第1章 2.1 第2课时 等差数列的性质及应用-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

第2课时　等差数列的性质及应用 [学习目标]　1.了解等差中项的概念.2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质.3.能运用等差数列的性质解决有关问题. 导语 悉尼歌剧院(Sydney Opera House)，位于澳大利亚新南威尔士州悉尼市区北部的便利朗角(Bennelong Point)，1959年3月动工建造，1973年10月20日正式投入使用，是澳大利亚地标式建筑.它占地面积1.8公顷，坐落在距离海面19米的花岗岩基座上，最高的壳顶距海面60米，总建筑面积88 000平方米.音乐厅是悉尼歌剧院最大的厅，共有2 678个座位，舞台正面第一排有35个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为35，37，39，41，43，….第20排的座位数与第18排与第22排的座位数的和有什么关系？ 一、等差中项 问题1　由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 提示　由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2. 知识梳理 等差中项的概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的等差中项，即A=. 注意点： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A=. 例1　在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 解　∵-1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是-1与7的等差中项， ∴b==3. 又a是-1与3的等差中项， ∴a==1. 又c是3与7的等差中项，∴c==5. ∴该数列为-1，1，3，5，7. 反思感悟　在等差数列{an}中， (1)an是an-1与an+1(n≥2，n∈N+)的等差中项，即an=(n≥2，n∈N+). (2)当m+n=2p时，有ap是am与an的等差中项. 跟踪训练1　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 解　由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m+n=10. 两式相加，得3m+3n=18，即m+n=6. 所以m和n的等差中项为=3. 二、等差数列与一次函数的关系 问题2　观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 提示　一次函数. 知识梳理 从函数角度研究等差数列 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率，即自变量每增加1，函数值增加d. 当d>0时，数列{an}为递增数列，如图甲所示. 当d<0时，数列{an}为递减数列，如图乙所示. 当d=0时，数列{an}为常数列，如图丙所示. 注意点： 通项法判定等差数列：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列. 例2　(多选)下列判断正确的是(　　) A.等差数列{an}中，a3=4，a4=2，则数列{an}是递增数列 B.若an=kn+b(k，b为常数，n∈N+)，则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列，且an=kn2-n，则k=0 答案　BCD 解析　A项，公差d=a4-a3=-2<0，所以数列{an}是递减数列；因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确. 反思感悟　根据等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知{an}为等差数列⇔an=pn+q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质. 跟踪训练2　等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是(　　) A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 答案　B 解析　∵a1=20，d=-3， ∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n， ∴a7=2>0，a8=-1<0. ∴数列中第一个负数项是第8项. 三、等差数列的性质 问题3　在等差数列{an}中，如果p+q=m+n(m，n，p，q∈N+)，那么ap+aq与am+an有何数量关系？ 提示　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d， am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d， 所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d， am+an=2a1+(m+n-2)d， 因为p+q=m+n， 所以ap+aq=am+an. 知识梳理 等差数列的性质 (1) 若数列{an}是公差为d的等差数列，则 ①数列{λan+b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列. ②抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N+)组成公差为md的新的等差数列. ③若数列{bn}也为等差数列，则{kan+mbn}(k，m∈N+)也成等差数列. (2)等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N+，且p+q=m+n，则ap+aq=am+an. 