第1章 习题课 求数列的通项公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

第一章 <<< 求数列的通项公式 习题课 1.了解求数列通项公式的常见方法. 2.掌握利用递推公式求通项公式的方法. 3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法. 学习目标 斐波那契，意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题：如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系：Fn=Fn-1+Fn-2(n>2)，其中Fn表示第n个月的兔子的总对数，那么什么是递推关系呢？ 导 语 一、利用递推公式求通项公式 二、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 课时对点练 随堂演练 内容索引 利用递推公式求通项公式 一 　　　(1)数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n，求通项公式； 例 1 角度1　累加、累乘法 6 ∵an+1=an+n+1， ∴an+1-an=n+1， 即a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n(n≥2)， 等式两边同时相加得an-a1=2+3+4+…+n， 即an=a1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=(n≥2). 当n=1时，也满足上式， ∴通项公式为an=，n∈N+. 7 (2)已知数列{an}满足a1=，an+1=an，求an. 由条件知=，分别令n=1，2，3，…，n-1， 代入上式得(n-1)个等式累乘， 即···…·=×××…×(n≥2)， ∴=(n≥2)， 又∵a1=，∴an=(n≥2). 又当n=1时，a1=满足上式，∴an=，n∈N+. 8 (1)累加法：形如an+1-an=f(n)型. (2)累乘法：形如=f(n)型. 反 思 感 悟 累加、累乘法的应用原型 9 　　　　　(1)在数列{an}中，a1=3，an+1=an+，则通项公式an=　　. 跟踪训练 1 原递推公式可化为an+1-an=-， 则a2-a1=-，a3-a2=-， a4-a3=-，…，an-1-an-2=-， an-an-1=-， 逐项相加得an-a1=1-， 故an=4-，经验证a1，a2也符合. 4- 10 (2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an. 因为ln an-ln an-1=1， 所以ln =1， 即=e(n≥2). 所以an=··…··a1 =·1=en-1(n≥2)， 又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N+. 11 　　　(1)在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an+3，则通项公式an=　　　.  例 2 角度2　构造法 2n+1-3 设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1+t=2(an+t)，即an+1=2an+t，解得t=3. 故an+1+3=2(an+3). 令bn=an+3，则b1=a1+3=4， 且==2. ∴数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴bn=4·2n-1=2n+1，∴an=2n+1-3. 12 (2)已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1，求数列{an}的通项公式. 将等式an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1得， =+1，即-=1，又=1， 所以数列是首项、公差都为1的等差数列， 所以=n，所以an=n·2n. 13 (1)当出现an=an-1+m(n≥2)时，构造等差数列. (2)当出现an=xan-1+y(n≥2)或an+1=pan+qn时，构造等比数列. 反 思 感 悟 构造法的常见类型 14 　　　　　(1)已知数列{an}满足：a1=1，an+1=(n∈N+)，则数列{an}的通项公式为 A.an= B.an= C.an= D.an= 跟踪训练 2 √ 15 ∵an+1=(n∈N+)， ∴==+. ∵a1=1， ∴数列是以1为首项，为公差的等差数列， ∴=1+(n-1)=，∴an=. 16 (2)已知数列{an}的首项为a1=1，且满足an+1=an+，n∈N+，则此数列的通项公式an等于 A.2n B.n(n+1) C. D. √ 17 ∵an+1=an+，∴2n+1an+1=2nan+2， 即2n+1an+1-2nan=2，又21a1=2， ∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan=2+(n-1)×2=2n，∴an=. 18 二 利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 　　　数列{an}的前n项和为Sn，已知an=5Sn-3(n∈N+)，求an的通项公式. 