第1章 习题课 等差数列与等比数列-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

习题课　等差数列与等比数列 [学习目标]　1.熟练掌握等差数列、等比数列的概念及相关公式.2.会求含绝对值的等差数列的前n项和.3.掌握等差数列、等比数列的综合问题. 一、等差与等比数列的基本量的运算 例1　已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，且T3=14，a2+b2，a1+b1，a5+b3成等差数列，求Tn. 解　(1)当n=1时，a1=S1=12+2=3； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1， a1=3满足an=2n+1， 故数列{an}的通项公式为an=2n+1. (2)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 因为a2+b2，a1+b1，a5+b3成等差数列， 所以2(a1+b1)=a2+b2+a5+b3， 即2(3+b1)=5+b1q+11+b1q2. 因为T3=14，所以b1+b1q+b1q2=14. 联立 解得或(舍去). 所以Tn==16-. 反思感悟　在等差、等比数列的通项公式与前n项和的公式中都含有五个基本量，可知三求二，在解决问题时需要掌握好基本的公式与性质. 跟踪训练1　已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b3=a5. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和Sn>b5时n的最小值. 解　(1)设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 因为a1=b1=1，a2+a4=10，b3=a5， 则1+d+1+3d=10，q2=1+4d， 所以d=2，q=3(q=-3舍去)， 所以an=1+(n-1)×2=2n-1， bn=1×3n-1=3n-1. (2)由(1)知，an=2n-1， 则Sn==n2，又b5=34=81， 所以Sn>b5，即n2>81， 所以n的最小值为10. 二、含绝对值的等差数列的前n项和 例2　数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； (2)设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n. ∵a1=S1=100×1-12=99，满足上式， ∴an=101-2n(n∈N+). 又an+1-an=-2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为-2的等差数列. (2)令an=101-2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N+，∴n≤50(n∈N+). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn=|an|=an， ∴数列{bn}的前n项和Tn=100n-n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn=|an|=-an， 由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an) =-(Sn-S50)=S50-Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2 500-(100n-n2)=5 000-100n+n2. 由①②得数列{bn}的前n项和为 Tn=n∈N+. 延伸探究　本例中若an=2n-101，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn=-an，数列{bn}的前n项和Tn=-n2+100n， 当n≥51时，an>0，b51+b52+…+bn=a51+a52+…+an. 数列{bn}的前n项和Tn=-S50+Sn-S50=n2-100n+5 000， 综上，Tn=n∈N+. 反思感悟　已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”. 跟踪训练2　在等差数列{an}中，a10=23，a25=-22. (1)数列{an}前多少项和最大？ (2)求{|an|}的前n项和Sn. 解　(1)由 得 ∴an=a1+(n-1)d=-3n+53. 令an>0，得n<，∴当n≤17时，an>0； 当n≥18时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大. (2)当n≤17，n∈N+时， |a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an =na1+d=-n2+n. 当n≥18，n∈N+时，|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an =2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an) =2- =n2-n+884. ∴Sn= 三、等差、等比数列的公共项问题 例3　已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=1，b3=8，an=log2bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50. 解　(1)因为等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=1，b3=8，an=log2bn， 所以a3=log2b3=log28=3， 所以等差数列{an}的公差d===1， 所以an=n，n=log2bn，所以an=n，bn=2n. (2)由(1)知bn=2n=， 即bn是数列{an}中的第2n项. 