第2章 再练一课(范围：§6)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

再练一课(范围：§6)　[分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数y=4x2+的单调递增区间为(　　) A.(0，+∞) B. C.(-∞，-1) D. 答案　B 解析　由y=4x2+， 得y'=8x-(x≠0)， 令y'>0，即8x->0，解得x>， ∴函数y=4x2+的单调递增区间为. 2.函数f(x)=ln x-x在(0，e]上的最大值为(　　) A.-1 B.1 C.0 D.e 答案　A 解析　由f(x)=ln x-x，得f'(x)=-1=，当0<x<1时，f'(x)>0，当1<x≤e时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=ln 1-1=-1. 3.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是(　　) 答案　D 解析　根据导函数的图象可得，当x<0时，f'(x)<0，f(x)在(-∞，0)上单调递减； 当0<x<2时，f'(x)>0， f(x)在(0，2)上单调递增； 当x>2时，f'(x)<0， f(x)在(2，+∞)上单调递减， 所以只有D选项符合. 4.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex-1)·(x-1)k(k=1，2)，则(　　) A.当k=1时，f(x)在x=1处取得极小值 B.当k=1时，f(x)在x=1处取得极大值 C.当k=2时，f(x)在x=1处取得极小值 D.当k=2时，f(x)在x=1处取得极大值 答案　C 解析　当k=1时，f'(x)=ex·x-1，f'(1)≠0， ∴x=1不是f(x)的极值点. 当k=2时，f'(x)=(x-1)(xex+ex-2)， 显然f'(1)=0，且在x=1附近的左侧f'(x)<0， 当x>1时，f'(x)>0， ∴f(x)在x=1处取得极小值. 5.已知函数f(x)=ln x，且a=f，b=f，c=f，则(　　) A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 答案　B 解析　由f(x)=ln x， 得f'(x)=ln x+， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 因为c=f，0<<<<1， 所以f>f>f，故c>a>b. 6.若函数f(x)=ax2-x+bln x(a≠0)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是(　　) A.a>0，b<0 B.a<0，b>0 C.ab< D.ab>0 答案　C 解析　f'(x)=ax-1+=，x>0， 令g(x)=ax2-x+b=0(a≠0)，Δ=1-4ab， 若Δ=1-4ab≤0，则g(x)=ax2-x+b≥0或g(x)=ax2-x+b≤0恒成立，此时f(x)单调，不存在极值点，故不符合题意； 若Δ=1-4ab>0，则方程g(x)=ax2-x+b=0有两个实数根， 由于f(x)=ax2-x+bln x(a≠0)有唯一极值点，故g(x)=ax2-x+b=0只能有一个正实数根， 若另一个实数根为0，此时b=0，显然满足条件， 若另一个实数根为负根，则<0，故ab<0， 结合选项可知，ab<一定成立. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则(　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 答案　ACD 解析　对于A,因为函数f(x)的定义域为R, f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2 =3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0; 当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增, 在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 故x=3是f(x)的极小值点,故A正确; 对于B,当0<x<1时, x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 由A选项分析可知,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 所以f(x)>f(x2),故B错误; 对于C,当1<x<2时,1<2x-1<3, 由A选项分析可知,函数f(x)在(1,3)上单调递减, 所以f(1)>f(2x-1)>f(3), 即-4<f(2x-1)<0,故C正确; 对于D,当-1<x<0时, f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),故D正确. 8.已知f(x)=，下列说法正确的是(　　) A.f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1 B.f(x)的单调递减区间为(e，+∞) C.f(x)的极大值为 D.方程f(x)=-1有两个不同的解 答案　BC 解析　由f(x)=，得f'(x)=(x>0)，则f(1)=0，f'(1)=1，所以f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1，A错误； 当x>e时，f'(x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f'(x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得极大值f(e)=，B正确，C正确； 因为f(1)=0，当x→0时，f(x)→-∞，x→+∞时，f(x)→0且f(x)>0， 所以f(x)=-1只有一解，D错误. 9.已知函数f(x)=(k为常数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则(　　) A.实数k=-1 B.函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞) C.函数f(x)的单调递增区间为(0，1) D.函数f(x)的单调递减区间为(1，+∞) 答案　CD 解析　f'(x)=(x>0). 