第1章 2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 [学习目标]　1.掌握等差数列前n项和公式，并理解其推导过程.2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个.3.能用an与Sn的关系求an. 导语 高斯(1777-1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1+2+3+4+5+……+100=？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是5 050！”老师和其他同学都很吃惊.你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 一、等差数列前n项和的基本运算 问题1　请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　 芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 提示　诗中文字有对称性；字数和S=2+4+6+8+10+12+14=2×(1+2+3+4+5+6+7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案. 问题2　对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？ 提示　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn=n(a1+an)，即Sn=，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 知识梳理 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn= Sn=na1+d 注意点： (1)当已知a1，an时，多用Sn=；当已知a1，d时，多用Sn=na1+d. (2)公式涉及a1，an，Sn，n，d 五个量.通常已知其中三个，可求其余两个. 例1　在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. (1)已知a1=，S4=20，求S6； (2)已知a3=16，S20=20，求S10； (3)已知a1=，d=-，Sn=-15，求n及a12； (4)已知a14=10，求S27. 解　(1)S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20，∴d=3. 故S6=6a1+d=6a1+15d=3+45=48. (2)由题意得 解得 ∴S10=10×20+=200-90=110. (3)∵Sn=n·+·=-15， 整理得n2-7n-60=0， 解得n=12或n=-5(舍去)， ∴a12=+(12-1)×=-4. (4)∵a14=10，a1+a27=2a14， ∴S27==27a14=270. 反思感悟　等差数列前n项和公式应用的关注点 (1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn=较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn=na1+d较好. (2)在运用公式Sn=求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N+且m+n=p+q⇒am+an=ap+aq”的运用. (3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二. 二、等差数列前n项和的实际应用 例2　某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元. (1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ (2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 解　(1)设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 共12n+4×=(2n2+10n)万元， 因此利润y=50n-(72+2n2+10n) =-2n2+40n-72， 令y>0，解得2<n<18， 因为n∈N+，所以从第3年开始获取纯利润. (2)年平均获利为 ==-+40， 因为2n+≥2=24， 所以-+40≤-24+40=16， 当且仅当2n=，即n=6时，取等号， 所以应在第6年转投其他项目. 反思感悟　应用等差数列解决实际问题的一般思路 跟踪训练1　某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如表所示. 2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完，则不会被沙化. (1)每年沙化的土地公顷数为多少？ (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？ 解　(1)依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2022年新植1 400公顷， 故当年沙地面积为25 200-1 400=23 800(公顷)， 而实际沙地面积为24 000公顷， 所以2022年沙化土地面积为24 000-23 800=200(公顷)， 所以每年沙化的土地公顷数为200. (2)设2023年及以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an， 则an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400， 所以n年造林的面积总和 Sn=1 800n+×400. 由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn-200n≥24 000， 化简得n2+7n-120≥0，又n∈N+，故解得n≥8， 故8年，即到2030年可绿化完全部沙地. 三、Sn与an的关系 问题3　(1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ (2)二次函数形式Sn=An2+Bn+C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？ (3)数列{an}中，Sn与Sn-1(n≥2)有何关系？ 提示　(1)能. (2)不是. (3)an=Sn-Sn-1(n≥2). 知识梳理 数列中an与Sn的关系 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an= 注意点： (1)这一关系对任何数列都适用. (2)若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中，令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况，数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中，令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况，数列的通项公式采用分段形式. 