第2章 习题课 函数零点问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

习题课　函数零点问题 [学习目标]　结合函数图象利用导数研究函数的零点问题. 一、利用导数研究函数的零点个数 例1　给定函数f(x)=ex-x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； (2)画出函数f(x)的大致图象； (3)求出方程f(x)=m(m∈R)在区间[-1，2]上的根的个数. 解　(1)函数f(x)的定义域为R，f'(x)=ex-1， 令f'(x)=0，解得x=0. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (-∞，0) 0 (0，+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 1 单调递增 所以f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增.当x=0时，f(x)的极小值f(0)=1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，+∞). (2)由(1)可知，函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f(-1)=+1，f(2)=e2-2，f(0)=1， 当x→+∞时，f(x)→+∞，f'(x)→+∞； 当x→-∞时，指数函数y=ex越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y=-x，根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图所示. (3)截取函数f(x)在区间[-1，2]上的图象如图所示. 由图象知，当f(0)<m≤f(-1)，即当m∈时，f(x)与y=m恰有两个不同的交点，即当m∈时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上恰有两个不同的实根；同理，当m=1或+1<m≤e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上有唯一的实根； 当m<1或m>e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上无实根. 反思感悟　判断函数零点个数的方法 (1)含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围. (2)利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 跟踪训练1　已知函数f(x)=-1. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数. 解　(1)因为f(x)=-1(x>0)， 所以f'(x)=，令f'(x)=0，得x=e1-a. f'(x)及f(x)随x的变化情况如表所示： x (0，e1-a) e1-a (e1-a，+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 所以f(x)的单调递增区间为(0，e1-a)，单调递减区间为(e1-a，+∞). (2)由(1)可知f(x)的最大值为f(e1-a)=， ①当a=1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e]上单调递减， 又f(1)=0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点. ②当a<1时，1-a>0，e1-a>1， 则f(e1-a)=<0，所以f(x)在区间(0，e]上无零点. 综上，当a=1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点； 当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点. 二、由函数的零点个数求参数的范围 例2　已知函数f(x)=x3-kx+k2. (1)讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围. 解　(1)f'(x)=3x2-k.当k=0时，f(x)=x3， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增. 当k<0时，f'(x)=3x2-k>0， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增. 当k>0时，令f'(x)=0，得x=±. 当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0； 当x∈时，f'(x)>0. 故f(x)在，上单调递增，在上单调递减. (2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点. 当k>0时，x=-为f(x)的极大值点， x=为f(x)的极小值点. 若f(x)有三个零点，只需 解得0<k<，所以k的取值范围为. 反思感悟　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围. 跟踪训练2　若函数f(x)=ax3-bx+4，当x=2时，函数f(x)取得极值-. (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)=k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围. 