注意点： (1)性质2的逆命题不一定成立. (2)特别地，若m+n=2p，则am+an=2ap. (3)在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N+，且l+m+n=p+q+r，则al+am+an=ap+aq+ar. 例3　(1)已知等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1=2，d2=1，则数列{2an-3bn}的公差为(　　) A.7 B.5 C.3 D.1 答案　D 解析　∵{an}，{bn}为等差数列， ∴数列{2an-3bn}的公差d=(2an+1-3bn+1)-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)=2d1-3d2=1. (2)①若{an}为等差数列，且a15=8，a60=20，求a75； ②若{an}为等差数列，且a1-a3+a9-a15+a17=117，求a3+a15的值. 解　①方法一　由已知条件， 得a15=a1+14d=8， a60=a1+59d=20. 由上述两式解得a1=，d=， 故a75=a1+74d=+74×=24. 方法二　∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列. 设新的等差数列的公差为d1， 则a60=a15+3d1=8+3d1=20， 解得d1=4，故a75=a60+d1=24. ②∵{an}是等差数列， ∴a1+a17=a3+a15=2a9. 又∵a1-a3+a9-a15+a17=117， ∴a9=117， ∴a3+a15=2a9=234. 延伸探究　本例(2)②若改为等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0.若ak=a1+a2+a3+…+a7，试求k的值. 解　因为数列{an}为等差数列， 首项a1=0，公差d≠0， 所以ak=a1+(k-1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d， 解得k=22. 反思感悟　解决等差数列运算问题的一般方法 一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想. 1.知识清单： (1)等差中项的概念. (2)等差数列与一次函数的关系. (3)等差数列的性质. 2.方法归纳：函数法、列方程组法、转化法、整体代换法. 3.常见误区： (1)对等差数列的性质不理解而致错. (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐. 1.已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D. 答案　B 解析　由等差中项的定义知2a=1+5=6， 所以a=3. 2.在等差数列{an}中，a4+a5=15，a7=12，则a2等于(　　) A.3 B.-3 C. D.- 答案　A 解析　由等差数列的性质，得a4+a5=a2+a7， 所以a2=15-12=3. 3.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1，5a2，5a3，…，5an是(　　) A.公差为d的等差数列 B.公差为5d的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 答案　B 解析　由等差数列的定义知an-an-1=d，所以5an-5an-1=5(an-an-1)=5d. 4.写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an=　　　　，①am+n=am+an(m，n∈N+)；②{an}单调递增.  答案　n(答案不唯一) 解析　假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得， a1+(m+n-1)d=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d⇒a1=d， 再根据性质②可知，显然an=n满足题意. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.在等差数列{an}中，若a1=6，a11=10，则a3+a9等于(　　) A.14 B.15 C.16 D.8 答案　C 解析　由等差数列性质可知， a3+a9=a1+a11=16. 2.已知等差数列{an}的各项都是负数，且++2a3a8=9，则a5+a6的值为(　　) A.3 B.-3 C.±3 D.-9 答案　B 解析　由++2a3a8=9，得(a3+a8)2=9，得a3+a8=±3，又a5+a6=a3+a8且数列{an}各项都是负数，∴a5+a6=-3. 3.在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根，则a2+a1 013+a2 024等于(　　) A.10 B.15 C.20 D.40 答案　B 解析　∵a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 024=10， 由等差数列的性质得2a1 013=10，即a1 013=5， ∴a2+a1 013+a2 024=3a1 013=15. 4.在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为(　　) A. B.30 C.-2 D.2 答案　D 解析　设16个数对应公差为d(d>0)的等差数列{an}的前16项，则由题意可知，a1=1，a16=31，故a16-a1=15d=30，解得d=2. 5.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列{an+bn}的第37项为(　　) A.0 B.37 C.100 D.-37 答案　C 解析　设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则(an+1+bn+1)-(an+bn) =(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2， 所以数列{an+bn}仍然是等差数列. 又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0，所以a37+b37=a1+b1=100. 