例 3 当n=1时，a1=5S1-3=5a1-3，得a1=， 当n≥2时，由an=5Sn-3， 得an-1=5Sn-1-3， 两式作差得an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an， ∴an=-an-1， ∴数列{an}是首项为a1=，公比为q=-的等比数列， ∴an=a1·qn-1=×. 20 反 思 感 悟 若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用先求出a1，若计算出的an中a1适合时 可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解. 　　　　　已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式. 跟踪训练 3 22 ∵Sn=2an+1，∴Sn+1=2an+1+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an， ∴an+1=2an. 又∵S1=2a1+1=a1，∴a1=-1≠0， 又由an+1=2an知an≠0，∴=2， ∴{an}是首项为-1，公比为2的等比数列. ∴an=-1×2n-1=-2n-1. 23 1.知识清单： (1)利用递推公式求通项公式. (2)利用Sn与an的关系求通项公式. 2.方法归纳：观察归纳法、累加、累乘法、构造法、分类讨论思想. 3.常见误区：利用递推公式或Sn与an的关系求通项公式时，要注意n的取值范围，忽略n=1的情况. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n，则a2+a18等于 A.36　　　B.35　　　C.34　　　D.33 √ 当n=1时，a1=S1=-1， 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=n2-2n-[(n-1)2-2(n-1)] =2n-3， 当n=1时，a1=-1符合上式， 所以an=2n-3，则a2=1，a18=33， 故a2+a18=34. 2.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N+，λ∈R且λ≠0)，若数列{an-1}是等比数列，则λ的值为 A.1　　　B.-1　　　C.　　　D.2 1 2 3 4 √ 由an+1=λan-1， 得an+1-1=λan-2=λ. ∵数列{an-1}是等比数列， ∴=1，即λ=2. 3.若数列{an}满足关系an+1=1+，a8=，则a5=　　.  1 2 3 4 由题意得，a8=1+=，则a7=； a7=1+=，则a6=；a6=1+=，则a5=. 4.已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=nanan+1(n∈N+)，则an=　　　　.  1 2 3 4 由an-an+1=nanan+1，得-=n， 则由累加法得-=1+2+…+(n-1)=(n≥2)， 又因为a1=1，所以=+1=， 当n=1时满足上式， 所以an=(n∈N+). 课时对点练 四 1.在数列{an}中，a1=3，an+1-2an=0，数列{bn}的通项满足关系式anbn= (-1)n(n∈N+)，则bn等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列， ∴an=3·2n-1，∴bn==. 2.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是 A.an+1=an+n，n∈N+ B.an=an-1+n，n∈N+，n≥2 C.an+1=an+(n+1)，n∈N+，n≥2 D.an=an-1+，n∈N+，n≥2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 结合图形易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4， ∴an=an-1+n，n∈N+，n≥2. 3.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N+)，则此数列的通项公式an等于 A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1-an=-1， ∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+=2+(-1)×(n-1)=3-n. 当n=1时，a1=2也符合上式. 故此数列的通项公式an=3-n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Sn=2n+1-1，当n=1时，a1=S1=21+1-1=3；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)- (2n-1)=2n.当n=1时，不符合上式，故an= 4.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1，则下列说法正确的是 A.a1=3 B.an=2n(n≥2) C.an=2n D.an=2n(n≥2) √ √ 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an-3n，则a2 024等于 A.22 024-1 B.-22 024-1 C.