章末检测试卷(二)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

章末检测试卷(二)　[时间：120分钟　分值：150分] 一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.下列函数的求导正确的是(　　) A.(x-2)'=-2x B.(xcos x)'=cos x-xsin x C.(ln 10)'= D.(2ex)'=ex 答案　B 解析　(x-2)'=-2x-3，故A错误；(xcos x)'=cos x-xsin x，故B正确；(ln 10)'=0，故C错误；(2ex)'=2ex，故D错误. 2.函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间是(　　) A.[-e，0) B. C.[-e，+∞) D. 答案　B 解析　函数f(x)=xln(-x)的定义域为(-∞，0)，且f'(x)=ln(-x)+1，令f'(x)≤0，解得-≤x<0，所以f(x)的单调递减区间是. 3.已知函数f(x)=x3-3x+2，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0，2]上的最小值为(　　) A.-3e B.-2e C.e D.2e 答案　B 解析　因为f(x)=x3-3x+2，故可得f'(x)=x2-3，则g(x)=f'(x)ex=ex(x2-3)， 又 g'(x)=ex(x+3)(x-1)，x∈[0，2]，令g'(x)>0，解得1<x<2，令g'(x)<0，解得0<x<1， 故g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，又g(1)=-2e，故g(x)在区间[0，2]上的最小值为-2e. 4.设曲线y=在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，则a等于(　　) A.- B. C.-2 D.2 答案　A 解析　由题意得， y'= =(x>0)， ∵曲线在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，∴=-a，解得a=-. 5.函数f(x)=的部分图象大致为(　　) 答案　C 解析　f(x)=，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， ∵f(-x)=-=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； f(1)=<1，故排除A； ∵当x>0时，f'(x)=， 又当x>1时，f'(x)>0， ∴f(x)在(1，+∞)上单调递增，故排除D. 6.已知1是函数f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex的极值点，则a的值为(　　) A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2 答案　B 解析　由f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex， 得f'(x)=(x2+2ax+2x-a2-a+3)ex， ∵1是函数f(x)的极值点， ∴f'(1)=(6-a2+a)e=0，解得a=3或a=-2， 当a=-2时，f'(x)=(x2-2x+1)ex≥0恒成立，即f(x)为增函数，无极值点，舍去； 当a=3时，f'(x)=(x2+8x-9)ex=0时，x=1或x=-9， 满足1为函数f(x)的极值点， ∴a=3. 7.若函数f(x)=(x>1)有最大值-4，则实数a的值是(　　) A.1 B.-1 C.4 D.-4 答案　B 解析　由函数f(x)=(x>1)，得f'(x)==，令f'(x)=0，得x=0或x=2，要使得函数f(x)有最大值-4，则a<0， 则当x∈(1，2)时，f'(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(2，+∞)时，f'(x)<0，函数f(x)在(2，+∞)上单调递减，所以当x=2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max=f(2)==-4，解得a=-1，满足题意. 8.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，f(4)=2ln 2，则不等式f(ex)<x的解集为(　　) A.(0，2ln 2) B.(-∞，2ln 2) C.(2ln 2，+∞) D.(1，2ln 2) 答案　B 解析　设g(x)=f(x)-ln x，x>0， 则g'(x)=f'(x)-=， 又xf'(x)-1>0，故g'(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增，由f(4)=2ln 2可得， g(4)=f(4)-ln 4=0. 不等式f(ex)<x，可变形为f(ex)-x<0，令ex=t>0，则f(t)-ln t<0，即g(t)<g(4)，则0<t<4，即ex<4，解得x<2ln 2. 二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 设三次函数f(x)的导函数为f'(x)，函数y=xf'(x)的图象的一部分如图所示，则(　　) A.函数f(x)有极大值f(3) B.函数f(x)有极小值f(-) C.函数f(x)有极大值f() D.函数f(x)有极小值f(-3) 答案　AD 解析　当x<-3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)<0； 当-3<x<0时，y=xf'(x)<0，即f'(x)>0；当0<x<3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)>0；当x>3时，y=xf'(x)<0，即f'(x)<0. ∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(-3). 10.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的值可以是(　　) A.- B.-1 C. D.2 答案　ABC 解析　由题意得f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，则Δ=4a2-12≤0，解得-≤a≤. 