第2章 再练一课(范围：§1～§5)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

再练一课(范围：§1~§5)　[分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数f(x)=x2+sin x在区间[0，π]上的平均变化率为(　　) A.1 B.2 C.π D.π2 答案　C 解析　根据题意，f(x)=x2+sin x，在区间[0，π]上，有Δy=f(π)-f(0)=π2，Δx=π-0=π，则其平均变化率=π，故选C. 2.函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为(　　) A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 答案　B 解析　f(1)=1-2=-1，切点坐标为(1，-1)， f'(x)=4x3-6x2， 所以切线的斜率为k=f'(1)=4×13-6×12=-2， 切线方程为y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1. 3.某铁球在0 ℃时，半径为1 dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t ℃时铁球的半径为(1+at) dm，其中a为常数，则在t=0时铁球体积对温度的瞬时变化率为(　　) A.0 B.πa C.πa D.4πa 答案　D 解析　当温度为t ℃时铁球的半径为(1+at)dm， 所以球的体积为V(t)=π(1+at)3，则 V'(t)=π×3a(1+at)2=4πa(1+at)2， 在t=0时铁球体积对温度的瞬时变化率为 V'(0)=4πa(1+a×0)2=4πa，故选D. 4.若f(x)=x2-2x-4ln x，则f'(x)>0的解集为(　　) A.(2，+∞) B.(-1，0)∪(2，+∞) C.(0，+∞) D.(-1，0) 答案　A 解析　由题意知，x∈(0，+∞)， 因为f(x)=x2-2x-4ln x， 所以f'(x)=2x-2-=>0， 又x>0，故2(x2-x-2)>0， 即解得x>2. 5.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足关系式f(x)=+3xf'(1)，则f'(2)的值为(　　) A. B.1 C. D.-2 答案　A 解析　因为f(x)=+3xf'(1)， 所以f'(x)=-+3f'(1)， 将x=1代入得f'(1)=-1+3f'(1)， 解得f'(1)=， 所以f'(x)=-+， 所以f'(2)=-+=. 6.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则x1+x2的取值可以为(　　) A. B.1 C.2 D. 答案　D 解析　由f(x)=x2+2ln x，得f'(x)=2x+， 则f'(x1)=2x1+，f'(x2)=2x2+， 依题意可得2x1+=2x2+，且x1>0，x2>0，x1≠x2， 整理得(x1-x2)=0， 所以x1x2=1，所以x1+x2>2=2， 经验证，当x1，x2分别取2，时，x1+x2=满足题意. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.设函数f(x)=cos x，则下列说法正确的是(　　) A.'=-1 B.'= C.f(x)在处的切线方程为x+y-=0 D.[xf(x)]'=cos x+xsin x 答案　BC 解析　因为f(x)=cos x，所以f=cos =0， 所以'=0，故A错误； 因为f(x)=cos x， 所以=， 所以'=，故B正确； 因为f(x)=cos x， 所以f'(x)=-sin x， 所以f'=-sin =-1. 而f=cos =0， 所以f(x)在处的切线方程为x+y-=0，故C正确； [xf(x)]'=(xcos x)'=cos x-xsin x，故D错误. 8.已知函数f(x)=x3-3x+1，则过点(1，-1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程可以为(　　) A.2x+y-1=0 B.y=-1 C.9x+4y-5=0 D.3x+2y-1=0 答案　BC 解析　由f(x)=x3-3x+1，得f'(x)=3x2-3， 设切点坐标为(t，t3-3t+1)，则f'(t)=3t2-3， 则过切点的切线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t+1， 把点(1，-1)代入，可得-1=(3t2-3)(1-t)+t3-3t+1， 整理得(t-1)2(2t+1)=0，即t=1或t=-. 当t=-时，切线方程为9x+4y-5=0； 当t=1时，切线方程为y=-1. 9.已知曲线f(x)=x3-x2+ax-1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值为(　　) A. B.3 C. D. 答案　AC 解析　∵f(x)=x3-x2+ax-1， ∴f'(x)=2x2-2x+a， 设切点的横坐标为m，且m>0， 可得切线斜率k=2m2-2m+a=3， 即2m2-2m+a-3=0， 由题意，可得关于m的方程2m2-2m+a-3=0有两个不相等的正根，且可知m1+m2=1>0， 则即 解得3<a<，∴a的取值可能为，. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y=18sin，则当t=3 s时，弹簧振子的瞬时速度为　　　　mm/s.  答案　0 解析　因为y=18sin =-18cos t， 所以求导得y'=-18×× =12πsin t， 所以根据导数的几何意义得该振子在t=3 s时的瞬时速度为y'=12πsin=0(mm/s). 