第1章 再练一课(范围：§3)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

再练一课(范围：§3)　[分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.数列{an}满足a1=1，an+1=2an(n∈N+)，则a4等于(　　) A.4 B.8 C. D. 答案　B 解析　因为数列{an}满足a1=1，an+1=2an(n∈N+)， 即=2，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以a4=1×23=8. 2.在等比数列{an}中，a3a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11的值为(　　) A.48 B.72 C.144 D.192 答案　D 解析　∵=q9=8(q为公比)， ∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192. 3.等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由等比数列的性质可得a3，a6，…，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为=q3， 所以Sn=. 4.已知等比数列{an}的公比为-2，且a1+2，a3+2，a5-7成等差数列，则{an}的前10项和为(　　) A.-341 B.- C.171 D. 答案　A 解析　由于a1+2，a3+2，a5-7成等差数列， 所以2(a3+2)=a1+2+a5-7， 即2[a1·(-2)2+2]=a1+2+a1·(-2)4-7， 解得a1=1， 所以S10==-=-341. 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8等于(　　) A.120 B.85 C.-85 D.-120 答案　C 解析　方法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q=1，则S6=6a1=3×2a1=3S2，不符合题意， 所以q≠1. 由S4=-5，S6=21S2， 可得=-5， =21×， ① 由①可得，1+q2+q4=21，解得q2=4， 所以S8==·(1+q4)=-5×(1+16)=-85. 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 因为S4=-5，S6=21S2， 所以q≠-1，否则S4=0， 从而S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比数列， 所以(-5-S2)2=S2(21S2+5)， 解得S2=-1或S2=， 当S2=-1时，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6， 即为-1，-4，-16，S8+21， 易知S8+21=-64，即S8=-85； 当S2=时，S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0， 与S4=-5矛盾，舍去. 综上，S8=-85. 6. 如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积和为(　　) A. B.π C.π D.3π 答案　B 解析　根据条件第一个内切圆的半径为×3=，面积为π，第二个内切圆的半径为，面积为π，…，这些内切圆的面积组成一个等比数列，首项为π，公比为，故面积之和为=π. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.设等比数列{an}的公比为q，若a1a5a9=64，则(　　) A.a5=4 B.当a1=1时，q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 答案　ABD 解析　由题意，a1a5a9==64， 即a5=4，故A正确； 当a1=1时，a5=a1q4=4， 所以q=±，故B正确； 因为a1a9==16， 所以a1和a9的等比中项为4或-4，故C错误； 因为+≥2a1a9=32， 当且仅当a1=a9=4时，等号成立，故D正确. 8.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn，则下列说法正确的是(　　) A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列 C.a3=9 D.an=2× 答案　AB 解析　由已知可得，当n=1时，a2=2S1=2a1=2； 当n≥2时，有an+1=2Sn，an=2Sn-1， 作差可得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an， 所以an+1=3an. 所以当n≥2时，数列{an}是以a2=2为首项，3为公比的等比数列， 所以an=2×，n≥2. 当n=1时，2×3-1=≠1， 所以an= 当n=1时，S1=a1=1；当n≥2时，由an+1=2Sn， 可得Sn===3n-1， 显然当n=1时，S1=30=1满足上式，所以Sn=3n-1. 对于A，D项，由前面分析知，A项正确，D项错误； 对于B项，因为Sn=3n-1，Sn+1=3n， 所以==3，故B项正确； 对于C项，由an= 可知a3=2×33-2=6≠9，故C项错误. 9.已知数列{an}的前n项和Sn=-1，则下列说法正确的有(　　) A.{Sn}是递减数列 B.{an}是等比数列 C.an<0 D.Sn+an=1 答案　ABC 解析　对于A，因为Sn=-1， 所以Sn+1=-1， 故Sn+1-Sn=-1-+1=-2×=-<0，则Sn+1<Sn， 所以数列{Sn}是递减数列，故A正确； 对于B，当n=1时，a1=S1=-1=-， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-， 经检验，a1=-满足an=-， 所以an=-，故当n∈N+时，=， 所以数列{an}是等比数列，故B正确； 对于C，由选项B知an=-<0，故C正确； 对于D，因为Sn=-1，an=-，所以Sn+an=-1-=-1，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是　　　　.  答案　 解析　设三边为a，aq，aq2(q>1)， 则(aq2)2=(aq)2+a2， ∴q2=.较小锐角记为θ， 则sin θ====. 11.在公差不为零的等差数列{an}中，2a3-+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=　　　　.  答案　16 解析　∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0，又b7=a7≠0，∴b7=a7=4.