第1章 再练一课(范围：§1～§2)-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

再练一课(范围：§1～§2) 第一章 <<< 一、单项选择题 1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a4等于 A.5 B.6 C.7 D.9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ a4=a1+3d=1+3×2=7. 2.600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的 A.第20项 B.第24项 C.第25项 D.第30项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式为an=n(n+1)，n∈N+，令n(n+1)=600，求得n=24，故选B. 3.若{an}为等差数列，ap=q，aq=p(p≠q)，则ap+q为 A.p+q B.0 C.-(p+q) D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∵ap=q，aq=p，∴d==-1， ∴ap+q=ap+qd=q+q×(-1)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1+a2+a3+a4+a5=6=5a3，a3=. 5.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为 A.30 B.27 C.24 D.21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 因为a1+a4+a7=3a4=39，所以a4=13.因为a2+a5+a8=3a5=33，所以a5=11， 所以d=a5-a4=-2.又a6=a5+d=9， 所以a3+a6+a9=3a6=27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6.已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为 A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 得 所以|a6|-|a7|=a6+a7>0， 所以|a6|>|a7|. 二、多项选择题 7.下列四个命题中，正确的有 A.数列的第k项为1+ B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50，n∈N+，则-8是该数列的第7项 C.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an=2n-1 D.数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则数列{an}是递增数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，数列的第k项为1+， A正确； 对于B，令n2-n-50=-8， 解得n=7或n=-6(舍去)，B正确； 对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn=2n(n∈N+)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an=bn+1=2n+1(n∈N+)，C错误； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于D，an==1-， 则an+1-an=-=>0，因此数列{an}是递增数列，D正确，故选ABD. 8.已知首项为正数的等差数列{an}满足(a5+a6+a7+a8)·(a6+a7+a8)<0，则 A.a6+a7<0 B.a6>0 C.a7>0 D.a6+a7>0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由等差数列的性质可得 (a5+a6+a7+a8)(a6+a7+a8) =2(a6+a7)(3a7)=6(a6+a7)a7<0， 故可得 因为首项为正数的数列{an}为等差数列， 若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾， 所以所以a6>0>a7. 9.在数列{an}中，若-=p(n≥2，n∈N+，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是 A.若{an}是等差数列，则{an}是等方差数列 B.{(-1)n}是等方差数列 C.若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N+，k为常数)也是等方差数列 D.若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 对于A，若{an}是等差数列，如an=n， 则-=n2-(n-1)2=2n-1不是常数，故{an}不是等方差数列，故A错误； 对于B，在数列{(-1)n}中，-=[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0是常数， ∴{(-1)n}是等方差数列，故B正确； 对于C，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…， 数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，…， ∵-=-=-=…=-=p，将这k个式子累加得(-)+(-)+(-)+…+(-)=kp， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 ∴-=kp， ∴-=kp， ∴{akn}(k∈N+，k为常数)是等方差数列，故C正确； 对于D，∵{an}是等差数列，设其公差为d， ∴an-an-1=d，设an=dn+m(m为常数). ∵{an}是等方差数列，∴-=(an+an-1)d=(dn+m+dn-d+m)d=2d2n+ (2m-d)d是常数，故2d2=0，故d=0， 故an=m，该数列为常数列，故D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 三、填空题 10.在等差数列{an}中，a1>0，d=，an=3，Sn=，则a1=　　，n=　　.  2 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由 得n2-13n+30=0，解得n=3或n=10. 又当n=3时，a1=2>0； 当n=10时，a1=-<0，不符合题意，舍去， 故a1=2，n=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11.