第1章 2.2 第2课时 等差数列前n项和的性质-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

第2课时　等差数列前n项和的性质 [学习目标]　1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 导语 我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？ 一、等差数列前n项和的性质 问题1　等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn+n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n-Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 问题2　公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n+1)项呢？ 提示　(1)若数列共有2n项，则 S2n===n(an+an+1)， S奇===nan， S偶===nan+1. (2)若数列共有(2n+1)项，则 S2n+1== =(2n+1)an+1， S奇== =(n+1)an+1， S偶===nan+1. 知识梳理 1.等差数列前n项和的性质(m，n∈N+) 若数列{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn，则数列也是等差数列，且公差为. 2.“片段和”性质 若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项和、前2m项和、前3m项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列，公差为m2d. 3.“比值”性质 设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. 4.“奇偶项”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S2n=n(an+an+1)，S偶-S奇=nd，=(S奇≠0). (2)若等差数列的项数为2n+1，则S2n+1=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项)，S偶-S奇=-an+1，=(S奇≠0). 角度1　“片段和”性质的应用 例1　已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A.130 B.170 C.210 D.260 答案　C 解析　利用等差数列前n项和的性质：S3，S6-S3，S9-S6成等差数列. 所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)， 即30+(S9-100)=2(100-30)， 解得S9=210. 角度2　“比值”性质的应用 例2　若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则=　　　　.  答案　 解析　======. 角度3　“奇偶项”性质的应用 例3　(1)在等差数列{an}中，S10=120，且在这10项中，=，则公差d=　　　　.  答案　2 解析　由得 所以S偶-S奇=5d=10，所以d=2. (2)项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求数列{an}的中间项及项数. 解　设等差数列{an}共有(2n+1)项，则奇数项有(n+1)个，偶数项有n个，中间项是第(n+1)项， 即an+1， 所以===，解得n=3. 又因为S奇=(n+1)an+1=44， 所以an+1=11. 故数列{an}的中间项为11，共有2n+1=7(项). 反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 二、等差数列前n项和的函数性质与最值 问题3　等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 提示　由Sn=na1+d，可知Sn=n2+n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N+，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn=An2+Bn. 知识梳理 　等差数列前n项和的函数性质与最值 (1)等差数列前n项和公式Sn=na1+d可化成关于n的函数得Sn=n2+n.当d>0时，Sn有最小值；当d<0时，Sn有最大值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. (2)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有最大值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有最小值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. 注意点： Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 例4　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 解　(1)设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10=18，S5=-15， 所以 解得 所以an=3n-12，n∈N+. (2)因为a1=-9，d=3，an=3n-12， 所以Sn==(3n2-21n) =-， 所以当n=3或4时， 前n项和Sn取得最小值为S3=S4=-18. 延伸探究　把本例中的条件“S5=-15”改为“S5=125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值. 解　S5=×5×(a1+a5)=×5×2a3=5a3=125， 故a3=25，又a10=18，a10-a3=7d， 所以d=-1<0， 故Sn有最大值， an=a3+(n-3)d=28-n，n∈N+. 设Sn最大，则 解得27≤n≤28， 即S27和S28最大， 又a1=27，故S27=S28=378. 