11.设函数f(x)=x-ln x(x>0)，则y=f(x)(　　) A.在区间内无零点 B.在区间内有零点 C.在区间(1，e)内无零点 D.在区间(1，e)内有零点 答案　AD 解析　由题意得f'(x)=(x>0)， 令f'(x)>0，得x>3； 令f'(x)<0，得0<x<3； 令f'(x)=0，得x=3， 故函数f(x)在区间(0，3)上单调递减， 在区间(3，+∞)上单调递增， 所以f(x)的极小值为f(3)=1-ln 3<0， 又f(1)=>0，f(e)=-1<0，f=+1>0. 所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12.若函数的导数为f'(x)，且f(x)=2f'(2)x+x3，则f'(2)=　　　　.  答案　-12 解析　由题意得f'(x)=2f'(2)+3x2， ∴f'(2)=2f'(2)+12，∴f'(2)=-12. 13.能说明“若f'(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题的一个函数是　　　　　　　　.  答案　f(x)=x3+1(答案不唯一) 解析　若f(x)=x3+1，则f'(x)=3x2是偶函数，但f(-x)=-x3+1≠-f(x)，所以f(x)不是奇函数，能满足“若f'(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题. 14. 如图，将边长为2的正六边形铁皮的六个角各剪去一个全等四边形，再折起来做一个无盖正六棱柱容器，其容积最大时，底面边长为　　　　.  答案　 解析　设正六棱柱容器的底面边长为x(0<x<2)，底面面积为S，高为d，易知d=×， S=6×x2sin =x2，则正六棱柱容器的容积为V=Sd=x2=(2x2-x3)， 对函数V求导，V'=9x-x2=9x， 当0<x<时，V'>0，函数V单调递增； 当<x<2时，V'<0，函数V单调递减. 故当x=时，V取得最大值. 四、解答题(本题共5小题，共77分) 15.(13分)已知函数f(x)=aln x+x2-3b，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x+y-4=0. (1)求实数a，b的值；(6分) (2)若曲线C：y=-x3-4b，求曲线C过点(2，4)的切线方程.(7分) 解　(1)f'(x)=+2x， 因为直线2x+y-4=0的斜率为-2， 且过点(1，2)， 所以即 解得 (2)由(1)知y=+，则y'=x2. 设切点为(x0，y0)， 则切线斜率k=， 故切线方程为y--=(x-x0). 由切线过点(2，4)，代入可解得x0=2或x0=-1， ∴切点为(2，4)或(-1，1)， 则切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 16.(15分)已知函数f(x)=2x3-ax2+4，x=1是函数f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调递增区间；(6分) (2)当x∈[-1，2]时，求函数f(x)的最小值.(9分) 解　(1)由题意，得f'(x)=6x2-2ax， f'(1)=0，则a=3. f(x)=2x3-3x2+4，f'(x)=6x(x-1)， 当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0； 当x∈(0，1)时，f'(x)<0； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(1，+∞). (2)当x∈[-1，2]时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2 f'(x) + 0 - 0 + f(x) -1 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 8 当x=-1时，f(-1)=2(-1)3-3(-1)2+4=-1； 当x=1时，f(1)=2-3+4=3， 所以当x∈[-1，2]时，函数f(x)的最小值为-1. 17.(15分)设函数f(x)=x3-6x+5，x∈R. (1)求f'(2)的值；(3分) (2)求f(x)的单调区间和极值；(5分) (3)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根，求实数a的取值范围.(7分) 解　(1)∵f'(x)=3x2-6，∴f'(2)=6. (2)f'(x)=3(x2-2)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=， 当x<-或x>时，f'(x)>0； 当-<x<时，f'(x)<0， ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-)，(，+∞)，单调递减区间是(-，). ∴当x=-时，f(x)取得极大值为 f(-)=5+4， 当x=时，f(x)取得极小值为f()=5-4. (3)令g(x)=f(x)-a，则g'(x)=f'(x)， 由(2)可得g(x)的极大值为5+4-a， 极小值为5-4-a， ∵g(x)=0有3个不同的实根，故 解得5-4<a<5+4， ∴当5-4<a<5+4时，f(x)=a有3个不同的实根， ∴实数a的取值范围是(5-4，5+4). 18.(17分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元. (1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(7分) (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值.(10分) 解　(1)设该产品一年的销售量为Q(x)=， 则=500，所以k=500e40， 则该产品一年的销售量Q(x)=， 则该产品一年的利润L(x)=(x-a-30) =500e40·(35≤x≤41). (2)L'(x)=500e40·. ①若2≤a≤4，则33≤a+31≤35， 当35≤x≤41时，L'(x)≤0，L(x)单调递减， 所以当x=35时，L(x)取得最大值为500(5-a)e5； ②若4<a≤5，则35<a+31≤36， 令L'(x)=0，得x=a+31， 易知当x=a+31时，L(x)取得最大值为500e9-a. 