∴b6b8==16. 12.等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q=　　　　.  答案　2 解析　方法一　设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n=，S奇=. 由题意得=， ∴1+q=3，∴q=2. 方法二　设所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则S偶+S奇=3S奇，即S偶=2S奇，∴q==2. 四、解答题(共37分) 13.(12分)等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. (1)求{an}的公比q；(6分) (2)若a1-a3=3，求Sn.(6分) 解　(1)依题意得 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)， 由于a1≠0，故2q2+q=0.又q≠0，所以q=-. (2)由已知可得a1-a1=3，故a1=4. 所以Sn==. 14.(12分)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a(a>0)，b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3. (1)若a=1，求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若数列{an}唯一，求a的值.(6分) 解　(1)设{an}的公比为q，则b1=1+a1=1+a=2，b2=2+aq=2+q，b3=3+aq2=3+q2. 由b1，b2，b3成等比数列，得(2+q)2=2(3+q2)， 即q2-4q+2=0， 解得q1=2+，q2=2-， 故{an}的通项公式为an=(2+)n-1或 an=(2-)n-1. (2)设{an}的公比为q， 则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)， 得aq2-4aq+3a-1=0， 由a>0得，Δ=4a2+4a>0， 故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实根. 由{an}唯一，故方程必有一根为0， 代入上式得a=. 15.(13分)已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a4=b1=8，a2=b3，S3=6. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(6分) (2)求Sn的最大值和最小值.(7分) 解　(1)设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， ∵S3≠3b1，∴q≠1， 由S3==6，解得q=-， ∴bn=8×=-， 又∵a2=b3=2，a4=8，∴d==3， ∴an=a2+(n-2)d=3n-4. (2)由(1)和等比数列的前n项和公式可知， Sn==× = 显然，当n为奇数时，Sn>，Sn单调递减； 当n为偶数时，Sn<，Sn单调递增，(Sn)max=S1=8，(Sn)min=S2=4. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 再练一课(范围：§3) 第一章 <<< 一、单项选择题 1.数列{an}满足a1=1，an+1=2an(n∈N+)，则a4等于 A.4 B.8 C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 因为数列{an}满足a1=1，an+1=2an(n∈N+)， 即=2，故数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 所以a4=1×23=8. 2.在等比数列{an}中，a3a4a5=3，a6a7a8=24，则a9a10a11的值为 A.48 B.72 C.144 D.192 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ ∵=q9=8(q为公比)， ∴a9a10a11=a6a7a8q9=24×8=192. 3.等比数列{an}的公比为q(q≠1)，则数列a3，a6，a9，…，a3n，…的前n项和为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由等比数列的性质可得a3，a6，…，a3n是等比数列，且首项为a3，公比为=q3， 所以Sn=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.已知等比数列{an}的公比为-2，且a1+2，a3+2，a5-7成等差数列，则{an}的前10项和为 A.-341 B.- C.171 D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由于a1+2，a3+2，a5-7成等差数列， 所以2(a3+2)=a1+2+a5-7， 即2[a1·(-2)2+2]=a1+2+a1·(-2)4-7， 解得a1=1， 所以S10==-=-341. 5.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4=-5，S6=21S2，则S8等于 A.120 B.85 C.-85 D.-120 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一　设等比数列{an}的公比为q，首项为a1， 若q=1，则S6=6a1=3×2a1=3S2，不符合题意， 所以q≠1. 由S4=-5，S6=21S2， 可得=-5， =21×， ① 由①可得，1+q2+q4=21，解得q2=4， 所以S8==·(1+q4)=-5×(1+16)=-85. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二　设等比数列{an}的公比为q， 因为S4=-5，S6=21S2， 所以q≠-1，否则S4=0， 从而S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6成等比数列， 所以(-5-S2)2=S2(21S2+5)， 解得S2=-1或S2=， 当S2=-1时，S2，S4-S2，S6-S4，S8-S6， 即为-1，-4，-16，S8+21， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 易知S8+21=-64，即S8=-85； 当S2=时，S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0， 与S4=-5矛盾，舍去. 综上，S8=-85. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.