解　(1)f'(x)=3ax2-b， 由题意得 解得a=，b=4(经检验满足题意)， ∴f(x)=x3-4x+4. (2)由(1)可得f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 令f'(x)=0，得x=2或x=-2. ∴当x<-2或x>2时，f'(x)>0； 当-2<x<2时，f'(x)<0. ∴当x=-2时，f(x)取得极大值， 当x=2时，f(x)取得极小值-. ∴函数f(x)=x3-4x+4的大致图象如图所示. 由图可知，实数k的取值范围是. 1.知识清单： (1)利用导数研究函数零点的个数. (2)已知函数的零点求参数的取值范围. 2.方法归纳：转化法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：不能正确分析函数图象的变化趋势从而不能正确得到函数零点的个数. 1.已知函数f(x)=(x2+a)ex有最小值，则函数y=f'(x)的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.不确定 答案　C 解析　由题意得，f'(x)=(x2+2x+a)ex， 因为函数f(x)有最小值，且ex>0， 所以函数存在单调递减区间，即f'(x)<0有解， 所以x2+2x+a=0有两个不等实根， 所以函数y=f'(x)的零点个数为2. 2.已知函数f(x)=x3-x2-2x+c有三个零点，则实数c的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2)， 由f'(x)>0，可得x>2或x<-1， 由f'(x)<0，可得-1<x<2， 所以函数f(x)在(-∞，-1)，(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)上单调递减， 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=+c， 极小值为f(2)=c-. 而函数f(x)恰有三个零点，故必有 解得-<c<， 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是. 3.已知函数f(x)=sin x-xcos x，现给出如下结论，其中不正确的结论为(　　) A.f(x)是奇函数 B.0是f(x)的极值点 C.f(x)在区间上有且仅有一个零点 D.f(x)的值域为R 答案　B 解析　由题意知，函数f(x)=sin x-xcos x的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=sin(-x)+xcos(-x) =-(sin x-xcos x)=-f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，所以A项正确； f'(x)=cos x-cos x+xsin x=xsin x， 当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以0不是函数f(x)的极值点，所以B不正确； 又f(0)=0，所以函数f(x)在区间上有且仅有一个零点，所以C正确； 例如当x=2kπ，k∈Z时，可得f(2kπ)=-2kπ， 当k→+∞且k∈Z时，f(x)→-∞， 当x=2kπ+π，k∈Z时，可得f(2kπ+π)=2kπ+π， 当k→+∞且k∈Z时，f(x)→+∞， 由此可得函数f(x)的值域为R，所以D是正确的. 4.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是　　　　.  答案　(-2，2) 解析　令y=f(x)=x3-3x， 则f'(x)=3x2-3， 令f'(x)=0，得x=1或x=-1. 因为当x∈(-∞，-1)或(1，+∞)时，f'(x)>0，当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，所以f(x)极小值=f(1)=-2，f(x)极大值=f(-1)=2.函数f(x)=x3-3x的大致图象如图所示，所以-2<a<2. 课时对点练　[分值：65分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分 1.函数f(x)=x3-12x-16的零点个数为(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 答案　C 解析　由题意得f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)， 令f'(x)>0，得x>2或x<-2；令f'(x)<0， 得-2<x<2， 所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)，单调递减区间为(-2，2)， 所以函数的极大值为f(-2)=0， 极小值为f(2)=-32， 当x→-∞时，f(x)<0；当x→+∞时，f(x)>0， 所以函数的零点个数为2. 2.已知函数f(x)=ex-x-a，若函数y=f(x)有零点，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 答案　B 解析　函数y=f(x)有零点等价于方程ex-x=a有解，令g(x)=ex-x，g'(x)=ex-1， 当x>0时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增；当x<0时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减， 所以函数g(x)的最小值为g(0)=1，所以a≥1. 