第1章 2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

等差数列的概念与通项公式 第1课时 第一章 <<< 1.理解等差数列的定义. 2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 学习目标 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出下一个龙年是哪一年吗？ 导 语 一、等差数列的概念 二、等差数列的通项公式 课时对点练 三、等差数列的实际应用 随堂演练 内容索引 等差数列的概念 一 观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 问题1 提示　对于(1)，我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于(2)有44-45=-1，43-44=-1，….对于(3)有10-10=0，有同样的取值规律. 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第___项起，每一项与它的前一项的差都是同一个_____，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的_____，通常用字母d表示. 2 常数 公差 知识梳理 (1)概念的符号表示：an+1-an=d(n∈N+). (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 注 意 点 <<< 9 　　　(多选)下列命题中正确的是 A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B.数列a，a-1，a-2，a-3是公差为-1的等差数列 C.数列{2n+1}是等差数列 D.数列{an}中，a1=a2=1，an=an-1+2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 例 1 √ √ A中，数列是公差为-2的等差数列； B中，a-1-a=a-2-(a-1)=a-3-(a-2)=-1，是公差为-1的等差数列； C中，an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2为常数，是等差数列； D中，a2-a1=0，an-an-1=2(n≥3)，数列{an}不是等差数列. 10 判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，即验证an+1-an(n∈N+)是不是一个与n无关的常数. 反 思 感 悟 11 　　　　　(1)(多选)下列数列是等差数列的是 A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2 跟踪训练 1 √ √ 由等差数列的定义得，A项，d=0，故是等差数列； B项，d=3，故是等差数列； C项，d=，故是等差数列； D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. √ 12 (2)若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an} A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为-的等差数列 D.不是等差数列 √ 由3an+1=3an+1，得3an+1-3an=1， 即an+1-an=， 所以数列{an}是公差为的等差数列. 13 二 等差数列的通项公式 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 问题2 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an-an-1=d(n≥2)， 思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，… 归纳可得，an=a1+(n-1)d(n≥2). 思路二：a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， … an-an-1=d， 左右两边分别相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2). 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为_____________. an=a1+(n-1)d 知识梳理 (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d=(n≠m)，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 注 意 点 <<< 18 　　　(1)求等差数列10，8，6，…的第20项； 例 2 由于a1=10，d=-2， ∴an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，n∈N+. ∴a20=-2×20+12=-28. 角度1　求项或项数 19 (2)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 由于a1=2，d=7， ∴an=2+(n-1)×7=7n-5，n∈N+. 由7n-5=100，得n=15. ∴100是这个等差数列的第15项. 20 　　　已知在等差数列{an}中，a5=-20，a20=-35.试求出数列的通项公式. 例 3 设{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d(n∈N+)， 由已知得 解得 故数列{an}的通项公式为an=-16+(n-1)×(-1)=-15-n，n∈N+. 角度2　求通项公式 21 　　　　　在本例的条件下，判断0是不是这个数列中的项. 由an=-15-n，得-15-n=0， 解得n=-15. 故0不是这个数列中的项. 延伸探究 22 反 思 感 悟 等差数列的通项公式及其应用 (1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量. (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项. (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项. 三 等差数列的实际应用 　　　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km (不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？ 