- D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可得，3Sn=2an-3n， 3Sn+1=2an+1-3(n+1)， 两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3， 即an+1=-2an-3，an+1+1=-2(an+1)， 结合3S1=2a1-3=3a1， 可得a1=-3，a1+1=-2， 则数列{an+1}是首项为-2，公比为-2的等比数列， 故a2 024+1=(-2)×(-2)2 023=22 024， 所以a2 024=22 024-1. 6.定义：在数列{an}中，若满足-=d(n∈N+，d为常数)，则称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中，a1=a2=1，a3=3，则等于 A.4×2 0222-1 B.4×2 0222 C.4×2 0212-1 D.4×2 0212 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知可得，当n=1时，有-=2，所以d=2. 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以=+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1， 所以=2×2 022-1， 则有a2 023=(2×2 022-1)a2 022， =2×2 023-1=4 045=2×2 022+1， 则有a2 024=(2×2 022+1)a2 023， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以a2 024=(2×2 022+1)×(2×2 022-1)a2 022 =[(2×2 022)2-1]a2 022=(4×2 0222-1)a2 022. 所以=4×2 0222-1. 7.若在数列{an}中，a1=1，an+1+an=2n，则an=　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n∈N+ ∵an+1+an=2n， ∴an+2+an+1=2n+2，故an+2-an=2. 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列. 当n为偶数时，a2=1，故an=a2+2=n-1. 当n为奇数时，∵an+1+an=2n，an+1=n(n+1为偶数)，故an=n. 综上所述，an=n∈N+. 8.已知在数列{an}中，a1=，an+1=an+，则an=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为a1=，an+1=an+， 所以2n+1an+1=·2nan+1， 整理得2n+1an+1-3=是以2a1-3=-为公比的等比数列.所以2nan-3=-×， 所以an=-. - 9.已知在数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an. (1)求a2，a3； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由S2=a2， 得3(a1+a2)=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3，得3(a1+a2+a3)=5a3， 解得a3=(a1+a2)=6. (2)求数列{an}的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题设知a1=1. 当n>1时， an=Sn-Sn-1=an-an-1， 整理得an=an-1. 则a1=1，a2=a1，a3=a2，…， an-1=an-2，an=an-1， 将以上n个等式两端分别相乘， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 整理得an=，n≥2， 又a1=1=，也满足上式. 综上，数列{an}的通项公式an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知Sn=4-an-，求an与Sn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵Sn=4-an-， ∴当n≥2时，Sn-1=4-an-1-， ∴Sn-Sn-1=an=an-1-an+-(n≥2). ∴an=an-1+(n≥2). ∴-=2(n≥2)， ∴2nan-2n-1an-1=2(n≥2)， ∴{2nan}是等差数列，d=2，首项为2a1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1=S1=4-a1-=2-a1， ∴a1=1，∴2nan=2+2(n-1)=2n. ∴an=(n∈N+)， ∴Sn=4-an-=4-- =4-. 11.若正项数列{an}满足a1=2，-3an+1an-4=0，则数列{an}的通项公式an等于 A.22n-1 B.2n C.22n+1 D.22n-3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由-3an+1an-4=0， 得(an+1-4an)(an+1+an)=0. 又{an}是正项数列， 所以an+1-4an=0，即=4. 