3.已知f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m的取值范围为(　　) A.[-2，0]∪ B.(-2，0) C. D. 答案　A 解析　由题意，得f'(x)= 当x<-2或0<x<e时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当-2<x<0或x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 易知当x=-2时，f(x)有极大值，极大值f(-2)=2； 当x=e时，f(x)有极大值，极大值f(e)=，又f(0)=-2，f(1)=0，画出函数f(x)的大致图象与直线y=m如图所示， 则由图象可得，当-2≤m≤0或m=时，f(x)的图象与直线y=m有三个交点， 此时，g(x)有3个零点， 所以实数m的取值范围为[-2，0]∪. 4.已知函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　因为函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点， 所以方程ex-ax2=0在x∈(0，+∞)上无解， 即a=在x∈(0，+∞)上无解， 令g(x)=(x>0)，则g'(x)=， 当x>2时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增； 当0<x<2时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减， 所以当x=2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值. 又g(2)=，所以g(x)≥. 所以若a=无解，则a<. 5.设I是函数y=f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)=-x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”.若函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R 上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是(　　) A.(-2，0)∪(0，2) B.(-2，2) C.(-1，0)∪(0，1) D.[-1，1] 答案　A 解析　因为函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三个“次不动点x0”， 所以a-3-x0+1=-x0在R上有三个解， 即a-3+1=0在R上有三个解， 设g(x)=ax3-3x2+1，则g'(x)=3ax2-6x， 由已知a≠0，令g'(x)=0，即3ax2-6x=0， 解得x=0或x=. 若a>0，则当x>或x<0时，g'(x)>0； 当0<x<时，g'(x)<0，所以g(x)的最大值为g(0)=1，g(x)的极小值为g=1-，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得0<a<2. 若a<0，则当x<或x>0时，g'(x)<0； 当<x<0时，g'(x)>0，所以g(x)的极小值为g=1-，g(x)的极大值为g(0)=1，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得-2<a<0. 综上可得，实数a的取值范围是(-2，0)∪(0，2). 6.(多选)已知函数f(x)=，则下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当-e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根 D.若x∈[t，+∞)时，f(x)max=，则t的最小值为2 答案　ABC 解析　A项，由f(x)=0，得x2+x-1=0， 解得x=，所以A正确； B项，f'(x)=-=-， 当f'(x)>0时，-1<x<2； 当f'<0时，x<-1或x>2， 所以函数的单调递减区间为(-∞，-1)，(2，+∞)，函数的单调递增区间为(-1，2)， 所以f(-1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确； C项，当x趋向于+∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(-1)=-e，再根据单调性可知，当-e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根，所以C正确； D项，由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确. 7.(5分)已知曲线f(x)=-x3+3x2+9x+a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为　　　　.  答案　{a|a<-27或a>5} 解析　f'(x)=-3x2+6x+9. 令f'(x)=0，解得x=-1或x=3. 当f'(x)>0时，-1<x<3； 当f'(x)<0时，x<-1或x>3， 所以当x=-1时，f(x)取得极小值为f(-1)=a-5；当x=3时，f(x)取得极大值为f(3)=a+27. 