例 4 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元. 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2表示4 km处的车费，公差d=1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n=11， 此时a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2. 即需要支付车费23.2元. 25 反 思 感 悟 在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素. 　　　　　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是-17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温. 跟踪训练 2 设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1=8.5，a5=-17.5， 由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5， 解得d=-6.5， ∴an=15-6.5n(1≤n≤10，n∈N+). ∴a2=2，a4=-11，a8=-37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，-11 ℃，-37 ℃. 27 1.知识清单： (1)等差数列的概念、判定. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列通项公式的应用. 2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法. 3.常见误区：在具体应用问题中项数不清. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.若数列{an}的通项公式为an=2n+5，则此数列 A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 √ ∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2， ∴{an}是公差为2的等差数列. 2.在等差数列{an}中，a3=5，a6=8，则公差d等于 A. B.- C.1 D.-1 1 2 3 4 √ ∵a3=5，a6=8， ∴d==1. 3.在等差数列{an}中，已知a5=11，d=-2，an=1，则n=　　.  1 2 3 4 因为a5=11，d=-2， 所以a1+4×(-2)=11，所以a1=19， 所以an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21. 令-2n+21=1，得n=10. 10 4.等差数列{an}：-3，-7，-11，…的一个通项公式为an=　　　　.  1 2 3 4 -4n+1 a1=-3，d=a2-a1=-7-(-3)=-4， 所以an=a1+(n-1)d=-4n+1. 课时对点练 五 1.(多选)下列数列中，是等差数列的为 A.1，3，5，7，9 B.2，0，-2，0，-6，0，… C.，，，，… D.+1，，-1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ √ √ 2.已知等差数列的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则此数列的第n项为 A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得，(a+1)-(a-1)=(2a+3)-(a+1)，解得a=0，故等差数列{an}的前三项依次为-1，1，3，故数列是以-1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an=-1+(n-1)×2=2n-3，n∈N+. 3.已知在等差数列{an}中，a3+a8=22，a6=7，则a5等于 A.15 B.22 C.7 D.29 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得 解得a1=47，d=-8. 所以a5=47+(5-1)×(-8)=15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 在数列{an}中，因为an+1=an+3，即an+1-an=3，所以数列{an}是以5为首项，以3为公差的等差数列，于是得an=a1+(n-1)d=3n+2，由an=20，即3n+2=20，解得n=6，所以n等于6. 4.已知数列{an}满足a1=5，an+1=an+3，若an=20，则n等于 A.3 B.4 C.5 D.6 √ 5.在数列{an}中，若=+，a1=8，则数列{an}的通项公式为 A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1) C.an=8n2 D.an=4n(n+1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由题意得-==2的等差数列， 所以=2+(n-1)=n+， 故an=2(n+1)2. 6.《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得　　　　斤？  A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等 人多得d斤金，由题意得 即解得d=， 所以每等人比下一等人多得 斤金. 7.数53为等差数列{an}：-5，-3，-1，1，…中的第　　项.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 由题意可知，等差数列{an}的首项a1=-5，公差d=(-3)-(-5)=2， 所以通项an=-5+2(n-1)=2n-7，n∈N+， 令2n-7=53，解得n=30， 所以53是数列{an}中的第30项. 8.等差数列{an}中，a1=8，a5=2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之 成等差数列，那么新的等差数列的公差是　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5=a1+8d⇔d====-. - 9.在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 方法一　由题意，知 解得 ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5，n∈N+. 方法二　由an=am+(n-m)d， 得a12=a5+(12-5)d， 即d==3. 