例3　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 解　∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2， 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-1-[2-3-1] =4n-5， 经检验，当n=1时，an=4n-5不成立， 故an= 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 延伸探究　本例若把数列{an}的前n项和变为Sn=2n2+3n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 解　当n=1时，a1=S1=5， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1， 又a1=5适合上式， ∴an=4n+1，n∈N+. 故数列{an}是等差数列，它的首项是a1=5，公差是d=4. 反思感悟　等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn=An2+Bn，那么数列{an}一定是等差数列. 跟踪训练2　(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n，求an. (2)已知正数数列{bn}的前n项和Sn=(bn+1)2，求证{bn}为等差数列，并求其通项公式. 解　(1)当n=1时，a1=S1=3； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1. 当n=1时，代入an=2×3n-1得a1=2≠3. ∴an= (2)当n≥2时，bn=Sn-Sn-1， ∴bn=(bn+1)2-(bn-1+1)2 =-+2bn-2bn-1). 整理，得--2bn-2bn-1=0， ∴(bn+bn-1)(bn-bn-1-2)=0， ∵bn+bn-1>0，∴bn-bn-1=2(n≥2). 又∵b1=(b1+1)2，∴b1=1， ∴{bn}为以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴bn=1+(n-1)·2=2n-1，n∈N+. 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式. (2)等差数列前n项和在实际问题中的应用. (3)由Sn与an的关系求an. 2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论. 1.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7等于(　　) A.12 B.13 C.14 D.15 答案　B 解析　∵S5==5a3=25，∴a3=5， ∴d=a3-a2=5-3=2， ∴a7=a2+5d=3+10=13. 2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列｛an｝的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于（　　） A. B. C. D. 答案　B 解析　由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0, 则等差数列{an}的公差 d==-, 故a1=a5-4d=1-4×=. 3.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　　　.  答案　95 解析　设数列{an}的公差为d, 则由题意得 解得 则S10=10a1+d =10×(-4)+45×3=95. 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则an=　　　　.  答案　2n 解析　当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n， 当n=1时，a1=2也适合an=2n， 综上，an=2n(n∈N+). 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+(n≥2，n∈N+)，则数列{an}的前9项和等于(　　) A.27 B. C.45 D.-9 答案　A 解析　由已知得数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列， ∴S9=9×1+×=9+18=27. 2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则(　　) A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=n2-4n D.Sn=n2-2n 答案　AC 解析　设{an}的首项为a1，公差为d. 由S4=0，a5=5可得 解得 所以an=-3+2(n-1)=2n-5， Sn=n×(-3)+×2=n2-4n. 3.在等差数列{an}中，S10=4S5，则等于(　　) A. B.2 C. D.4 答案　A 解析　设{an}的公差为d，由题意得 10a1+×10×9d=4， 所以10a1+45d=20a1+40d， 所以10a1=5d，所以=. 4.已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为(　　) A.24 B.26 C.25 D.28 答案　B 解析　设该等差数列为{an}， 由题意，得a1+a2+a3+a4=21， an+an-1+an-2+an-3=67， 又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3， ∴4(a1+an)=21+67=88， ∴a1+an=22. ∴Sn==11n=286， ∴n=26. 5.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过　　　　秒落到地面.(　　)  A.18 B.19 C.20 D.21 答案　C 解析　设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列. 所以4.90t+t(t-1)×9.80=1 960， 即4.90t2=1 960，解得t=20. 6.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥2，n∈N+)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2+a3+a4+…+an等于(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由图案的点数可知a2=3，a3=6，a4=9，a5=12，所以an=3n-3，n≥2， 所以a2+a3+a4+…+an= =. 7.