∈(0，+∞)恒成立， ∴函数f(x)在区间(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，由f'(x)>0得x>， 由f'(x)<0，得0<x<， ∴函数f(x)在区间上单调递减. (2)当a=1时，证明：对任意的x>0，f(x)+ex>x2+x+2. 当a=1时，f(x)=x2+x-ln x，要证明f(x)+ex>x2+x+2， 只需证明ex-ln x-2 >0，先证明当x>0时，ex>x+1， 令g(x)=ex-x-1， 则g'(x)=ex-1，当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增， ∴当x>0时，g(x)>g(0)=0，即ex>x+1， ∴ex-ln x-2>x+1-ln x-2=x-ln x-1. 令h(x)=x-ln x-1(x>0)， 则h'(x)=1-=(x>0)，易知h(x)在(0，1)上单调递减，在[1，+∞)上单调递增， 26 ∴h(x)≥h(1)=0，即x-ln x-1≥0成立， ∴f(x)+ex>x2+x+2成立. 27 1.知识清单： (1)常见的几种经典不等式. (2)一般不等式的证明方法. 2.方法归纳：构造法、转化法、分类讨论. 3.常见误区：在证明不等式的转化过程中未做到等价转化. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若a=，b=，c=，则 A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.b<a<c √ 1 2 3 4 设f(x)=，则f'(x)=， 所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，+∞)上单调递减，即有f(6)<f(4)<f(3)，所以<=<，故c<a<b. 2.已知m，n都是正整数，且em+ln n<m+n，则 A.n>em B.m>em C.n<em D.m>en 1 2 3 4 √ 由m，n都是正整数，得m，n≥1，ln n≥0，由em+ln n<m+n，得em-m<n-ln n=eln n-ln n. 令f(x)=ex-x(x≥0)，则f(m)<f(ln n)， ∵f'(x)=ex-1在[0，+∞)上单调递增， f'(0)=0，∴f'(x)≥0，∴f(x)在[0，+∞)上单调递增， ∴m<ln n， ∴em<n. 1 2 3 4 3.(多选)已知a>b>0，ab=ba，下列结论正确的是 A.b<e B.b>e C.任意a，b满足a·b<e2 D.存在a，b满足a·b>e2 1 2 3 4 √ √ 1 2 3 4 由ab=ba两边取对数得bln a=aln b⇒=.对于y=，由图象易知当b<e<a时，才可能满足题意.故A正确，B错误； 另外，由ab=ba，令a=4，b=2，则a>e，b<e，ab=8>e2，故D正确，C错误. 4.若函数y=ln(ex-x+a)的值域为R，则实数a的取值范围是　　　　.  欲使函数的值域为R，只需ex-x+a能取遍所有正数. 令f(x)=ex-x+a， ∵ex≥x+1，∴ex-x+a≥1+a， ∴f(x)min=1+a≤0， ∴a≤-1. 1 2 3 4 (-∞，-1] 课时对点练 五 基础巩固 1.“x>1”是“ln x>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 不等式ln x>等价于ln x-1+>0， 令f=ln x-1+， 则f'=-=， 当0<x<1时，f'<0，当x>1时，f'>0， 所以当x=1时， f取得最小值f=0， 所以当x>1时，f>0，ln x>， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 而当ln x>时，x>0且x≠1， 所以“x>1”是“ln x>”的充分不必要条件. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.以下不等式不成立的是 A.x>sin x，x∈ B.ln x<x(x>0) C.ex>x(x>0) D.ln x+1-ex>0，x∈(0，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，令f(x)=x-sin x，x∈，由f'(x)=1-cos x>0，则f(x)在上单调递增，则f(x)>f(0)=0⇒x-sin x>0⇒x>sin x，不等式成立； 对于B，令h(x)=x-ln x(x>0)，则h'(x)=1-=， 当0<x<1时，h'(x)<0，h(x)单调递减；当x>1时，h'(x)>0，h(x)单调递增， 故h(x)≥h(1)=1>0，则x>ln x(x>0)，不等式成立； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于C，令f(x)=ex-x(x>0)，则f'(x)=ex-1>0， 则f(x)在(0，+∞)上单调递增，故f(x)>f(0)=1>0，则ex>x(x>0)，不等式成立； 对于D，令f(x)=ln x+1-ex，x∈(0，+∞)，当x=1时，f(1)=1-e<0，所以不等式不成立. 3.