如图，作边长为3的正三角形的内切圆，在这个圆内作内接正三角形，然后，再作新三角形的内切圆.如此下去，则前n个内切圆的面积和为 A. B.π C.π D.3π √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 根据条件第一个内切圆的半径为×3= π，第二个内切圆的半径为 π，…，这些内切圆的面积组成一个等 比数列，首项为π，公比为=π. 二、多项选择题 7.设等比数列{an}的公比为q，若a1a5a9=64，则 A.a5=4 B.当a1=1时，q=± C.a1和a9的等比中项为4 D.+≥32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意，a1a5a9==64， 即a5=4，故A正确； 当a1=1时，a5=a1q4=4， 所以q=±，故B正确； 因为a1a9==16， 所以a1和a9的等比中项为4或-4，故C错误； 因为+≥2a1a9=32， 当且仅当a1=a9=4时，等号成立，故D正确. 8.设数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，an+1=2Sn，则下列说法正确的是 A.Sn=3n-1 B.{Sn}为等比数列 C.a3=9 D.an=2× 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由已知可得，当n=1时，a2=2S1=2a1=2； 当n≥2时，有an+1=2Sn，an=2Sn-1， 作差可得an+1-an=2Sn-2Sn-1=2an， 所以an+1=3an. 所以当n≥2时，数列{an}是以a2=2为首项，3为公比的等比数列， 所以an=2×，n≥2. 当n=1时，2×3-1=≠1， 所以an= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n=1时，S1=a1=1；当n≥2时，由an+1=2Sn， 可得Sn===3n-1， 显然当n=1时，S1=30=1满足上式，所以Sn=3n-1. 对于A，D项，由前面分析知，A项正确，D项错误； 对于B项，因为Sn=3n-1，Sn+1=3n， 所以==3，故B项正确； 对于C项，由an= 可知a3=2×33-2=6≠9，故C项错误. 9.已知数列{an}的前n项和Sn=-1，则下列说法正确的有 A.{Sn}是递减数列 B.{an}是等比数列 C.an<0 D.Sn+an=1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，因为Sn=-1， 所以Sn+1=-1， 故Sn+1-Sn=-1-+1=-2×=-<0，则Sn+1<Sn， 所以数列{Sn}是递减数列，故A正确； 对于B，当n=1时，a1=S1=-1=-， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-， 经检验，a1=-满足an=-， 所以an=-，故当n∈N+时，=， 所以数列{an}是等比数列，故B正确； 对于C，由选项B知an=-<0，故C正确； 对于D，因为Sn=-1，an=-，所以Sn+an=-1-=-1，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.一个直角三角形的三边成等比数列，则较小锐角的正弦值是　　　.  设三边为a，aq，aq2(q>1)， 则(aq2)2=(aq)2+a2， ∴q2=.较小锐角记为θ， 则sin θ====. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.在公差不为零的等差数列{an}中，2a3-+2a11=0，数列{bn}是等比数列，且b7=a7，则b6b8=　　.  16 ∵2a3-+2a11=2(a3+a11)-=4a7-=0，又b7=a7≠0，∴b7=a7=4.∴b6b8==16. 12.等比数列{an}共有2n项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法一　设{an}的公比为q，由已知可得q≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，S2n=，S奇=. 由题意得=， ∴1+q=3，∴q=2. 方法二　设所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则S偶+S奇 =3S奇，即S偶=2S奇，∴q==2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1，S3，S2成等差数列. (1)求{an}的公比q； 依题意得 a1+(a1+a1q)=2(a1+a1q+a1q2)， 由于a1≠0，故2q2+q=0.又q≠0，所以q=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)若a1-a3=3，求Sn. 由已知可得a1-a1=3，故a1=4. 所以Sn==. 14.已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1=a(a>0)，b1-a1=1，b2-a2=2，b3-a3=3. (1)若a=1，求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设{an}的公比为q，则b1=1+a1=1+a=2，b2=2+aq=2+q，b3=3+aq2=3+q2. 由b1，b2，b3成等比数列，得(2+q)2=2(3+q2)， 即q2-4q+2=0， 解得q1=2+，q2=2-， 故{an}的通项公式为an=(2+)n-1或 an=(2-)n-1. (2)若数列{an}唯一，求a的值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设{an}的公比为q， 则由(2+aq)2=(1+a)(3+aq2)， 得aq2-4aq+3a-1=0， 由a>0得，Δ=4a2+4a>0， 故方程aq2-4aq+3a-1=0有两个不同的实根. 由{an}唯一，故方程必有一根为0， 代入上式得a=. 15.已知数列{an}是等差数列，Sn是等比数列{bn}的前n项和，a4=b1=8，a2=b3，S3=6. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， ∵S3≠3b1，∴q≠1， 由S3==6，解得q=-， ∴bn=8×=-， 又∵a2=b3=2，a4=8，∴d==3， ∴an=a2+(n-2)d=3n-4. (2)求Sn的最大值和最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)和等比数列的前n项和公式可知， Sn==× = 显然，当n为奇数时，Sn>，Sn单调递减； 当n为偶数时，Sn<，Sn单调递增，(Sn)max=S1=8，(Sn)min=S2=4. 第一章 <<< $$