反思感悟　求等差数列前n项和的最值的方法 (1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N+，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. (2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值. 跟踪训练　已知在等差数列{an}中，a1=9，a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式； (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 解　(1)由a1=9，a4+a7=0， 得a1+3d+a1+6d=0， 解得d=-2， ∴an=a1+(n-1)d=11-2n，n∈N+. (2)方法一　a1=9，d=-2， Sn=9n+·(-2)=-n2+10n =-(n-5)2+25， ∴当n=5时，Sn取得最大值. 方法二　由(1)知a1=9，d=-2<0，an=11-2n， ∴{an}是递减数列. 令an≥0， 即11-2n≥0，解得n≤. ∵n∈N+， ∴当n≤5时，an>0； 当n≥6时，an<0. ∴当n=5时，Sn取得最大值. 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的性质及应用. (2)等差数列前n项和的最值问题. 2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想. 3.常见误区： (1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N+导致错误. (2)不注意运用性质导致解题烦琐. 1.已知数列{an}的通项公式an=2n-1，其前n项和为Sn，则的公差为(　　) A.2 B.-2 C.1 D.-1 答案　C 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于(　　) A.63 B.45 C.36 D.27 答案　B 解析　因为a7+a8+a9=S9-S6，而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列，所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)，即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为　　　　.  答案　3 解析　由等差数列前n项和的性质，得S偶-S奇=×d(d为该数列的公差)，即30-15=5d， 解得d=3. 4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3=S8，当n=　　　　时，Sn取到最大值.  答案　5或6 解析　∵S3=S8， ∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0， ∴a6=0.∵a1>0， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0，a7<0. 故当n=5或6时，Sn最大. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共40分；多选题每小题6分，共6分 1.等差数列{an}满足a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列的前20项和等于(　　) A.160 B.180 C.200 D.220 答案　B 解析　由a1+a2+a3=3a2=-24，得a2=-8，由a18+a19+a20=3a19=78，得a19=26，S20=×20×(a1+a20)=10(a2+a19)=10×18=180. 2.在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)所在的曲线可能为(　　) 答案　C 解析　Sn为等差数列的前n项和，故Sn=n2+n，又a1>0，d<0，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上且S1>0，C中曲线满足. 3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是(　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 答案　B 解析　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，∴(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ=an2+bn， ∴λ=-1. 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 015=S2 022，Sk=S2 013，则正整数k为(　　) A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 答案　D 解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数， 所以由二次函数的对称性及S2 015=S2 022， Sk=S2 013， 可得=， 解得k=2 024. 5.等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 答案　C 解析　∵S奇数项=a1+a3+…+a2n+1=132， S偶数项=a2+a4+…+a2n=120， ∴S奇数项-S偶数项=a2n+1-nd=an+1=12， ∴S2n+1=S奇数项+S偶数项=252 = =(2n+1)an+1=12(2n+1)， 解得n=10. 6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6=S7>S8，则下列结论正确的是(　　) A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 答案　ABD 解析　∵S5<S6=S7>S8， ∴a6>0，a7=0，a8<0. ∴d<0. ∴S6与S7均为Sn的最大值. S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0. ∴S9<S5，故C错. 7.