第5章 5.1.2 第1课时 导数的概念-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（人教A版2019）

5.1.2　导数的概念及其几何意义 第1课时　导数的概念 ［学习目标］　1.了解导数概念的实际背景.2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想.3.理解并能正确描述导数在实际问题中的意义. 导语 同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是无限逼近的思想，今天我们用上述思想方法继续研究更一般的问题. 一、导数的概念 问题　瞬时变化率的几何意义是什么？ 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率. 知识梳理 1.平均变化率 对于函数y=f（x），设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f（x0）变化到f（x0+Δx）.这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.我们把比值，即=叫做函数y=f（x）从x0到x0+Δx的平均变化率. 2.导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f（x）在x=x0处可导，并把这个确定的值叫做y=f（x）在x=x0处的导数（也称为瞬时变化率），记作f'（x0）或y'，即f'（x0）==. 注意点：（1）曲线切线的斜率即函数y=f（x）在x=x0处的导数；（2）瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价. 例1　已知函数y=f（x）=2x2+1. （1）求函数f（x）在区间［x0，x0+Δx］上的平均变化率； （2）求函数f（x）在区间［2，2.01］上的平均变化率； （3）求函数f（x）在x=2处的瞬时变化率. 解　（1）∵Δy=f（x0+Δx）-f（x0） =2（x0+Δx）2+1-2-1=2Δx（2x0+Δx）， ∴函数f（x）在区间［x0，x0+Δx］上的平均变化率为==4x0+2Δx. （2）由（1）可知=4x0+2Δx， 当x0=2，Δx=0.01时， =4×2+2×0.01=8.02， 即函数f（x）在区间［2，2.01］上的平均变化率为8.02. （3）Δy=f（2+Δx）-f（2）=2（2+Δx）2+1-（2×22+1）=2（Δx）2+8Δx. ∴=2Δx+8. 故函数f（x）在x=2处的瞬时变化率为=（2Δx+8）=8. 反思感悟　求瞬时变化率的主要步骤 （1）计算函数值的改变量Δy=f（x2）-f（x1）. （2）计算自变量的改变量Δx=x2-x1. （3）得平均变化率=. （4）得瞬时变化率. 跟踪训练1　已知函数f（x）=-. （1）函数f（x）在区间［1，1.5］，［1，1.1］上的平均变化率各是多少？ （2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率是多少？ 解　（1）∵f（x）=-， ∴f（1）=-6，f（1.5）=-4，f（1.1）=-， ∴该函数在区间［1，1.5］上的平均变化率为==4， 在区间［1，1.1］上的平均变化率为==. （2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率为 = ===6. 二、导数定义的应用 例2　求函数y=x-在x=1处的导数. 解　∵Δy=（1+Δx）-- =Δx+， ∴==1+， ∴==2. 从而y'|x=1=2. 反思感悟　用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 （1）求函数的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）. （2）求平均变化率=. （3）求极限. 跟踪训练2　（1）y=f（x）=x2在x=1处的导数为（　　） A.2x B.2 C.2+Δx D.1 答案　B 解析　= ==（2+Δx）=2. （2）已知y=f（x）=，且f'（m）=-，则m等于（　　） A.-4 B.2 C.-2 D.±2 答案　D 解析　因为= ==， 所以f'（m）==-， 所以-=-，m2=4，解得m=±2. 三、导数在实际问题中的意义 例3　某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：万元）与产量x（单位：千台）之间的关系式为y=c（x）=-2x2+7x+6.求c'（1）与c'（2），并说明它们的实际意义. 解　设x=1时产量的改变量为Δx， 则== =-2Δx+3， c'（1）==（-2Δx+3）=3， 设x=2时产量的改变量为Δx， 则== =-2Δx-1， c'（2）==（-2Δx-1）=-1. c'（1）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机大约多获利3万元； c'（2）的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机大约少获利1万元. 反思感悟　导数的物理意义是：函数y=f（x）在x=x0处的导数即为它的瞬时变化率. 跟踪训练3　一只昆虫的爬行路程s（单位：米）关于时间t（单位：分）的函数为y=s（t）=求s'（1）与s'（4），并解释它们的实际意义. 解　当0≤t<3时，s（t）=3t2， = ==6+3Δt， ∴s'（1）==（6+3Δt）=6. 当t≥3时，s（t）=15+3（t-1）2， = = =18+3Δt， ∴s'（4）==（18+3Δt）=18. s'（1）=6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度大约为6米/分，s'（4）=18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度大约为18米/分. 1.知识清单： （1）导数的概念. （2）导数定义的应用. （3）导数在实际问题中的意义. 2.方法归纳：定义法、无限逼近思想. 3.常见误区：用定义求导时，对Δy与Δx的对应关系理解不到位. 1.已知物体做直线运动的函数为y=s（t）（位移单位：m，时间单位：s），则s'（4）=10 m/s表示的意义是（　　） A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s 答案　D 2.