6.(多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的说法正确的是(　　) A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an+3nd}是递增数列 答案　AD 解析　对于A，因为an=a1+(n-1)d，d>0，所以an+1-an=d>0，A正确；对于B，nan=na1+n(n-1)d，所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，故数列{nan}不一定递增，B不正确；对于C，=+d，所以-=(n≥2)，当d-a1>0，即d>a1时，数列递增，但d>a1不一定成立，C不正确；对于D，设bn=an+3nd，则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0，所以数列{an+3nd}是递增数列，D正确. 7.(5分)已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为　　　　.  答案　- 解析　由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π，所以a7=，所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-. 8.(5分)设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a+b=　　　　.  答案　2 解析　∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项， ∴2ln 3=ln 9a+ln 3b， ∴ln 32=ln(9a·3b)=ln 32a+b， ∴32=32a+b， ∴2a+b=2. 9.(10分)画出数列an=的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率. 解　画出图象如图所示. 由图象可得，直线的斜率k=1. 10.(10分)在等差数列{an}中. (1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13；(4分) (2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求公差d.(6分) 解　(1)根据已知条件a2+a3+a23+a24=48， 得4a13=48，∴a13=12. (2)由a2+a3+a4+a5=34，得2(a2+a5)=34， 即a2+a5=17， 由解得或 ∴d===3或d===-3. 11.首项为-24的等差数列{an}，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　设an=-24+(n-1)d，n∈N+， 由解得<d≤3. 12.(多选)已知数列{an}的通项公式为an=a+bn(a，b为常数)，则下列说法正确的是(　　) A.若a2>a1，则a3>a1 B.若a2>a1，则a3>a2 C.若a3>a1，则a2>a1 D.若a2>a1，则a1+a2>a1 答案　ABC 解析　由an=a+bn，知an+1=a+b(n+1)， 所以an+1-an=b， 故数列{an}是等差数列，且公差为b. 由等差数列的单调性可得，若a2>a1， 则公差d>0， 所以数列{an}是递增数列，故A，B一定成立； 若a3>a1，则a3-a1=2d>0，即d>0， 所以数列{an}是递增数列， 所以a2>a1，故C一定成立； 当a2≤0时，a1+a2>a1不成立，故D不一定成立. 13.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有(　　) A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=0 答案　CD 解析　∵a1+a2+…+a101=0， 又a1+a101=a2+a100=a3+a99=…=2a51， ∴a51=0=a3+a99. 14.(5分)在△ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为　　　　.  答案　等边三角形 解析　因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列， 得lg sin A+lg sin C=2lg sin B， 即sin2B=sin Asin C， ① 又三个内角A，B，C也成等差数列， 所以B=60°，代入①得sin Asin C=， ② 设A=60°-α，C=60°+α，0°≤α<60°， 代入②得sin(60°+α)sin(60°-α)=， ⇒cos2α-sin2α=， 即cos2α=1，所以α=0°， 所以A=B=C=60°，所以△ABC为等边三角形. 15.(5分)若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3，则{an}的通项公式为　　　　　　　.  答案　an=2n- 解析　由题意得an+1+an=4n-3， ① an+2+an+1=4n+1， ② ②-①，得an+2-an=4. ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d=2. ∵a1+a2=1， ∴a1+a1+d=1，∴a1=-. ∴an=2n-. 16.(12分)已知f(x)=x2-2x-3，在等差数列{an}中，a1=f(x-1)，a2=-，a3=f(x)，求： (1)x的值；(6分) (2)通项公式an.(6分) 解　(1)由f(x)=x2-2x-3， 得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3 =x2-4x， a3=x2-2x-3， 又因为a1，a2，a3成等差数列， 所以2a2=a1+a3， 即-3=x2-4x+x2-2x-3， 解得x=0或x=3. (2)当x=0时，a1=0，d=a2-a1=-， 此时an=a1+(n-1)d=-(n-1)； 当x=3时，a1=-3，d=a2-a1=， 此时an=a1+(n-1)d=(n-3). 