数列{an}满足=-，a1=1，a5=，则a100=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为=-， 所以+=， 因为a1=1，所以=1， 所以数列是以1为首项，d为公差的等差数列，因为a5==9，即=+4d， 得d=2.因为=+99d=199，所以a100=. 12.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 144 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由题意及图形知，不妨构造数列{an}表示第n行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数 之和.即a1=0，a2=1，且当n≥3时，an=an-1 +an-2，故第1行到第13行中实心圆点的个 数分别为0，1，1，2，3，5，8，13，21， 34，55，89，144. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 四、解答题 13.已知数列{an}，an=n2-pn+q，且a1=0，a2=-4. (1)求a5； 由已知，得 所以an=n2-7n+6，所以a5=52-7×5+6=-4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2)判断150是不是该数列中的项？若是，是第几项？ 令an=n2-7n+6=150， 解得n=16(n=-9舍去)， 所以150是该数列中的项，并且是第16项. 14.已知{an}是等差数列，且a1+a2+a3=12，a8=16. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为a1+a2+a3=12，a1+a3=2a2， 所以3a2=12，解得a2=4. 因为a8=a2+(8-2)d，所以16=4+6d，解得d=2. 所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n，n∈N+. (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由(1)知，a2=4，a4=8，a6=12，…， a2n=2×2n=4n. 当n≥2时，a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. 即bn-bn-1=4且b1=a2=4， 所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n，n∈N+. 15.某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用为2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元. (1)求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S(千元)关于n的表达式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 因为第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元， 故每年的费用构成一个以2为首项，以1为公差的等差数列，所以前n年的总费用 S=2+3+…+(n+1)=. (2)问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用(单位：千元)的最小值.(最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=(购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用)÷机器使用的年数) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设使用n年的年平均费用为y，则 y= =++≥2+=， 当且仅当n=12时，取等号，取最小值. 故最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为15.5千元. 第一章 <<< $$ 再练一课(范围：§1~§2)　[分值：100分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知等差数列{an}的首项a1=1，公差d=2，则a4等于(　　) A.5 B.6 C.7 D.9 答案　C 解析　a4=a1+3d=1+3×2=7. 2.600是数列1×2，2×3，3×4，4×5，…的(　　) A.第20项 B.第24项 C.第25项 D.第30项 答案　B 解析　由数列1×2，2×3，3×4，4×5，…可得通项公式为an=n(n+1)，n∈N+，令n(n+1)=600，求得n=24，故选B. 3.若{an}为等差数列，ap=q，aq=p(p≠q)，则ap+q为(　　) A.p+q B.0 C.-(p+q) D. 答案　B 解析　∵ap=q，aq=p，∴d==-1， ∴ap+q=ap+qd=q+q×(-1)=0. 4.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分六钱，令前三人所得与后二人等，各人所得均增，问各得几何？”其意思是：“已知A，B，C，D，E五个人分重量为6钱(‘钱’是古代的一种重量单位)的物品，A，B，C三人所得钱数之和与D，E二人所得钱数之和相同，且A，B，C，D，E每人所得钱数依次成递增等差数列，问五个人各分得多少钱的物品？”在这个问题中，C分得物品的钱数是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设5个人分得的物品的钱数为等差数列中的项a1，a2，a3，a4，a5，则a1+a2+a3+a4+a5=6=5a3，a3=. 5.在等差数列{an}中，若a1+a4+a7=39，a2+a5+a8=33，则a3+a6+a9的值为(　　) A.30 B.27 C.24 D.21 答案　B 解析　因为a1+a4+a7=3a4=39，所以a4=13.因为a2+a5+a8=3a5=33，所以a5=11， 所以d=a5-a4=-2.又a6=a5+d=9， 所以a3+a6+a9=3a6=27. 6.已知等差数列的前n项和为Sn，若S13<0，S12>0，则此数列中绝对值最小的项为(　　) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 答案　C 解析　由 得 所以|a6|-|a7|=a6+a7>0， 所以|a6|>|a7|. 二、多项选择题(每小题6分，共18分) 7.下列四个命题中，正确的有(　　) A.数列的第k项为1+ B.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50，n∈N+，则-8是该数列的第7项 C.数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an=2n-1 D.