已知函数f（x）=2x2-4的图象上一点（1，-2）及邻近一点（1+Δx，-2+Δy），则等于（　　） A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2（Δx）2 答案　C 解析　= ==4+2Δx. 3.若函数f（x）可导，则等于（　　） A.-2f'（1） B.f'（1） C.-f'（1） D.f' 答案　C 解析　 =-=-f'（1）. 4.已知函数f（x）=，则f'（1）=　　　　.  答案　 解析　f'（1）= ===. 课时对点练　［分值：100分］ 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.如图，函数y=f（x）在A，B两点间的平均变化率是（　　） A.1 B.-1 C.2 D.-2 答案　B 解析　===-1. 2.已知函数f（x）可导，且满足=2，则函数y=f（x）在x=3处的导数为（　　） A.-1 B.-2 C.1 D.2 答案　B 解析　由题意， 知f'（3）==-2. 3.设函数y=f（x）在x0附近有定义，且有f（x0+Δx）-f（x0）=aΔx+b（Δx）2（a，b为常数），则（　　） A.f'（x）=a B.f'（x）=b C.f'（x0）=a D.f'（x0）=b 答案　C 解析　∵==a+bΔx. ∴f'（x0）==a. 4.若函数y=f（x）在x=x0处导数为f'（x0），则等于（　　） A.-f'（x0） B.3f'（x0） C.-3f'（x0） D.-4f'（x0） 答案　D 解析　 =-4=-4f'（x0）. 5.若可导函数f（x）的图象过原点，且满足=-1，则f'（0）等于（　　） A.-2 B.2 C.-1 D.1 答案　C 解析　∵f（x）的图象过原点，∴f（0）=0， ∴f'（0）===-1. 6.（多选）若函数f（x）在x=x0处存在导数，则的值（　　） A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 答案　AD 解析　由导数的定义可知，函数f（x）在x=x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD. 7.（5分）设函数f（x）=ax+3，若f'（1）=3，则a=　　　　.  答案　3 解析　因为f'（1）= ==a. 又因为f'（1）=3，所以a=3. 8.（5分）已知函数y=f（x）=2x2+1在x=x0处的瞬时变化率为-8，则f（x0）=　　　　.  答案　9 解析　由题知-8==（2Δx+4x0）=4x0，得x0=-2，所以f（x0）=f（-2）=2×（-2）2+1=9. 9.（10分）求函数f（x）=在x=x0（x0>-1）处的导数. 解　f（x）=， 则f'（x0）= = = ==. 10.（12分）柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度（单位：℃）为y=f（x）=80x2+20，0≤x≤1，求f'（0.25），并说明它的实际意义. 解　因为y=f（x）=80x2+20，0≤x≤1， 所以= = ==40+80Δx. 所以f'（0.25）=（40+80Δx）=40. 它表示在第0.25 h附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升. 11.若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是（　　） A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.直线 答案　D 解析　因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为常函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线. 12.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1（t），W2（t）与时间t（天）的关系如图所示，则一定有（　　） A.两机关节能效果一样好 B.A机关比B机关节能效果好 C.A机关的用电量在［0，t0］上的平均变化率比B机关的用电量在［0，t0］上的平均变化率大 D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 答案　B 解析　由题图可知，A，B两机关用电量在［0，t0］上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在［0，t0］上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 13.（5分）设函数y=f（x）在x=x0处可导，且=a，则f'（x0）=　　　　.  答案　-a 解析　∵ = =-3f'（x0）=a，∴f'（x0）=-a. 14.（5分）如图所示，函数y=f（x）在［x1，x2］，［x2，x3］，［x3，x4］这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　　　　.  答案　［x3，x4］ 解析　由平均变化率的定义可知，函数y=f（x）在区间［x1，x2］，［x2，x3］，［x3，x4］上的平均变化率分别为，，， 结合图象可以发现函数y=f（x）的平均变化率最大的一个区间是［x3，x4］. 15.设函数y=f（x）的导数为y=f'（x），若f'（x0）=-2，则等于（　　） A.1 B.-1 C. D.- 答案　C 解析　 = =-f'（x0）=. 16.（12分）试比较正弦函数y=sin x在x=0和x=附近的平均变化率哪一个大. 解　当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1==. 当自变量从变到Δx+时，函数的平均变化率为k2==. 由于是在x=0和x=附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负. 当Δx>0时，k1>0，k2<0，此时有k1>k2； 当Δx<0时，k1-k2=- ==. ∵Δx<0， ∴Δx-<-， ∴sin<-， ∴sin<-1， ∴sin+1<0， ∴k1-k2>0，即k1>k2. 综上，正弦函数y=sin x在x=0附近的平均变化率大于在x=附近的平均变化率. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时 第五章 <<< 导数的概念 1.了解导数概念的实际背景. 2.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想. 3.理解并能正确描述导数在实际问题中的意义. 