已知在△ABC中，<A<B<C<，f(x)=cos x·ex，则下列结论一定成立的是 A.f(A)>f(B)>f(C) B.f(A)<f(B)<f(C) C.f(A)>f(C)>f(B) D.f(B)<f(A)<f(C) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'=·ex+cos x·ex =·ex， 当<x<时，cos x-sin x<0， 即f'<0，f上单调递减， 又<A<B<C<， ∴f>f>f. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若关于x的不等式ex+x+ln ≥mx+ln m恒成立，则实数m的最大值为 A.2 B.e C.3 D.e2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，ex+x≥mx+ln(mx)，即ex+ln ex≥mx+ln(mx)，x∈(0，+∞)， 令f(x)=x+ln x，因为f'(x)=1+>0，所以函数f(x)在(0，+∞)上单调递增， 则不等式转化为f(ex)≥f(mx)，所以ex≥mx， 则≥m. 令g(x)=，则g'(x)=， 则当0<x<1时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>1时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 所以当x=1时，g(x)有最小值，即g(x)min=g(1)=e，则m的最大值为e. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(多选)下列四个命题为真命题的是 A.ln 5<ln 2 B.ln π> C.<11 D.3eln 2>4 √ √ 构造函数f(x)=，则f'(x)=，当x∈(0，e)时，f'(x)>0，f(x)单调递增；当x∈(e，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减. A项，ln 5<ln 2⇒2ln <ln 2⇒<， 又2<<e，故A错误； B项，ln π>⇒2ln >⇒>=， 又e>>，故B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C项，<11⇒ln 2<ln 11=2ln⇒=<，又4>>e，故C正确； D项，3eln 2>4⇒2eln >2×⇒>>e，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.下列不等式中恒成立的有 A.ln(1+x)≥x-x2 B.ln x> C.ex≤1+x+x2 D.cos x≥1-x2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ A选项，当x=3时，ln(1+3)<3-，此时ln(1+x)<x-x2，故A不正确； B选项，令f=ln x-， 则f'=-==-≤0显然恒成立， 所以f=ln x-在(0，+∞)上单调递减， 又f=0，所以当x∈(1，+∞)时，f<f=0，即ln x<，故B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C选项，当x=3时，e3>1+3+32，此时ex>1+x+x2，故C不正确； D选项，令f=cos x-1+x2， 则f'=-sin x+x， 令h(x)=f'(x)=-sin x+x， 则h'(x)=-cos x+1≥0恒成立， 即函数f'=-sin x+x单调递增， 又f'=0， 所以当x>0时，f'>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即f=cos x-1+x2单调递增； 当x<0时，f'<0， 即f=cos x-1+x2单调递减， 所以f=f=0， 因此cos x≥1-x2恒成立，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.已知实数a，b，c满足ac=b2，且a+b+c=ln(a+b)，则a，b，c的大小关系为　　　　.  c<a<b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f(x)=ln x-x+1， 则f'(x)=-1=， 当x∈(0，1)时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， ∴f(x)≤f(1)=0，即ln x≤x-1， ∴ln(a+b)≤a+b-1， ∴a+b+c≤a+b-1，即c≤-1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又ac=b2>0，∴a<0， 由a+b>0，∴b>-a>0， ∴b2>a2，即ac>a2，∴c<a， ∴c<a<b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知不等式ax≤(2x+1)ex对任意x∈[1，+∞)恒成立，则正实数a的取值范围是　　　　.  (0，3e] 因为x≥1，不等式ax≤(2x+1)ex可变形为a≤. 设g(x)=(x≥1)，则g'(x)==. 当x∈[1，+∞)时，g'(x)>0，所以函数g(x)在[1，+∞)上单调递增， 则g(x)min=g(1)=3e，所以0<a≤3e.