第1章 §5 数学归纳法-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

[学习目标]　1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明简单的数学命题. 导语 从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马.第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马.三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！ 第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？ 一、数学归纳法的理解 问题　在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下.试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ 提示　需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题. 知识梳理 数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等)时，命题成立； (2)假设当n=k(k∈N+，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时，命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 注意点： (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. 例1　(1)用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，在验证n=1成立时，左边所得的代数式是(　　) A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 答案　C 解析　当n=1时，2n+1=2×1+1=3，所以左边为1+2+3. (2)用数学归纳法证明：1+2+3+…+n2=，则n=k+1时，在n=k时的左端应加上　　　　.  答案　(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 解析　n=k时，左端为1+2+3+…+k2， n=k+1时， 左端为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2， 所以在n=k时的左端应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. 反思感悟　数学归纳法的三个关键点 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 跟踪训练1　对于不等式<n+1(n∈N+)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n=1时，<1+1，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即<k+1， 则当n=k+1时， =< ==(k+1)+1， ∴当n=k+1时，不等式成立，则上述证法(　　) A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 答案　D 解析　在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法. 二、利用数学归纳法证明等式、不等式 例2　证明：++…+=(n∈N+). 证明　(1)当n=1时，左边==， 右边==， 左边=右边，所以等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时等式成立，即有 ++…+=， 则当n=k+1时， ++…++ =+= ===. 所以当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N+等式都成立. 反思感悟　用数学归纳法证明等式的方法 跟踪训练2　用数学归纳法证明：1+++…+<2(n∈N+). 证明　(1)当n=1时，左边=1，右边=2，左边<右边，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立， 即1+++…+<2. 则当n=k+1时，1+++…++<2+= <==2. ∴当n=k+1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N+都成立. 三、归纳—猜想—证明 例3　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an=，且a1=. (1)求a2，a3； (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 解　(1)a2==， a1=，则a2=，同理求得a3=. (2)由a1=，a2=，a3=，…， 猜想：an=. 证明：①当n=1时， 左边=a1=， 右边==，左边=右边，等式成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时猜想成立， 即ak=， 那么当n=k+1时，由an=， 得ak=，ak+1=， 所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)·=. Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1， ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-， 因此，k(2k+3)ak+1=， 所以ak+1= =. 所以当n=k+1时，等式也成立. 由①②可知，猜想an=对任何n∈N+都成立. 反思感悟　“归纳—猜想—证明”的解题步骤 跟踪训练3　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且Sn++2=an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明. 解　S1=a1=-， S2++2=S2-⇒S2=-， S3++2=S3-S2⇒S3=-， S4++2=S4-S3⇒S4=-. 猜想：Sn=-(n∈N+). 下面用数学归纳法证明. (1)当n=1时，左边=S1=a1=-， 右边=-=-. ∵左边=右边，∴原等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，等式成立， 即Sk=-成立，则当n=k+1时，由Sk+1++2=Sk+1-Sk得 =-Sk-2=-2===-， ∴Sk+1=-=-， ∴当n=k+1时，原等式也成立. 综合(1)(2)得，对一切n∈N+，Sn=-都成立. 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念. (2)用数学归纳法证明等式、不等式. (3)“归纳—猜想—证明”问题. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错. 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)，验证当n=1时，左边应取的项是(　　) A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 答案　D 解析　当n=1时，左边=1+2+3+4. 