(5分)若等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，则该数列的公差为　　　　.  答案　2A 解析　数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A，当n=1时也满足，所以d=2A. 8.(5分)在等差数列{an}中，a1=-2 023，其前n项和为Sn，若-=2，则S2 023=　　　　.  答案　-2 023 解析　由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d，则由-=2，可得2d=2，即d=1.又=-2 023， 所以=-2 023+(2 023-1)×1=-1， 所以S2 023=-2 023. 9.(10分)(1)在等差数列{an}中，=，求的值；(5分) (2)在等差数列{an}中，S10=100，S100=10，求S110.(5分) 解　(1)∵{an}为等差数列， ∴S5==5a3， S9==9a5， ∴==×=1. (2)∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20-S10，S30-S20，…，S110-S100也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为 S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90) =S100， 即10S10+d=S100=10. 又∵S10=100，代入上式，得d=-22， ∴S110-S100=S10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120， S110=-120+S100=-110. 10.(12分)在等差数列{an}中，a2+a3=-38，a12=0，求Sn的最小值以及相对应的n值. 解　方法一　(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则有 解得∴当 即时，Sn有最小值， 解得11≤n≤12， ∴当n=11或12时，Sn取得最小值， 最小值为S11=S12=-132. 方法二　(配方法)由方法一得 ∴Sn=-22n+×2=n2-23n =-， ∴当n=11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11=S12=-132. 11.等差数列{an}的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列为定值的是(　　) A.S17 B.S18 C.S15 D.S16 答案　C 解析　由等差数列的性质，得a5+a11=2a8，由a5+a8+a11为定值，得a8为定值.又因为S15===15a8，所以S15为定值. 12.已知在无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7>S6，S7>S8，若数列{bn}中bn=|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列命题正确的是(　　) A.{bn}中b7最大 B.{an}中a3或a4最大 C.当n≥8时，an<0 D.一定有T3=T11 答案　C 解析　由S7>S6知a7>0，由S7>S8知a8<0，故公差d<0，所以{an}中a1最大，且当n≥8时，an<0，所以B错误，C正确；数列{bn}是先减后增的，所以A错误；由于bn>0，所以T3≠T11，所以D错误. 13.(5分)已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S10=0，则Si(i=1，2，3，…，2 024)中不同的数值有　　　　个.  答案　2 020 解析　已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，由S10=10a1+d=0，得a1=-d，故Sn=na1+d=n·+d=(n2-10n)，Sn是关于n的二次函数，则对称轴为n=5，∴S1=S9，S2=S8，S3=S7，S4=S6，有四组数相同，则Si(i=1，2，3，…，2 024)中不同的数值有2 024-4=2 020(个). 14.(5分)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且=(n∈N+)，则+=　　　　.  答案　 解析　设An=kn(7n+45)，Bn=kn(n+3)，则n≥2，n∈N+时，an=An-An-1=k(14n+38)，bn=k(2n+2)，则==，==，所以+=+=. 15.已知等差数列{an}，满足a2 023+a2 024<0，a2 023·a2 024<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于(　　) A.4 047 B.4 046 C.4 045 D.4 044 答案　C 解析　因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列. 又a2 023+a2 024<0，a2 023·a2 024<0， 所以a2 023>0>a2 024， 即数列的前2 023项为正数，从第2 024项开始为负数， 由等差数列求和公式和等差数列的性质可知， S4 045==4 045a2 023>0， S4 046= =2 023<0， 所以当Sn取最小正值时，n=4 045. 16.(12分)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=-15，S5=-55. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N+恒成立，求实数t的取值范围.(6分) 解　(1)设等差数列{an}的公差为d， S5=5·=5a3=-55， ∴a3=-11， ∴d===2. ∴an=a1+(n-1)d=-15+(n-1)×2=2n-17，n∈N+. (2)由(1)知，an=2n-17， ∴Sn== =n(n-16)=(n-8)2-64， ∴(Sn)min=-64. Sn>t对任意n∈N+恒成立等价于(Sn)min>t， 即-64>t.∴t∈(-∞，-64). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列前n项和的性质 第2课时 第一章 <<< 1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算. 2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 学习目标 我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？ 导 语 一、等差数列前n项和的性质 二、等差数列前n项和的函数性质与最值 课时对点练 随堂演练 内容索引 等差数列前n项和的性质 一 等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？ 问题1 提示　S2n=a1+a2+…+an+an+1+…+a2n=Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(an+nd)=2Sn +n2d，同样我们发现S3n=3Sn+3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n -Sn=Sn+n2d，S3n-S2n=Sn+2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列. 公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n+1)项呢？ 问题2 提示　(1)若数列共有2n项，则 S2n===n(an+an+1)， S奇===nan， S偶===nan+1. (2)若数列共有(2n+1)项，则 S2n+1== =(2n+1)an+1， S奇== =(n+1)an+1， S偶===nan+1. 1.等差数列前n项和的性质(m，n∈N+) 若数列{an}是公差为d的等差数列，前n项和为Sn，则数列也是等差数列，且公差为____. 2.“片段和”性质 若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项和、前2m项和、前3m项和，则Sm，S2m-Sm，S3m-S2m也成等差数列，公差为_____. m2d 知识梳理 (2)若等差数列的项数为2n+1，则S2n+1=__________(an+1是数列的中间项)，S偶-S奇=_____，=(S奇≠0). 3.“比值”性质 设两个等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则=. 4.“奇偶项”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S2n=_________，S偶-S奇=___，=(S奇≠0). n(an+an+1) nd (2n+1)an+1 -an+1 　　　已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为 A.130 B.170 C.210 D.260 例 1 角度1　“片段和”性质的应用 利用等差数列前n项和的性质：S3，S6-S3，S9-S6成等差数列. 所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)， 即30+(S9-100)=2(100-30)， 解得S9=210. √ 11 　　　若等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则=　　.  例 2 角度2　“比值”性质的应用 ======. 12 　　　(1)在等差数列{an}中，S10=120，且在这10项中，=，则公差d=　　.  例 2 角度3　“奇偶项”性质的应用 由 所以S偶-S奇=5d=10，所以d=2. 2 13 (2)项数为奇数的等差数列{an}，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求数列{an}的中间项及项数. 设等差数列{an}共有(2n+1)项，则奇数项有(n+1)个，偶数项有n个，中间项是第(n+1)项， 即an+1， 所以===，解得n=3. 又因为S奇=(n+1)an+1=44， 所以an+1=11. 故数列{an}的中间项为11，共有2n+1=7(项). 14 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些. (2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法. 反 思 感 悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算 15 二 等差数列前n项和的函数性质与最值 等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？ 问题3 提示　由Sn=na1+d，可知Sn=n2+n，当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N+，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn=An2+Bn. 等差数列前n项和的函数性质与最值 (1)等差数列前n项和公式Sn=na1+d可化成关于n的函数得Sn=n2+ n.当d>0时，Sn有_____值；当d<0时，Sn有_____值；且n取最接近对称轴的正整数时，Sn取到最值. 最小 最大 知识梳理 (2)在等差数列{an}中，当a1>0，d<0时，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定；当a1<0，d>0时，Sn有_____值，使Sn取到最值的n可由不等式组确定. 最大 最小 Sn取得最大或最小值时的n不一定唯一. 注 意 点 <<< 20 　　　在等差数列{an}中，a10=18，前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式； 例 4 设等差数列的公差为d， 因为在等差数列{an}中，a10=18，S5=-15， 所以 解得 所以an=3n-12，n∈N+. 21 (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值. 因为a1=-9，d=3，an=3n-12， 所以Sn==(3n2-21n) =-， 所以当n=3或4时， 前n项和Sn取得最小值为S3=S4=-18. 