设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn， 因为b6=26=a64，b5=25=a32， 所以数列{cn}的前50项是由数列{an}的前55项去掉数列{bn}的前5项后构成的， 所以S50=P55-Q5=- =1 478. 反思感悟　关于等差、等比数列中的公共项问题，应注意在题设条件下，寻求等差、等比数列中的公共项，寻求它们之间的内在联系，寻求它们之间的相互转化. 跟踪训练3　已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式； (2)对任意m∈N+，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 解　(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn， 由T5=105，a10=2a5， 得 解得 因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N+). (2)对m∈N+，若an=7n≤72m，则n≤72m-1. 因此bm=72m-1. 所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列， 故Sm====. 四、数列中函数与方程思想的应用 例4　已知a1=2，点(an，an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…. (1)求证数列{lg(1+an)}是等比数列； (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列{an}的通项公式； (3)记bn=+，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn+=1. (1)证明　由已知得an+1=+2an， ∴an+1+1=(an+1)2. ∵a1=2，∴an+1>1， 两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an)， 即=2. ∴数列{lg(1+an)}是公比为2的等比数列. (2)解　由(1)知lg(1+an)=lg(1+a1)·2n-1 =lg 3·2n-1=lg ， ∴1+an=.(*) ∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=···…·==. 由(*)式得an=-1. (3)解　∵an+1=+2an， ∴an+1=an(an+2)， ∴=， ∴=-. 又∵bn=+， ∴bn=2， ∴Sn=b1+b2+…+bn =2 =2. ∵an=-1，∴an+1=-1， 又∵a1=2，∴Sn=1-. 又∵Tn=， ∴Sn+=1-+=1. 反思感悟　由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件. 跟踪训练4　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N+，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当b=2时，记bn=(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn. 解　(1)由题意得Sn=bn+r， 当n=1时，a1=S1=b+r， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r) =bn-bn-1=(b-1)bn-1， 又因为{an}为等比数列，所以r=-1，公比为b， 所以an=(b-1)bn-1. (2)当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n-1， bn==， 则Tn=+++…+， Tn=+++…++， 两式相减，得Tn=++++…+ - =+-=--， 所以Tn=--=-. 1.知识清单： (1)等差与等比数列的基本量的运算. (2)求含绝对值的等差数列的前n项和. (3)等差、等比数列的公共项问题. (4)数列中函数与方程思想的应用. 2.方法归纳：函数与方程思想、分类讨论法. 3.常见误区：等差数列、等比数列的公式记混致误. 1.已知等比数列{an}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则a3+a4+a5等于(　　) A.33 B.84 C.72 D.189 答案　B 解析　由4a1，2a2，a3成等差数列得，4a1+a3=4a2，即12+3q2=4×3q，解得q=2， ∴a3+a4+a5=a1q2+a1q3+a1q4=3×(22+23+24)=84. 2.已知等差数列{an}中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T21等于(　　) A.245 B.263 C.281 D.290 答案　C 解析　等差数列{an}中，由a1=9，a4=3， 得公差d==-2， 则an=a1+(n-1)d=-2n+11， 显然当n≤5时，an>0，当n≥6时，an<0， 所以T21=|a1|+|a2|+…+|a21|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+a21) =2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+a21)=2×-=281. 3.已知两个等差数列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为(　　) A.1 678 B.1 666 C.1 472 D.1 460 答案　B 解析　第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差是4和6的最小公倍数12， 则新数列的公差为12，首项为2， 其通项公式为2+(n-1)×12=12n-10， 令12n-10≤200，得n≤17.5，故n=17， 则S17=×17=×17=1 666. 4.已知等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4=　　　　.  