(5分)已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+5n，则an=　　　　.  答案　-4n+7 解析　当n=1时，a1=S1=3； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n2+5n-[-2(n-1)2+5(n-1)]=-4n+7， 当n=1时，a1=3也适合an=-4n+7， 综上，an=-4n+7. 8.(5分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5-5S3=5，则a4=　　　　.  答案　 解析　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5-5S3=5，整理得3(a1+3d)=1，所以a4=. 9.(10分)在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. (1)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d；(5分) (2)a1=4，S8=172，求a8和d.(5分) 解　(1)由题意得，Sn===-5， 解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-， ∴d=-. ∴n=15，d=-. (2)由已知得S8===172， 解得a8=39， 又∵a8=4+(8-1)d=39，∴d=5. ∴a8=39，d=5. 10.(12分)甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(5分) (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？(7分) 解　(1)设n min后相遇，依题意，有 2n++5n=70， 整理得n2+13n-140=0， 解得n=7或n=-20(舍去). 第1次相遇是在开始运动后7 min. (2)设m min后第二次相遇， 依题意有2m++5m=3×70， 整理得m2+13m-6×70=0， 解得m=15或m=-28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15 min. 11.在等差数列{an}中，已知a1=-12，S13=0，则使得an>0的最小正整数n为(　　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案　B 解析　由S13==0， 得a13=12，则a1+12d=12，得d=2， ∴数列{an}的通项公式为 an=-12+(n-1)×2=2n-14， 由2n-14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8. 12.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为(　　) A.65 B.176 C.183 D.184 答案　D 解析　由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d=17，n=8，S8=996. 由等差数列前n项和公式可得 8a1+×17=996， 解得a1=65. 由等差数列通项公式得a8=65+(8-1)×17=184. 13.(5分)已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=40，则a3·a8的最大值为　　　　.  答案　16 解析　∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn， S10===40， ∴ ∴a3·a8≤≤=16.当且仅当a3=a8=4时取等号. 14.(5分)已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7=7，S15=75，则数列的前n项和Tn=　　　　.  答案　n2-n 解析　设等差数列{an}的公差为d， 则Sn=na1+d. ∵S7=7，S15=75， ∴即 解得 ∴=a1+d=-2+， ∴-=， ∴数列是等差数列，且其首项为-2，公差为. ∴Tn=n2-n. 15.(5分)已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22. (1)数列{an}的通项公式an=　　　　　　　.  (2)若数列{bn}是等差数列，且bn=，则非零常数c=　　　　.  答案　(1)4n-3(n∈N+)　(2)- 解析　(1)设等差数列{an}的公差为d，且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22， 又a3a4=117， ∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0，∴a3<a4， ∴a3=9，a4=13. ∴∴ ∴an=4n-3(n∈N+). (2)由(1)知，Sn=n×1+×4=2n2-n， ∴bn==. ∴b1=，b2=，b3=. ∵{bn}是等差数列， ∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0， ∴c=-或c=0(舍去). 经检验，c=-符合题意， ∴c=-. 16. (12分)某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 解　设最下面一层放n根，则最多可堆n层， 则1+2+3+…+n=≥600， 所以n2+n-1 200≥0，记ƒ(n)=n2+n-1 200， 因为当n∈N+时，f(n)单调递增， 而f(35)=60>0，f(34)=-10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根. 因为1+2+3+…+35=630， 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1+2+3+…+7=28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层. 故最下面一层放35根，共堆了28层. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列的前n项和公式 第1课时 第一章 <<< 1.掌握等差数列前n项和公式，并理解其推导过程. 2.熟练掌握等差数列的五个量a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中任意三个求另外两个. 3.能用an与Sn的关系求an. 学习目标 高斯(1777-1855)，德国著名数学家、物理学家、天文学家，是近代数学的奠基人，享有“数学王子”的美誉.高斯7岁时，有一天老师在黑板上出一道题“1+2+3+4+5+……+100=？”对全班同学说：“你们算一算从1开始一直加到100的和是多少？谁算不出来，就不准回家吃饭！”，同学们不约而同地拿出笔在小石板上沙沙地算起来.不到一分钟，高斯站起来说：“老师，我算出结果来了，是 5 050！”老师和其他同学都很吃惊. 你知道高斯是怎样快速计算出来的吗？ 