第1章 2.1 第3课时 等差数列的综合问题-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

等差数列的综合问题 第3课时 第一章 <<< 1.进一步加深对等差数列概念与通项公式的理解. 2.会用恰当的方法判断一个数列是等差数列. 3.学会解决与等差数列有关的综合问题. 学习目标 一、等差数列的判定与证明 二、等差数列项的设法及运算 课时对点练 三、等差数列的综合问题 随堂演练 内容索引 等差数列的判定与证明 一 　　　已知函数f(x)=(x≠0)，数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2，且n∈N+)确定. (1)求证：是等差数列； 例 1 5 xn=f(xn-1)=(n≥2，n∈N+)， 所以==+， -=(n≥2，n∈N+). 所以是等差数列. 6 (2)当x1=时，求x100. 由(1)知. 又因为x1==2. 所以=2+(n-1)×， =2+(100-1)×=35. 所以x100=. 7 (1)定义法：an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N+)⇔{an}是等差数列. (2)通项法：an=kn+b(k，b为常数，n∈N+)⇔{an}是等差数列. (3)等差中项法：2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N+)⇔{an}是等差数列. 反 思 感 悟 判断一个数列是等差数列的方法 8 　　　　　(1)已知a，b，c成等差数列，求证：b+c，c+a，a+b也成等差数列. 跟踪训练 1 因为a，b，c成等差数列， 所以2b=a+c， 所以(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c)， 所以b+c，c+a，a+b成等差数列. 9 (2)已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1)，a1=2，bn=. ①证明：数列{bn}是等差数列； ∵(an+1-1)(an-1)=3[(an-1)-(an+1-1)]， ∴-=，即bn+1-bn=， 又∵a1=2，∴b1=1. ∴数列{bn}是以1为首项，为公差的等差数列. 10 ②求数列{an}的通项公式. 由①得bn=n+=， ∴an-1=，∴an=. 11 二 等差数列项的设法及运算 　　　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 例 2 设四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)， 则 又因为是递增数列，所以d>0， 解得 所以此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1. 13 　　　　　已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式. 延伸探究 14 方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d， 则 即 解得 因为数列{an}为单调递增数列， 所以 从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1，n∈N+. 15 方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设其前三项分别为a-d，a，a+d， 则 即 解得 由于数列{an}为递增数列，因此 从而an=4n-1，n∈N+. 16 反 思 感 悟 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a-d，a，a+d；四个数时，设a-3d，a-d，a+d，a+3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量. 三个数或四个数成等差数列的设法 三 等差数列的综合问题 　　　已知数列{an}中，a1=，an=2-(n≥2，n∈N+)，数列{bn}满足 bn=(n∈N+). 例 3 (1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式； 19 因为an=2-(n≥2，n∈N+)， 所以an-1=， 所以==1+， 即-=1. 因为bn=， 所以bn-bn-1=1(n≥2，n∈N+). 20 又a1=，b1==-， 所以数列{bn}是以b1=-为首项，1为公差的等差数列. 故bn=-+(n-1)×1=n-(n∈N+). 21 (2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项. 由(1)得an=+1=1+， 当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1. 又a1=，a2=-2，a3=， 所以在数列{an}中，最大项为a3=，最小项为a2=-2. 22 反 思 感 悟 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组). (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 解决等差数列综合问题的方法策略 　　　　　已知数列{an}满足a1=1，an=(n∈N+，n≥2)，数列{bn}满足bn=. (1)求证：数列{bn}为等差数列； 跟踪训练 2 ∵an=，且bn=， ∴bn+1====2+， ∴bn+1-bn=2+-=2，又b1==1， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列. 24 (2)求数列{an}的通项公式； 由(1)知数列{bn}的通项公式为 bn=1+(n-1)×2=2n-1， 又bn=，∴an==， ∴数列{an}的通项公式为an=. 