所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列. 所以an=2×4n-1=22n-1. 12.若数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x-y-=0上，则数列{an}的通项公式为 A.an=4n-2，n∈N+ B.an=4n+2，n∈N+ C.an=4n，n∈N+ D.an=4n2，n∈N+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得-=，n∈N+，n≥2， ∴{==， 公差为的等差数列. ∴=n，∴Sn=2n2， ∴an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，n∈N+，n≥2， a1=2也适合上式.∴an=4n-2，n∈N+. 13.已知数列{an}的首项a1=a，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=4n2(n≥2，n∈N+)，若对任意n∈N+，an<an+1恒成立，则a的取值范围是 A. B. C. D.(3，5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵Sn+Sn-1=4n2，Sn+1+Sn=4(n+1)2， ∴当n≥2时，Sn+1-Sn-1=8n+4， 即an+1+an=8n+4， 即an+2+an+1=8n+12， 故an+2-an=8(n≥2)， 由a1=a，Sn+Sn-1=4n2(n≥2，n∈N+)知a2+2a1=4×22=16， ∴a2=16-2a1=16-2a， a3+2S2=4×32=36， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴a3=36-2S2=36-2(16-a)=4+2a， a4=24-2a. 若对任意n∈N+，an<an+1恒成立， 只需使a1<a2<a3<a4， 即a<16-2a<4+2a<24-2a，解得3<a<5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若在数列{an}中，a1=3且an+1=(n是正整数)，则它的通项公式为 　　　　　.  由题意知an>0且an≠1， 将an+1=两边取对数得lg an+1=2lg an且lg an≠0，即=2， 所以数列{lg an}是以lg a1=lg 3为首项，2为公比的等比数列，所以lg an =(lg 3)·2n-1=lg ， 即an=(n∈N+). an= 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=15，且满足=+1，已知n，m∈N+，n>m，则Sn-Sm的最小值为 A.- B.- C.-14 D.-28 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵=+1，且==-5， ∴数列是以-5为首项，1为公差的等差数列， 则=-5+(n-1)=n-6， 即an=(2n-5)(n-6)， 令an≤0，得≤n≤6， 又∵n∈N+，∴n=3，4，5，6， 则Sn-Sm=am+1+am+2+…+an的最小值为a3+a4+a5+a6=-3-6-5-0=-14. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2=4an+1-3an(n∈N+). (1)求a3，a4的值； a3=4a2-3a1=13，a4=4a3-3a2=40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：数列{an+1-an}是等比数列； ∵an+2=4an+1-3an， ∴an+2-an+1=3(an+1-an). 又a1=1，a2=4，∴an+1-an≠0， ∴=3， 则{an+1-an}是以a2-a1=3为首项，3为公比的等比数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)求数列{an}的通项公式. 由(2)得an+1-an=3n， 则当n≥2时，an-an-1=3n-1， 故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =3n-1+3n-2+…+3+1==(n≥2). 又a1=1适合上式，故an=，n∈N+. 第一章 <<< $$ 习题课　求数列的通项公式 [学习目标]　1.了解求数列通项公式的常见方法.2.掌握利用递推公式求通项公式的方法.3.掌握利用前n项和Sn与an的关系求通项公式的方法. 导语 斐波那契，意大利著名数学家.保存至今的斐波那契著作有5部，其中影响最大的是1202年在意大利出版的《算盘全书》.《算盘全书》中有一个著名的兔子繁殖问题：如果一对兔子每月繁殖一对子兔(一雌一雄)，而每一对子兔在出生后第三个月里又能生一对兔子.试问一对兔子50个月后会有多少对兔子？从第1个月开始，以后每个月的兔子总对数是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…，这就是著名的斐波那契数列.这个数列的规律是递推关系：Fn=Fn-1+Fn-2(n>2)，其中Fn表示第n个月的兔子的总对数，那么什么是递推关系呢？ 一、利用递推公式求通项公式 角度1　累加、累乘法 例1　(1)数列{an}满足a1=1，对任意的n∈N+都有an+1=a1+an+n，求通项公式； (2)已知数列{an}满足a1=，an+1=an，求an. 