导 语 一、等差数列前n项和的基本运算 二、等差数列前n项和的实际应用 课时对点练 三、Sn与an的关系 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和的基本运算 一 请同学们欣赏唐代诗人张南史的《花》并回答下面的问题： 花，　　　　　　 花. 深浅，　　　　　 芬葩. 凝为雪，　　　　 错为霞. 莺和蝶到，　　　 苑占宫遮. 已迷金谷路，　　 频驻玉人车. 芳草欲陵芳树，　 东家半落西家. 愿得春风相伴去， 一攀一折向天涯. 从数学的角度来看，这首诗有什么特点？这首诗的内容一共有多少个字？ 问题1 提示　诗中文字有对称性；字数和S=2+4+6+8+10+12+14=2×(1+2+3+4+ 5+6+7)，根据对称性，可先取其一半来研究.其数的个数较少，大家很容易求出答案. 对于一般的等差数列，如何利用倒序相加法求它的前n项和？其理论依据是什么？ 问题2 提示　倒序相加法 ⇒ 两式相加可得2Sn=n(a1+an)，即Sn=，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等. 等差数列前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 选用公式 Sn= Sn=na1+d 知识梳理 (1)当已知a1，an时，多用Sn=；当已知a1，d时，多用Sn=na1+d. (2)公式涉及a1，an，Sn，n，d 五个量.通常已知其中三个，可求其余两个. 注 意 点 <<< 10 　　　在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. (1)已知a1=，S4=20，求S6； 例 1 S4=4a1+d=4a1+6d=2+6d=20，∴d=3. 故S6=6a1+d=6a1+15d=3+45=48. 11 (2)已知a3=16，S20=20，求S10； 由题意得 解得 ∴S10=10×20+=200-90=110. 12 (3)已知a1=，d=-，Sn=-15，求n及a12； ∵Sn=n·+·=-15， 整理得n2-7n-60=0， 解得n=12或n=-5(舍去)， ∴a12=+(12-1)×=-4. 13 (4)已知a14=10，求S27. ∵a14=10，a1+a27=2a14， ∴S27==27a14=270. 14 (1)在运用等差数列的前n项和公式来求和时，一般地，若已知首项a1及末项an用公式Sn=较简便；若已知首项a1及公差d用公式Sn=na1+d较好. (2)在运用公式Sn=求和时，要注意性质“m，n，p，q∈N+且m+n=p+q⇒am+an=ap+aq”的运用. (3)构成等差数列前n项和公式的元素有a1，d，n，an，Sn，知其三能求其二. 反 思 感 悟 等差数列前n项和公式应用的关注点 15 二 等差数列前n项和的实际应用 　　　某优秀大学生毕业团队响应国家号召，毕业后自主创业，通过银行贷款等方式筹措资金，投资72万元生产并经营共享单车，第一年维护费用为12万元，以后每年都增加4万元，每年收入租金50万元. (1)若扣除投资和维护费用，则从第几年开始获取纯利润？ 例 2 17 设第n年获取的利润为y万元，则n年共收入租金50n万元，维护费构成一个以12为首项，4为公差的等差数列， 共12n+4×=(2n2+10n)万元， 因此利润y=50n-(72+2n2+10n) =-2n2+40n-72， 令y>0，解得2<n<18， 因为n∈N+，所以从第3年开始获取纯利润. 18 (2)若年平均获利最大时，该团队计划投资其他项目，问应在第几年转投其他项目？ 年平均获利为 ==-+40， 因为2n+≥2=24， 所以-+40≤-24+40=16， 当且仅当2n=，即n=6时，取等号， 所以应在第6年转投其他项目. 19 反 思 感 悟 应用等差数列解决实际问题的一般思路 　　　　　某地为了防止水土流失，植树造林，绿化荒沙地，每年比上一年多植相同公顷数的林木，但由于自然环境和人为因素的影响，每年都有相同公顷数的土地沙化，具体情况如表所示. 跟踪训练 1   2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完，则不会被沙化. (1)每年沙化的土地公顷数为多少？ 21 依题意，每年比上一年多造林400公顷，其中2022年新植1 400公顷， 故当年沙地面积为25 200-1 400=23 800(公顷)， 而实际沙地面积为24 000公顷， 所以2022年沙化土地面积为24 000-23 800=200(公顷)， 所以每年沙化的土地公顷数为200.   2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 22 (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地？   2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 23 设2023年及以后各年的造林面积分别为a1，a2，a3，…，an， 则an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400， 所以n年造林的面积总和 Sn=1 800n+×400.   2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 24 由(1)知，每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷，依题意可得Sn-200n≥24 000， 化简得n2+7n-120≥0，又n∈N+，故解得n≥8， 故8年，即到2030年可绿化完全部沙地.   2021年 2022年 2023年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 25 三 Sn与an的关系 (1)等差数列(公差不为0)的前n项和Sn能写成关于n的二次函数吗？ 问题1 提示　能. 27 (2)二次函数形式Sn=An2+Bn+C(A，B，C为常数)都表示等差数列的前n项和吗？ 提示　不是. (3)数列{an}中，Sn与Sn-1(n≥2)有何关系？ 提示　an=Sn-Sn-1(n≥2). 28 对于一般数列{an}，设其前n项和为Sn，则有an= 数列中an与Sn的关系 知识梳理 29 (1)这一关系对任何数列都适用. (2)若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中，令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式也适合n=1的情况，数列的通项公式用an=Sn-Sn-1表示. 若在由an=Sn-Sn-1(n≥2)求得的通项公式中，令n=1求得的a1与利用a1=S1求得的a1不相同，则说明an=Sn-Sn-1(n≥2)所得通项公式不适合n=1的情况，数列的通项公式采用分段形式. 注 意 点 <<< 30 　　　若数列{an}的前n项和Sn=2n2-3n-1，求数列{an}的通项公式，并判断数列{an}是否是等差数列.若是，请证明；若不是，请说明理由. 