25 (3)若对于任意的n∈N+，an≤k恒成立，求实数k的取值范围. 由于an=单调递减，n∈N+，故an≤1， 若对于任意的n∈N+，an≤k恒成立，则k≥1， ∴实数k的取值范围是[1，+∞). 26 1.知识清单： (1)等差数列的判定方法. (2)等差数列项的设法与运算. (3)等差数列的综合问题. 2.方法归纳：定义法、通项公式法、中项法. 3.常见误区： (1)通项公式法判断等差数列时忽视通项公式成立的条件. (2)四个数成等差数列时错误设为a-2d，a-d，a+d，a+2d. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.如果一个数列的前三项分别为1，2，3，下列结论中正确的是 A.它一定是等差数列 B.它一定是递增数列 C.通项公式是an=n D.以上结论都不一定正确 √ 选项A，B，C仅对前三项成立，对整个数列不一定成立，只有选项D符合. 2.已知等差数列{an}满足3a3=4a4，则该数列中一定为零的项为 A.a6 B.a7 C.a8 D.a9 1 2 3 4 √ 因为3a3=4a4， 所以3a3=4(a3+d)=4a3+4d， 所以a3=-4d， 所以an=a3+(n-3)d=-4d+(n-3)d=(n-7)d，所以a7=0. 3.在数列{an}中，a1=1，2an+1-2an=4，则a2 024的值为　　　.  1 2 3 4 由题意，知数列{an}满足2an+1-2an=4，即an+1-an=2，又由a1=1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2 024=1+2 023×2=4 047. 4 047 4.直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为　　　.  1 2 3 4 12 设三边长为a-d，a，a+d(a>d>0)， 则 ⇒⇒a2=48. ∵a>0， ∴a=4， 周长为C=a-d+a+a+d=3a=12. 课时对点练 五 1.等差数列{an}中，am+n=α，am-n=β，则其公差d的值为 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ d==. 2.在数列{an}中，已知an+1-an=an+2-an+1，a1 013=1，则a1+a2 025等于 A.1 B.2 C.3 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为an+1-an=an+2-an+1，所以2an+1=an+an+2，所以{an}为等差数列，因为a1 013=1，所以a1+a2 025=2a1 013=2. 3.在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则3a9-a11的值为 A.6 B.12 C.24 D.48 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1+a15=2a8， ∴a1+3a8+a15=5a8=120. ∴a8=24. 而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这个数列的前三项分别为a-d，a，a+d， 则a-d+a+a+d=3a=9，∴a=3. 而(a-d)2+a2+(a+d)2=35，∴d=±2. ∴所求数列的通项公式为an=2n-1或an=-2n+7.∴a10=19或a10=-13. 4.(多选)一个等差数列的前三项之和为9，前三项的平方和为35，这个数列第10项为 A.-17 B.-13 C.19 D.23 √ √ 5.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有 A.{|an|} B.{an+1-an} C.{pan+q}(p，q为常数) D.{2an+n} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设an=kn+b，则an+1-an=k，故B为常数列，也是等差数列；pan+q=p(kn+b)+q=pkn+(pb+q)，故C为等差数列；2an+n=2(kn+b)+n=(2k+1)n+2b，故D为等差数列； A未必是等差数列，如an=2n-4，则{|an|}的前4项为2，0，2，4，故{|an|}不一定是等差数列. √ √ 6.(多选)甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某甲虫1 min内的爬行时间与相应的爬行距离： 根据表格提供数据，下 列判断正确的是 A.甲虫的爬行距离和时间之间可以建立等差数列模型 B.甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s=9.8t+9.8(t∈N+，t≤60) C.甲虫爬行49 cm需要5 s D.