2.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由n=k到n=k+1的凸n边形的内角和增加(　　) A. B.π C. D.2π 答案　B 解析　如图， 由n=k到n=k+1时， 凸n边形的内角和增加∠1+∠2+∠3=π. 3.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2，则当n=k+1时，表达式为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 解析　当n=k+1时， 表达式左侧为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)，表达式右侧为(k+1)(k+2)2， 则当n=k+1时，表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2. 4.观察下列不等式：1>，1++>1，1+++…+>，1+++…+>2，1+++…+>，…，由此猜测第n个不等式为　　　　　　　　　(n∈N+).  答案　1+++…+> 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共12分 1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为(　　) A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 答案　D 解析　当n=1时，左边=1+2+22+23. 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2，k∈N+)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证(　　) A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 答案　B 解析　因为n为正偶数， 所以当n=k时，下一个偶数为k+2. 3.在数列{an}中，a1=2，an+1=(n∈N+)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出数列{an}的通项公式为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　a1=2，a2=，a3=，a4=，…， 可推测an=. 4.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)·(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立，则a，b的值等于(　　) A.a=1，b=3 B.a=-1，b=1 C.a=1，b=2 D.a=2，b=3 答案　D 解析　当n=1时，原式可化为ab+a+b=11， ① 当n=2时，原式可化为ab+2(a+b)=16. ② 由①②可得a+b=5，ab=6，验证可知只有选项D适合. 5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是(　　) A.若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立 答案　AD 解析　若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，故A正确；若f(4)≥5成立，则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4，n0∈N+)，即f(k)≥k+1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立，故D正确.所以选AD. 6.已知f(n)=+++…+，则(　　) A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+ B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=++ C.f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=+ D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=++ 答案　D 解析　观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2-n+1. 7.(5分)用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的过程如下： ①当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立. ②假设当n=k时，等式成立，即 1+2+22+…+2k-1=2k-1， 则当n=k+1时，1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1， 所以当n=k+1时等式成立. 由此可知，对任何n∈N+，等式都成立.上述证明的错误是　　　　　　　　　　　　.  答案　没有用上归纳假设进行递推 解析　当n=k+1时正确的解法是， 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1， 即上述证明的错误是没有用上归纳假设进行递推. 8.(5分)若f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是　　　 　　　　　　　　.  答案　f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2 解析　因为f(k)=12+22+…+(2k)2， f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2， 所以f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2， 即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. 9.(10分)用数学归纳法证明： …=(n≥2，n∈N+). 证明　(1)当n=2时，左边=1-=， 右边==，∴左边=右边. ∴当n=2时等式成立. (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时等式成立， 即=. 那么当n=k+1时，利用归纳假设有 ==· ==， 即当n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N+等式恒成立. 10.(11分)用数学归纳法证明：1+≤1+++…+≤+n(n∈N+). 证明　(1)当n=1时，左式=1+，右式=+1， 且≤1+≤，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，命题成立， 即1+≤1+++…+≤+k， 则当n=k+1时，1+++…++++…+>1++2k·=1+. 又1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1)， 即当n=k+1时，命题也成立. 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N+都成立. 11.