例 3 31 ∵Sn=2n2-3n-1， ① 当n=1时，a1=S1=2-3-1=-2， 当n≥2时，Sn-1=2-3-1， ② ①-②得an=Sn-Sn-1 =2n2-3n-1-[2-3-1] =4n-5， 经检验，当n=1时，an=4n-5不成立， 故an= 故数列{an}不是等差数列，数列{an}是从第二项起以4为公差的等差数列. 32 　　　　　本例若把数列{an}的前n项和变为Sn=2n2+3n，求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？ 当n=1时，a1=S1=5， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n)-[2(n-1)2+3(n-1)]=4n+1， 又a1=5适合上式， ∴an=4n+1，n∈N+. 故数列{an}是等差数列，它的首项是a1=5，公差是d=4. 延伸探究 33 反 思 感 悟 等差数列{an}中，若d≠0，则Sn可写成关于n的二次函数形式，反之，若Sn=An2+Bn，那么数列{an}一定是等差数列. 　　　　　(1)已知数列{an}的前n项和Sn=3n，求an. 跟踪训练 2 当n=1时，a1=S1=3； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2×3n-1. 当n=1时，代入an=2×3n-1得a1=2≠3. ∴an= 35 (2)已知正数数列{bn}的前n项和Sn=(bn+1)2，求证{bn}为等差数列，并求其通项公式. 36 当n≥2时，bn=Sn-Sn-1， ∴bn=(bn+1)2-(bn-1+1)2 =-+2bn-2bn-1). 整理，得--2bn-2bn-1=0， ∴(bn+bn-1)(bn-bn-1-2)=0， ∵bn+bn-1>0，∴bn-bn-1=2(n≥2). 又∵b1=(b1+1)2，∴b1=1， ∴{bn}为以1为首项，以2为公差的等差数列， ∴bn=1+(n-1)·2=2n-1，n∈N+. 37 1.知识清单： (1)等差数列前n项和及其计算公式. (2)等差数列前n项和在实际问题中的应用. (3)由Sn与an的关系求an. 2.方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想. 3.常见误区：由Sn求通项公式时忽略对n=1的讨论. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若等差数列{an}的前5项和S5=25，且a2=3，则a7等于 A.12 B.13 C.14 D.15 √ ∵S5==5a3=25，∴a3=5， ∴d=a3-a2=5-3=2， ∴a7=a2+5d=3+10=13. 2.(2024·全国甲卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知S5=S10，a5=1，则a1等于 A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 1 2 3 4 √ 由S10-S5=a6+a7+a8+a9+a10=5a8=0,则a8=0, 则等差数列{an}的公差 d==-, 故a1=a5-4d=1-4×=. 3.(2024·新课标全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则S10=　　.  1 2 3 4 设数列{an}的公差为d, 则由题意得 解得 则S10=10a1+d =10×(-4)+45×3=95. 95 4.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n，则an=　　.  1 2 3 4 2n 当n=1时，a1=S1=2， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n， 当n=1时，a1=2也适合an=2n， 综上，an=2n(n∈N+). 课时对点练 五 1.已知数列{an}中，a1=1，an=an-1+(n≥2，n∈N+)，则数列{an}的前9项和等于 A.27 B. C.45 D.-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由已知得数列{an}是以1为首项，以为公差的等差数列， ∴S9=9×1+×=9+18=27. 2.(多选)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4=0，a5=5，则 A.an=2n-5 B.an=3n-10 C.Sn=n2-4n D.Sn=n2-2n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的首项为a1，公差为d. 由S4=0，a5=5可得 解得 所以an=-3+2(n-1)=2n-5， Sn=n×(-3)+×2=n2-4n. 3.在等差数列{an}中，S10=4S5，则等于 A. 　　　B.2 　　　C. 　　　D.4 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设{an}的公差为d，由题意得 10a1+×10×9d=4， 所以10a1+45d=20a1+40d， 所以10a1=5d，所以=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知一个等差数列共n项，且其前四项之和为21，末四项之和为67，前n项和为286，则项数n为 A.24 B.26 C.25 D.28 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设该等差数列为{an}， 由题意，得a1+a2+a3+a4=21， an+an-1+an-2+an-3=67， 又a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3， ∴4(a1+an)=21+67=88， ∴a1+an=22. ∴Sn==11n=286， ∴n=26. 5.一物体从1 960 m的高空降落，如果第1秒降落4.90 m，以后每秒比前一秒多降落9.80 m，那么经过　　　　秒落到地面.  A.18　　　　B.19　　　　C.20　　　　D.21 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设物体经过t秒降落到地面. 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列. 所以4.90t+t(t-1)×9.80=1 960， 即4.90t2=1 960，解得t=20. 6.如图所示，将若干个点摆成三角形图案，每条边(包括两个端点)有n(n≥ 2，n∈N+)个点，相应的图案中总的点数记为an，则a2+a3+a4+…+an等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图案的点数可知a2=3，a3=6，a4=9，a5=12，所以an=3n-3，n≥2， 所以a2+a3+a4+…+an= =. 7.已知数列{an}的前n项和Sn=-2n2+5n，则an=　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 -4n+7 当n=1时，a1=S1=3； 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=-2n2+5n-[-2(n-1)2+5(n-1)]=-4n+7， 当n=1时，a1=3也适合an=-4n+7， 综上，an=-4n+7. 