解　(1)∵an+1=an+n+1， ∴an+1-an=n+1， 即a2-a1=2，a3-a2=3，…，an-an-1=n(n≥2)， 等式两边同时相加得an-a1=2+3+4+…+n， 即an=a1+2+3+4+…+n=1+2+3+4+…+n=(n≥2). 当n=1时，也满足上式， ∴通项公式为an=，n∈N+. (2)由条件知=，分别令n=1，2，3，…，n-1， 代入上式得(n-1)个等式累乘， 即···…·=×××…×(n≥2)， ∴=(n≥2)， 又∵a1=，∴an=(n≥2). 又当n=1时，a1=满足上式，∴an=，n∈N+. 反思感悟　累加、累乘法的应用原型 (1)累加法：形如an+1-an=f(n)型. (2)累乘法：形如=f(n)型. 跟踪训练1　(1)在数列{an}中，a1=3，an+1=an+，则通项公式an=　　　　.  答案　4- 解析　原递推公式可化为an+1-an=-， 则a2-a1=-，a3-a2=-， a4-a3=-，…，an-1-an-2=-， an-an-1=-， 逐项相加得an-a1=1-， 故an=4-，经验证a1，a2也符合. (2)已知数列{an}满足a1=1，ln an-ln an-1=1(n≥2)，求an. 解　因为ln an-ln an-1=1， 所以ln =1， 即=e(n≥2). 所以an=··…··a1 =·1=en-1(n≥2)， 又a1=1也符合上式，所以an=en-1，n∈N+. 角度2　构造法 例2　(1)在数列{an}中，若a1=1，an+1=2an+3，则通项公式an=　　　　.  答案　2n+1-3 解析　设递推公式an+1=2an+3可以转化为an+1+t=2(an+t)，即an+1=2an+t，解得t=3. 故an+1+3=2(an+3). 令bn=an+3，则b1=a1+3=4， 且==2. ∴数列{bn}是以4为首项，2为公比的等比数列. ∴bn=4·2n-1=2n+1，∴an=2n+1-3. (2)已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+2n+1，求数列{an}的通项公式. 解　将等式an+1=2an+2n+1两边同除以2n+1得， =+1，即-=1，又=1， 所以数列是首项、公差都为1的等差数列， 所以=n，所以an=n·2n. 反思感悟　构造法的常见类型 (1)当出现an=an-1+m(n≥2)时，构造等差数列. (2)当出现an=xan-1+y(n≥2)或an+1=pan+qn时，构造等比数列. 跟踪训练2　(1)已知数列{an}满足：a1=1，an+1=(n∈N+)，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an= B.an= C.an= D.an= 答案　A 解析　∵an+1=(n∈N+)， ∴==+. ∵a1=1， ∴数列是以1为首项，为公差的等差数列， ∴=1+(n-1)=，∴an=. (2)已知数列{an}的首项为a1=1，且满足an+1=an+，n∈N+，则此数列的通项公式an等于(　　) A.2n B.n(n+1) C. D. 答案　C 解析　∵an+1=an+，∴2n+1an+1=2nan+2， 即2n+1an+1-2nan=2，又21a1=2， ∴数列{2nan}是以2为首项，2为公差的等差数列， ∴2nan=2+(n-1)×2=2n，∴an=. 二、利用前n项和Sn与an的关系求通项公式 例3　数列{an}的前n项和为Sn，已知an=5Sn-3(n∈N+)，求an的通项公式. 解　当n=1时，a1=5S1-3=5a1-3，得a1=， 当n≥2时，由an=5Sn-3， 得an-1=5Sn-1-3， 两式作差得an-an-1=5(Sn-Sn-1)=5an， ∴an=-an-1， ∴数列{an}是首项为a1=，公比为q=-的等比数列， ∴an=a1·qn-1=×. 反思感悟　若已知条件中给出的是Sn与an的关系式，一般要利用先求出a1，若计算出的an中a1适合时可合并为一个关系式，若不适合则要分段，若能判断数列是等差数列或等比数列，则直接用相应公式求解. 跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和Sn=2an+1，求证：{an}是等比数列，并求出通项公式. 解　∵Sn=2an+1，∴Sn+1=2an+1+1. ∴an+1=Sn+1-Sn=(2an+1+1)-(2an+1) =2an+1-2an， ∴an+1=2an. 又∵S1=2a1+1=a1，∴a1=-1≠0， 又由an+1=2an知an≠0，∴=2， ∴{an}是首项为-1，公比为2的等比数列. ∴an=-1×2n-1=-2n-1. 1.知识清单： (1)利用递推公式求通项公式. (2)利用Sn与an的关系求通项公式. 2.方法归纳：观察归纳法、累加、累乘法、构造法、分类讨论思想. 3.常见误区：利用递推公式或Sn与an的关系求通项公式时，要注意n的取值范围，忽略n=1的情况. 1.已知数列{an}的前n项和Sn=n2-2n，则a2+a18等于(　　) A.36 B.35 C.34 D.33 答案　C 解析　当n=1时，a1=S1=-1， 当n≥2时， an=Sn-Sn-1=n2-2n-[(n-1)2-2(n-1)] =2n-3， 当n=1时，a1=-1符合上式， 所以an=2n-3，则a2=1，a18=33， 故a2+a18=34. 2.数列{an}满足an+1=λan-1(n∈N+，λ∈R且λ≠0)，若数列{an-1}是等比数列，则λ的值为(　　) A.1 B.