又由题意知f'(1)==0，所以k=1. f'(x)=(x>0). 设h(x)=-ln x-1(x>0)， 则h'(x)=--<0， 所以h(x)在(0，+∞)上单调递减. 由h(1)=0知，当0<x<1时，h(x)>0， 所以f'(x)>0； 当x>1时，h(x)<0，所以f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，+∞). 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.写出一个存在极值的奇函数f(x)=　　　　.  答案　sin x(答案不唯一) 解析　正弦函数f(x)=sin x为奇函数，且存在极值. 11.已知g(x)=+x2+2aln x在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　 解析　g'(x)=-+2x+， 由已知得g'(x)≤0在[1，2]上恒成立， 可得a≤-x2在[1，2]上恒成立. 又当x∈[1，2]时，=-4=-. ∴a≤-. 12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1，f(x)的导函数f'(x)<，则不等式f(x2)<+的解集为　　　　　　.  答案　{x|x<-1或x>1} 解析　设F(x)=f(x)-x， ∴F'(x)=f'(x)-， ∵f'(x)<，∴F'(x)=f'(x)-<0， 即函数F(x)在R上单调递减. ∵f(x2)<+， ∴f(x2)-<f(1)-， ∴F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减， ∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<-1或x>1}. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知函数f(x)=x-1+(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值. 解　f'(x)=1-=， ①当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)无极值. ②当a>0时，令f'(x)=0， 得ex=a，即x=ln a， 当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0； 当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0， 所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 在(ln a，+∞)上单调递增，故f(x)在x=ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)=ln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x=ln a处取得极小值ln a，无极大值. 14.(12分)已知函数f(x)=ln x，g(x)=ax2+2x(a≠0). (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围；(6分) (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围.(6分) 解　(1)h(x)=ln x-ax2-2x，x∈(0，+∞)， 所以h'(x)=-ax-2， 由于h(x)在(0，+∞)上存在单调递减区间， 所以当x∈(0，+∞)时，-ax-2<0有解， 即a>-有解. 设G(x)=-， 所以只要a>G(x)min即可. 而G(x)=-1， 所以G(x)min=-1. 所以a>-1. 又因为a≠0， 所以a的取值范围为(-1，0)∪(0，+∞). (2)因为h(x)在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时， h'(x)=-ax-2≤0恒成立， 即a≥-恒成立. 由(1)知G(x)=-， 所以a≥G(x)max， 而G(x)=-1， 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max=-(此时x=4)， 所以a≥-，又因为a≠0， 所以a的取值范围是∪(0，+∞). 15.(13分)已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间；(6分) (2)若f(x)的极小值为-e3，求f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值.(7分) 解　(1)f'(x)= =. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c， 因为ex>0，所以y=f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点，且f'(x)与g(x)的符号相同. 又因为a>0， 所以当-3<x<0时，g(x)>0，即f'(x)>0， 当x<-3或x>0时，g(x)<0，即f'(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间是(-3，0)， 单调递减区间是(-∞，-3)，(0，+∞). (2)由(1)知，x=-3是f(x)的极小值点， 所以 解得a=1，b=5，c=5， 所以f(x)=. 因为f(x)的单调递增区间是(-3，0)， 单调递减区间是(-∞，-3)，(0，+∞)， 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值， 故f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者， 而f(-5)==5e5>5=f(0)， 所以函数f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值是5e5. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 再练一课(范围：§6) 第二章 <<< 一、单项选择题 1.函数y=4x2+的单调递增区间为 A.(0，+∞) B. C.(-∞，-1) D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由y=4x2+， 得y'=8x-(x≠0)， 令y'>0，即8x->0，解得x>， ∴函数y=4x2+. 