甲虫1 min能爬597.8 cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 时间/s 1 2 3 …   … 60 距离/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 …   1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 以1，2，3，…，60为数列{an}的序号，9.8，19.6，29.4，…为数列{an}的对应项，由表可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8， ∴可建立等差数列模 型.∵a1=9.8，d=9.8， ∴甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s=9.8t(t∈N+，t≤60).当t=1 min =60 s时，s=9.8t=9.8×60=588(cm).当s=49 cm时，t===5(s). 时间/s 1 2 3 …   … 60 距离/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 …   7.在数列{an}中，已知a1=1，=+(n∈N+)，则a50=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 已知条件可化为-=(n∈N+).由等差数列的定义，知 =1，公差为d==1+(50-1)×=，所以a50 =. 8.成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为　　　　 　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2，5，8，11或11，8，5，2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得 ⇒ 解得 ∴所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 9.已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为成等差数列， 所以=+， 即2ac=b(a+c). 因为+= == ==， 所以成等差数列. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知等差数列{an}单调递减，a3=1，a2a4=. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意知a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2a3=2. 又a2a4=，数列{an}单调递减， ∴a4=，a2=. ∴公差d==-， ∴a1=a2-d=2， ∴an=2+(n-1)·=-n+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)判断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由. 由(1)知a1an=2an， 则当n≥2时，2an-2an-1=2(an-an-1)=-1(常数)，∴数列{a1an}是等差数列，且公差为-1. 11.已知函数f(x)=cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)= m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于 A. B.- C. D.- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，m≠0， 若m>0，则公差d=-=π，显然不成立， 所以m<0， 则公差d==， 所以m=cos=-. 12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日、第五日、第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为 A.13 B.14 C.15 D.16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设第一天织a1尺，从第二天起每天比前一天多织d尺， 由已知得 解得 所以第十四日所织尺数为a14=a1+13d=1+13×1=14. 13.设数列{an}是等差数列，bn=，且满足b1+b2+b3=，b1b2b3=，则通项公式an=　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2n-3或-2n+5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为b1b2b3=，bn=， 所以··=， 所以=，所以a1+a2+a3=3， 又因为{an}成等差数列，所以a2=1，a1+a3=2， 所以b1b3=，b1+b3=， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以 即 所以an=2n-3或an=-2n+5. 那么位于表中的第n行 第n+1列的数是　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. n2+n   第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n+1列的数是n+[(n+1)-1]×n=n2+n. 15.设等差数列{an}满足a3+a7=36，a4a6=275，且anan+1有最小值，则这个最小值为 A.-10 B.