画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴只有一个交点，只需极大值小于0(如图1)或极小值大于0(如图2)， 所以a+27<0或a-5>0， 解得a<-27或a>5， 故实数a的取值范围为{a|a<-27或a>5}. 8.(5分)已知函数f(x)=x3-x2+2x+3a+b恰有3个不同的零点，则f(0)的取值范围是　　　　.  答案　 解析　∵f(x)=x3-x2+2x+3a+b， ∴f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)， 由f'(x)>0，得x>2或x<1，此时函数单调递增； 由f'(x)<0，得1<x<2，此时函数单调递减， 即当x=1时，函数取得极大值f(1)=-+2+3a+b=+3a+b， 当x=2时，函数取得极小值f(2)=-6+4+3a+b=+3a+b， 若函数f(x)=x3-x2+2x+3a+b恰有3个不同的零点， 则f(1)=+3a+b>0，且f(2)=+3a+b<0， 则-<3a+b<-，又f(0)=3a+b， 即f(0)的取值范围是. 9.(12分)已知函数f(x)=e2x-ex-x，判断f(x)的零点个数. 解　因为f(x)=e2x-ex-x， 所以f'(x)=e2x-ex-1 =(2ex+1)(ex-2)， 令f'(x)>0，解得x>ln 2， 令f'(x)<0，解得x<ln 2， 故f(x)在(-∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，+∞)上单调递增，故f(x)min=f(ln 2)=-1-ln 2<0， 又x→-∞时，f(x)→+∞； x→+∞时，f(x)→+∞，画出草图如图. 故f(x)有2个零点. 10.(12分)已知函数f(x)=x3-x2+2x+b(b∈R). (1)当b=0时，求f(x)在[-1，3]上的值域；(6分) (2)若方程f(x)=1有三个不同的解，求b的取值范围.(6分) 解　(1)当b=0时，f(x)=x3-x2+2x， ∴f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)， 令f'(x)=0，解得x1=1，x2=2， 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x -1 (-1，1) 1 (1，2) 2 (2，3) 3 f'(x) + 0 - 0 + f(x) - 单调递增 单调递减 单调递增 可得当x=-1时，f(x)取得最小值为-； 当x=3时，f(x)取得最大值为， ∴f(x)在[-1，3]上的值域为. (2)∵方程f(x)=1有三个不同的解， 即x3-x2+2x=1-b有三个不同的解， 由(1)知，y=x3-x2+2x在(-∞，1)，(2，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴y=x3-x2+2x在x=1处取得极大值为，在x=2处取得极小值为， ∴<1-b<，解得<b<. ∴b的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 函数零点问题 习题课 第二章 <<< 结合函数图象利用导数研究函数的零点问题. 学习目标 一、利用导数研究函数的零点个数 二、由函数的零点个数求参数的范围 课时对点练 随堂演练 内容索引 利用导数研究函数的零点个数 一 　　　给定函数f(x)=ex-x. (1)判断函数f(x)的单调性，并求出f(x)的值域； 例 1 5 函数f(x)的定义域为R，f'(x)=ex-1， 令f'(x)=0，解得x=0. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如表所示： x (-∞，0) 0 (0，+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 1 单调递增 所以f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增.当x=0时，f(x)的极小值f(0)=1，也是最小值，故函数f(x)的值域为[1，+∞). 6 (2)画出函数f(x)的大致图象； 由(1)可知，函数的最小值为1.函数的图象经过特殊点f(-1)=+1，f(2)=e2-2，f(0)=1， 当x→+∞时，f(x)→+∞，f'(x)→+∞； 当x→-∞时，指数函数y=ex越来越小，趋向于0， 因此函数f(x)图象上的点逐渐趋向于直线y=-x， 根据上述信息，画出函数f(x)的大致图象如图 所示. 7 (3)求出方程f(x)=m(m∈R)在区间[-1，2]上的根的个数. 截取函数f(x)在区间[-1，2]上的图象如图所示. 由图象知，当f(0)<m≤f(-1)，即当m∈时，f(x)与y=m恰有两个不同的交点，即当m∈时，方程f(x)=m 在区间[-1，2]上恰有两个不同的实根；同理，当m= 1或+1<m≤e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上有唯 一的实根； 当m<1或m>e2-2时，方程f(x)=m在区间[-1，2]上无实根. 8 (1)含参数的函数零点个数，可转化为方程解的个数，若能分离参数，可将参数分离出来后，用x表示参数的函数，作出该函数的图象，根据图象特征求参数的范围. (2)利用函数性质研究函数的零点，主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数，此类问题在求解过程中可以通过数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 反 思 感 悟 判断函数零点个数的方法 9 　　　　　已知函数f(x)=-1. (1)求f(x)的单调区间； 跟踪训练 1 10 因为f(x)=-1(x>0)， 所以f'(x)=，令f'(x)=0，得x=e1-a. f'(x)及f(x)随x的变化情况如表所示： x (0，e1-a) e1-a (e1-a，+∞) f'(x) + 0 - f(x) ↗ 极大值 ↘ 所以f(x)的单调递增区间为(0，e1-a)，单调递减区间为(e1-a，+∞). 