故正实数a的取值范围是(0，3e]. 9.已知函数f(x)=ex-ln(x+2)，求证：f(x)>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令g(x)=ex-x-1，则g'(x)=ex-1，令g'(x)=0，得x=0，当x<0时，g'(x)<0，g(x)单调递减，当x>0时，g'(x)>0，g(x)单调递增， ∴g(x)≥g(0)=0，即ex-x-1≥0， ∴ex≥x+1(当且仅当x=0时，等号成立). ① 令h(x)=x+1-ln(x+2)，则h'(x)=1-=(x>-2)，易知h(x)在(-2，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增，∴h(x)≥h(-1)=0，即x+1-ln(x+2)≥0，即x+1≥ln(x+2)(当且仅当x=-1时，等号成立). ② ∵①和②中的等号不能同时成立，∴由①和②得ex>ln(x+2)，即f(x)>0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知函数f(x)=aln x+1(a∈R). (1)若g(x)=x-f(x)，讨论函数g(x)的单调性； 由题意得，g(x)=x-f(x)=x-aln x-1， 其定义域为(0，+∞)，g'(x)=1-=， 当a≤0时，g'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，则函数g(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，易得函数g(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若t(x)=x2+x，h(x)=ex-1(其中e是自然对数的底数)，且a=1，x∈(0，+∞)，求证：h(x)>t(x)>f(x). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设u(x)=h(x)-t(x)=ex-1-x2-x，则u'(x)=ex-x-1， 设m(x)=u'(x)=ex-x-1， 则m'(x)=ex-1， 当x>0时，m'(x)>0恒成立， 则m(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴m(x)>m(0)=0， 则u(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴u(x)>u(0)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴h(x)-t(x)>0在(0，+∞)上恒成立， 即h(x)>t(x). 当a=1时，设v(x)=t(x)-x=x2， ∵当x>0时，v(x)>0，即t(x)>x. 设s(x)=x-ln x-1，则s'(x)=1-=. 易得s(x)在(0，1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， ∴s(x)≥s(1)=0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴x≥ln x+1=f(x)， ∴t(x)>x≥f(x)，即t(x)>f(x)， 综上所述，h(x)>t(x)>f(x). 11.∃m∈R，对∀x∈[1，n](n>1)，不等式e|x+m|<ex恒成立，则正整数n的最大值与最小值之和为 A.8 B.6 C.5 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由e|x+m|<ex在[1，n]上恒成立，可得|x+m|<ln x+1， 即-x-ln x-1<m<-x+ln x+1在[1，n]上恒成立， 只需求出-x+ln x+1的最小值，-x-ln x-1的最大值. 设h(x)=-x+ln x+1，x∈[1，n]， 则h'(x)=-1+=≤0， ∴h(x)在[1，n]上单调递减，得h(x)min=h(n)=-n+ln n+1. 再设φ(x)=-x-ln x-1，x∈[1，n]， 易得φ(x)在[1，n]上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴φ(x)max=φ(1)=-2，故有-2<m<-n+ln n+1. 若m存在，则必有-n+ln n+1>-2，即ln n+3>n， 又n>1，且n为整数，故n=2，3，4满足要求，n≥5的整数都不成立， 故正整数n的最大值为4，最小值为2， ∴最大值与最小值之和为6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(多选)已知函数f=ex，若f=f，且x1<x2，则下列命题正确的是 A.f>f B.f>f C.f>f D.f>f √ √ 函数f(x)的定义域为R. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f'(x)=·ex， 当x<0时，f'(x)>0； 当x>0时，f'(x)<0. ∴函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)，单调递减区间为(0，+∞). 