综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大， 最大利润为500(5-a)e5万元； 当4<a≤5，且每件产品的售价为(31+a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9-a万元. 19.(17分)已知函数f(x)=2ax-+ln x. (1)若f(x)在x=1，x=处取得极值. ①求a，b的值；(3分) ②若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的最小值；(6分) (2)当b=a时，若f(x)在(0，+∞)上是单调函数，求a的取值范围.(8分) 解　(1)①函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2a++. ∵f(x)在x=1，x=处取得极值， ∴f'(1)=0，f'=0， 即 解得 ②若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，则只需c≥f(x)min. ∵f'(x)=--+=- =-， ∴当x∈时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减； 当x∈时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增； 当x∈[1，2]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， ∴f(x)在x=处取得极小值， 即f=+ln =-ln 2， 又f(2)=-+ln 2， ∴f(x)min=f(2)， ∴c≥f(x)min=-+ln 2， ∴c∈， 故cmin=-+ln 2. (2)当a=b时，f'(x)=. 当a=0时，f(x)=ln x， 则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，∵x>0， ∴2ax2+x+a>0， ∴f'(x)>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a<0时，设g(x)=2ax2+x+a=2a+a-，∵->0， 故只需Δ≤0，从而得a≤-， 此时f(x)在(0，+∞)上单调递减. 综上可得，a∈∪[0，+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 章末检测试卷(二) 第二章 <<< 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 一、单项选择题 1.下列函数的求导正确的是 A.(x-2)'=-2x B.(xcos x)'=cos x-xsin x C.(ln 10)'= D.(2ex)'=ex √ (x-2)'=-2x-3，故A错误； (xcos x)'=cos x-xsin x，故B正确； (ln 10)'=0，故C错误； (2ex)'=2ex，故D错误. 13 14 15 16 17 18 19 2.函数f(x)=xln(-x)的单调递减区间是 A.[-e，0) B. C.[-e，+∞) D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 函数f(x)=xln(-x)的定义域为(-∞，0)，且f'(x)=ln(-x)+1，令f'(x)≤0，解得-≤x<0，所以f(x)的单调递减区间是. 17 18 19 3.已知函数f(x)=x3-3x+2，则函数g(x)=f'(x)ex在区间[0，2]上的最小值为 A.-3e B.-2e C.e D.2e √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(x)=x3-3x+2，故可得f'(x)=x2-3，则g(x)=f'(x)ex=ex(x2-3)， 又 g'(x)=ex(x+3)(x-1)，x∈[0，2]，令g'(x)>0，解得1<x<2，令g'(x)<0，解得0<x<1， 故g(x)在(0，1)上单调递减，在(1，2)上单调递增，又g(1)=-2e，故g(x)在区间[0，2]上的最小值为-2e. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设曲线y=在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，则a等于 A.- B. C.-2 D.2 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由题意得， y'= =(x>0)， ∵曲线在点(1，0)处的切线与直线x-ay+1=0垂直，∴=-a，解得a=-. 5.函数f(x)=的部分图象大致为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f(x)=，定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)， ∵f(-x)=-=-f(x)， ∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B； f(1)=<1，故排除A； ∵当x>0时，f'(x)=， 又当x>1时，f'(x)>0， ∴f(x)在(1，+∞)上单调递增，故排除D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.已知1是函数f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex的极值点，则a的值为 A.-2 B.3 C.-2或3 D.-3或2 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由f(x)=(x2+2ax-a2-3a+3)ex， 得f'(x)=(x2+2ax+2x-a2-a+3)ex， ∵1是函数f(x)的极值点， ∴f'(1)=(6-a2+a)e=0，解得a=3或a=-2， 当a=-2时，f'(x)=(x2-2x+1)ex≥0恒成立，即f(x)为增函数，无极值点，舍去； 当a=3时，f'(x)=(x2+8x-9)ex=0时，x=1或x=-9， 满足1为函数f(x)的极值点， ∴a=3. 7.若函数f(x)=(x>1)有最大值-4，则实数a的值是 A.1 B.-1 C.4 D.