-12 C.-14 D.-16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意，设该等差数列的首项为a1，公差为d，若a3+a7=36，a4a6=275，则(a1+2d)+(a1+6d)=36，(a1+3d)(a1+5d)=275， 解得 则数列{an}的通项为an=7n-17或an=-7n+53， 当an=7n-17时，anan+1=(7n-17)(7n-10) =49=49-， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 分析可得当n=2时，anan+1有最小值，且其最小值为-12；当an=-7n+53时， anan+1=(-7n+53)(-7n+46) =(7n-53)(7n-46)=49， 因为=≈7.07， 分析可得当n=7时，anan+1有最小值，且其最小值为-12，即anan+1有最小值-12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列5，8，11，…记为{an}，数列3，7，11，…记为{bm}， 则an=5+(n-1)·3=3n+2， bm=3+(m-1)·4=4m-1. 令an=bm，得3n+2=4m-1(n，m∈N+)， 即n=m-1(n，m∈N+). 要使n为正整数，m必须是3的倍数， 记m=3k(k∈N+). ∴n=·3k-1=4k-1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵4k-1≤100，∴k≤，且k∈N+， ∴1≤k≤25. ∴两数列共有25个相同的项. 第一章 <<< $$ 第3课时　等差数列的综合问题 [学习目标]　1.进一步加深对等差数列概念与通项公式的理解.2.会用恰当的方法判断一个数列是等差数列.3.学会解决与等差数列有关的综合问题. 一、等差数列的判定与证明 例1　已知函数f(x)=(x≠0)，数列{xn}的通项由xn=f(xn-1)(n≥2，且n∈N+)确定. (1)求证：是等差数列； (2)当x1=时，求x100. (1)证明　xn=f(xn-1)=(n≥2，n∈N+)， 所以==+， -=(n≥2，n∈N+). 所以是等差数列. (2)解　由(1)知的公差为. 又因为x1=，即=2. 所以=2+(n-1)×， =2+(100-1)×=35. 所以x100=. 反思感悟　判断一个数列是等差数列的方法 (1)定义法：an-an-1=d(常数)(n≥2且n∈N+)⇔{an}是等差数列. (2)通项法：an=kn+b(k，b为常数，n∈N+)⇔{an}是等差数列. (3)等差中项法：2an=an-1+an+1(n≥2且n∈N+)⇔{an}是等差数列. 跟踪训练1　(1)已知a，b，c成等差数列，求证：b+c，c+a，a+b也成等差数列. 证明　因为a，b，c成等差数列， 所以2b=a+c， 所以(b+c)+(a+b)=a+2b+c=a+(a+c)+c=2(a+c)， 所以b+c，c+a，a+b成等差数列. (2)已知数列{an}满足(an+1-1)(an-1)=3(an-an+1)，a1=2，bn=. ①证明：数列{bn}是等差数列； ②求数列{an}的通项公式. ①证明　∵(an+1-1)(an-1)=3[(an-1)-(an+1-1)]， ∴-=，即bn+1-bn=， 又∵a1=2，∴b1=1. ∴数列{bn}是以1为首项，为公差的等差数列. ②解　由①得bn=n+=， ∴an-1=，∴an=. 二、等差数列项的设法及运算 例2　已知四个数依次成等差数列且是递增数列，四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列. 解　设四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d(公差为2d)， 则 又因为是递增数列，所以d>0， 解得 所以此等差数列为-1，2，5，8或-8，-5，-2，1. 延伸探究　已知单调递增的等差数列{an}的前三项之和为21，前三项之积为231，求数列{an}的通项公式. 解　方法一　根据题意，设等差数列{an}的前三项分别为a1，a1+d，a1+2d， 则 即 解得或 因为数列{an}为单调递增数列， 所以 从而等差数列{an}的通项公式为an=4n-1，n∈N+. 方法二　由于数列{an}为等差数列，因此可设其前三项分别为a-d，a，a+d， 则 即 解得或 由于数列{an}为递增数列，因此 从而an=4n-1，n∈N+. 反思感悟　三个数或四个数成等差数列的设法 当三个数或四个数成等差数列且和为定值时，可设出首项a1和公差d列方程组求解，也可采用对称的设法，三个数时，设a-d，a，a+d；四个数时，设a-3d，a-d，a+d，a+3d，利用和为定值，先求出其中某个未知量. 三、等差数列的综合问题 例3　已知数列{an}中，a1=，an=2-(n≥2，n∈N+)，数列{bn}满足bn=(n∈N+). (1)求证：数列{bn}是等差数列，并写出{bn}的通项公式； (2)求数列{an}的通项公式及数列{an}中的最大项与最小项. (1)证明　因为an=2-(n≥2，n∈N+)， 所以an-1=， 所以==1+， 即-=1. 因为bn=， 所以bn-bn-1=1(n≥2，n∈N+). 又a1=，b1==-， 所以数列{bn}是以b1=-为首项，1为公差的等差数列. 故bn=-+(n-1)×1=n-(n∈N+). (2)解　由(1)得an=+1=1+， 当n≥3时，数列{an}是递减数列，且an>1. 又a1=，a2=-2，a3=， 所以在数列{an}中，最大项为a3=，最小项为a2=-2. 