11 (2)当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数. 由(1)可知f(x)的最大值为f(e1-a)=， ①当a=1时，f(x)在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，e]上单调递减， 又f(1)=0，故f(x)在区间(0，e]上只有一个零点. ②当a<1时，1-a>0，e1-a>1， 则f(e1-a)=<0，所以f(x)在区间(0，e]上无零点. 综上，当a=1时，f(x)在区间(0，e]上只有一个零点； 当a<1时，f(x)在区间(0，e]上无零点. 12 二 由函数的零点个数求参数的范围 　　　已知函数f(x)=x3-kx+k2. (1)讨论f(x)的单调性； 例 2 14 f'(x)=3x2-k.当k=0时，f(x)=x3， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增. 当k<0时，f'(x)=3x2-k>0， 故f(x)在(-∞，+∞)上单调递增. 当k>0时，令f'(x)=0，得x=±. 当x∈时，f'(x)>0； 当x∈时，f'(x)<0； 15 当x∈时，f'(x)>0. 故f(x)在上单调递减. 16 (2)若f(x)有三个零点，求k的取值范围. 由(1)知，当k≤0时，f(x)在(-∞，+∞)上单调递增，f(x)不可能有三个零点. 当k>0时，x=-为f(x)的极大值点， x=为f(x)的极小值点. 若f(x)有三个零点，只需 解得0<k<，所以k的取值范围为. 17 利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性、极值(最值)，通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围. 反 思 感 悟 18 　　　　　若函数f(x)=ax3-bx+4，当x=2时，函数f(x)取得极值-. (1)求函数f(x)的解析式； 跟踪训练 2 f'(x)=3ax2-b， 由题意得 解得a=，b=4(经检验满足题意)， ∴f(x)=x3-4x+4. 19 (2)若方程f(x)=k有3个不同的实数根，求实数k的取值范围. 由(1)可得f'(x)=x2-4=(x-2)(x+2). 令f'(x)=0，得x=2或x=-2. ∴当x<-2或x>2时，f'(x)>0； 当-2<x<2时，f'(x)<0. ∴当x=-2时，f(x)取得极大值， 当x=2时，f(x)取得极小值-. ∴函数f(x)=x3-4x+4的大致图象如图所示. 由图可知，实数k的取值范围是. 20 1.知识清单： (1)利用导数研究函数零点的个数. (2)已知函数的零点求参数的取值范围. 2.方法归纳：转化法、数形结合法、分类讨论法. 3.常见误区：不能正确分析函数图象的变化趋势从而不能正确得到函数零点的个数. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.已知函数f(x)=(x2+a)ex有最小值，则函数y=f'(x)的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.不确定 √ 由题意得，f'(x)=(x2+2x+a)ex， 因为函数f(x)有最小值，且ex>0， 所以函数存在单调递减区间，即f'(x)<0有解， 所以x2+2x+a=0有两个不等实根， 所以函数y=f'(x)的零点个数为2. 2.已知函数f(x)=x3-x2-2x+c有三个零点，则实数c的取值范围为 A. B. C. D. 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 f'(x)=x2-x-2=(x+1)(x-2)， 由f'(x)>0，可得x>2或x<-1， 由f'(x)<0，可得-1<x<2， 所以函数f(x)在(-∞，-1)，(2，+∞)上单调递增，在(-1，2)上单调递减， 所以函数f(x)的极大值为f(-1)=+c， 极小值为f(2)=c-. 而函数f(x)恰有三个零点，故必有 1 2 3 4 解得-<c<， 所以使函数f(x)恰有三个零点的实数c的取值范围是. 3.已知函数f(x)=sin x-xcos x，现给出如下结论，其中不正确的结论为 A.f(x)是奇函数 B.0是f(x)的极值点 C.f(x)在区间上有且仅有一个零点 D.f(x)的值域为R 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 由题意知，函数f(x)=sin x-xcos x的定义域为R，关于原点对称， 又f(-x)=sin(-x)+xcos(-x) =-(sin x-xcos x)=-f(x)， 所以函数f(x)为奇函数，所以A项正确； f'(x)=cos x-cos x+xsin x=xsin x， 当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增；当x∈时，f'(x)>0，函数f(x)单调递增， 所以0不是函数f(x)的极值点，所以B不正确； 1 2 3 4 又f(0)=0，所以函数f(x)在区间上有且仅有一个零点，所以C正确； 例如当x=2kπ，k∈Z时，可得f(2kπ)=-2kπ， 当k→+∞且k∈Z时，f(x)→-∞， 当x=2kπ+π，k∈Z时，可得f(2kπ+π)=2kπ+π， 当k→+∞且k∈Z时，f(x)→+∞， 由此可得函数f(x)的值域为R，所以D是正确的. 