-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由函数f(x)=(x>1)，得f'(x)==，令f'(x)=0，得x=0或x=2，要使得函数f(x)有最大值-4，则a<0， 则当x∈(1，2)时，f'(x)>0，函数f(x)在(1，2)上单调递增，当x∈(2，+∞) 时，f'(x)<0，函数f(x)在(2，+∞)上单调递减，所以当x=2时，函数f(x)取得最大值，即f(x)max=f(2)==-4，解得a=-1，满足题意. 8.定义在(0，+∞)上的函数f(x)满足xf'(x)-1>0，f(4)=2ln 2，则不等式f(ex)<x的解集为 A.(0，2ln 2) B.(-∞，2ln 2) C.(2ln 2，+∞) D.(1，2ln 2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设g(x)=f(x)-ln x，x>0， 则g'(x)=f'(x)-=， 又xf'(x)-1>0，故g'(x)>0，即g(x)在(0，+∞)上单调递增，由f(4)=2ln 2可得， g(4)=f(4)-ln 4=0. 不等式f(ex)<x，可变形为f(ex)-x<0，令ex=t>0，则f(t)-ln t<0，即g(t)<g(4)，则0<t<4，即ex<4，解得x<2ln 2. 二、多项选择题 9.设三次函数f(x)的导函数为f'(x)，函数y=xf'(x)的图象的一部分如图所示，则 A.函数f(x)有极大值f(3) B.函数f(x)有极小值f(-) C.函数f(x)有极大值f() D.函数f(x)有极小值f(-3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当x<-3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)<0； 当-3<x<0时，y=xf'(x)<0，即f'(x)>0；当0<x<3时，y=xf'(x)>0，即f'(x)>0；当x>3时，y=xf'(x)<0，即f'(x)<0. ∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(-3). 10.已知函数f(x)=-x3+ax2-x-1在(-∞，+∞)上是单调函数，则实数a的值可以是 A.- B.-1 C. D.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 17 18 19 由题意得f'(x)=-3x2+2ax-1≤0在(-∞，+∞)上恒成立，则Δ=4a2-12≤0，解得-≤a≤. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.设函数f(x)=x-ln x(x>0)，则y=f(x) A.在区间内无零点 B.在区间内有零点 C.在区间(1，e)内无零点 D.在区间(1，e)内有零点 √ 17 18 19 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得f'(x)=(x>0)， 令f'(x)>0，得x>3； 令f'(x)<0，得0<x<3； 令f'(x)=0，得x=3， 故函数f(x)在区间(0，3)上单调递减， 在区间(3，+∞)上单调递增， 所以f(x)的极小值为f(3)=1-ln 3<0， 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 又f(1)=>0，f(e)=-1<0，f=+1>0. 所以f(x)在区间内无零点，在区间(1，e)内有零点. 17 18 19 三、填空题 12.若函数的导数为f'(x)，且f(x)=2f'(2)x+x3，则f'(2)=　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 -12 由题意得f'(x)=2f'(2)+3x2， ∴f'(2)=2f'(2)+12，∴f'(2)=-12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.能说明“若f'(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题的一个函数是　　　　　 　　　. 17 18 19 f(x)=x3+1(答案不唯一) 若f(x)=x3+1，则f'(x)=3x2是偶函数，但f(-x)=-x3+1≠-f(x)，所以f(x)不是奇函数，能满足“若f'(x)为偶函数，则f(x)为奇函数”为假命题. 14.如图，将边长为2的正六边形铁皮的六个角各剪去一个全等四边形， 再折起来做一个无盖正六棱柱容器，其容积最大时，底面边长为　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设正六棱柱容器的底面边长为x(0<x<2)，底面面积为S，高为d，易知 d=×， S=6×x2sin =x2，则正六棱柱容器的容积为V=Sd=x2= (2x2-x3)， 对函数V求导，V'=9x-x2=9x， 当0<x<时，V'>0，函数V单调递增； 当<x<2时，V'<0，函数V单调递减. 故当x=时，V取得最大值. 四、解答题 15.已知函数f(x)=aln x+x2-3b，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x+ y-4=0. (1)求实数a，b的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=+2x， 因为直线2x+y-4=0的斜率为-2， 且过点(1，2)， 所以 解得 (2)若曲线C：y=-x3-4b，求曲线C过点(2，4)的切线方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 由(1)知y=+，则y'=x2. 设切点为(x0，y0)， 则切线斜率k=， 故切线方程为y--=(x-x0). 