22 　　　　　把本例中的条件“S5=-15”改为“S5=125”，其余不变，则数列{an}的前n项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值. 延伸探究 23 S5=×5×(a1+a5)=×5×2a3=5a3=125， 故a3=25，又a10=18，a10-a3=7d， 所以d=-1<0， 故Sn有最大值， an=a3+(n-3)d=28-n，n∈N+. 设Sn最大，则 解得27≤n≤28， 即S27和S28最大， 又a1=27，故S27=S28=378. 24 反 思 感 悟 (1)二次函数法：用求二次函数的最值的方法来求其前n项和的最值，但要注意n∈N+，结合二次函数图象的对称性来确定n的值，更加直观. (2)通项法：当a1>0，d<0，时，Sn取得最大值；当a1<0，d>0，时，Sn取得最小值. 求等差数列前n项和的最值的方法 　　　　　已知在等差数列{an}中，a1=9，a4+a7=0. (1)求数列{an}的通项公式； 跟踪训练 由a1=9，a4+a7=0， 得a1+3d+a1+6d=0， 解得d=-2， ∴an=a1+(n-1)d=11-2n，n∈N+. 26 (2)当n为何值时，数列{an}的前n项和取得最大值？ 27 方法一　a1=9，d=-2， Sn=9n+·(-2)=-n2+10n =-(n-5)2+25， ∴当n=5时，Sn取得最大值. 方法二　由(1)知a1=9，d=-2<0，an=11-2n， ∴{an}是递减数列. 令an≥0， 即11-2n≥0，解得n≤. 28 ∵n∈N+， ∴当n≤5时，an>0； 当n≥6时，an<0. ∴当n=5时，Sn取得最大值. 29 1.知识清单： (1)等差数列前n项和的性质及应用. (2)等差数列前n项和的最值问题. 2.方法归纳：整体思想、函数思想、分类讨论思想、数形结合思想. 3.常见误区： (1)求等差数列前n项和的最值时，忽视条件n∈N+导致错误. (2)不注意运用性质导致解题烦琐. 课堂小结 随堂演练 三 1 2 3 4 1.已知数列{an}的通项公式an=2n-1，其前n项和为Sn，则的公差为 A.2 B.-2 C.1 D.-1 √ 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9等于 A.63 B.45 C.36 D.27 1 2 3 4 √ 因为a7+a8+a9=S9-S6，而由等差数列前n项和的性质可知，S3，S6-S3，S9-S6构成等差数列，所以S3+(S9-S6)=2(S6-S3)，即a7+a8+a9=S9-S6=2S6-3S3=2×36-3×9=45. 3.已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为　　.  1 2 3 4 由等差数列前n项和的性质，得S偶-S奇=×d(d为该数列的公差)，即30-15=5d， 解得d=3. 3 4.首项为正数的等差数列，前n项和为Sn，且S3=S8，当n=　　　时，Sn取到最大值.  1 2 3 4 5或6 ∵S3=S8， ∴S8-S3=a4+a5+a6+a7+a8=5a6=0， ∴a6=0.∵a1>0， ∴a1>a2>a3>a4>a5>a6=0，a7<0. 故当n=5或6时，Sn最大. 课时对点练 四 1.等差数列{an}满足a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此数列的前20项和等于 A.160 B.180 C.200 D.220 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由a1+a2+a3=3a2=-24，得a2=-8，由a18+a19+a20=3a19=78，得a19=26，S20=×20×(a1+a20)=10(a2+a19)=10×18=180. 2.在等差数列{an}中，首项a1>0，公差d<0，Sn为其前n项和，则点(n，Sn)所在的曲线可能为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ Sn为等差数列的前n项和，故Sn=n2+n，又a1>0，d<0，故点(n，Sn)在开口向下的抛物线上且S1>0，C中曲线满足. 3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=(n+1)2+λ，则λ的值是 A.-2 B.-1 C.0 D.1 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，∴(n+1)2+λ=n2+2n+1+λ=an2+bn， ∴λ=-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数， 所以由二次函数的对称性及S2 015=S2 022，Sk=S2 013， 可得=， 解得k=2 024. 4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 015=S2 022，Sk=S2 013，则正整数k为 A.2 021 B.2 022 C.2 023 D.2 024 √ 5.等差数列共有2n+1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于 A.6 B.8 C.10 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S奇数项=a1+a3+…+a2n+1=132， S偶数项=a2+a4+…+a2n=120， ∴S奇数项-S偶数项=a2n+1-nd=an+1=12， ∴S2n+1=S奇数项+S偶数项=252 = =(2n+1)an+1=12(2n+1)， 解得n=10. 6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5<S6=S7>S8，则下列结论正确的是 A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵S5<S6=S7>S8， ∴a6>0，a7=0，a8<0. ∴d<0. ∴S6与S7均为Sn的最大值. S9-S5=a6+a7+a8+a9=2(a7+a8)<0. ∴S9<S5，故C错. 7.若等差数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，则该数列的公差为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2A 数列{an}的前n项和为Sn=An2+Bn，所以当n≥2时，an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An+B-A，当n=1时也满足，所以d=2A. 8.