第2章 习题课 构造函数问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

习题课　构造函数问题 [学习目标]　1.了解导数中几种常见的构造函数的形式.2.会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题. 一、利用f(x)与x构造 例1　已知f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf'(x)，则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(　　) A.(0，1) B.(2，+∞) C.(1，2) D.(1，+∞) 答案　B 解析　构造函数y=xf(x)，x∈(0，+∞)， 则y'=f(x)+xf'(x)<0， 所以函数y=xf(x)在(0，+∞)上单调递减. 又因为f(x+1)>(x-1)f(x2-1)， 所以(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1)， 所以x+1<x2-1，且x2-1>0，x+1>0， 解得x>2或x<-1(舍去)， 所以不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是(2，+∞). 延伸探究　把本例中的条件“f(x)<-xf'(x)”换为“f(x)<xf'(x)”，解不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1). 解　设g(x)=，则g'(x)=， ∵f(x)<xf'(x)， ∴g'(x)>0，故g(x)在(0，+∞)上单调递增， 由(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)得， >， 即g(2x+1)>g(x2+1)， ∴ 解得0<x<2. 即不等式(x2+1)f(2x+1)>(2x+1)f(x2+1)的解集为(0，2). 反思感悟　用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有 (1)对于f'(x)>g'(x)，构造h(x)=f(x)-g(x). (2)对于f'(x)+g'(x)>0，构造h(x)=f(x)+g(x). (3)对于f'(x)>a，构造h(x)=f(x)-ax. (4)对于xf'(x)+f(x)>0，构造h(x)=xf(x). (5)对于xf'(x)-f(x)>0，构造h(x)=. 跟踪训练1　已知函数f(x)是(0，+∞)上的可导函数，且f'(x)+>0，则(　　) A.f(3)>f(2) B.f(3)<f(2) C.3f(3)>2f(2) D.3f(3)<2f(2) 答案　C 解析　因为f'(x)+>0， 所以当x>0时，有xf'(x)+f(x)>0， 令g(x)=xf(x)，则当x>0时，g'(x)=xf'(x)+f(x)>0， 所以g(x)在(0，+∞)上单调递增， 所以g(3)>g(2)，即3f(3)>2f(2)，故选C. 二、利用f(x)与ex构造 例2　已知f(x)为R上的可导函数，其导函数为f'(x)，且对于任意的x∈R，均有f(x)+f'(x)>0，则(　　) A.e-2 025f(-2 025)<f(0)，e2 025f(2 025)>f(0) B.e-2 025f(-2 025)<f(0)，e2 025f(2 025)<f(0) C.e-2 025f(-2 025)>f(0)，e2 025f(2 025)>f(0) D.e-2 025f(-2 025)>f(0)，e2 025f(2 025)<f(0) 答案　A 解析　令h(x)=exf(x)， 则h'(x)=exf(x)+exf'(x) =ex[f(x)+f'(x)]>0， 所以函数h(x)在R上单调递增， 故h(-2 025)<h(0)，即e-2 025f(-2 025)<e0f(0)，即e-2 025f(-2 025)<f(0). 同理，h(2 025)>h(0)，即e2 025f(2 025)>f(0). 延伸探究　把本例中的条件“f(x)+f'(x)>0”换为“f'(x)>f(x)”，比较e2 025f(-2 025)和f(0)的大小. 解　令g(x)=，则g'(x)=， 因为对任意的x∈R，都有f'(x)>f(x)， 所以g'(x)>0，即g(x)在R上单调递增， 所以g(-2 025)<g(0)，即<， 所以e2 025f(-2 025)<f(0). 反思感悟　f(x)与ex构造常见的形式 (1)对于f'(x)+f(x)>0，构造h(x)=exf(x). (2)对于f'(x)>f(x)，构造h(x)=. 跟踪训练2　(多选)已知函数f(x)的导函数为f'(x)，且f'(x)<f(x)对任意的x∈R恒成立，则(　　) A.f(ln 2)<2f(0) B.f(2)<e2f(0) C.f(ln 2)>2f(0) D.f(2)>e2f(0) 答案　AB 解析　令g(x)=，则g'(x)=<0，所以g(x)在R上单调递减，又ln 2>0，2>0， 所以g(ln 2)<g(0)，g(2)<g(0)，即<，<，所以f(ln 2)<2f(0)，f(2)<e2f(0). 