答案　12 解析　∵数列{an}是公差为3的等差数列， ∴a2=a4-6，a8=a4+12. ∵a2，a4，a8成等比数列， ∴=(a4-6)(a4+12)，解得a4=12. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共25分；多选题每小题6分，共18分 1.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2等于(　　) A.-10 B.-6 C.4 D.-4 答案　C 解析　∵数列{an}是公差为2的等差数列， ∴a1=a2-2，a4=a2+4. ∵a1，a2，a4成等比数列，∴=a1a4， 即=(a2-2)(a2+4)，解得a2=4. 2.(多选)3个实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，则这3个数为(　　) A.2，2，2 B.-4，2，8 C.1，2，3 D.-2，4，-8 答案　AB 解析　如果这三个数相等，显然2，2，2，符合题意； 如果不相等，可设这3个数分别为a-d，a，a+d. ∵a-d+a+a+d=6， ∴a=2，即3个数分别为2-d，2，2+d. ①若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d)， 解得d=6，此时3个数为-4，2，8. ②若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d)， 解得d=-6，此时3个数为8，2，-4. ③若2为等比中项，则有22=(2+d)(2-d)，解得d=0(舍去). 3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-5n+2，则数列{|an|}的前10项和为(　　) A.56 B.58 C.62 D.60 答案　D 解析　当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-6； 当n=1时，a1=S1=-2，不满足上式， 故an= ∴当n≥4时，an>0；当n≤3时，an≤0， ∴数列{|an|}的前10项和S=S10-2S3=(100-50+2)-2×(9-15+2)=60. 4.设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于(　　) A.2 B.-2 C. D.- 答案　D 解析　因为{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，所以Sn=na1+n(n-1)(-1)， 由S1，S2，S4成等比数列可知=S1S4， 代入可得(2a1-1)2=a1(4a1-6)， 解得a1=-. 5.(多选)在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和.则数列{an}的(　　) A.首项为4，公差为0 B.首项为1，公差为3 C.通项公式an=2n-1 D.前n项和Sn=4n 答案　ABD 解析　设该数列的公差为d，前n项和为Sn. 由已知可得2a1+2d=8， (a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d)， 所以a1+d=4，d(d-3a1)=0， 解得a1=4，d=0或a1=1，d=3， 即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3，所以通项公式an=4或an=3n-2. 所以数列的前n项和Sn=4n或Sn=. 6.将数列{3n-1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20等于(　　) A.237 B.238 C.239 D.240 答案　C 解析　数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…， 经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n-1}中的项， 即2，8，32，128，…可以写成3n-1的形式，归纳可得an=22n-1，所以a20=22×20-1=239. 7.(5分)已知等差数列{an}的公差为1，且a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前20项和为　　　　.  答案　180 解析　由等差数列{an}的公差为1，且a3是a2和a6的等比中项， 可得(a1+1)(a1+5)=(a1+2)2，解得a1=-. 故数列{an}的前20项和S20=20×+×1=180. 8.(5分)已知数列{an}的通项为an=-2n-1，则数列{|an|}的前n项和为　　　　.  答案　n2+2n 解析　由题意可知数列{an}的各项均为负值，设数列{|an|}的前n项和为Sn，则有Sn=-a1-a2-…-an=3+5+7+…+(2n+1)==n2+2n. 9.(10分)等差数列{an}的前n项和Sn=4n2-25n.求数列{|an|}的前n项和Tn. 解　当n=1时，a1=S1=4-25=-21； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(4n2-25n)-[4(n-1)2-25(n-1)]=8n-29. 当n=1时，a1=-21=8×1-29也符合8n-29的形式， 所以数列{an}的通项公式为an=8n-29. 令an=8n-29≥0，又n∈N+，解得n≥4. 当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=25n-4n2； 当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+an =-S3+Sn-S3=4n2-25n+78， 所以Tn= 10.(10分)数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式；(4分) (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn.(6分) 解　(1)由an+1=2Sn+1，可得an=2Sn-1+1(n≥2)， 两式相减，得an+1-an=2an，an+1=3an(n≥2). 又∵a2=2S1+1=3，∴a2=3a1. 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an=3n-1. (2)设{bn}的公差为d， 由T3=15，得b1+b2+b3=15，可得b2=5， 故可设b1=5-d，b3=5+d. 又a1=1，a2=3，a3=9， 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2. 解得d=2或d=-10. ∵等差数列{bn}的各项为正， ∴d>0， ∴d=2， ∴Tn=3n+×2=n2+2n. 11.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2+a3=8，现将数列{an}与数列{Sn-1}的公共项从小到大排列得到新数列{bn}，则下列说法正确的是(　　) A.an=2n-1 B.Sn=n2-1 C.b10=399 D.数列{bn}是等差数列 答案　AC 解析　设等差数列{an}的公差为d，a1=1，由a2+a3=2a1+3d=8，解得d=2， 故an=1+2(n-1)=2n-1，Sn==n2，故A项正确，B项错误； 将数列{an}列举出来为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，…， 数列{Sn-1}列举出来为0，3，8，15，24，35，…， 故公共项依次有3，15，35，…，即1×3，3×5，5×7，…(2n-1)(2n+1)，…， 故bn=(2n-1)(2n+1)=4n2-1，则b10=4×100-1=399，C项正确，D项错误. 12.已知函数f(x)=(x≥1)，若数列{an}的通项公式an=f(n)(n∈N+).则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案　B 解析　f(x)==-2+. 方法一　∵an=-2+(n∈N+)， an+1=-2+， ∴an+1-an=-= =<0. ∴an+1<an.∴数列{an}是递减数列. 方法二　设x1>x2≥1， 则f(x1)-f(x2)=- =-=， ∵x1>x2≥1，∴x1+1>0，x2+1>0，x2-x1<0， ∴f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[1，+∞)上单调递减， ∴数列{an}为递减数列. 方法三　an=f(n)=(n≥1). ∵n≥1，∴an<0， 又== = =1+. ∵n≥1，∴2n2+3n-2>0，故>1， ∴an+1<an，故数列{an}为递减数列. 13.(5分)在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=　　　　，|a1|+|a2|+…+|an|=　　　　.  答案　-2　2n-1- 解析　设等比数列{an}的公比为q，则a4=a1q3， 即-4=q3，解得q=-2. 等比数列{|an|}的公比为|q|=2， 则|an|=×2n-1， 所以|a1|+|a2|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-. 14.(5分)在数列{an}中，an=则其前n项和Sn=　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　 解析　当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项， 则Sn=[1+5+9+13+…+(2n-3)]+(32+34+36+…+3n) =+ =+(3n-1)； 当n为奇数时，则n-1为偶数， ∴Sn=Sn-1+an=+(3n-1-1)+2n-1=+(3n-1-1). 综上可知， Sn= 15.(5分)在数列{an}中，an=，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别为　　　　.  答案　45，44 解析　an==1+， 设f(x)=1+， 则f(x)在区间(-∞，)和(，+∞)上单调递减. 因为44<<45， 故数列{an}在0<n≤44，n∈N+上单调递减，在n≥45，n∈N+上单调递减，借助f(x)=1+的图象(图略)知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44. 所以最大项与最小项的项数分别为45，44. 16.(12分)设等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-(3+bn)n+bn=0(n∈N+). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(5分) (2)对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100.(7分) 解　(1)由题意，可得6a3=8a1+a5， 所以6q2=8+q4， 解得q2=4或q2=2， 又q为正整数，所以q=2， 又a1=2，所以an=2n. 由2n2-(3+bn)n+bn=0，得bn=2n. (2)因为b1=2，所以a1与a2之间插入2个2， b2=4，所以a2与a3之间插入4个2， b3=6，所以a3与a4之间插入6个2， … 则{cn}的前100项，由90个2及a1，a2，a3，…，a9，a10构成，所以T100=(a1+a2+…+a10)+2×90 =+180=2 226. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列与等比数列 习题课 第一章 <<< 1.熟练掌握等差数列、等比数列的概念及相关公式. 2.会求含绝对值的等差数列的前n项和. 3.掌握等差数列、等比数列的综合问题. 