2.函数f(x)=ln x-x在(0，e]上的最大值为 A.-1 B.1 C.0 D.e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由f(x)=ln x-x，得f'(x)=-1=，当0<x<1时，f'(x)>0，当1<x≤e时，f'(x)<0，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，所以当x=1时，f(x)取得最大值f(1)=ln 1-1=-1. 3.已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且y=f'(x)的图象如图所示，则函数y=f(x)的图象可能是 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据导函数的图象可得，当x<0时，f'(x)<0，f(x)在(-∞，0)上单调递减； 当0<x<2时，f'(x)>0， f(x)在(0，2)上单调递增； 当x>2时，f'(x)<0， f(x)在(2，+∞)上单调递减， 所以只有D选项符合. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)=(ex-1)·(x-1)k(k=1，2)，则 A.当k=1时，f(x)在x=1处取得极小值 B.当k=1时，f(x)在x=1处取得极大值 C.当k=2时，f(x)在x=1处取得极小值 D.当k=2时，f(x)在x=1处取得极大值 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当k=1时，f'(x)=ex·x-1，f'(1)≠0， ∴x=1不是f(x)的极值点. 当k=2时，f'(x)=(x-1)(xex+ex-2)， 显然f'(1)=0，且在x=1附近的左侧f'(x)<0， 当x>1时，f'(x)>0， ∴f(x)在x=1处取得极小值. 5.已知函数f(x)=ln x，且a=f，b=f，c=f，则 A.a>b>c B.c>a>b C.a>c>b D.c>b>a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由f(x)=ln x， 得f'(x)=ln x+， 当x∈(0，1)时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 因为c=f，0<<<<1， 所以f>f>f，故c>a>b. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.若函数f(x)=ax2-x+bln x(a≠0)有唯一极值点，则下列关系式一定成立的是 A.a>0，b<0 B.a<0，b>0 C.ab< D.ab>0 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f'(x)=ax-1+=，x>0， 令g(x)=ax2-x+b=0(a≠0)，Δ=1-4ab， 若Δ=1-4ab≤0，则g(x)=ax2-x+b≥0或g(x)=ax2-x+b≤0恒成立，此时f(x)单调，不存在极值点，故不符合题意； 若Δ=1-4ab>0，则方程g(x)=ax2-x+b=0有两个实数根， 由于f(x)=ax2-x+bln x(a≠0)有唯一极值点，故g(x)=ax2-x+b=0只能有一个正实数根， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若另一个实数根为0，此时b=0，显然满足条件， 若另一个实数根为负根，则<0，故ab<0， 结合选项可知，ab<一定成立. 二、多项选择题 7.(2024·新课标全国Ⅰ)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A,因为函数f(x)的定义域为R, f'(x)=2(x-1)(x-4)+(x-1)2 =3(x-1)(x-3), 易知当x∈(1,3)时,f'(x)<0; 当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时,f'(x)>0, 所以函数f(x)在(-∞,1)上单调递增, 在(1,3)上单调递减,在(3,+∞)上单调递增, 故x=3是f(x)的极小值点,故A正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于B,当0<x<1时, x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 由A选项分析可知,函数f(x)在(0,1)上单调递增, 所以f(x)>f(x2),故B错误; 对于C,当1<x<2时,1<2x-1<3, 由A选项分析可知,函数f(x)在(1,3)上单调递减, 所以f(1)>f(2x-1)>f(3), 即-4<f(2x-1)<0,故C正确; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于D,当-1<x<0时, f(2-x)-f(x)=(1-x)2(-2-x)-(x-1)2(x-4)=(x-1)2(2-2x)>0, 所以f(2-x)>f(x),故D正确. 8.已知f(x)=，下列说法正确的是 A.f(x)在x=1处的切线方程为y=x+1 B.f(x)的单调递减区间为(e，+∞) C.f(x)的极大值为 D.方程f(x)=-1有两个不同的解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由f(x)=，得f'(x)=(x>0)，则f(1)=0，f'(1)=1，所以f(x)在x=1处的切线方程为y=x-1，A错误； 当x>e时，f'(x)<0，函数单调递减，当0<x<e时，f'(x)>0，函数单调递增，故当x=e时，函数取得极大值f(e)=，B正确，C正确； 因为f(1)=0，当x→0时，f(x)→-∞，x→+∞时，f(x)→0且f(x)>0， 所以f(x)=-1只有一解，D错误. 9.已知函数f(x)=(k为常数)，曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则 A.实数k=-1 B.函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞) C.函数f(x)的单调递增区间为(0，1) D.函数f(x)的单调递减区间为(1，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f'(x)=(x>0). 