由f(x1)=f(x2)，且x1<x2，可知x1<0，x2>0， 当x<1时，由>0，ex>0，得f(x)>0；同理，当x>1时，f(x)<0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由上可知，x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1). 下面证明：∀x∈(0，+∞)，f(x)<f(-x)， 即证·ex<·e-x，x∈(0，+∞). 此不等式等价于(1-x)ex-<0，x∈(0，+∞). 令g(x)=(1-x)ex-， 则g'(x)=-xe-x(e2x-1). 当x∈(0，+∞)时，g'(x)<0，g(x)单调递减， ∴g(x)<g(0)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即(1-x)ex-<0. ∴∀x∈(0，+∞)，f(x)<f(-x). 由x1∈(-∞，0)，x2∈(0，1)，可知f(x1)=f(x2)>f(-x1)， 故B，C正确； f(x1)=f(x2)<f(-x2)，故A，D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知0<x1<x2<1，则 A.> B.< C.x2ln x1>x1ln x2 D.x2ln x1<x1ln x2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设f=xln x，则f'=ln x+1，由f'>0，得x>，所以函数f上单调递增；由f'<0，得0<x<，函数f上单调递减，故函数f上不单调，所以f与f的大小无法确定，从而排除A，B； 设g=，则g'=，由g'>0，得0<x<e，即函数g上单调递增，故函数g上单调递增，所以g<g<，所以x2ln x1<x1ln x2.故选D. 14.已知a，b∈R，若关于x的不等式ln x≤a(x-2)+b对一切正实数x恒成立，则当a+b取最小值时，实数b的值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ln 3- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 不等式ln x≤a(x-2)+b对一切正实数x恒成立， 即直线y=a(x-2)+b不位于曲线y=ln x的下方. 当a+b最小，即直线y=a(x-2)+b与直线x=3交点的纵坐标最小. 根据图象可知， 当x=3时，y=a+b≥ln 3， 所以当直线y=a(x-2)+b与曲线y=ln x相切于 点(3，ln 3)时，a+b取最小值ln 3. 因为(ln x)'=，所以a=，所以b=ln 3-. 15.已知函数f(x)=ex-ax-1，g=ln x-ax-1，其中0<a<1，e为自然对数的底数，若∃x0∈(0，+∞)，使fg>0，则实数a的取值范围是　　　　　.  拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令M=ex-x-1，x∈， 则M'=ex-1，当x∈时，M'>0， 所以M上单调递增， 所以M>M=0， 所以ex>x+1. 由于0<a<1，所以当x∈时，f(x)=ex-ax-1>0， 故∃x0∈(0，+∞)，使fg>0， 转化为∃x0∈(0，+∞)，g>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则g=ln x0-ax0-1>0，即a<-. 令h=-，h'=. 当x∈时，h'>0， 当x∈时，h'<0， 所以函数h上单调递减. 所以h≤h=-=. 所以0<a<，即a∈. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设函数f(x)=x3+ln(x+1). (1)求曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程； f'(x)=3x2+，x∈(-1，+∞)， 故f'(0)=1，故曲线y=f(x)在点(0，0)处的切线方程为y-0=f'(0)(x-0)，即y=x. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：当n∈N*且n≥2时，ln(n+1)>++…+. 令g(x)=x3+ln(x+1)-x2， x∈(-1，+∞)， 则g'(x)=3x2-2x+==， 当x≥0时，g'(x)>0，g(x)单调递增， 则g(x)≥g(0)=0， 所以当x≥0时，ln(x+1)+x3-x2≥0， 令x=，n∈N*，得ln+->0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即ln(n+1)-ln n>-=， 由此可得，ln 2-ln 1>1-1=0， ln 3-ln 2>-=， ln 4-ln 3>-=，…， ln(n+1)-ln n>-=， 累加得ln(n+1)>++…+， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即当n∈N*且n≥2时， ln(n+1)>++…+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 <<< 第五章 $$