11.已知曲线f(x)=xex-ln x+1在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为，则x0+ln x0=　　　　.  答案　-1 解析　由题设，f'(x)=(x+1)ex-且定义域为(0，+∞)，则f'(x0)=(x0+1)-=，所以(x0+1)=，整理得(x0+1)=(x0+1)，又x0+1>0，所以=，两边取对数有ln =ln ，得x0=-1-ln x0， 即x0+ln x0=-1. 12.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1)+a的切线,则a=　　　　.  答案　ln 2 解析　由y=ex+x得y'=ex+1, 当x=0时,y'=e0+1=2, 故曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为 y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'=, 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a), 由两曲线有公切线得y'==2, 解得x0=-, 则切点为, 切线方程为 y=2+a-ln 2=2x+1+a-ln 2, 根据两切线重合, 所以a-ln 2=0,解得a=ln 2. 四、解答题(共37分) 13.(12分)一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x=4+16e-2t. (1)求汽水温度x在t=1处的导数；(5分) (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x=y-32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数.(7分) 解　x'=-32e-2t. (1)当t=1时，x'=-. (2)y=(x+32)=(16+36)， y'=e-2t×(-2)=-e-2t. 14.(12分)已知函数f(x)=(x+1)3-3x2-mx-1的图象在(0，f(0))处的切线为l1. 在①l1与直线3x+y+3=0平行，②l1的倾斜角为α，且tan=2这两个条件中任选一个作为已知条件，并解答下列问题. (1)求f'(x)；(6分) (2)已知曲线y=f(x)过点(2，-6)的切线为l2，且l1，l2不重合，求l2的方程.(6分) 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 解　(1)若选①，因为f(x)=(x+1)3-3x2-mx-1=x3+(3-m)x， 所以f'(x)=3x2+3-m. 因为l1与直线3x+y+3=0平行， 所以f'(0)=3-m=-3，所以m=6. 所以f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3. 若选②，因为f(x)=(x+1)3-3x2-mx-1=x3+(3-m)x， 所以f'(x)=3x2+3-m. 由tan=tan==2， 解得tan α=-3， 所以f'(0)=3-m=-3，所以m=6. 所以f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3. (2)由(1)知，f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3. 设l2与曲线y=f(x)的切点为(x0，-3x0)， 易知x0≠2， 则=3-3， 即2-6=0， 解得x0=0或x0=3， 因为l1，l2不重合， 所以x0=0应舍去，所以x0=3， 所以切点为(3，18)，切线的斜率为24， 所以切线l2的方程为y-18=24(x-3)， 即切线l2的方程为24x-y-54=0. 15.(13分)已知函数f(x)=x2-ln x. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(5分) (2)在函数f(x)=x2-ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.(8分) 解　(1)因为f(x)=x2-ln x， 所以f(1)=1，f'(x)=2x-， 所以f'(1)=2-1=1， 故所求切线方程为y-1=x-1，即x-y=0. (2)存在.设所求两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1，x2∈，不妨设x1<x2. 由(1)知，f'(x)=2x-， 所以=-1. 因为f'(x)=2x-在上单调递增， 所以-1≤2x1-≤1，-1≤2x2-≤1， 且f'(x1)<f'(x2)， 所以 解得 当x1=时，f(x1)=ln 2+， 当x2=1时，f(x2)=1， 所以这两点的坐标分别为，(1，1). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 再练一课(范围：§1～§5) 第二章 <<< 一、单项选择题 1.函数f(x)=x2+sin x在区间[0，π]上的平均变化率为 A.1 B.2 C.π D.π2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 根据题意，f(x)=x2+sin x，在区间[0，π]上，有Δy=f(π)-f(0)=π2，Δx=π-0=π，则其平均变化率=π，故选C. 2.函数f(x)=x4-2x3的图象在点(1，f(1))处的切线方程为 A.y=-2x-1 B.y=-2x+1 C.y=2x-3 D.y=2x+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ f(1)=1-2=-1，切点坐标为(1，-1)， f'(x)=4x3-6x2， 所以切线的斜率为k=f'(1)=4×13-6×12=-2， 切线方程为y+1=-2(x-1)，即y=-2x+1. 