学科网（北京）股份有限公司 $$ 等差数列的性质及应用 第2课时 第一章 <<< 1.了解等差中项的概念. 2.能根据等差数列的定义推出等差数列的常用性质. 3.能运用等差数列的性质解决有关问题. 学习目标 悉尼歌剧院(Sydney Opera House)，位于澳大利亚新南威尔士州悉尼市区北部的便利朗角(Bennelong Point)，1959年3月动工建造，1973年10月20日正式投入使用，是澳大利亚地标式建筑.它占地面积1.8公顷，坐落在距离海面19米的花岗岩基座上，最高的壳顶距海面60米，总建筑面积88 000平方米.音乐厅是悉尼歌剧院最大的厅，共有2 678个座位，舞台正面第一排有35个座位，从第二排起，后一排都比前一排多2个座位，那么各排的座位数依次为35，37，39，41，43，….第20排的座 位数与第18排与第22排的座位数的和有 什么关系？ 导 语 一、等差中项 二、等差数列与一次函数的关系 课时对点练 三、等差数列的性质 随堂演练 内容索引 等差中项 一 由等差数列的定义可知，如果1，x，3这三个数是等差数列，你能求出x的值吗？ 问题1 提示　由定义可知x-1=3-x，即2x=1+3，x=2. 等差中项的概念 如果在a与b之间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A叫作a与b的_________，即A=. 等差中项 知识梳理 (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A=. 注 意 点 <<< 8 　　　在-1与7之间顺次插入三个数a，b，c，使这五个数成等差数列，求此数列. 例 1 ∵-1，a，b，c，7成等差数列， ∴b是-1与7的等差中项， ∴b==3. 又a是-1与3的等差中项， ∴a==1. 又c是3与7的等差中项，∴c==5. ∴该数列为-1，1，3，5，7. 9 在等差数列{an}中， (1)an是an-1与an+1(n≥2，n∈N+)的等差中项，即an= (n≥2，n∈N+). (2)当m+n=2p时，有ap是am与an的等差中项. 反 思 感 悟 10 　　　　　若m和2n的等差中项为4，2m和n的等差中项为5，求m和n的等差中项. 跟踪训练 1 由m和2n的等差中项为4，得m+2n=8. 又由2m和n的等差中项为5，得2m+n=10. 两式相加，得3m+3n=18，即m+n=6. 所以m和n的等差中项为=3. 11 二 等差数列与一次函数的关系 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 问题2 提示　一次函数. 从函数角度研究等差数列 对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可将an记作f(n)，是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些_______的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的_____，即自变量每增加1，函数值增加d. 当_____时，数列{an}为_________，如图甲所示. 等间隔 斜率 d>0 递增数列 知识梳理 当____时，数列{an}为________，如图乙所示. 当____时，数列{an}为_______，如图丙所示. d<0 递减数列 d=0 常数列 通项法判定等差数列：an为n的一次函数⇔{an}为等差数列. 注 意 点 <<< 16 　　　(多选)下列判断正确的是 A.等差数列{an}中，a3=4，a4=2，则数列{an}是递增数列 B.若an=kn+b(k，b为常数，n∈N+)，则数列{an}是等差数列 C.等差数列的公差相当于图象法表示数列时直线的斜率 D.若数列{an}是等差数列，且an=kn2-n，则k=0 例 2 A项，公差d=a4-a3=-2<0，所以数列{an}是递减数列； 因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，公差是一次函数图象的斜率，所以B，C，D均正确. √ √ √ 17 反 思 感 悟 根据等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d)，可知{an}为等差数列⇔an=pn+q(p，q为常数)，此结论可用来判断{an}是否为等差数列，也揭示了等差数列的函数本质. 　　　　　等差数列20，17，14，11，…中第一个负数项是 A.第7项 B.第8项 C.第9项 D.第10项 跟踪训练 2 √ ∵a1=20，d=-3， ∴an=20+(n-1)×(-3)=23-3n， ∴a7=2>0，a8=-1<0. ∴数列中第一个负数项是第8项. 19 三 等差数列的性质 在等差数列{an}中，如果p+q=m+n(m，n，p，q∈N+)，那么ap+aq与am+an有何数量关系？ 问题3 提示　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 则ap=a1+(p-1)d，aq=a1+(q-1)d， am=a1+(m-1)d，an=a1+(n-1)d， 所以ap+aq=2a1+(p+q-2)d， am+an=2a1+(m+n-2)d， 因为p+q=m+n， 所以ap+aq=am+an. 等差数列的性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列，则 ①数列{λan+b}(λ，b是常数)是公差为λd的等差数列. ②抽取下标成等差数列且公差为m的项ak，ak+m，ak+2m，…(k，m∈N+)组成公差为____的新的等差数列. ③若数列{bn}也为等差数列，则{kan+mbn}(k，m∈N+)也成等差数列. (2)等差数列{an}中，若m，n，p，q∈N+，且p+q=m+n，则ap+aq=am+an. md 知识梳理 (1)性质2的逆命题不一定成立. (2)特别地，若m+n=2p，则am+an=2ap. (3)在等差数列{an}中，若l，m，n，p，q，r∈N+，且l+m+n= p+q+r，则al+am+an=ap+aq+ar. 注 意 点 <<< 23 　　　(1)已知等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1=2，d2=1，则数列{2an-3bn}的公差为 A.7 B.5 C.3 D.1 例 3 √ ∵{an}，{bn}为等差数列， ∴数列{2an-3bn}的公差d=(2an+1-3bn+1)-(2an-3bn)=2(an+1-an)-3(bn+1-bn)= 2d1-3d2=1. 