又由题意知f'(1)==0，所以k=1. f'(x)=(x>0). 设h(x)=-ln x-1(x>0)， 则h'(x)=--<0， 所以h(x)在(0，+∞)上单调递减. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由h(1)=0知，当0<x<1时，h(x)>0， 所以f'(x)>0； 当x>1时，h(x)<0，所以f'(x)<0. 所以f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，+∞). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.写出一个存在极值的奇函数f(x)=　　　 　. sin x(答案不唯一) 正弦函数f(x)=sin x为奇函数，且存在极值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知g(x)=+x2+2aln x在[1，2]上单调递减，则实数a的取值范围为 　 　　　. g'(x)=-+2x+， 由已知得g'(x)≤0在[1，2]上恒成立， 可得a≤-x2在[1，2]上恒成立. 又当x∈[1，2]时，=-4=-. ∴a≤-. 12.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1，f(x)的导函数f'(x)<，则不等式f(x2)< +的解集为　　　　　　 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 {x|x<-1或x>1} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设F(x)=f(x)-x， ∴F'(x)=f'(x)-， ∵f'(x)<，∴F'(x)=f'(x)-<0， 即函数F(x)在R上单调递减. ∵f(x2)<+， ∴f(x2)-<f(1)-， ∴F(x2)<F(1)，而函数F(x)在R上单调递减， ∴x2>1，即不等式的解集为{x|x<-1或x>1}. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.已知函数f(x)=x-1+(a∈R，e为自然对数的底数)，求函数f(x)的极值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f'(x)=1-=， ①当a≤0时，f'(x)>0，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增， 所以函数f(x)无极值. ②当a>0时，令f'(x)=0， 得ex=a，即x=ln a， 当x∈(-∞，ln a)时，f'(x)<0； 当x∈(ln a，+∞)时，f'(x)>0， 所以f(x)在(-∞，ln a)上单调递减， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 在(ln a，+∞)上单调递增，故f(x)在x=ln a处取得极小值，且极小值为f(ln a)=ln a，无极大值. 综上，当a≤0时，函数f(x)无极值； 当a>0时，f(x)在x=ln a处取得极小值ln a，无极大值. 14.已知函数f(x)=ln x，g(x)=ax2+2x(a≠0). (1)若函数h(x)=f(x)-g(x)存在单调递减区间，求a的取值范围； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 h(x)=ln x-ax2-2x，x∈(0，+∞)， 所以h'(x)=-ax-2， 由于h(x)在(0，+∞)上存在单调递减区间， 所以当x∈(0，+∞)时，-ax-2<0有解， 即a>-有解. 设G(x)=-， 所以只要a>G(x)min即可. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 而G(x)=-1， 所以G(x)min=-1. 所以a>-1. 又因为a≠0， 所以a的取值范围为(-1，0)∪(0，+∞). (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1，4]上单调递减，求a的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为h(x)在[1，4]上单调递减， 所以当x∈[1，4]时， h'(x)=-ax-2≤0恒成立， 即a≥-恒成立. 由(1)知G(x)=-， 所以a≥G(x)max， 而G(x)=-1， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为x∈[1，4]，所以∈， 所以G(x)max=-(此时x=4)， 所以a≥-，又因为a≠0， 所以a的取值范围是∪(0，+∞). 15.已知函数f(x)=(a>0)的导函数y=f'(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 f'(x)==. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c， 因为ex>0，所以y=f'(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点，且f'(x)与g(x)的符号相同. 又因为a>0， 所以当-3<x<0时，g(x)>0，即f'(x)>0， 当x<-3或x>0时，g(x)<0，即f'(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间是(-3，0)， 单调递减区间是(-∞，-3)，(0，+∞). (2)若f(x)的极小值为-e3，求f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知，x=-3是f(x)的极小值点， 所以 解得a=1，b=5，c=5， 所以f(x)=. 因为f(x)的单调递增区间是(-3，0)， 单调递减区间是(-∞，-3)，(0，+∞)， 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 故f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者， 而f(-5)==5e5>5=f(0)， 所以函数f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值是5e5. 第二章 <<< $$