学习目标 一、等差与等比数列的基本量的运算 二、含绝对值的等差数列的前n项和 课时对点练 三、等差、等比数列的公共项问题 随堂演练 内容索引 四、数列中函数与方程思想的应用 等差与等比数列的基本量的运算 一 　　　已知数列{an}的前n项和Sn=n2+2n. (1)求数列{an}的通项公式； 例 1 当n=1时，a1=S1=12+2=3； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+2n-[(n-1)2+2(n-1)]=2n+1， a1=3满足an=2n+1， 故数列{an}的通项公式为an=2n+1. 5 (2)设各项均为正数的等比数列{bn}的前n项和为Tn，且T3=14，a2+b2，a1+ b1，a5+b3成等差数列，求Tn. 6 设等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 因为a2+b2，a1+b1，a5+b3成等差数列， 所以2(a1+b1)=a2+b2+a5+b3， 即2(3+b1)=5+b1q+11+b1q2. 因为T3=14，所以b1+b1q+b1q2=14. 联立 7 解得(舍去). 所以Tn==16-. 8 在等差、等比数列的通项公式与前n项和的公式中都含有五个基本量，可知三求二，在解决问题时需要掌握好基本的公式与性质. 反 思 感 悟 9 　　　　　已知等差数列{an}和正项等比数列{bn}满足a1=b1=1，a2+a4= 10，b3=a5. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 跟踪训练 1 10 设等差数列{an}的公差为d，正项等比数列{bn}的公比为q(q>0)， 因为a1=b1=1，a2+a4=10，b3=a5， 则1+d+1+3d=10，q2=1+4d， 所以d=2，q=3(q=-3舍去)， 所以an=1+(n-1)×2=2n-1， bn=1×3n-1=3n-1. 11 (2)求数列{an}的前n项和Sn>b5时n的最小值. 由(1)知，an=2n-1， 则Sn==n2，又b5=34=81， 所以Sn>b5，即n2>81， 所以n的最小值为10. 12 二 含绝对值的等差数列的前n项和 　　　数列{an}的前n项和Sn=100n-n2(n∈N+). (1)判断{an}是不是等差数列，若是，求其首项、公差； 例 2 当n≥2时，an=Sn-Sn-1 =(100n-n2)-[100(n-1)-(n-1)2]=101-2n. ∵a1=S1=100×1-12=99，满足上式， ∴an=101-2n(n∈N+). 又an+1-an=-2为常数， ∴数列{an}是首项为99，公差为-2的等差数列. 14 (2)设bn=|an|，求数列{bn}的前n项和Tn. 15 令an=101-2n≥0，得n≤50.5， ∵n∈N+，∴n≤50(n∈N+). ①当1≤n≤50时，an>0，此时bn=|an|=an， ∴数列{bn}的前n项和Tn=100n-n2. ②当n≥51时，an<0，此时bn=|an|=-an， 由b51+b52+…+bn=-(a51+a52+…+an) =-(Sn-S50)=S50-Sn， 得数列{bn}的前n项和Tn=S50+(S50-Sn)=2S50-Sn=2×2 500-(100n-n2)=5 000 -100n+n2. 16 由①②得数列{bn}的前n项和为 Tn=n∈N+. 17 　　　　　本例中若an=2n-101，求数列{bn}的前n项和Tn. 由本例可知，当1≤n≤50时，an<0，此时bn=-an，数列{bn}的前n项和Tn=-n2+100n， 当n≥51时，an>0，b51+b52+…+bn=a51+a52+…+an. 数列{bn}的前n项和Tn=-S50+Sn-S50=n2-100n+5 000， 综上，Tn=n∈N+. 延伸探究 18 已知等差数列{an}，求绝对值数列{|an|}的有关问题是一种常见的题型，解决此类问题的核心便是去掉绝对值，此时应从其通项公式入手，分析哪些项是正的，哪些项是负的，即找出正、负项的“分界点”. 反 思 感 悟 19 　　　　　在等差数列{an}中，a10=23，a25=-22. (1)数列{an}前多少项和最大？ 跟踪训练 2 20 由 得 ∴an=a1+(n-1)d=-3n+53. 令an>0，得n<，∴当n≤17时，an>0； 当n≥18时，an<0， ∴数列{an}的前17项和最大. 21 (2)求{|an|}的前n项和Sn. 22 当n≤17，n∈N+时， |a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an =na1+d=-n2+n. 当n≥18，n∈N+时，|a1|+|a2|+…+|an| =a1+a2+…+a17-a18-a19-…-an =2(a1+a2+…+a17)-(a1+a2+…+an) =2-=n2-n+884. ∴Sn= 23 等差、等比数列的公共项问题 三 　　　已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=1，b3=8，an=log2bn. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 例 3 因为等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=1，b3=8，an=log2bn， 所以a3=log2b3=log28=3， 所以等差数列{an}的公差d===1， 所以an=n，n=log2bn，所以an=n，bn=2n. 25 (2)设数列{an}中不在数列{bn}中的项按从小到大的顺序构成数列{cn}，记数列{cn}的前n项和为Sn，求S50. 由(1)知bn=2n=， 即bn是数列{an}中的第2n项. 设数列{an}的前n项和为Pn，数列{bn}的前n项和为Qn， 因为b6=26=a64，b5=25=a32， 所以数列{cn}的前50项是由数列{an}的前55项去掉数列{bn}的前5项后构成的， 所以S50=P55-Q5=-=1 478. 26 反 思 感 悟 关于等差、等比数列中的公共项问题，应注意在题设条件下，寻求等差、等比数列中的公共项，寻求它们之间的内在联系，寻求它们之间的相互转化. 　　　　　