24 (2)①若{an}为等差数列，且a15=8，a60=20，求a75； 25 方法一　由已知条件， 得a15=a1+14d=8，a60=a1+59d=20. 由上述两式解得a1=，d=， 故a75=a1+74d=+74×=24. 方法二　∵{an}为等差数列， ∴a15，a30，a45，a60，a75也成等差数列. 设新的等差数列的公差为d1， 则a60=a15+3d1=8+3d1=20， 解得d1=4，故a75=a60+d1=24. 26 ②若{an}为等差数列，且a1-a3+a9-a15+a17=117，求a3+a15的值. ∵{an}是等差数列， ∴a1+a17=a3+a15=2a9. 又∵a1-a3+a9-a15+a17=117， ∴a9=117， ∴a3+a15=2a9=234. 27 　　　　　本例(2)②若改为等差数列{an}中，首项a1=0，公差d≠0.若ak=a1+a2+a3+…+a7，试求k的值. 因为数列{an}为等差数列， 首项a1=0，公差d≠0， 所以ak=a1+(k-1)d=a1+a2+a3+…+a7=7a4=21d， 解得k=22. 延伸探究 28 反 思 感 悟 一是灵活运用等差数列{an}的性质；二是利用通项公式，转化为等差数列的首项与公差的函数关系求解，属于通用方法，或者兼而有之.这些方法都运用了整体代换与方程的思想. 解决等差数列运算问题的一般方法 1.知识清单： (1)等差中项的概念. (2)等差数列与一次函数的关系. (3)等差数列的性质. 2.方法归纳：函数法、列方程组法、转化法、整体代换法. 3.常见误区： (1)对等差数列的性质不理解而致错. (2)不注意运用性质而出错或解法烦琐. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知数列1，a，5是等差数列，则实数a的值为 A.2 B.3 C.4 D. √ 由等差中项的定义知2a=1+5=6， 所以a=3. 2.在等差数列{an}中，a4+a5=15，a7=12，则a2等于 A.3 B.-3 C. D.- 1 2 3 4 √ 由等差数列的性质，得a4+a5=a2+a7， 所以a2=15-12=3. 3.等差数列a1，a2，a3，…，an的公差为d，则数列5a1，5a2，5a3，…，5an是 A.公差为d的等差数列 B.公差为5d的等差数列 C.非等差数列 D.以上都不对 1 2 3 4 由等差数列的定义知an-an-1=d，所以5an-5an-1=5(an-an-1)=5d. √ 4.写出一个具有下列性质①②的数列{an}的通项公式an=　 　　　，①am+n=am+an(m，n∈N+)；②{an}单调递增.  1 2 3 4 n(答案不唯一) 假设数列为等差数列，设其公差为d，由性质①可得， a1+(m+n-1)d=a1+(m-1)d+a1+(n-1)d⇒a1=d， 再根据性质②可知，显然an=n满足题意. 课时对点练 五 1.在等差数列{an}中，若a1=6，a11=10，则a3+a9等于 A.14 B.15 C.16 D.8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 由等差数列性质可知， a3+a9=a1+a11=16. 2.已知等差数列{an}的各项都是负数，且++2a3a8=9，则a5+a6的值为 A.3 B.-3 C.±3 D.-9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由++2a3a8=9，得(a3+a8)2=9，得a3+a8=±3，又a5+a6=a3+a8且数列{an}各项都是负数，∴a5+a6=-3. 3.在等差数列{an}中，若a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根，则a2+a1 013+ a2 024等于 A.10 B.15 C.20 D.40 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a2，a2 024为方程x2-10x+16=0的两根， ∴a2+a2 024=10， 由等差数列的性质得2a1 013=10，即a1 013=5， ∴a2+a1 013+a2 024=3a1 013=15. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 设16个数对应公差为d(d>0)的等差数列{an}的前16项，则由题意可知，a1=1，a16=31，故a16-a1=15d=30，解得d=2. 4.在1和31之间插入14个数，使它们与1，31组成公差大于零的等差数列，则该数列的公差为 A. B.30 C.-2 D.2 √ 5.已知数列{an}，{bn}都是等差数列，且a1=25，b1=75，a2+b2=100，那么数列{an+bn}的第37项为 A.0　　　　B.37　　　　C.100　　　　D.-37 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 设等差数列{an}，{bn}的公差分别为d1，d2， 则(an+1+bn+1)-(an+bn) =(an+1-an)+(bn+1-bn)=d1+d2， 所以数列{an+bn}仍然是等差数列. 又d1+d2=(a2+b2)-(a1+b1)=100-(25+75)=0，所以a37+b37=a1+b1=100. 6.(多选)下面关于公差d>0的等差数列{an}的说法正确的是 A.数列{an}是递增数列 B.数列{nan}是递增数列 C.数列是递增数列 D.数列{an+3nd}是递增数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于A，因为an=a1+(n-1)d，d>0，所以an+1-an=d>0，A正确； 对于B，nan=na1+n(n-1)d，所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关，故数列{nan}不一定递增，B不正确； 对于C，=+d，所以-=(n≥2)，当d-a1>0，即d>a1时，数列递增，但d>a1不一定成立，C不正确； 对于D，设bn=an+3nd，则bn+1-bn=an+1-an+3d=4d>0，所以数列{an+3nd}是递增数列，D正确. 7.