4.直线y=a与函数y=x3-3x的图象有三个相异的交点，则a的取值范围是 　　　　. 1 2 3 4 (-2，2) 1 2 3 4 令y=f(x)=x3-3x， 则f'(x)=3x2-3， 令f'(x)=0，得x=1或x=-1. 因为当x∈(-∞，-1)或(1，+∞)时，f'(x)>0， 当x∈(-1，1)时，f'(x)<0，所以f(x)极小值= f(1)=-2，f(x)极大值=f(-1)=2.函数f(x)=x3-3x的大致图象如图所示，所以 -2<a<2. 课时对点练 四 1.函数f(x)=x3-12x-16的零点个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意得f'(x)=3x2-12=3(x+2)(x-2)， 令f'(x)>0，得x>2或x<-2；令f'(x)<0， 得-2<x<2， 所以函数的单调递增区间为(-∞，-2)，(2，+∞)，单调递减区间为(-2，2)， 所以函数的极大值为f(-2)=0， 极小值为f(2)=-32， 当x→-∞时，f(x)<0；当x→+∞时，f(x)>0， 所以函数的零点个数为2. 2.已知函数f(x)=ex-x-a，若函数y=f(x)有零点，则实数a的取值范围是 A.(1，+∞) B.[1，+∞) C.(-∞，1) D.(-∞，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 函数y=f(x)有零点等价于方程ex-x=a有解，令g(x)=ex-x，g'(x)=ex-1， 当x>0时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增；当x<0时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减， 所以函数g(x)的最小值为g(0)=1，所以a≥1. 3.已知f(x)=若函数g(x)=f(x)-m有3个零点，则实数m 的取值范围为 A.[-2，0]∪ B.(-2，0) C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 由题意，得f'(x)= 当x<-2或0<x<e时，f'(x)>0，f(x)单调递增； 当-2<x<0或x>e时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 易知当x=-2时，f(x)有极大值，极大值f(-2)=2； 当x=e时，f(x)有极大值，极大值f(e)=，又f(0) =-2，f(1)=0，画出函数f(x)的大致图象与直线 y=m如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则由图象可得，当-2≤m≤0或m=时，f(x)的图象与直线y=m有三个交点， 此时，g(x)有3个零点， 所以实数m的取值范围为[-2，0]∪. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 4.已知函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点，则实数a的取值范围为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为函数f(x)=ex-ax2(x>0)无零点， 所以方程ex-ax2=0在x∈(0，+∞)上无解， 即a=在x∈(0，+∞)上无解， 令g(x)=(x>0)，则g'(x)=， 当x>2时，g'(x)>0，函数g(x)单调递增； 当0<x<2时，g'(x)<0，函数g(x)单调递减， 所以当x=2时，函数g(x)有唯一的极小值，也是最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又g(2)=，所以g(x)≥. 所以若a=无解，则a<. 5.设I是函数y=f(x)的定义域，若存在x0∈I，使f(x0)=-x0，则称x0是f(x)的一个“次不动点”，也称f(x)在区间I上存在“次不动点”.若函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R 上存在三个“次不动点x0”，则实数a的取值范围是 A.(-2，0)∪(0，2) B.(-2，2) C.(-1，0)∪(0，1) D.[-1，1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为函数f(x)=ax3-3x2-x+1在R上存在三个“次不动点x0”， 所以a-3-x0+1=-x0在R上有三个解， 即a-3+1=0在R上有三个解， 设g(x)=ax3-3x2+1，则g'(x)=3ax2-6x， 由已知a≠0，令g'(x)=0，即3ax2-6x=0， 解得x=0或x=. 若a>0，则当x>或x<0时，g'(x)>0； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 当0<x<时，g'(x)<0，所以g(x)的最大值为g(0)=1，g(x)的极小值为g=1-，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解 得0<a<2. 