已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10=2a5. (1)求数列{an}的通项公式； 跟踪训练 3 设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn， 由T5=105，a10=2a5， 得 解得 因此an=a1+(n-1)d=7+7(n-1)=7n(n∈N+). 28 (2)对任意m∈N+，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm.求数列{bm}的前m项和Sm. 对m∈N+，若an=7n≤72m，则n≤72m-1. 因此bm=72m-1. 所以数列{bm}是首项为7，公比为49的等比数列， 故Sm====. 29 数列中函数与方程思想的应用 四 　　　已知a1=2，点(an，an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中n=1，2，3，…. (1)求证数列{lg(1+an)}是等比数列； 例 4 由已知得an+1=+2an， ∴an+1+1=(an+1)2. ∵a1=2，∴an+1>1， 两边取对数得lg(1+an+1)=2lg(1+an)， 即=2. ∴数列{lg(1+an)}是公比为2的等比数列. 31 (2)设Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)，求Tn及数列{an}的通项公式； 由(1)知lg(1+an)=lg(1+a1)·2n-1 =lg 3·2n-1=lg ， ∴1+an=.(*) ∴Tn=(1+a1)(1+a2)…(1+an)=···…·==. 由(*)式得an=-1. 32 (3)记bn=+，求数列{bn}的前n项和Sn，并说明Sn+=1. 33 ∵an+1=+2an， ∴an+1=an(an+2)， ∴=， ∴=-. 又∵bn=+， ∴bn=2， 34 ∴Sn=b1+b2+…+bn =2 =2. ∵an=-1，∴an+1=-1， 又∵a1=2，∴Sn=1-. 又∵Tn=， ∴Sn+=1-+=1. 35 反 思 感 悟 由于数列是特殊函数，因此可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集(或其子集)这一条件. 　　　　　等比数列{an}的前n项和为Sn，已知对于任意的n∈N+，点(n，Sn)均在函数y=bx+r(b>0且b≠1，b，r均为常数)的图象上. (1)求数列{an}的通项公式； 跟踪训练 4 由题意得Sn=bn+r， 当n=1时，a1=S1=b+r， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r) =bn-bn-1=(b-1)bn-1， 又因为{an}为等比数列，所以r=-1，公比为b， 所以an=(b-1)bn-1. 37 (2)当b=2时，记bn=(n∈N+)，求数列{bn}的前n项和Tn. 38 当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n-1， bn==， 则Tn=+++…+， Tn=+++…++， 两式相减，得Tn=++++…+- =+-=--， 所以Tn=--=-. 39 1.知识清单： (1)等差与等比数列的基本量的运算. (2)求含绝对值的等差数列的前n项和. (3)等差、等比数列的公共项问题. (4)数列中函数与方程思想的应用. 2.方法归纳：函数与方程思想、分类讨论法. 3.常见误区：等差数列、等比数列的公式记混致误. 课堂小结 随堂演练 五 1 2 3 4 1.已知等比数列{an}满足a1=3，且4a1，2a2，a3成等差数列，则a3+a4+a5等于 A.33 B.84 C.72 D.189 √ 由4a1，2a2，a3成等差数列得，4a1+a3=4a2，即12+3q2=4×3q，解得q=2， ∴a3+a4+a5=a1q2+a1q3+a1q4=3×(22+23+24)=84. 2.已知等差数列{an}中，a1=9，a4=3，设Tn=|a1|+|a2|+…+|an|，则T21等于 A.245 B.263 C.281 D.290 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 等差数列{an}中，由a1=9，a4=3， 得公差d==-2， 则an=a1+(n-1)d=-2n+11， 显然当n≤5时，an>0，当n≥6时，an<0， 所以T21=|a1|+|a2|+…+|a21|=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+a21) =2(a1+a2+…+a5)-(a1+a2+…+a21)=2×-=281. 3.已知两个等差数列2，6，10，…，202及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为 A.1 678 B.1 666 C.1 472 D.1 460 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6， 故新数列的公差是4和6的最小公倍数12， 则新数列的公差为12，首项为2， 其通项公式为2+(n-1)×12=12n-10， 令12n-10≤200，得n≤17.5，故n=17， 则S17=×17=×17=1 666. 4.已知等差数列{an}的公差为3，若a2，a4，a8成等比数列，则a4=　　.  1 2 3 4 12 ∵数列{an}是公差为3的等差数列， ∴a2=a4-6，a8=a4+12. ∵a2，a4，a8成等比数列， ∴=(a4-6)(a4+12)，解得a4=12. 课时对点练 六 1.已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a4成等比数列，则a2等于 A.-10 B.-6 C.4 D.-4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ ∵数列{an}是公差为2的等差数列， ∴a1=a2-2，a4=a2+4. ∵a1，a2，a4成等比数列，∴=a1a4， 即=(a2-2)(a2+4)，解得a2=4. 2.(多选)3个实数成等差数列，如果适当安排这3个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，则这3个数为 A.2，2，2 B.