三、利用f(x)与sin x，cos x构造 例3　(多选)已知定义在上的函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(0)=0，f'(x)cos x+f(x)sin x<0，则下列判断中正确的是(　　) A.f<f B.f>0 C.f>f D.f>f 答案　CD 解析　令g(x)=，x∈， 则g'(x)=， 因为f'(x)cos x+f(x)sin x<0，所以g'(x)=<0在上恒成立，因此函数g(x)=在上单调递减， 又<，所以g>g， 即>， 即f>f，故A错误； 又f(0)=0，所以g(0)==0，所以g(x)=≤0在上恒成立， 因为ln∈，所以f<0，故B错误； 又<，所以g>g， 所以>， 即f>f，故C正确； 又<，所以g>g， 所以>， 即f>f，故D正确. 反思感悟　f(x)与sin x，cos x构造常见的形式 (1)对于f'(x)sin x+f(x)cos x>0，构造函数h(x)=f(x)sin x. (2)对于f'(x)sin x-f(x)cos x>0，构造函数h(x)=. (3)对于f'(x)cos x-f(x)sin x>0，构造函数h(x)=f(x)cos x. (4)对于f'(x)cos x+f(x)sin x>0，构造函数h(x)=. 跟踪训练3　已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1，0)对称，函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　) A.f>-f B.f<-f C.f>2f D.f<f 答案　C 解析　由已知，得f(x)为奇函数，由函数y=f(x)对于任意的x∈(0，π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x，得f'(x)sin x-f(x)cos x>0， 即'>0， 所以y=在(0，π)上单调递增， 又因为y=为偶函数， 所以y=在(-π，0)上单调递减， 所以<，即f>2f. 1.知识清单： (1)几种常见的构造形式. (2)掌握由导函数的结构形式构造原函数. 2.方法归纳：构造法. 3.常见误区：不能正确构造出符合题意的函数. 1.已知f(x)是定义在(0，+∞)上的可导函数，且满足xf'(x)+f(x)≤0，对任意的正数a，b，若a<b，则必有(　　) A.bf(b)≤af(a) B.bf(a)≤af(b) C.af(a)≤bf(b) D.af(b)≤bf(a) 答案　A 解析　设g(x)=xf(x)，x∈(0，+∞)， 则g'(x)=xf'(x)+f(x)≤0， ∴g(x)在区间(0，+∞)上单调递减或g(x)为常函数. ∵a<b，∴g(a)≥g(b)，即af(a)≥bf(b)，故选A. 2.已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(2)=1，且f(x)的导函数f'(x)<1，则f(x)>x-1的解集为(　　) A.{x|-2<x<2} B.{x|x<2} C.{x|x<-2或x>2} D.{x|x>2} 答案　B 解析　令g(x)=f(x)-(x-1)， 则g'(x)=f'(x)-1<0， 所以g(x)在R上单调递减. 又f(2)=1，所以g(2)=f(2)-(2-1)=0. 由f(x)>x-1，得g(x)>0，解得x<2. 3.若函数y=f(x)的定义域为R，对于∀x∈R，f'(x)<f(x)，且f(x+1)为偶函数，f(2)=1，则不等式f(x)<ex的解集为(　　) A.(2，+∞) B.(0，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，2) 答案　B 解析　设函数g(x)=， 则g'(x)==， 由f'(x)<f(x)，可得f'(x)-f(x)<0， 所以g'(x)<0，函数g(x)在R上单调递减， 由f(x+1)为偶函数，可得函数f(x)关于直线x=1对称，又f(2)=1，所以f(0)=1， 所以g(0)==1，不等式f(x)<ex， 可化为<1，即g(x)<g(0)，所以x>0，即不等式f(x)<ex的解集为(0，+∞). 4.设函数f'(x)是定义在(0，π)上的函数f(x)的导函数，有f'(x)cos x-f(x)sin x>0，若a=f，b=0，c=-f，则a，b，c的大小关系是　　　　　　　　.  答案　a<b<c 解析　设函数g(x)=f(x)cos x， 则g'(x)=f'(x)cos x-f(x)sin x. 因为f'(x)cos x-f(x)sin x>0， 所以g'(x)>0， 所以g(x)在(0，π)上单调递增， 又a=f=fcos =g， b=0=fcos =g， c=-f=fcos =g， 因为<<， 所以g<g<g，即a<b<c. 课时对点练　[分值：65分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共6分 1.