(多选)已知一个命题p(k)，k=2n(n∈N+)，若当n=1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n=1 001时也成立，则下列判断中正确的是(　　) A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 答案　AD 解析　由题意知p(k)对k=2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. 12.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”，当n=k+1时，只需展开(　　) A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 答案　A 解析　假设当n=k时，原式=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除，当n=k+1时，原式=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可. 13.(5分)已知f(n)=1+++…+(n∈N+)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)-f(2k)=　　　　　.  答案　++…+ 解析　f(2k+1)=1+++…++++…+ =f(2k)+++…+， ∴f(2k+1)-f(2k)=++…+. 14.(5分)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+成立，那么a=　　　　，b=　　　　，c=　　　　.  答案　　　 解析　把n=1，2，3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c， 可得 整理并解得 15.(5分)用数学归纳法证明当n∈N+，1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时，当n=1时，原式为　　　　　　　　，从n=k到n=k+1需增添的项是　　　　　　　　.  答案　1+2+22+23+24　25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4 解析　当n=1时，原式=1+2+22+…+25×1-1 =1+2+22+23+24； 1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4. 16.(12分)设函数y=f(x)，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1)求f(0)的值；(3分) (2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(4分) (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N+)的表达式并用数学归纳法证明.(5分) 解　(1)令x=y=0， 得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0，得f(0)=0. (2)由f(1)=1， 得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4； f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9； f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16. (3)由(2)可猜想f(n)=n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，f(1)=12=1，显然成立. ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，命题成立， 即f(k)=k2， 则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1=k2+1+2k=(k+1)2， 即当n=k+1时命题也成立， 由①②可知，对一切n∈N+都有f(n)=n2成立. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< *§5　数学归纳法 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明简单的数学命题. 学习目标 从前有一位画家，为了测试他的三个徒弟对绘画奥妙的掌握程度，就把他们叫来，让他们用最少的笔墨，画出最多的马.第一个徒弟在卷子上密密麻麻地画了一群马；第二个徒弟为了节省笔墨，只画出许多马头；第三个徒弟在纸上用笔勾画出两座山峰，再从山谷中走出一匹马，后面还有一匹只露出半截身子的马.三张画稿交上去，评判结果是最后一幅画被认定为佳作，构思巧妙，笔墨经济，以少胜多！ 第三张画稿只画了一匹半马，为何能胜过一群马呢？你知道其中蕴含的数学原理吗？ 导 语 一、数学归纳法的理解 二、利用数学归纳法证明等式、不等式 课时对点练 三、归纳—猜想—证明 随堂演练 内容索引 数学归纳法的理解 一 在学校，我们经常会看到这样一种现象：排成一排的自行车，如果一个同学不小心将第一辆自行车弄倒了，那么整排自行车就会倒下.试想要使整排自行车倒下，需要具备哪几个条件？这种现象对你有何启发？ 问题 提示　需要具备的条件：(1)第一辆自行车倒下；(2)任意相邻的两辆自行车，前一辆倒下一定导致后一辆倒下.这种现象使我们想到一些与正整数n有关的数学问题. 数学归纳法是用来证明某些与_________有关的数学命题的一种方法，它的基本步骤是： (1)证明：当n取_______值n0(n0是一个确定的正整数，如n0=1或2等)时，命题成立； (2)假设当n=k(k∈N+，k≥n0)时命题成立，证明当_______时，命题也成立. 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立. 正整数n 第一个 n=k+1 知识梳理 (1)用数学归纳法证明的对象是与正整数n有关的命题. (2)在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可. 注 意 点 <<< 8 　　　(1)用数学归纳法证明1+2+…+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时，在验证n=1成立时，左边所得的代数式是 A.1 B.1+3 C.1+2+3 D.1+2+3+4 例 1 √ 当n=1时，2n+1=2×1+1=3，所以左边为1+2+3. 9 (2)用数学归纳法证明：1+2+3+…+n2=，则n=k+1时，在n=k时的左端应加上　　 　　.  n=k时，左端为1+2+3+…+k2， n=k+1时， 左端为1+2+3+…+k2+(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2， 所以在n=k时的左端应加上(k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2. (k2+1)+(k2+2)+…+(k+1)2 10 (1)验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1. (2)递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两边的构成规律. (3)利用假设是核心：在第二步证明n=k+1时，一定要利用归纳假设. 反 思 感 悟 数学归纳法的三个关键点 11 　　　　　对于不等式<n+1(n∈N+)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当n=1时，<1+1，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立，即<k+1， 则当n=k+1时， =<==(k+1)+1， ∴当n=k+1时，不等式成立，则上述证法 A.