又∵a5=a1+4d=10，∴a1=-2， ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，设bn=. (1)证明：数列{bn}是等差数列； 由已知an+1=2an+2n， 得bn+1===+1=bn+1， 即bn+1-bn=1，又b1=a1=1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{an}的通项公式. 由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn=n， 又bn=，所以数列{an}的通项公式为 an=n·2n-1(n∈N+). 11.“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2=xz”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 lg x，lg y，lg z成等差数列⇒lg y-lg x=lg z-lg y⇒2lg y=lg x+lg z⇒lg=lg y2⇒y2=xz， 但y2=xz不能保证x，y，z均为正数， 故选A. 12.已知数列{an}满足a1=，an+1=，则a2 024等于 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为an+1=-=1，又a1==2，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以=n+1，所以an=， 则a2 024==. 13.已知数列{an}满足=+4，且a1=1，an>0，则an=　　 　　 .  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵-=4， ∴{=1，公差d=4， ∴=1+(n-1)×4=4n-3. 又an>0，∴an=，n∈N+. ，n∈N+ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第 5节的容积为　　升.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9， 由题意可得a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4， 设等差数列{an}的公差为d，则4a1+6d=3， ① 3a1+21d=4， ② 由①②可得d=，a1=， 所以a5=a1+4d=+4×=. 15.已知数列{an}中，a1=1，an-1-an=anan-1(n≥2，n∈N+)，则a10=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 易知an≠0， ∵数列{an}满足an-1-an=anan-1(n≥2)， ∴-=1(n≥2)， 故数列是等差数列，且公差为1，首项为1， ∴=1+9=10，∴a10=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知无穷等差数列{an}，首项a1=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2； 由题意得，等差数列{an}的通项公式为 an=3-5(n-1)=8-5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m=4n-1，n∈N+. 所以b1=a3=8-5×3=-7， b2=a7=8-5×7=-27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)求数列{bn}的通项公式； 由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20， 所以数列{bn}也为等差数列， 且首项b1=-7，公差d'=-20， 所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 由(1)知m=4n-1，n∈N+， 所以当n=110时，m=4×110-1=439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 第一章 <<< $$ 2.1　等差数列的概念及其通项公式 第1课时　等差数列的概念与通项公式 [学习目标]　1.理解等差数列的定义.2.会推导等差数列的通项公式，能运用等差数列的通项公式解决一些简单的问题. 导语 我国有用十二生肖纪年的习惯，例如，2024年是龙年，从2024年开始，连续5个龙年的年份为2024，2036，2048，2060，2072.观察这个数列，你能算出下一个龙年是哪一年吗？ 一、等差数列的概念 问题1　观察下面几个问题中的数列，回答下面的问题. (1)近5届冬奥会举办的时间：2006，2010，2014，2018，2022； (2)我国确定鞋号的脚长值以毫米为单位来表示，常用的中国鞋号按从大到小的顺序可排列为：45，44，43，42，41，40，…； (3)为增强体质，学校增加了体育训练的项目，下面记录了某班内5名男生1分钟内引体向上的个数：10，10，10，10，10. 以上数列有什么共同特征？ 提示　对于(1)，我们发现2010-2006=4，2014-2010=4，2018-2014=4，2022-2018=4，也就是说该数列从第二项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.对于(2)有44-45=-1，43-44=-1，….对于(3)有10-10=0，有同样的取值规律. 知识梳理 等差数列的定义 对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示. 注意点： (1)概念的符号表示：an+1-an=d(n∈N+). (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项. (3)差必须是同一个常数. (4)公差可以是正数、负数、零. 例1　(多选)下列命题中正确的是(　　) A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列 B.数列a，a-1，a-2，a-3是公差为-1的等差数列 C.数列{2n+1}是等差数列 D.数列{an}中，a1=a2=1，an=an-1+2(n≥3)，则数列{an}是等差数列 答案　BC 解析　A中，数列是公差为-2的等差数列；B中，a-1-a=a-2-(a-1)=a-3-(a-2)=-1，是公差为-1的等差数列；C中，an+1-an=2(n+1)+1-(2n+1)=2为常数，是等差数列；D中，a2-a1=0，an-an-1=2(n≥3)，数列{an}不是等差数列. 反思感悟　判断一个数列是不是等差数列，就是判断该数列的每一项减去前一项的差是否为同一个常数，即验证an+1-an(n∈N+)是不是一个与n无关的常数. 