由切线过点(2，4)，代入可解得x0=2或x0=-1， ∴切点为(2，4)或(-1，1)， 则切线方程为4x-y-4=0或x-y+2=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=2x3-ax2+4，x=1是函数f(x)的一个极值点. (1)求函数f(x)的单调递增区间； 17 18 19 由题意，得f'(x)=6x2-2ax， f'(1)=0，则a=3. f(x)=2x3-3x2+4，f'(x)=6x(x-1)， 当x∈(-∞，0)时，f'(x)>0； 当x∈(0，1)时，f'(x)<0； 当x∈(1，+∞)时，f'(x)>0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(-∞，0)和(1，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当x∈[-1，2]时，求函数f(x)的最小值. 17 18 19 当x∈[-1，2]时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x -1 (-1，0) 0 (0，1) 1 (1，2) 2 f'(x)   + 0 - 0 +   f(x) -1 ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 8 当x=-1时，f(-1)=2(-1)3-3(-1)2+4=-1； 当x=1时，f(1)=2-3+4=3， 所以当x∈[-1，2]时，函数f(x)的最小值为-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17.设函数f(x)=x3-6x+5，x∈R. (1)求f'(2)的值； 17 18 19 ∵f'(x)=3x2-6，∴f'(2)=6. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求f(x)的单调区间和极值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 f'(x)=3(x2-2)， 令f'(x)=0，得x1=-，x2=， 当x<-或x>时，f'(x)>0； 当-<x<时，f'(x)<0， ∴函数f(x)的单调递增区间是(-∞，-，+∞)，单调递减区间是(-). ∴当x=-时，f(x)取得极大值为 f(-)=5+4， 当x=时，f(x)取得极小值为f()=5-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)若关于x的方程f(x)=a有3个不同的实根，求实数a的取值范围. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 令g(x)=f(x)-a，则g'(x)=f'(x)， 由(2)可得g(x)的极大值为5+4-a， 极小值为5-4-a， ∵g(x)=0有3个不同的实根，故 解得5-4<a<5+4， ∴当5-4<a<5+4时，f(x)=a有3个不同的实根， ∴实数a的取值范围是(5-4，5+4). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 18.某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元. (1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 设该产品一年的销售量为Q(x)=， 则=500，所以k=500e40， 则该产品一年的销售量Q(x)=， 则该产品一年的利润L(x)=(x-a-30) =500e40·(35≤x≤41). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 L'(x)=500e40·. ①若2≤a≤4，则33≤a+31≤35， 当35≤x≤41时，L'(x)≤0，L(x)单调递减， 所以当x=35时，L(x)取得最大值为500(5-a)e5； ②若4<a≤5，则35<a+31≤36， 令L'(x)=0，得x=a+31， 易知当x=a+31时，L(x)取得最大值为500e9-a. 综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最大利润为500(5-a)e5万元； 当4<a≤5，且每件产品的售价为(31+a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9-a万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 19.已知函数f(x)=2ax-+ln x. (1)若f(x)在x=1，x=处取得极值. ①求a，b的值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=2a++. ∵f(x)在x=1，x=处取得极值， ∴f'(1)=0，f'=0， 即 解得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，求c的最小值； 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 若存在x0∈，使得不等式f(x0)-c≤0成立，则只需c≥f(x)min. ∵f'(x)=--+=- =-， ∴当x∈时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减； 当x∈时，f'(x)≥0，函数f(x)单调递增； 当x∈[1，2]时，f'(x)≤0，函数f(x)单调递减， ∴f(x)在x=处取得极小值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 即f=+ln =-ln 2， 又f(2)=-+ln 2， ∴f(x)min=f(2)， ∴c≥f(x)min=-+ln 2， ∴c∈， 故cmin=-+ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)当b=a时，若f(x)在(0，+∞)上是单调函数，求a的取值范围. 17 18 19 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 当a=b时，f'(x)=. 当a=0时，f(x)=ln x， 则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a>0时，∵x>0， ∴2ax2+x+a>0， ∴f'(x)>0，则f(x)在(0，+∞)上单调递增； 当a<0时，设g(x)=2ax2+x+a=2a+a-，∵->0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 故只需Δ≤0，从而得a≤-， 此时f(x)在(0，+∞)上单调递减. 综上可得，a∈∪[0，+∞). 第二章 <<< $$