在等差数列{an}中，a1=-2 023，其前n项和为Sn，若-=2，则S2 023= 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列，设其公差为d，则由-=2，可得2d=2，即d=1.又=-2 023， 所以=-2 023+(2 023-1)×1=-1， 所以S2 023=-2 023. -2 023 9.(1)在等差数列{an}中，=，求的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵{an}为等差数列， ∴S5==5a3， S9==9a5， ∴==×=1. (2)在等差数列{an}中，S10=100，S100=10，求S110. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵数列{an}为等差数列， ∴S10，S20-S10，S30-S20，…，S110-S100也成等差数列， 设其公差为d，由此数列的前10项之和为 S10+(S20-S10)+(S30-S20)+…+(S100-S90)=S100， 即10S10+d=S100=10. 又∵S10=100，代入上式，得d=-22， ∴S110-S100=S10+(11-1)d =100+10×(-22)=-120， S110=-120+S100=-110. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列{an}中，a2+a3=-38，a12=0，求Sn的最小值以及相对应的n值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　(单调性法)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则有 解得∴当 即时，Sn有最小值， 解得11≤n≤12， ∴当n=11或12时，Sn取得最小值， 最小值为S11=S12=-132. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法二　(配方法)由方法一得 ∴Sn=-22n+×2=n2-23n =-， ∴当n=11或12时，Sn取得最小值，最小值为S11=S12=-132. 11.等差数列{an}的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，若a5+a8+a11是一个定值，则下列为定值的是 A.S17 B.S18 C.S15 D.S16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 由等差数列的性质，得a5+a11=2a8，由a5+a8+a11为定值，得a8为定值.又因为S15===15a8，所以S15为定值. 12.已知在无穷项等差数列{an}中，它的前n项和为Sn，且S7>S6，S7>S8，若数列{bn}中bn=|an|，数列{bn}的前n项和为Tn，则下列命题正确的是 A.{bn}中b7最大 B.{an}中a3或a4最大 C.当n≥8时，an<0 D.一定有T3=T11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由S7>S6知a7>0，由S7>S8知a8<0，故公差d<0，所以{an}中a1最大，且当n≥8时，an<0，所以B错误，C正确； 数列{bn}是先减后增的，所以A错误； 由于bn>0，所以T3≠T11，所以D错误. 13.已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，若S10=0，则Si(i=1，2，3，…，2 024)中不同的数值有　　　个.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知等差数列{an}的公差d≠0，其前n项和为Sn，由S10=10a1+d=0，得a1=-d，故Sn=na1+d=n·+d=(n2-10n)，Sn是关于n 2 020 的二次函数，则对称轴为n=5，∴S1=S9，S2=S8，S3=S7，S4=S6，有四组数相同，则Si(i=1，2，3，…，2 024)中不同的数值有2 024-4=2 020(个). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且= (n∈N+)，则+=　　.  设An=kn(7n+45)，Bn=kn(n+3)，则n≥2，n∈N+时，an=An-An-1=k(14n+38)，bn=k(2n+2)，则====+= +=. 15.已知等差数列{an}，满足a2 023+a2 024<0，a2 023·a2 024<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取最小正值时，n等于 A.4 047 B.4 046 C.4 045 D.4 044 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为数列{an}的前n项和Sn有最大值，所以数列{an}是递减的等差数列. 又a2 023+a2 024<0，a2 023·a2 024<0， 所以a2 023>0>a2 024， 即数列的前2 023项为正数，从第2 024项开始为负数， 由等差数列求和公式和等差数列的性质可知， S4 045==4 045a2 023>0， S4 046= =2 023<0， 所以当Sn取最小正值时，n=4 045. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1=-15，S5=-55. (1)求数列{an}的通项公式； 设等差数列{an}的公差为d， S5=5·=5a3=-55， ∴a3=-11， ∴d===2. ∴an=a1+(n-1)d=-15+(n-1)×2=2n-17，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若不等式Sn>t对于任意的n∈N+恒成立，求实数t的取值范围. 由(1)知，an=2n-17， ∴Sn== =n(n-16)=(n-8)2-64， ∴(Sn)min=-64. Sn>t对任意n∈N+恒成立等价于(Sn)min>t， 即-64>t.∴t∈(-∞，-64). 第一章 <<< $$