跟踪训练1　(1)(多选)下列数列是等差数列的是(　　) A.1，1，1，1，1 B.4，7，10，13，16 C.，，1，， D.-3，-2，-1，1，2 答案　ABC 解析　由等差数列的定义得，A项，d=0，故是等差数列；B项，d=3，故是等差数列；C项，d=，故是等差数列；D项，每一项与前一项的差不是同一个常数，故不是等差数列. (2)若数列{an}满足3an+1=3an+1，则数列{an}(　　) A.是公差为1的等差数列 B.是公差为的等差数列 C.是公差为-的等差数列 D.不是等差数列 答案　B 解析　由3an+1=3an+1，得3an+1-3an=1， 即an+1-an=， 所以数列{an}是公差为的等差数列. 二、等差数列的通项公式 问题2　你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 提示　设一个等差数列的首项为a1，公差为d， 由等差数列的定义可知，an-an-1=d(n≥2)， 思路一：an=an-1+d，故有a2=a1+d，a3=a2+d=a1+2d，a4=a3+d=a1+3d，… 归纳可得，an=a1+(n-1)d(n≥2). 思路二：a2-a1=d， a3-a2=d， a4-a3=d， … an-an-1=d， 左右两边分别相加可得，an-a1=(n-1)d，即an=a1+(n-1)d(n≥2). 知识梳理 等差数列的通项公式 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an=a1+(n-1)d. 注意点： (1)等差数列的通项公式是关于三个基本量a1，d，n的表达式，所以由首项a1和公差d可以求出数列中的任意一项. (2)等差数列的通项公式可以推广为an=am+(n-m)d，它阐明了等差数列中任意两项的关系；也可以变形为d=(n≠m)，知道等差数列中任意两项，可以求公差d. 角度1　求项或项数 例2　(1)求等差数列10，8，6，…的第20项； (2)100是不是等差数列2，9，16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由. 解　(1)由于a1=10，d=-2， ∴an=10+(n-1)×(-2)=-2n+12，n∈N+. ∴a20=-2×20+12=-28. (2)由于a1=2，d=7， ∴an=2+(n-1)×7=7n-5，n∈N+. 由7n-5=100，得n=15. ∴100是这个等差数列的第15项. 角度2　求通项公式 例3　已知在等差数列{an}中，a5=-20，a20=-35.试求出数列的通项公式. 解　设{an}的通项公式是an=a1+(n-1)d(n∈N+)， 由已知得 解得 故数列{an}的通项公式为an=-16+(n-1)×(-1)=-15-n，n∈N+. 延伸探究　在本例的条件下，判断0是不是这个数列中的项. 解　由an=-15-n，得-15-n=0， 解得n=-15. 故0不是这个数列中的项. 反思感悟　等差数列的通项公式及其应用 (1)已知an，a1，n，d中的任意三个量，求出第四个量. (2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项，也可以判断某一个数是不是该数列中的项. (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a1和d的方程组，求出a1和d，从而确定通项公式，求得所要求的项. 三、等差数列的实际应用 例4　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元，如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，那么需要支付多少车费？ 解　根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要多支付1.2元. 所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费. 令a1=11.2表示4 km处的车费，公差d=1.2， 那么当出租车行至14 km处时，n=11， 此时a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2. 即需要支付车费23.2元. 反思感悟　在实际问题中，若一组数依次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数列方法解决.在利用数列方法解决实际问题时，一定要确认首项、项数等关键因素. 跟踪训练2　在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km，气温就下降某一个固定数值.如果1 km高度的气温是8.5 ℃，5 km高度的气温是-17.5 ℃，求2 km，4 km，8 km高度的气温. 解　设{an}表示自下而上各高度气温组成的等差数列，公差为d，则a1=8.5，a5=-17.5， 由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5， 解得d=-6.5， ∴an=15-6.5n(1≤n≤10，n∈N+). ∴a2=2，a4=-11，a8=-37， 即2 km，4 km，8 km高度的气温分别为2 ℃，-11 ℃，-37 ℃. 1.知识清单： (1)等差数列的概念、判定. (2)等差数列的通项公式. (3)等差数列通项公式的应用. 2.方法归纳：列方程组法、迭代法、构造法. 3.常见误区：在具体应用问题中项数不清. 1.若数列{an}的通项公式为an=2n+5，则此数列(　　) A.是公差为2的等差数列 B.是公差为5的等差数列 C.是首项为5的等差数列 D.是公差为n的等差数列 答案　A 解析　∵an+1-an=2(n+1)+5-(2n+5)=2， ∴{an}是公差为2的等差数列. 2.在等差数列{an}中，a3=5，a6=8，则公差d等于(　　) A. B.- C.1 D.-1 答案　C 解析　∵a3=5，a6=8， ∴d==1. 3.在等差数列{an}中，已知a5=11，d=-2，an=1，则n=　　　　.  答案　10 解析　因为a5=11，d=-2， 所以a1+4×(-2)=11，所以a1=19， 所以an=19+(n-1)×(-2)=-2n+21. 令-2n+21=1，得n=10. 4.等差数列{an}：-3，-7，-11，…的一个通项公式为an=　　　　.  答案　-4n+1 解析　a1=-3，d=a2-a1=-7-(-3)=-4， 所以an=a1+(n-1)d=-4n+1. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共6分 1.(多选)下列数列中，是等差数列的为(　　) A.1，3，5，7，9 B.2，0，-2，0，-6，0，… C.，，，，… D.+1，，-1 答案　ACD 2.