已知数列{an}为等差数列且a1+a7+a13=4π，则tan(a2+a12)的值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 - 由等差数列的性质得a1+a7+a13=3a7=4π，所以a7=，所以tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan =tan =-. 8.设a>0，b>0，若ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项，则2a+b=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵ln 3是ln 9a与ln 3b的等差中项， ∴2ln 3=ln 9a+ln 3b， ∴ln 32=ln(9a·3b)=ln 32a+b， ∴32=32a+b， ∴2a+b=2. 2 9.画出数列an=的图象，并求经过图象上所有点的直线的斜率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 画出图象如图所示. 由图象可得，直线的斜率k=1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.在等差数列{an}中. (1)已知a2+a3+a23+a24=48，求a13； 根据已知条件a2+a3+a23+a24=48， 得4a13=48，∴a13=12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)已知a2+a3+a4+a5=34，a2·a5=52，求公差d. 由a2+a3+a4+a5=34，得2(a2+a5)=34， 即a2+a5=17， 由 ∴d===3或d===-3. 11.首项为-24的等差数列{an}，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是 A. B. C. D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 设an=-24+(n-1)d，n∈N+， 由<d≤3. 12.(多选)已知数列{an}的通项公式为an=a+bn(a，b为常数)，则下列说法正确的是 A.若a2>a1，则a3>a1 B.若a2>a1，则a3>a2 C.若a3>a1，则a2>a1 D.若a2>a1，则a1+a2>a1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an=a+bn，知an+1=a+b(n+1)， 所以an+1-an=b， 故数列{an}是等差数列，且公差为b. 由等差数列的单调性可得，若a2>a1， 则公差d>0， 所以数列{an}是递增数列，故A，B一定成立； 若a3>a1，则a3-a1=2d>0，即d>0， 所以数列{an}是递增数列， 所以a2>a1，故C一定成立； 当a2≤0时，a1+a2>a1不成立，故D不一定成立. 13.(多选)已知等差数列{an}满足a1+a2+a3+…+a101=0，则有 A.a1+a101>0 B.a1+a101<0 C.a3+a99=0 D.a51=0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵a1+a2+…+a101=0， 又a1+a101=a2+a100=a3+a99=…=2a51， ∴a51=0=a3+a99. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在△ABC中，若lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列，且三个内角A，B，C也成等差数列，则△ABC的形状为　　 .  等边三角形 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为lg sin A，lg sin B，lg sin C成等差数列， 得lg sin A+lg sin C=2lg sin B， 即sin2B=sin Asin C， ① 又三个内角A，B，C也成等差数列， 所以B=60°，代入①得sin Asin C=， ② 设A=60°-α，C=60°+α，0°≤α<60°， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 代入②得sin(60°+α)sin(60°-α)=， ⇒cos2α-sin2α=， 即cos2α=1，所以α=0°， 所以A=B=C=60°，所以△ABC为等边三角形. 15.若等差数列{an}满足an+1+an=4n-3，则{an}的通项公式为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 an=2n- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意得an+1+an=4n-3， ① an+2+an+1=4n+1， ② ②-①，得an+2-an=4. ∵{an}是等差数列，设公差为d，∴d=2. ∵a1+a2=1， ∴a1+a1+d=1，∴a1=-. ∴an=2n-. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知f(x)=x2-2x-3，在等差数列{an}中，a1=f(x-1)，a2=-，a3=f(x)，求： (1)x的值； 由f(x)=x2-2x-3， 得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x， a3=x2-2x-3， 又因为a1，a2，a3成等差数列， 所以2a2=a1+a3， 即-3=x2-4x+x2-2x-3， 解得x=0或x=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)通项公式an. 当x=0时，a1=0，d=a2-a1=-， 此时an=a1+(n-1)d=-(n-1)； 当x=3时，a1=-3，d=a2-a1=， 此时an=a1+(n-1)d=(n-3). 第一章 <<< $$