已知函数f(x)(x∈R)满足f(1)=1，且f'(x)<，则f(x)<+的解集为(　　) A.{x|-1<x<1} B.{x|x<-1} C.{x|x<-1或x>1} D.{x|x>1} 答案　D 解析　构造函数h(x)=f(x)--，所以h'(x)=f'(x)-<0，故h(x)在R上单调递减，且h(1)=f(1)--=0，故h(x)<0，即f(x)<+的解集为{x|x>1}. 2.已知函数f(x)的定义域为R，f'(x)为f(x)的导函数，且f(x)+(x-1)f'(x)>0，则(　　) A.f(1)=0 B.f(x)<0 C.f(x)>0 D.(x-1)f(x)<0 答案　C 解析　令g(x)=(x-1)f(x)， 则g'(x)=f(x)+(x-1)f'(x)>0， 所以g(x)在R上是增函数， 又因为g(1)=0， 所以当x>1时，g(x)=(x-1)f(x)>0； 当x<1时，g(x)=(x-1)f(x)<0， 所以当x≠1时，f(x)>0， 又f(1)+(1-1)f'(1)=f(1)>0， 所以ABD错误，C正确. 3.定义在R上的函数f(x)的导函数为f'(x)，若对任意实数x，有f(x)>f'(x)，且f(x)+2 023为奇函数，则不等式f(x)+2 023ex<0的解集是(　　) A.(-∞，0) B.(-∞，2 023) C.(0，+∞) D.(2 023，+∞) 答案　C 解析　∵f(x)+2 023为奇函数， ∴f(0)+2 023=0， 即f(0)=-2 023. 令F(x)=+2 023，∵f(x)>f'(x)， 则F'(x)=<0， ∴F(x)=+2 023在R上单调递减， ∵F(0)=+2 023=0， ∴f(x)+2 023ex<0的解集等价于+2 023<0的解集，即F(x)<F(0)的解集，则x>0， ∴不等式f(x)+2 023ex<0的解集为(0，+∞). 4.定义域为的函数f(x)满足f(x)+f(-x)=0，其导函数为f'(x)，当0≤x<时，有f'(x)cos x+f(x)sin x<0成立，则关于x的不等式f(x)<f·cos x的解集为(　　) A.∪ B. C.∪ D.∪ 答案　B 解析　∵f(x)+f(-x)=0且x∈， ∴f(x)是奇函数， 设g(x)=，则当0≤x<时， g'(x)=<0， ∴g(x)在上单调递减. 又f(x)是奇函数，∴g(x)=也是奇函数， ∴g(x)在上单调递减， 从而g(x)在上单调递减， ∵不等式f(x)<f·cos x， ∴<， 即g(x)<g，∴<x<. 5.(多选)已知f(x)为(0，+∞)上的可导函数，且(x+1)·f'(x)>f(x)，则下列不等式一定成立的是(　　) A.3f(4)<4f(3) B.4f(4)>5f(3) C.3f(3)<4f(2) D.3f(3)>4f(2) 答案　BD 解析　由(x+1)f'(x)>f(x)， 得(x+1)f'(x)-f(x)>0， 令g(x)=， 则g'(x)=>0， ∴g(x)在(0，+∞)上单调递增， ∴g(2)<g(3)<g(4)， 则<<， 即4f(2)<3f(3)，5f(3)<4f(4)，故选BD. 6.设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是其导函数，若3f(x)+f'(x)>0，f(0)=1，则不等式f(x)>e-3x的解集是(　　) A.(0，+∞) B.(1，+∞) C.(-∞，0) D.(0，1) 答案　A 解析　令g(x)=e3xf(x)， 则g'(x)=3e3xf(x)+e3xf'(x)， 因为3f(x)+f'(x)>0， 所以3e3xf(x)+e3xf'(x)>0，所以g'(x)>0， 所以函数g(x)=e3xf(x)在R上是增函数， 又f(x)>e-3x可化为e3xf(x)>1， 且g(0)=e3×0f(0)=1， 所以g(x)>g(0)，解得x>0， 所以不等式f(x)>e-3x的解集是(0，+∞). 7.(5分)已知f(x)是定义在上的函数，其导函数为f'(x)，f=2，且当x∈时，f'(x)sin x+f(x)cos x>0，则不等式f(x)sin x<3的解集为　　　　.  答案　 解析　因为当x∈时， f'(x)sin x+f(x)cos x>0， 所以[f(x)sin x]'>0，x∈， 令g(x)=f(x)sin x， 则当x∈时，g'(x)>0，g(x)在上单调递增， 因为f=2， 所以g=fsin =3， 不等式f(x)sin x<3，即g(x)<g， 因为g(x)在上单调递增， 所以原不等式的解集为. 8.(5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(1)=0，当x>0时，有>0，则不等式x2f(x)>0的解集是　　　　　　　　.  答案　(-1，0)∪(1，+∞) 解析　令g(x)=(x≠0)， 则g'(x)=. ∵当x>0时，>0， 即g'(x)>0， ∴g(x)在(0，+∞)上单调递增. 