已知等差数列的前三项依次为a-1，a+1，2a+3，则此数列的第n项为(　　) A.2n-5 B.2n-3 C.2n-1 D.2n+1 答案　B 解析　由题意得，(a+1)-(a-1)=(2a+3)-(a+1)，解得a=0，故等差数列{an}的前三项依次为-1，1，3，故数列是以-1为首项，以2为公差的等差数列，故通项公式an=-1+(n-1)×2=2n-3，n∈N+. 3.已知在等差数列{an}中，a3+a8=22，a6=7，则a5等于(　　) A.15 B.22 C.7 D.29 答案　A 解析　设数列{an}的首项为a1，公差为d， 根据题意得 解得a1=47，d=-8. 所以a5=47+(5-1)×(-8)=15. 4.已知数列{an}满足a1=5，an+1=an+3，若an=20，则n等于(　　) A.3 B.4 C.5 D.6 答案　D 解析　在数列{an}中，因为an+1=an+3，即an+1-an=3，所以数列{an}是以5为首项，以3为公差的等差数列，于是得an=a1+(n-1)d=3n+2，由an=20，即3n+2=20，解得n=6，所以n等于6. 5.在数列{an}中，若=+，a1=8，则数列{an}的通项公式为(　　) A.an=2(n+1)2 B.an=4(n+1) C.an=8n2 D.an=4n(n+1) 答案　A 解析　由题意得-=，故数列{}是首项为=2，公差为的等差数列， 所以=2+(n-1)=n+， 故an=2(n+1)2. 6.《张丘建算经》有一道题大意为：今有十等人，每等一人，宫赐金，以等次差(即等差)降之，上三人先入，得金四斤，持出，下四人后入得金三斤，持出，中间三人未到者，亦依等次更给，则每等人比下一等人多得　　　　斤？(　　)  A. B. C. D. 答案　B 解析　设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，依此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得 即解得d=， 所以每等人比下一等人多得 斤金. 7.(5分)数53为等差数列{an}：-5，-3，-1，1，…中的第　　　　项.  答案　30 解析　由题意可知，等差数列{an}的首项a1=-5，公差d=(-3)-(-5)=2， 所以通项an=-5+2(n-1)=2n-7，n∈N+， 令2n-7=53，解得n=30， 所以53是数列{an}中的第30项. 8.(5分)等差数列{an}中，a1=8，a5=2，若在每相邻两项间各插入一个数，使之成等差数列，那么新的等差数列的公差是　　　　.  答案　- 解析　设新数列a1，b1，a2，b2，a3，b3，a4，b4，a5，…，公差为d，则a5=a1+8d⇔d====-. 9.(10分)在等差数列{an}中，已知a5=10，a12=31，求首项a1与公差d，并求该数列的通项公式. 解　方法一　由题意，知 解得 ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5，n∈N+. 方法二　由an=am+(n-m)d， 得a12=a5+(12-5)d， 即d==3. 又∵a5=a1+4d=10，∴a1=-2， ∴an=-2+(n-1)×3=3n-5，n∈N+. 10.(12分)在数列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，设bn=. (1)证明：数列{bn}是等差数列；(6分) (2)求数列{an}的通项公式.(6分) (1)证明　由已知an+1=2an+2n， 得bn+1===+1=bn+1， 即bn+1-bn=1，又b1=a1=1， 因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列. (2)解　由(1)知，数列{bn}的通项公式为bn=n， 又bn=，所以数列{an}的通项公式为 an=n·2n-1(n∈N+). 11.“lg x，lg y，lg z成等差数列”是“y2=xz”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　lg x，lg y，lg z成等差数列⇒lg y-lg x=lg z-lg y⇒2lg y=lg x+lg z⇒lg=lg y2⇒y2=xz， 但y2=xz不能保证x，y，z均为正数， 故选A. 12.已知数列{an}满足a1=，an+1=，则a2 024等于(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　因为an+1=，则-=1，又a1=，则=2，所以数列是首项为2，公差为1的等差数列，所以=n+1，所以an=， 则a2 024==. 13.(5分)已知数列{an}满足=+4，且a1=1，an>0，则an=　　　　.  答案　，n∈N+ 解析　∵-=4， ∴{}是等差数列，且首项=1，公差d=4， ∴=1+(n-1)×4=4n-3. 又an>0，∴an=，n∈N+. 14.(5分)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为　　　　升.  答案　 解析　设竹子从上到下的容积依次为a1，a2，…，a9， 由题意可得a1+a2+a3+a4=3，a7+a8+a9=4， 设等差数列{an}的公差为d，则4a1+6d=3， ① 3a1+21d=4， ② 由①②可得d=，a1=， 所以a5=a1+4d=+4×=. 15.(5分)已知数列{an}中，a1=1，an-1-an=anan-1(n≥2，n∈N+)，则a10=　　　　.  答案　 解析　易知an≠0， ∵数列{an}满足an-1-an=anan-1(n≥2)， ∴-=1(n≥2)， 故数列是等差数列，且公差为1，首项为1， ∴=1+9=10，∴a10=. 16.(12分)已知无穷等差数列{an}，首项a1=3，公差d=-5，依次取出项的序号被4除余3的项组成数列{bn}. (1)求b1和b2；(4分) (2)求数列{bn}的通项公式；(4分) (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？(4分) 解　(1)由题意得，等差数列{an}的通项公式为 an=3-5(n-1)=8-5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项， 则需满足m=4n-1，n∈N+. 所以b1=a3=8-5×3=-7， b2=a7=8-5×7=-27. (2)由(1)知bn+1-bn=a4(n+1)-1-a4n-1=4d=-20， 所以数列{bn}也为等差数列， 且首项b1=-7，公差d'=-20， 所以bn=b1+(n-1)d'=-7+(n-1)×(-20)=13-20n. (3)由(1)知m=4n-1，n∈N+， 所以当n=110时，m=4×110-1=439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项. 学科网（北京）股份有限公司 $$