3.某铁球在0 ℃时，半径为1 dm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁球的半径会发生变化，且当温度为t ℃时铁球的半径为(1+at) dm，其中a为常数，则在t=0时铁球体积对温度的瞬时变化率为 A.0 B.πa C.πa D.4πa √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当温度为t ℃时铁球的半径为(1+at)dm， 所以球的体积为V(t)=π(1+at)3，则 V'(t)=π×3a(1+at)2=4πa(1+at)2， 在t=0时铁球体积对温度的瞬时变化率为 V'(0)=4πa(1+a×0)2=4πa，故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.若f(x)=x2-2x-4ln x，则f'(x)>0的解集为 A.(2，+∞) B.(-1，0)∪(2，+∞) C.(0，+∞) D.(-1，0) √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意知，x∈(0，+∞)， 因为f(x)=x2-2x-4ln x， 所以f'(x)=2x-2-=>0， 又x>0，故2(x2-x-2)>0， 即解得x>2. 5.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且满足关系式f(x)=+3xf'(1)，则f'(2)的值为 A. B.1 C. D.-2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f(x)=+3xf'(1)， 所以f'(x)=-+3f'(1)， 将x=1代入得f'(1)=-1+3f'(1)， 解得f'(1)=， 所以f'(x)=-+， 所以f'(2)=-+=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则x1+x2的取值可以为 A. B.1 C.2 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由f(x)=x2+2ln x，得f'(x)=2x+， 则f'(x1)=2x1+，f'(x2)=2x2+， 依题意可得2x1+=2x2+，且x1>0，x2>0，x1≠x2， 整理得(x1-x2)=0， 所以x1x2=1，所以x1+x2>2=2， 经验证，当x1，x2分别取2，时，x1+x2=满足题意. 二、多项选择题 7.设函数f(x)=cos x，则下列说法正确的是 A.'=-1 B.'= C.f(x)在处的切线方程为x+y-=0 D.[xf(x)]'=cos x+xsin x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f(x)=cos x，所以f=cos =0， 所以'=0，故A错误； 因为f(x)=cos x， 所以=， 所以'=，故B正确； 因为f(x)=cos x， 所以f'(x)=-sin x， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以f'=-sin =-1. 而f=cos =0， 所以f(x)在处的切线方程为x+y-=0，故C正确； [xf(x)]'=(xcos x)'=cos x-xsin x，故D错误. 8.已知函数f(x)=x3-3x+1，则过点(1，-1)且与曲线y=f(x)相切的直线方程可以为 A.2x+y-1=0 B.y=-1 C.9x+4y-5=0 D.3x+2y-1=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由f(x)=x3-3x+1，得f'(x)=3x2-3， 设切点坐标为(t，t3-3t+1)，则f'(t)=3t2-3， 则过切点的切线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t+1， 把点(1，-1)代入，可得-1=(3t2-3)(1-t)+t3-3t+1， 整理得(t-1)2(2t+1)=0，即t=1或t=-. 当t=-时，切线方程为9x+4y-5=0； 当t=1时，切线方程为y=-1. 9.已知曲线f(x)=x3-x2+ax-1上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a可能的取值为 A. B.3 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵f(x)=x3-x2+ax-1， ∴f'(x)=2x2-2x+a， 设切点的横坐标为m，且m>0， 可得切线斜率k=2m2-2m+a=3， 即2m2-2m+a-3=0， 由题意，可得关于m的方程2m2-2m+a-3=0有两个不相等的正根，且可知m1+m2=1>0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则 解得3<a<，∴a的取值可能为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.某个弹簧振子在振动过程中的位移y(单位：mm)与时间t(单位：s)之间的关系为y=18sin，则当t=3 s时，弹簧振子的瞬时速度为　mm/s. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为y=18sin =-18cos t， 所以求导得y'=-18×× =12πsin t， 所以根据导数的几何意义得该振子在t=3 s时的瞬时速度为y'=12πsin=0(mm/s). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.已知曲线f(x)=xex-ln x+1在点(x0，f(x0))处的切线的斜率为，则x0+ln x0=　　.  -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题设，f'(x)=(x+1)ex-且定义域为(0，+∞)，则f'(x0)=(x0+1)-=，所以(x0+1)=，整理得(x0+1)=(x0+1)，又x0+1>0，所以=，两边取对数有ln =ln ，得x0=-1-ln x0， 即x0+ln x0=-1. 12.(2024·新课标全国Ⅰ)若曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线也是曲线y=ln(x+1) +a的切线,则a=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ln 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由y=ex+x得y'=ex+1, 当x=0时,y'=e0+1=2, 故曲线y=ex+x在点(0,1)处的切线方程为 y=2x+1. 由y=ln(x+1)+a得y'=, 设切线与曲线y=ln(x+1)+a相切的切点为(x0,ln(x0+1)+a), 由两曲线有公切线得y'==2, 解得x0=-, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 则切点为, 切线方程为 y=2+a-ln 2=2x+1+a-ln 2, 根据两切线重合, 所以a-ln 2=0,解得a=ln 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.一听汽水放入冰箱后，其摄氏温度x(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化满足关系：x=4+16e-2t. (1)求汽水温度x在t=1处的导数； x'=-32e-2t. 当t=1时，x'=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)已知摄氏温度x与华氏温度y之间具有如下函数关系x=y-32.写出y关于t的函数解析式，并求y关于t的函数的导数. y=(x+32)=(16+36)， y'=e-2t×(-2)=-e-2t. 14.已知函数f(x)=(x+1)3-3x2-mx-1的图象在(0，f(0))处的切线为l1. 在①l1与直线3x+y+3=0平行，②l1的倾斜角为α，且tan=2这两个条件中任选一个作为已知条件，并解答下列问题. (1)求f'(x)； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若选①，因为f(x)=(x+1)3-3x2-mx-1=x3+(3-m)x， 所以f'(x)=3x2+3-m. 因为l1与直线3x+y+3=0平行， 所以f'(0)=3-m=-3，所以m=6. 所以f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3. 若选②，因为f(x)=(x+1)3-3x2-mx-1=x3+(3-m)x， 所以f'(x)=3x2+3-m. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由tan=tan==2， 解得tan α=-3， 所以f'(0)=3-m=-3，所以m=6. 所以f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3. (2)已知曲线y=f(x)过点(2，-6)的切线为l2，且l1，l2不重合，求l2的方程. 注：若选择两个条件分别解答，则按第一个解答计分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知，f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3. 设l2与曲线y=f(x)的切点为(x0，-3x0)， 易知x0≠2， 则=3-3， 即2-6=0， 解得x0=0或x0=3， 因为l1，l2不重合， 所以x0=0应舍去，所以x0=3， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以切点为(3，18)，切线的斜率为24， 所以切线l2的方程为y-18=24(x-3)， 即切线l2的方程为24x-y-54=0. 15.已知函数f(x)=x2-ln x. (1)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为f(x)=x2-ln x， 所以f(1)=1，f'(x)=2x-， 所以f'(1)=2-1=1， 故所求切线方程为y-1=x-1，即x-y=0. (2)在函数f(x)=x2-ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间上？若存在，求出这两点的坐标；若不存在，请说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 存在.设所求两点分别为(x1，y1)，(x2，y2)，且x1，x2∈，不妨设x1<x2. 由(1)知，f'(x)=2x-， 所以=-1. 因为f'(x)=2x-上单调递增， 所以-1≤2x1-≤1，-1≤2x2-≤1， 且f'(x1)<f'(x2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以 解得 当x1=时，f(x1)=ln 2+， 当x2=1时，f(x2)=1， 所以这两点的坐标分别为，(1，1). 第二章 <<< $$