-1 C. D.2 答案　D 解析　由an+1=λan-1， 得an+1-1=λan-2=λ. ∵数列{an-1}是等比数列， ∴=1，即λ=2. 3.若数列{an}满足关系an+1=1+，a8=，则a5=　　　.  答案　 解析　由题意得，a8=1+=，则a7=； a7=1+=，则a6=；a6=1+=，则a5=. 4.已知数列{an}满足a1=1，an-an+1=nanan+1(n∈N+)，则an=　　　　.  答案　 解析　由an-an+1=nanan+1，得-=n， 则由累加法得-=1+2+…+(n-1)=(n≥2)， 又因为a1=1，所以=+1=， 当n=1时满足上式， 所以an=(n∈N+). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共45分；多选题每小题6分，共6分 1.在数列{an}中，a1=3，an+1-2an=0，数列{bn}的通项满足关系式anbn=(-1)n(n∈N+)，则bn等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　易知{an}是首项为3，公比为2的等比数列， ∴an=3·2n-1，∴bn==. 2.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是(　　) A.an+1=an+n，n∈N+ B.an=an-1+n，n∈N+，n≥2 C.an+1=an+(n+1)，n∈N+，n≥2 D.an=an-1+，n∈N+，n≥2 答案　B 解析　结合图形易知，a1=1，a2=3=a1+2，a3=6=a2+3，a4=10=a3+4， ∴an=an-1+n，n∈N+，n≥2. 3.已知数列{an}满足a1=2，an+1-an+1=0(n∈N+)，则此数列的通项公式an等于(　　) A.n2+1 B.n+1 C.1-n D.3-n 答案　D 解析　∵an+1-an=-1， ∴当n≥2时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) =2+ =2+(-1)×(n-1)=3-n. 当n=1时，a1=2也符合上式. 故此数列的通项公式an=3-n(n∈N+). 4.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn=2n+1-1，则下列说法正确的是(　　) A.a1=3 B.an=2n(n≥2) C.an=2n D.an=2n(n≥2) 答案　AD 解析　Sn=2n+1-1，当n=1时，a1=S1=21+1-1=3；当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n+1-1)-(2n-1)=2n.当n=1时，不符合上式，故an= 5.已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn=2an-3n，则a2 024等于(　　) A.22 024-1 B.-22 024-1 C.- D.- 答案　A 解析　由题意可得，3Sn=2an-3n， 3Sn+1=2an+1-3(n+1)， 两式作差可得3an+1=2an+1-2an-3， 即an+1=-2an-3，an+1+1=-2(an+1)， 结合3S1=2a1-3=3a1， 可得a1=-3，a1+1=-2， 则数列{an+1}是首项为-2，公比为-2的等比数列， 故a2 024+1=(-2)×(-2)2 023=22 024， 所以a2 024=22 024-1. 6.定义：在数列{an}中，若满足-=d(n∈N+，d为常数)，则称{an}为“等差比数列”.已知在“等差比数列”{an}中，a1=a2=1，a3=3，则等于(　　) A.4×2 0222-1 B.4×2 0222 C.4×2 0212-1 D.4×2 0212 答案　A 解析　由已知可得，当n=1时，有-=2，所以d=2. 所以是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以=+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1， 所以=2×2 022-1， 则有a2 023=(2×2 022-1)a2 022， =2×2 023-1=4 045=2×2 022+1， 则有a2 024=(2×2 022+1)a2 023， 所以a2 024=(2×2 022+1)×(2×2 022-1)a2 022 =[(2×2 022)2-1]a2 022=(4×2 0222-1)a2 022. 所以=4×2 0222-1. 7.(5分)若在数列{an}中，a1=1，an+1+an=2n，则an=　　　　.  答案　n∈N+ 解析　∵an+1+an=2n， ∴an+2+an+1=2n+2，故an+2-an=2. 即数列{an}的奇数项与偶数项都是公差为2的等差数列. 当n为偶数时，a2=1，故an=a2+2=n-1. 当n为奇数时，∵an+1+an=2n，an+1=n(n+1为偶数)，故an=n. 综上所述，an=n∈N+. 8.(5分)已知在数列{an}中，a1=，an+1=an+，则an=　　　　.  答案　- 解析　因为a1=，an+1=an+， 所以2n+1an+1=·2nan+1， 整理得2n+1an+1-3=，所以数列是以2a1-3=-为首项，为公比的等比数列.所以2nan-3=-×， 所以an=-. 9.