又f(1)=0， ∴g(1)=f(1)=0， ∴在(0，+∞)上，g(x)>0的解集为(1，+∞)，g(x)<0的解集为(0，1). ∵f(x)为奇函数， ∴g(x)为偶函数， ∴在(-∞，0)上，g(x)>0的解集为(-∞，-1)， g(x)<0的解集为(-1，0). 由x2f(x)>0，得f(x)>0(x≠0). 又f(x)>0的解集为(-1，0)∪(1，+∞)， ∴不等式x2f(x)>0的解集为(-1，0)∪(1，+∞). 9.(12分)已知函数f(x)=x2-2aln x+(a-2)x. (1)当a=1时，求函数f(x)在[1，e]上的最小值和最大值；(6分) (2)是否存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>a？若存在，求出a的取值范围；若不存在，说明理由.(6分) 解　(1)当a=1时，f(x)=x2-2ln x-x. 则f'(x)=x--1= =，x∈[1，e]. ∴当x∈[1，2)时，f'(x)<0； 当x∈(2，e]时，f'(x)>0. ∴f(x)在[1，2)上单调递减，在(2，e]上单调递增. ∴当x=2时，f(x)取得最小值，其最小值为f(2)=-2ln 2. 又f(1)=-，f(e)=-e-2， f(e)-f(1)=-e-2+=<0， ∴f(e)<f(1)，∴f(x)max=f(1)=-. (2)假设存在实数a，对任意的x1，x2∈(0，+∞)，且x1≠x2，都有>a， 不妨设0<x1<x2，∵>a， ∴f(x2)-ax2>f(x1)-ax1. 令g(x)=f(x)-ax， 则由此可知g(x)在(0，+∞)上单调递增， 又g(x)=x2-2aln x+(a-2)x-ax =x2-2aln x-2x， 则g'(x)=x--2=， 由此可得g'(x)≥0在(0，+∞)上恒成立， 只需-1-2a≥0，解得a≤-. 即a的取值范围是. 10.(12分)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，对任意的x∈R，有f'(x)+kf(x)=2xe-kx，且f(0)=1. (1)若k=-1，求使f(x)<3ex成立的x的取值范围；(5分) (2)若k=1，求的取值范围.(7分) 解　(1)由题意，当k=-1时， f'(x)-f(x)=2xex， 得=2x，即'=2x. 令g(x)=， 则g'(x)=2x，g(x)=x2+c(c为常数). 因为f(0)=1，则g(0)==1=c， 所以g(x)=x2+1. 若f(x)<3ex，则<3， 即g(x)=x2+1<3，解得-<x<. 故实数x的取值范围是(-，). (2)当k=1时，f'(x)+f(x)=2xe-x， 则exf'(x)+exf(x)=2x，即[exf(x)]'=2x. 令h(x)=exf(x)，则h'(x)=2x， 所以h(x)=x2+c'(c'为常数)， 则x2+c'=exf(x)， 所以f(x)=， 又f(0)=1，所以c'=1， 所以f(x)=， 则f'(x)=， 所以=. 令=t， 可得(t+1)x2-2x+t+1=0. 当t=-1时，x=0； 当t≠-1时，Δ=4-4(t+1)2=-4t(t+2)≥0， 解得-2≤t≤0，此时-2≤t<-1或-1<t≤0. 综上所述，的取值范围是[-2，0]. 学科网（北京）股份有限公司 $$习题课 构造函数问题 >>>第二章 学习目标 1.了解导数中几种常见的构造函数的形式 2会根据要求通过构造函数解决一些简单的问题 内容索引 一、利用x)与x构造 二、利用x)与e构造 三、利用fx)与simx,cosx构造 随堂演练 课时对点练 利用fx)与x构造 例1 己知x)的定义域为0，+oo),x)为x)的导函数，且满足x大-xfx), 则不等式x+1)>(x-1)x2-1)的解集是 A.(0,1) R.(2,+o) C.(1,2) D.(1,+0) 解舫 构造函数y=xx),x∈(0，+o), 则y=x)+xfx)0, 所以函数y=xx)在(0，+o)上单调递减. 又因为x+1)>(x-1x2-1), 所以(x+1)/x+1)>(x2-1/x2-1), 所以x+1<x2-1,且x2-1>0,x+1>0, 解得x>2或x<-1(舍去)， 所以不等式x+1)>(x-1)x2-1)的解集是(2，+o). 延伸探究 把本例中的条件“x)<-xfx)”换为“x)<xfx)”，解不等式 (x2+1)/2x+1)>(2x+1)/x2+1). 解 设g)/四，则gw"g四 x2 .fx)xf(x), ∴.g'(x)>0,故g(x)在(0，+oo)上单调递增， 由(x2+1)/2x+1)>(2x+1x2+1)得， f(2x+fx2+1 2x+1 x2+1, 即g(2x+1)>g(x2+1), 解 2x+1>0, …2x+1>x2+1, 解得0<x<2. 即不等式(x2+1)/2x+1)>(2x+1)x2+1)的解集为(0,2). 反思感 用函数单调性比较大小或解不等式时常构造函数，常见的有 (1)对于fx)>g'(x),构造h(x)=x)-g(x), (2)对于fx)+g'(x)>0,构造h(x)=fx)十g(x). (3)对于fx)>a,构造h(x)=fx)-ax. (4)对于xfx)+x)>0,构造hx)=xx) (5)对于w)0,构造)/四