8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且6S5-5S3=5，则a4=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由6S5-5S3=5，整理得3(a1+3d)=1，所以a4=. 9.在等差数列{an}中，公差为d，前n项和为Sn. (1)a1=，an=-，Sn=-5，求n和d； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得，Sn===-5， 解得n=15. 又a15=+(15-1)d=-， ∴d=-. ∴n=15，d=-. (2)a1=4，S8=172，求a8和d. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得S8===172， 解得a8=39， 又∵a8=4+(8-1)d=39，∴d=5. ∴a8=39，d=5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1 min走2 m，以后每分钟比前1 min多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ 设n min后相遇，依题意，有 2n++5n=70， 整理得n2+13n-140=0， 解得n=7或n=-20(舍去). 第1次相遇是在开始运动后7 min. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)如果甲、乙到达对方起点后立即折返，甲继续每分钟比前1 min多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动后几分钟第二次相遇？ 设m min后第二次相遇， 依题意有2m++5m=3×70， 整理得m2+13m-6×70=0， 解得m=15或m=-28(舍去). 所以第2次相遇是在开始运动后15 min. 11.在等差数列{an}中，已知a1=-12，S13=0，则使得an>0的最小正整数n为 A.7 B.8 C.9 D.10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 由S13==0， 得a13=12，则a1+12d=12，得d=2， ∴数列{an}的通项公式为 an=-12+(n-1)×2=2n-14， 由2n-14>0，得n>7，则使得an>0的最小正整数n为8. 12.程大位《算法统宗》里有诗云“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠.次第每人多十七，要将第八数来言.务要分明依次弟，孝和休惹外人传.”意为：996斤棉花，分别赠送给8个子女做旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明，则第八个孩子分得斤数为 A.65 B.176 C.183 D.184 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由已知得，每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an}，其中d=17，n=8，S8=996. 由等差数列前n项和公式可得 8a1+×17=996， 解得a1=65. 由等差数列通项公式得a8=65+(8-1)×17=184. 13.已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，S10=40，则a3·a8的最大值为____.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵正项等差数列{an}的前n项和为Sn， S10===40， 16 ∴ ∴a3·a8≤≤=16.当且仅当a3=a8=4时取等号. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，且S7=7，S15=75，则数列的前n项和Tn=　　　　.  n2-n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d， 则Sn=na1+d. ∵S7=7，S15=75， ∴ 解得 ∴=a1+d=-2+， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∴-=， ∴数列是等差数列，且其首项为-2，公差为. ∴Tn=n2-n. 15.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22. (1)数列{an}的通项公式an=　　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 4n-3(n∈N+) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设等差数列{an}的公差为d，且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22， 又a3a4=117， ∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0，∴a3<a4， ∴a3=9，a4=13. ∴∴ ∴an=4n-3(n∈N+). (2)若数列{bn}是等差数列，且bn=，则非零常数c=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由(1)知，Sn=n×1+×4=2n2-n， ∴bn==. ∴b1=，b2=，b3=. ∵{bn}是等差数列， ∴2b2=b1+b3，∴2c2+c=0， ∴c=-或c=0(舍去). 经检验，c=-符合题意， ∴c=-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某仓库有同一型号的圆钢600根，堆放成如图所示的形状，从第二层开始，每一层比下面一层少放一根，而第一层至少要比第二层少一根，要使堆垛的占地面积最小(即最下面一层根数最少)，则最下面一层放几根？共堆了多少层？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设最下面一层放n根，则最多可堆n层， 则1+2+3+…+n=≥600， 所以n2+n-1 200≥0，记ƒ(n)=n2+n-1 200， 因为当n∈N+时，f(n)单调递增， 而f(35)=60>0，f(34)=-10<0， 所以n≥35，因此最下面一层最少放35根. 因为1+2+3+…+35=630， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以最多可堆放630根，必须去掉上面30根，去掉顶上7层，共1+2+3+…+7=28(根)，再去掉顶上第8层的2根，剩下的600根共堆了28层. 故最下面一层放35根，共堆了28层. 第一章 <<< $$