若a<0，则当x<或x>0时，g'(x)<0； 当<x<0时，g'(x)>0，所以g(x)的极小值为g=1-，g(x)的极大值为g(0)=1，要使g(x)=ax3-3x2+1有三个零点，则g<0，即a2<4，解得-2<a<0. 综上可得，实数a的取值范围是(-2，0)∪(0，2). 6.(多选)已知函数f(x)=，则下列结论正确的是 A.函数f(x)存在两个不同的零点 B.函数f(x)既存在极大值又存在极小值 C.当-e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根 D.若x∈[t，+∞)时，f(x)max=，则t的最小值为2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A项，由f(x)=0，得x2+x-1=0， 解得x=，所以A正确； B项，f'(x)=-=-， 当f'(x)>0时，-1<x<2； 当f'<0时，x<-1或x>2， 所以函数的单调递减区间为(-∞，-1)，(2，+∞)，函数的单调递增区间为(-1，2)， 所以f(-1)是函数的极小值，f(2)是函数的极大值，所以B正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C项，当x趋向于+∞时，f(x)趋向于0，根据B项可知，函数的最小值是f(-1)=-e，再根据单调性可知，当-e<k<0时，方程f(x)=k有且只有两个实根，所以C正确； D项，由图象可知，t的最大值是2， 所以D不正确. 7.已知曲线f(x)=-x3+3x2+9x+a与x轴只有一个交点，则实数a的取值范围为　　 　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 {a|a<-27或a>5} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 f'(x)=-3x2+6x+9. 令f'(x)=0，解得x=-1或x=3. 当f'(x)>0时，-1<x<3； 当f'(x)<0时，x<-1或x>3， 所以当x=-1时，f(x)取得极小值为f(-1)=a-5；当x=3时，f(x)取得极大值为f(3)=a+27. 画出大致图象，要使f(x)的图象与x轴 只有一个交点，只需极大值小于0(如 图1)或极小值大于0(如图2)， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 所以a+27<0或a-5>0， 解得a<-27或a>5， 故实数a的取值范围为{a|a<-27或a>5}. 8.已知函数f(x)=x3-x2+2x+3a+b恰有3个不同的零点，则f(0)的取值范围 是　 　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵f(x)=x3-x2+2x+3a+b， ∴f'(x)=x2-3x+2=(x-1)(x-2)， 由f'(x)>0，得x>2或x<1，此时函数单调递增； 由f'(x)<0，得1<x<2，此时函数单调递减， 即当x=1时，函数取得极大值f(1)=-+2+3a+b=+3a+b， 当x=2时，函数取得极小值f(2)=-6+4+3a+b=+3a+b， 若函数f(x)=x3-x2+2x+3a+b恰有3个不同的零点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 则f(1)=+3a+b>0，且f(2)=+3a+b<0， 则-<3a+b<-，又f(0)=3a+b， 即f(0)的取值范围是. 9.已知函数f(x)=e2x-ex-x，判断f(x)的零点个数. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 因为f(x)=e2x-ex-x， 所以f'(x)=e2x-ex-1 =(2ex+1)(ex-2)， 令f'(x)>0，解得x>ln 2， 令f'(x)<0，解得x<ln 2， 故f(x)在(-∞，ln 2)上单调递减，在(ln 2，+∞)上单调递增，故f(x)min= f(ln 2)=-1-ln 2<0， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 又x→-∞时，f(x)→+∞； x→+∞时，f(x)→+∞，画出草图如图. 故f(x)有2个零点. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10.已知函数f(x)=x3-x2+2x+b(b∈R). (1)当b=0时，求f(x)在[-1，3]上的值域； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 可得当x=-1时，f(x)取得最小值为-； 当x=3时，f(x)取得最大值为， ∴f(x)在[-1，3]上的值域为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 (2)若方程f(x)=1有三个不同的解，求b的取值范围. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ∵方程f(x)=1有三个不同的解， 即x3-x2+2x=1-b有三个不同的解， 由(1)知，y=x3-x2+2x在(-∞，1)，(2，+∞)上单调递增，在(1，2)上单调递减， ∴y=x3-x2+2x在x=1处取得极大值为，在x=2处取得极小值为， ∴<1-b<<b<. ∴b的取值范围为. 第二章 <<< $$