反思感悟　解决等差数列综合问题的方法策略 (1)结合等差数列的性质或利用等差中项. (2)利用通项公式，得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程(组)或不等式(组). (3)利用函数或不等式的有关方法解决. 跟踪训练2　已知数列{an}满足a1=1，an=(n∈N+，n≥2)，数列{bn}满足bn=. (1)求证：数列{bn}为等差数列； (2)求数列{an}的通项公式； (3)若对于任意的n∈N+，an≤k恒成立，求实数k的取值范围. (1)证明　∵an=，且bn=， ∴bn+1====2+， ∴bn+1-bn=2+-=2，又b1==1， ∴数列{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列. (2)解　由(1)知数列{bn}的通项公式为 bn=1+(n-1)×2=2n-1， 又bn=，∴an==， ∴数列{an}的通项公式为an=. (3)解　由于an=单调递减，n∈N+，故an≤1， 若对于任意的n∈N+，an≤k恒成立，则k≥1， ∴实数k的取值范围是[1，+∞). 1.知识清单： (1)等差数列的判定方法. (2)等差数列项的设法与运算. (3)等差数列的综合问题. 2.方法归纳：定义法、通项公式法、中项法. 3.常见误区： (1)通项公式法判断等差数列时忽视通项公式成立的条件. (2)四个数成等差数列时错误设为a-2d，a-d，a+d，a+2d. 1.如果一个数列的前三项分别为1，2，3，下列结论中正确的是(　　) A.它一定是等差数列 B.它一定是递增数列 C.通项公式是an=n D.以上结论都不一定正确 答案　D 解析　选项A，B，C仅对前三项成立，对整个数列不一定成立，只有选项D符合. 2.已知等差数列{an}满足3a3=4a4，则该数列中一定为零的项为(　　) A.a6 B.a7 C.a8 D.a9 答案　B 解析　因为3a3=4a4， 所以3a3=4(a3+d)=4a3+4d， 所以a3=-4d， 所以an=a3+(n-3)d=-4d+(n-3)d=(n-7)d，所以a7=0. 3.在数列{an}中，a1=1，2an+1-2an=4，则a2 024的值为　　　　.  答案　4 047 解析　由题意，知数列{an}满足2an+1-2an=4，即an+1-an=2，又由a1=1，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，所以a2 024=1+2 023×2=4 047. 4.直角三角形三边成等差数列，且它的面积为18，它的周长为　　　　.  答案　12 解析　设三边长为a-d，a，a+d(a>d>0)， 则 ⇒⇒a2=48. ∵a>0， ∴a=4， 周长为C=a-d+a+a+d=3a=12. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.等差数列{an}中，am+n=α，am-n=β，则其公差d的值为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　d==. 2.在数列{an}中，已知an+1-an=an+2-an+1，a1 013=1，则a1+a2 025等于(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B 解析　因为an+1-an=an+2-an+1，所以2an+1=an+an+2，所以{an}为等差数列，因为a1 013=1，所以a1+a2 025=2a1 013=2. 3.在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=120，则3a9-a11的值为(　　) A.6 B.12 C.24 D.48 答案　D 解析　∵a1+a15=2a8， ∴a1+3a8+a15=5a8=120. ∴a8=24. 而3a9-a11=3(a8+d)-(a8+3d)=2a8=48. 4.(多选)一个等差数列的前三项之和为9，前三项的平方和为35，这个数列第10项为(　　) A.-17 B.-13 C.19 D.23 答案　BC 解析　设这个数列的前三项分别为a-d，a，a+d， 则a-d+a+a+d=3a=9，∴a=3. 而(a-d)2+a2+(a+d)2=35，∴d=±2. ∴所求数列的通项公式为an=2n-1或an=-2n+7.∴a10=19或a10=-13. 5.(多选)若{an}是等差数列，则下列数列中仍为等差数列的有(　　) A.{|an|} B.{an+1-an} C.{pan+q}(p，q为常数) D.{2an+n} 答案　BCD 解析　设an=kn+b，则an+1-an=k，故B为常数列，也是等差数列；pan+q=p(kn+b)+q=pkn+(pb+q)，故C为等差数列；2an+n=2(kn+b)+n=(2k+1)n+2b，故D为等差数列；A未必是等差数列，如an=2n-4，则{|an|}的前4项为2，0，2，4，故{|an|}不一定是等差数列. 6.(多选)甲虫是行动较快的昆虫之一，下表记录了某甲虫1 min内的爬行时间与相应的爬行距离： 时间/s 1 2 3 … … 60 距离/cm 9.8 19.6 29.4 … 49 … 根据表格提供数据，下列判断正确的是(　　) A.甲虫的爬行距离和时间之间可以建立等差数列模型 B.甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s=9.8t+9.8(t∈N+，t≤60) C.甲虫爬行49 cm需要5 s D.