(10分)已知在数列{an}中，a1=1，前n项和Sn=an. (1)求a2，a3；(4分) (2)求数列{an}的通项公式.(6分) 解　(1)由S2=a2， 得3(a1+a2)=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3，得3(a1+a2+a3)=5a3， 解得a3=(a1+a2)=6. (2)由题设知a1=1. 当n>1时， an=Sn-Sn-1=an-an-1， 整理得an=an-1. 则a1=1，a2=a1，a3=a2，…， an-1=an-2，an=an-1， 将以上n个等式两端分别相乘， 整理得an=，n≥2， 又a1=1=，也满足上式. 综上，数列{an}的通项公式an=. 10.(12分)已知Sn=4-an-，求an与Sn. 解　∵Sn=4-an-， ∴当n≥2时，Sn-1=4-an-1-， ∴Sn-Sn-1=an=an-1-an+-(n≥2). ∴an=an-1+(n≥2). ∴-=2(n≥2)， ∴2nan-2n-1an-1=2(n≥2)， ∴{2nan}是等差数列，d=2，首项为2a1. ∵a1=S1=4-a1-=2-a1， ∴a1=1，∴2nan=2+2(n-1)=2n. ∴an=(n∈N+)， ∴Sn=4-an-=4-- =4-. 11.若正项数列{an}满足a1=2，-3an+1an-4=0，则数列{an}的通项公式an等于(　　) A.22n-1 B.2n C.22n+1 D.22n-3 答案　A 解析　由-3an+1an-4=0， 得(an+1-4an)(an+1+an)=0. 又{an}是正项数列， 所以an+1-4an=0，即=4. 所以数列{an}是以2为首项，4为公比的等比数列. 所以an=2×4n-1=22n-1. 12.若数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，且对于任意大于1的整数n，点(，)在直线x-y-=0上，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=4n-2，n∈N+ B.an=4n+2，n∈N+ C.an=4n，n∈N+ D.an=4n2，n∈N+ 答案　A 解析　由题意得-=，n∈N+，n≥2， ∴{}是首项为==， 公差为的等差数列. ∴=n，∴Sn=2n2， ∴an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，n∈N+，n≥2， a1=2也适合上式.∴an=4n-2，n∈N+. 13.已知数列{an}的首项a1=a，其前n项和为Sn，且满足Sn+Sn-1=4n2(n≥2，n∈N+)，若对任意n∈N+，an<an+1恒成立，则a的取值范围是(　　) A. B. C. D.(3，5) 答案　D 解析　∵Sn+Sn-1=4n2，Sn+1+Sn=4(n+1)2， ∴当n≥2时，Sn+1-Sn-1=8n+4， 即an+1+an=8n+4， 即an+2+an+1=8n+12， 故an+2-an=8(n≥2)， 由a1=a，Sn+Sn-1=4n2(n≥2，n∈N+)知a2+2a1=4×22=16， ∴a2=16-2a1=16-2a， a3+2S2=4×32=36， ∴a3=36-2S2=36-2(16-a)=4+2a， a4=24-2a. 若对任意n∈N+，an<an+1恒成立， 只需使a1<a2<a3<a4， 即a<16-2a<4+2a<24-2a，解得3<a<5. 14.(5分)若在数列{an}中，a1=3且an+1=(n是正整数)，则它的通项公式为　　　　　　　　.  答案　an= 解析　由题意知an>0且an≠1， 将an+1=两边取对数得lg an+1=2lg an且lg an≠0，即=2， 所以数列{lg an}是以lg a1=lg 3为首项，2为公比的等比数列，所以lg an=(lg 3)·2n-1=lg ， 即an=(n∈N+). 15.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=15，且满足=+1，已知n，m∈N+，n>m，则Sn-Sm的最小值为(　　) A.- B.- C.-14 D.-28 答案　C 解析　∵=+1，且==-5， ∴数列是以-5为首项，1为公差的等差数列， 则=-5+(n-1)=n-6， 即an=(2n-5)(n-6)， 令an≤0，得≤n≤6， 又∵n∈N+，∴n=3，4，5，6， 则Sn-Sm=am+1+am+2+…+an的最小值为a3+a4+a5+a6=-3-6-5-0=-14. 16.(12分)已知数列{an}满足a1=1，a2=4，an+2=4an+1-3an(n∈N+). (1)求a3，a4的值；(4分) (2)证明：数列{an+1-an}是等比数列；(4分) (3)求数列{an}的通项公式.(4分) (1)解　a3=4a2-3a1=13，a4=4a3-3a2=40. (2)证明　∵an+2=4an+1-3an， ∴an+2-an+1=3(an+1-an). 又a1=1，a2=4，∴an+1-an≠0， ∴=3， 则{an+1-an}是以a2-a1=3为首项，3为公比的等比数列. (3)解　由(2)得an+1-an=3n， 则当n≥2时，an-an-1=3n-1， 故an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+… +(a2-a1)+a1 =3n-1+3n-2+…+3+1==(n≥2). 又a1=1适合上式，故an=，n∈N+. 学科网（北京）股份有限公司 $$