学习目标 同学们，经过上节课的学习，我们把物理中的平均速度和瞬时速度对应到了几何中的割线斜率和切线斜率，在解决问题时，都采用了由“平均变化率”无限逼近“瞬时变化率”的思想方法，比如大家在经过红绿灯路口时，容易发现，测速探头会在极短时间内拍两次，然后看你发生的位移，原理也是无限逼近的思想，今天我们用上述思想方法继续研究更一般的问题. 导 语 一、导数的概念 二、导数定义的应用 课时对点练 三、导数在实际问题中的意义 随堂演练 内容索引 一 导数的概念 瞬时变化率的几何意义是什么？ 问题 提示　瞬时变化率的几何意义是曲线的切线斜率. 1.平均变化率 对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=f(x0+Δx)-f(x0).我们把比值，即=_________________叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 知识梳理 2.导数 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在x=x0处 ，并把这个确定的值叫做y=f(x)在 处的 (也称为瞬时变化率)，记作 或_________，即f'(x0)==_________________. 可导 x=x0 导数 f'(x0) y' (1)曲线切线的斜率即函数y=f(x)在x=x0处的导数； (2)瞬时变化率、曲线切线的斜率、函数在该点的导数，三者等价. 注 意 点 <<< 9 已知函数y=f(x)=2x2+1. (1)求函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率； 例 1 ∵Δy=f(x0+Δx)-f(x0) =2(x0+Δx)2+1-2-1=2Δx(2x0+Δx)， ∴函数f(x)在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为==4x0+2Δx. 10 (2)求函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率； 由(1)可知=4x0+2Δx， 当x0=2，Δx=0.01时， =4×2+2×0.01=8.02， 即函数f(x)在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. 11 (3)求函数f(x)在x=2处的瞬时变化率. Δy=f(2+Δx)-f(2)=2(2+Δx)2+1-(2×22+1)=2(Δx)2+8Δx. ∴=2Δx+8. 故函数f(x)在x=2处的瞬时变化率为=(2Δx+8)=8. 12 反 思 感 悟 求瞬时变化率的主要步骤 (1)计算函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1). (2)计算自变量的改变量Δx=x2-x1. (3)得平均变化率=. (4)得瞬时变化率. 已知函数f(x)=-. (1)函数f(x)在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少？ 跟踪训练 1 ∵f(x)=-， ∴f(1)=-6，f(1.5)=-4，f(1.1)=-， ∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为==4， 在区间[1，1.1]上的平均变化率为==. 14 (2)函数f(x)在x=1处的瞬时变化率是多少？ 函数f(x)在x=1处的瞬时变化率为 = ===6. 15 二 导数定义的应用 求函数y=x-在x=1处的导数. 例 2 ∵Δy=(1+Δx)-- =Δx+， ∴==1+， ∴==2. 从而y'|x=1=2. 17 反 思 感 悟 用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤 (1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0). (2)求平均变化率=. (3)求极限. (1)y=f(x)=x2在x=1处的导数为 A.2x B.2 C.2+Δx D.1 跟踪训练 2 ===(2+Δx)=2. √ 19 (2)已知y=f(x)=，且f'(m)=-，则m等于 A.-4 B.2 C.-2 D.±2 因为===， 所以f'(m)==-， 所以-=-，m2=4，解得m=±2. √ 20 三 导数在实际问题中的意义 某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c(单位：万元)与产量x(单位：千台)之间的关系式为y=c(x)=-2x2+7x+6.求c'(1)与c'(2)，并说明它们的实际意义. 例 3 设x=1时产量的改变量为Δx， 则== =-2Δx+3， c'(1)==(-2Δx+3)=3， 设x=2时产量的改变量为Δx， 则== =-2Δx-1， c'(2)==(-2Δx-1)=-1. c'(1)的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机大约多获利 3万元； c'(2)的实际意义：当产量为2 000台时，多生产1台旋切机大约少获利 1万元. 反 思 感 悟 导数的物理意义是：函数y=f(x)在x=x0处的导数即为它的瞬时变化率. 一只昆虫的爬行路程s(单位：米)关于时间t(单位：分)的函数为y=s(t)=求s'(1)与s'(4)，并解释它们的实际意义. 跟踪训练 3 当0≤t<3时，s(t)=3t2， = ==6+3Δt， ∴s'(1)==(6+3Δt)=6. 当t≥3时，s(t)=15+3(t-1)2， = = =18+3Δt， ∴s'(4)==(18+3Δt)=18. s'(1)=6说明在第1分钟时，该昆虫的爬行速度大约为6米/分，s'(4)=18说明在第4分钟时，该昆虫的爬行速度大约为18米/分. 1.知识清单： (1)导数的概念. (2)导数定义的应用. (3)导数在实际问题中的意义. 2.方法归纳：定义法、无限逼近思想. 3.常见误区：用定义求导时，对Δy与Δx的对应关系理解不到位. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知物体做直线运动的函数为y=s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s'(4)=10 m/s表示的意义是 A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s时的瞬时速度为10 m/s √ 2.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1，-2)及邻近一点(1+Δx，-2+Δy)，则等于 A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2(Δx)2 1 2 3 4 ===4+2Δx. √ 3.