甲虫1 min能爬597.8 cm 答案　AC 解析　以1，2，3，…，60为数列{an}的序号，9.8，19.6，29.4，…为数列{an}的对应项，由表可知，该数列从第2项起，每一项与前一项的差都是常数9.8， ∴可建立等差数列模型.∵a1=9.8，d=9.8， ∴甲虫的爬行距离s关于时间t的关系式是s=9.8t(t∈N+，t≤60).当t=1 min=60 s时，s=9.8t=9.8×60=588(cm).当s=49 cm时，t===5(s). 7.(5分)在数列{an}中，已知a1=1，=+(n∈N+)，则a50=　　　　.  答案　 解析　已知条件可化为-=(n∈N+).由等差数列的定义，知是首项为=1，公差为d=的等差数列，所以=1+(50-1)×=，所以a50=. 8.(5分)成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为　　　　　　　　.  答案　2，5，8，11或11，8，5，2 解析　设这四个数为a-3d，a-d，a+d，a+3d，则由题设得 ⇒ 解得或 ∴所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 9.(10分)已知，，成等差数列，求证：，，也成等差数列. 证明　因为，，成等差数列， 所以=+， 即2ac=b(a+c). 因为+= == ==， 所以，，成等差数列. 10.(10分)已知等差数列{an}单调递减，a3=1，a2a4=. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)判断数列{a1an}是否为等差数列？若是，求出公差；若不是，说明理由.(4分) 解　(1)由题意知a2+a4=a1+d+a1+3d=2(a1+2d)=2a3=2. 又a2a4=，数列{an}单调递减， ∴a4=，a2=. ∴公差d==-， ∴a1=a2-d=2， ∴an=2+(n-1)·=-n+. (2)由(1)知a1an=2an， 则当n≥2时，2an-2an-1=2(an-an-1)=-1(常数)，∴数列{a1an}是等差数列，且公差为-1. 11.已知函数f(x)=cos x，x∈(0，2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)=m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　由题意可知，m≠0， 若m>0，则公差d=-=π，显然不成立， 所以m<0， 则公差d==， 所以m=cos=-. 12.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的一部数学专著，书中有如下问题：今有女子善织，日增等尺，七日织28尺，第二日、第五日、第八日所织之和为15尺，则第十四日所织尺数为(　　) A.13 B.14 C.15 D.16 答案　B 解析　设第一天织a1尺，从第二天起每天比前一天多织d尺， 由已知得 解得 所以第十四日所织尺数为a14=a1+13d=1+13×1=14. 13.(5分)设数列{an}是等差数列，bn=，且满足b1+b2+b3=，b1b2b3=，则通项公式an=　　　　.  答案　2n-3或-2n+5 解析　因为b1b2b3=，bn=， 所以··=， 所以=，所以a1+a2+a3=3， 又因为{an}成等差数列，所以a2=1，a1+a3=2， 所以b1b3=，b1+b3=， 所以或 即或 所以an=2n-3或an=-2n+5. 14.(5分)在数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列. 第1列 第2列 第3列 … 第1行 1 2 3 … 第2行 2 4 6 … 第3行 3 6 9 … … … … … … 那么位于表中的第n行第n+1列的数是　　　.  答案　n2+n 解析　观察可知，第n行的数构成以n为首项，n为公差的等差数列，所以第n行第n+1列的数是n+[(n+1)-1]×n=n2+n. 15.设等差数列{an}满足a3+a7=36，a4a6=275，且anan+1有最小值，则这个最小值为(　　) A.-10 B.-12 C.-14 D.-16 答案　B 解析　根据题意，设该等差数列的首项为a1，公差为d，若a3+a7=36，a4a6=275，则(a1+2d)+(a1+6d)=36，(a1+3d)(a1+5d)=275， 解得或 则数列{an}的通项为an=7n-17或an=-7n+53， 当an=7n-17时，anan+1=(7n-17)(7n-10) =49=49-， 分析可得当n=2时，anan+1有最小值，且其最小值为-12；当an=-7n+53时， anan+1=(-7n+53)(-7n+46) =(7n-53)(7n-46)=49， 因为=≈7.07， 分析可得当n=7时，anan+1有最小值，且其最小值为-12，即anan+1有最小值-12. 16.(12分)两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解　数列5，8，11，…记为{an}，数列3，7，11，…记为{bm}， 则an=5+(n-1)·3=3n+2， bm=3+(m-1)·4=4m-1. 令an=bm，得3n+2=4m-1(n，m∈N+)， 即n=m-1(n，m∈N+). 要使n为正整数，m必须是3的倍数， 记m=3k(k∈N+). ∴n=·3k-1=4k-1. ∵4k-1≤100，∴k≤，且k∈N+， ∴1≤k≤25. ∴两数列共有25个相同的项. 学科网（北京）股份有限公司 $$