数列{an}的通项公式为an=，n∈N+，则数列{an}是递增数列 答案　ABD 解析　对于A，数列的第k项为1+， A正确； 对于B，令n2-n-50=-8， 解得n=7或n=-6(舍去)，B正确； 对于C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为{bn}，则其通项公式为bn=2n(n∈N+)，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为an=bn+1=2n+1(n∈N+)，C错误； 对于D，an==1-， 则an+1-an=-=>0，因此数列{an}是递增数列，D正确，故选ABD. 8.已知首项为正数的等差数列{an}满足(a5+a6+a7+a8)·(a6+a7+a8)<0，则(　　) A.a6+a7<0 B.a6>0 C.a7>0 D.a6+a7>0 答案　BD 解析　由等差数列的性质可得 (a5+a6+a7+a8)(a6+a7+a8) =2(a6+a7)(3a7)=6(a6+a7)a7<0， 故可得或 因为首项为正数的数列{an}为等差数列， 若数列单调递增，则每项为正数，与题意矛盾， 所以所以a6>0>a7. 9.在数列{an}中，若-=p(n≥2，n∈N+，p为常数)，则称{an}为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是(　　) A.若{an}是等差数列，则{an}是等方差数列 B.{(-1)n}是等方差数列 C.若{an}是等方差数列，则{akn}(k∈N+，k为常数)也是等方差数列 D.若{an}既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列 答案　BCD 解析　对于A，若{an}是等差数列，如an=n， 则-=n2-(n-1)2=2n-1不是常数，故{an}不是等方差数列，故A错误； 对于B，在数列{(-1)n}中，-=[(-1)n]2-[(-1)n-1]2=0是常数， ∴{(-1)n}是等方差数列，故B正确； 对于C，数列{an}中的项列举出来是a1，a2，…，ak，…，a2k，…， 数列{akn}中的项列举出来是ak，a2k，a3k，…， ∵-=-=-=…=-=p，将这k个式子累加得(-)+(-)+(-)+…+(-)=kp， ∴-=kp， ∴-=kp， ∴{akn}(k∈N+，k为常数)是等方差数列，故C正确； 对于D，∵{an}是等差数列，设其公差为d， ∴an-an-1=d，设an=dn+m(m为常数). ∵{an}是等方差数列，∴-=(an+an-1)d=(dn+m+dn-d+m)d=2d2n+(2m-d)d是常数，故2d2=0，故d=0， 故an=m，该数列为常数列，故D正确. 三、填空题(每小题5分，共15分) 10.在等差数列{an}中，a1>0，d=，an=3，Sn=，则a1=　　　　，n=　　　　.  答案　2　3 解析　由 得n2-13n+30=0，解得n=3或n=10. 又当n=3时，a1=2>0； 当n=10时，a1=-<0，不符合题意，舍去， 故a1=2，n=3. 11.数列{an}满足=-，a1=1，a5=，则a100=　　　　.  答案　 解析　因为=-， 所以+=， 因为a1=1，所以=1， 所以数列是以1为首项，d为公差的等差数列，因为a5=，所以=9，即=+4d， 得d=2.因为=+99d=199，所以a100=. 12.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的创立为解决传统科学众多领域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一个树形图，则第13行中实心圆点的个数是　　　　.  答案　144 解析　由题意及图形知，不妨构造数列{an}表示第n行实心圆点的个数的变换规律，其中每一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点，每个空心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始，每行的实心圆点数均为前两行实心圆点数之和.即a1=0，a2=1，且当n≥3时，an=an-1+an-2，故第1行到第13行中实心圆点的个数分别为0，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144. 四、解答题(共37分) 13.(12分)已知数列{an}，an=n2-pn+q，且a1=0，a2=-4. (1)求a5；(5分) (2)判断150是不是该数列中的项？若是，是第几项？(7分) 解　(1)由已知，得解得 所以an=n2-7n+6，所以a5=52-7×5+6=-4. (2)令an=n2-7n+6=150， 解得n=16(n=-9舍去)， 所以150是该数列中的项，并且是第16项. 14.(12分)已知{an}是等差数列，且a1+a2+a3=12，a8=16. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式.(6分) 解　(1)因为a1+a2+a3=12，a1+a3=2a2， 所以3a2=12，解得a2=4. 因为a8=a2+(8-2)d，所以16=4+6d，解得d=2. 所以an=a2+(n-2)d=4+(n-2)×2=2n，n∈N+. (2)由(1)知，a2=4，a4=8，a6=12，…， a2n=2×2n=4n. 当n≥2时，a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4. 即bn-bn-1=4且b1=a2=4， 所以{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列， 所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n，n∈N+. 15.(13分)某工厂用7万元钱购买了一台新机器，运输安装费用为2千元，每年投保、动力消耗的费用也为2千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，依此类推，即每年增加1千元. (1)求使用n年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用S(千元)关于n的表达式；(6分) (2)问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用(单位：千元)的最小值.(最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=(购入机器费用+运输安装费用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用)÷机器使用的年数)(7分) 解　(1)因为第一年为2千元，第二年为3千元，第三年为4千元，每年增加1千元， 故每年的费用构成一个以2为首项，以1为公差的等差数列，所以前n年的总费用 S=2+3+…+(n+1)=. (2)设使用n年的年平均费用为y，则 y= =++≥2+=， 当且仅当n=12时，取等号，取最小值. 故最佳使用年限是12年，年平均费用的最小值为15.5千元. 学科网（北京）股份有限公司 $$