若函数f(x)可导，则等于 A.-2f'(1) B.f'(1) C.-f'(1) D.f' 1 2 3 4 =-=-f'(1). √ 4.已知函数f(x)=，则f'(1)=　　.  1 2 3 4 f'(1)====. 课时对点练 五 基础巩固 1.如图，函数y=f(x)在A，B两点间的平均变化率是 ===-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.1 B.-1 C.2 D.-2 √ 2.已知函数f(x)可导，且满足=2，则函数y=f(x)在x=3处的导数为 A.-1 B.-2 C.1 D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意， 知f'(3)==-2. √ 3.设函数y=f(x)在x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a，b为常数)，则 A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵==a+bΔx. ∴f'(x0)==a. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.若函数y=f(x)在x=x0处导数为f'(x0)，则等于 A.-f'(x0) B.3f'(x0) C.-3f'(x0) D.-4f'(x0) =-4=-4f'(x0). √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.若可导函数f(x)的图象过原点，且满足=-1，则f'(0)等于 A.-2 B.2 C.-1 D.1 √ ∵f(x)的图象过原点，∴f(0)=0， ∴f'(0)===-1. 6.(多选)若函数f(x)在x=x0处存在导数，则的值 A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 由导数的定义可知，函数f(x)在x=x0处的导数与x0有关，与h无关，故选AD. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.设函数f(x)=ax+3，若f'(1)=3，则a=　　.  因为f'(1)= ==a. 又因为f'(1)=3，所以a=3. 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.已知函数y=f(x)=2x2+1在x=x0处的瞬时变化率为-8，则f(x0)=　　.  9 由题知-8==(2Δx+4x0)=4x0，得x0=-2，所以f(x0)=f(-2)=2× (-2)2+1=9. 9.求函数f(x)=在x=x0(x0>-1)处的导数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)=， 则f'(x0)= = = ==. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的.铺路工人需要对沥青加热使其由固体变成粘稠液体，如果开始加热后第x h的沥青温度(单位：℃)为y=f(x)=80x2+20，0≤x≤1，求f'(0.25)，并说明它的实际意义. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为y=f(x)=80x2+20，0≤x≤1， 所以= = ==40+80Δx. 所以f'(0.25)=(40+80Δx)=40. 它表示在第0.25 h附近，沥青的温度大约以40 ℃/h的速率上升. 11.若一个函数的瞬时变化率处处为0，则这个函数的图象是 A.圆 B.抛物线 C.椭圆 D.直线 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综合运用 √ 因为这个函数的瞬时变化率处处为0，所以当这个函数的自变量x变化时，函数值y没有变化，即这个函数为常函数，所以这个函数的图象是x轴或平行于x轴的一条直线. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 A.两机关节能效果一样好 B.A机关比B机关节能效果好 C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上 的平均变化率大 D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.设函数y=f(x)在x=x0处可导，且=a，则f'(x0)=　　.  ∵ = =-3f'(x0)=a，∴f'(x0)=-a. -a 14.如图所示，函数y=f(x)在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 [x3，x4] 由平均变化率的定义可知，函数y=f(x)在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为， 结合图象可以发现函数y=f(x)的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 15.设函数y=f(x)的导数为y=f'(x)，若f'(x0)=-2，则等于 A.1 B.-1 C. D.- 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ==-f'(x0)=. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.试比较正弦函数y=sin x在x=0和x=附近的平均变化率哪一个大. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当自变量从0变到Δx时，函数的平均变化率为k1==. 当自变量从变到Δx+时，函数的平均变化率为k2== . 由于是在x=0和x=附近的平均变化率，可知Δx较小，但Δx既可为正，又可为负. 当Δx>0时，k1>0，k2<0，此时有k1>k2； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当Δx<0时，k1-k2=- ==. ∵Δx<0， ∴Δx-<-， ∴sin<-， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴sin<-1， ∴sin+1<0， ∴k1-k2>0，即k1>k2. 综上，正弦函数y=sin x在x=0附近的平均变化率大于在x=附近的平均变化率. <<< 第五章 $$