-4，2，8 C.1，2，3 D.-2，4，-8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 如果这三个数相等，显然2，2，2，符合题意； 如果不相等，可设这3个数分别为a-d，a，a+d. ∵a-d+a+a+d=6， ∴a=2，即3个数分别为2-d，2，2+d. ①若2-d为等比中项，则有(2-d)2=2(2+d)， 解得d=6，此时3个数为-4，2，8. ②若2+d是等比中项，则有(2+d)2=2(2-d)， 解得d=-6，此时3个数为8，2，-4. ③若2为等比中项，则有22=(2+d)(2-d)，解得d=0(舍去). 3.已知数列{an}的前n项和为Sn=n2-5n+2，则数列{|an|}的前10项和为 A.56 B.58 C.62 D.60 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n-6； 当n=1时，a1=S1=-2，不满足上式， 故an= ∴当n≥4时，an>0；当n≤3时，an≤0， ∴数列{|an|}的前10项和S=S10-2S3=(100-50+2)-2×(9-15+2)=60. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.设{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，Sn为其前n项和.若S1，S2，S4成等比数列，则a1等于 A.2 B.-2 C. D.- √ 因为{an}是首项为a1，公差为-1的等差数列，所以Sn=na1+n(n-1)(-1)， 由S1，S2，S4成等比数列可知=S1S4， 代入可得(2a1-1)2=a1(4a1-6)， 解得a1=-. 5.(多选)在等差数列{an}中，a1+a3=8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和.则数列{an}的 A.首项为4，公差为0 B.首项为1，公差为3 C.通项公式an=2n-1 D.前n项和Sn=4n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该数列的公差为d，前n项和为Sn. 由已知可得2a1+2d=8， (a1+3d)2=(a1+d)(a1+8d)， 所以a1+d=4，d(d-3a1)=0， 解得a1=4，d=0或a1=1，d=3， 即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3，所以通项公式an=4或an=3n-2. 所以数列的前n项和Sn=4n或Sn=. 6.将数列{3n-1}与{2n}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则a20等于 A.237 B.238 C.239 D.240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 数列{2n}中的项为2，4，8，16，32，64，128，256，…， 经检验，数列{2n}中的奇数项都是数列{3n-1}中的项， 即2，8，32，128，…可以写成3n-1的形式，归纳可得an=22n-1，所以a20=22×20-1=239. 7.已知等差数列{an}的公差为1，且a3是a2和a6的等比中项，则数列{an}的前20项和为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 180 由等差数列{an}的公差为1，且a3是a2和a6的等比中项， 可得(a1+1)(a1+5)=(a1+2)2，解得a1=-. 故数列{an}的前20项和S20=20×+×1=180. 8.已知数列{an}的通项为an=-2n-1，则数列{|an|}的前n项和为　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 n2+2n 由题意可知数列{an}的各项均为负值，设数列{|an|}的前n项和为Sn，则有Sn=-a1-a2-…-an=3+5+7+…+(2n+1)==n2+2n. 9.等差数列{an}的前n项和Sn=4n2-25n.求数列{|an|}的前n项和Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=1时，a1=S1=4-25=-21； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(4n2-25n)-[4(n-1)2-25(n-1)]=8n-29. 当n=1时，a1=-21=8×1-29也符合8n-29的形式， 所以数列{an}的通项公式为an=8n-29. 令an=8n-29≥0，又n∈N+，解得n≥4. 当n≤3时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=-(a1+a2+…+an)=-Sn=25n-4n2； 当n≥4时，Tn=|a1|+|a2|+…+|a6|+|a7|+…+|an|=-a1-a2-a3+a4+a5+…+an =-S3+Sn-S3=4n2-25n+78， 所以Tn= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.数列{an}的前n项和记为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1(n≥1). (1)求{an}的通项公式； 由an+1=2Sn+1，可得an=2Sn-1+1(n≥2)， 两式相减，得an+1-an=2an，an+1=3an(n≥2). 又∵a2=2S1+1=3，∴a2=3a1. 故{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an=3n-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3=15，又a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求Tn. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{bn}的公差为d， 由T3=15，得b1+b2+b3=15，可得b2=5， 故可设b1=5-d，b3=5+d. 又a1=1，a2=3，a3=9， 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2. 解得d=2或d=-10. ∵等差数列{bn}的各项为正， ∴d>0， ∴d=2， ∴Tn=3n+×2=n2+2n. 11.(多选)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=1，a2+a3=8，现将数列{an}与数列{Sn-1}的公共项从小到大排列得到新数列{bn}，则下列说法正确的是 A.an=2n-1 B.Sn=n2-1 C.b10=399 D.数列{bn}是等差数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d，a1=1，由a2+a3=2a1+3d=8，解得d=2， 故an=1+2(n-1)=2n-1，Sn==n2，故A项正确，B项错误； 将数列{an}列举出来为1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23，25，27，29，31，33，35，37，…， 数列{Sn-1}列举出来为0，3，8，15，24，35，…， 故公共项依次有3，15，35，…，即1×3，3×5，5×7，…(2n-1)(2n+1)，…， 故bn=(2n-1)(2n+1)=4n2-1，则b10=4×100-1=399，C项正确，D项错误. 12.已知函数f(x)=(x≥1)，若数列{an}的通项公式an=f(n)(n∈N+).则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f(x)==-2+. 方法一　∵an=-2+(n∈N+)， an+1=-2+， ∴an+1-an=-= =<0. ∴an+1<an.∴数列{an}是递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　设x1>x2≥1， 则f(x1)-f(x2)=- =-=， ∵x1>x2≥1，∴x1+1>0，x2+1>0，x2-x1<0， ∴f(x1)-f(x2)<0， 即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[1，+∞)上单调递减， ∴数列{an}为递减数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法三　an=f(n)=(n≥1). ∵n≥1，∴an<0， 又== = =1+. ∵n≥1，∴2n2+3n-2>0，故>1， ∴an+1<an，故数列{an}为递减数列. 13.在等比数列{an}中，a1=，a4=-4，则公比q=　　，|a1|+|a2|+…+|an|= 　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -2 2n-1- 设等比数列{an}的公比为q，则a4=a1q3， 即-4=q3，解得q=-2. 等比数列{|an|}的公比为|q|=2， 则|an|=×2n-1， 所以|a1|+|a2|+…+|an|=(1+2+22+…+2n-1)=(2n-1)=2n-1-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在数列{an}中，an=则其前n项和Sn= 　　　　　　　　　　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n为偶数时，奇数项、偶数项各有项， 则Sn=[1+5+9+13+…+(2n-3)]+(32+34+36+…+3n) =+ =+(3n-1)； 当n为奇数时，则n-1为偶数， ∴Sn=Sn-1+an=+(3n-1-1)+2n-1=+(3n-1-1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 综上可知， Sn= 15.在数列{an}中，an=，则该数列前100项中的最大项与最小项的项数分别为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 45，44 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 an==1+， 设f(x)=1+， 则f(x)在区间(-∞，，+∞)上单调递减. 因为44<<45， 故数列{an}在0<n≤44，n∈N+上单调递减，在n≥45，n∈N+上单调递减，借助f(x)=1+的图象(图略)知数列{an}的最大值为a45，最小值为a44. 所以最大项与最小项的项数分别为45，44. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设等比数列{an}的首项为a1=2，公比为q(q为正整数)，且满足3a3是8a1与a5的等差中项；数列{bn}满足2n2-(3+bn)n+bn=0(n∈N+). (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意，可得6a3=8a1+a5， 所以6q2=8+q4， 解得q2=4或q2=2， 又q为正整数，所以q=2， 又a1=2，所以an=2n. 由2n2-(3+bn)n+bn=0，得bn=2n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入bk个2，得到一个新数列{cn}.设Tn是数列{cn}的前n项和，试求T100. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b1=2，所以a1与a2之间插入2个2， b2=4，所以a2与a3之间插入4个2， b3=6，所以a3与a4之间插入6个2， … 则{cn}的前100项，由90个2及a1，a2，a3，…，a9，a10构成，所以T100=(a1+a2+…+a10)+2×90 =+180=2 226. 第一章 <<< $$