过程全部正确 B.n=1验证不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 跟踪训练 1 √ 12 在n=k+1时，没有应用n=k时的归纳假设，不是数学归纳法. 13 二 利用数学归纳法证明等式、不等式 　　　证明：++…+=(n∈N+). 例 2 15 (1)当n=1时，左边==， 右边==， 左边=右边，所以等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时等式成立，即有 ++…+=， 16 则当n=k+1时， ++…++ =+= ===. 所以当n=k+1时，等式也成立. 由(1)(2)可知，对一切n∈N+等式都成立. 17 反 思 感 悟 用数学归纳法证明等式的方法 　　　　　用数学归纳法证明：1+++…+<2(n∈N+). 跟踪训练 2 (1)当n=1时，左边=1，右边=2，左边<右边，不等式成立. (2)假设当n=k(k≥1且k∈N+)时，不等式成立， 即1+++…+<2. 则当n=k+1时，1+++…++<2+= <==2. ∴当n=k+1时，不等式也成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意n∈N+都成立. 19 归纳—猜想—证明 三 　　　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an=，且a1=. (1)求a2，a3； 例 3 a2==， a1=，则a2=，同理求得a3=. 21 (2)猜想数列{an}的通项公式，并用数学归纳法证明. 22 由a1=，a2=，a3=，…， 猜想：an=. 证明：①当n=1时， 左边=a1=， 右边==，左边=右边，等式成立； ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时猜想成立， 即ak=， 23 那么当n=k+1时，由an=， 得ak=，ak+1=， 所以Sk=k(2k-1)ak=k(2k-1)·=. Sk+1=(k+1)(2k+1)ak+1， ak+1=Sk+1-Sk=(k+1)(2k+1)ak+1-， 因此，k(2k+3)ak+1=， 所以ak+1==. 24 所以当n=k+1时，等式也成立. 由①②可知，猜想an=对任何n∈N+都成立. 25 反 思 感 悟 “归纳—猜想—证明”的解题步骤 　　　　　已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=-，且Sn++2=an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4的值，猜想Sn的解析式，并用数学归纳法证明. 跟踪训练 3 27 S1=a1=-， S2++2=S2-⇒S2=-， S3++2=S3-S2⇒S3=-， S4++2=S4-S3⇒S4=-. 猜想：Sn=-(n∈N+). 28 下面用数学归纳法证明. (1)当n=1时，左边=S1=a1=-， 右边=-=-. ∵左边=右边，∴原等式成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，等式成立， 即Sk=-成立，则当n=k+1时，由Sk+1++2=Sk+1-Sk得 =-Sk-2=-2===-， 29 ∴Sk+1=-=-， ∴当n=k+1时，原等式也成立. 综合(1)(2)得，对一切n∈N+，Sn=-都成立. 30 1.知识清单： (1)数学归纳法的概念. (2)用数学归纳法证明等式、不等式. (3)“归纳—猜想—证明”问题. 2.方法归纳：数学归纳法. 3.常见误区：一是对n0取值的问题易出错；二是增加或减少的项数易出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.用数学归纳法证明等式1+2+3+…+(n+3)=(n∈N+)，验证当n=1时，左边应取的项是 A.1 B.1+2 C.1+2+3 D.1+2+3+4 √ 当n=1时，左边=1+2+3+4. 2.用数学归纳法证明“凸n边形的内角和公式”时，由n=k到n=k+1的凸n边形的内角和增加 A. B.π C. D.2π 1 2 3 4 √ 如图， 由n=k到n=k+1时， 凸n边形的内角和增加∠1+∠2+∠3=π. 3.用数学归纳法证明关于n的恒等式，当n=k时，表达式为1×4+2×7+…+ k(3k+1)=k(k+1)2，则当n=k+1时，表达式为__________________________ ______________________.  1 2 3 4 当n=k+1时， 表达式左侧为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)，表达式右侧为(k+1)(k+2)2， 则当n=k+1时，表达式为1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2. 1×4+2×7+…+k(3k+1)+ (k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)2 4.观察下列不等式：1>，1++>1，1+++…+>，1+++…+>2，1+ ++…+>，…，由此猜测第n个不等式为　　　　　　　　　(n∈N+). 1 2 3 4 1+++…+> 课时对点练 五 1.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”，在验证n=1时，左边计算所得的式子为 A.1 B.1+2 C.1+2+22 D.1+2+22+23 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ 当n=1时，左边=1+2+22+23. 2.已知n为正偶数，用数学归纳法证明1-+-+…+-=2时，若已假设n=k(k≥2，k∈N+)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A.n=k+1时等式成立 B.n=k+2时等式成立 C.n=2k+2时等式成立 D.n=2(k+2)时等式成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 因为n为正偶数， 所以当n=k时，下一个偶数为k+2. 3.在数列{an}中，a1=2，an+1=(n∈N+)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出数列{an}的通项公式为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1=2，a2=，a3=，a4=，…， 可推测an=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=1时，原式可化为ab+a+b=11， ① 当n=2时，原式可化为ab+2(a+b)=16. ② 由①②可得a+b=5，ab=6，验证可知只有选项D适合. 4.如果1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+n(n+1)·(n+2)=n(n+1)(n+a)(n+b)对一切正整数n都成立，则a，b的值等于 A.a=1，b=3 B.a=-1，b=1 C.a=1，b=2 D.a=2，b=3 √ 5.(多选)设f(x)是定义在正整数集上的函数，且f(x)满足：当f(k)≥k+1成立时，总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是 A.若f(6)<7成立，则f(5)<6成立 B.若f(3)≥4成立，则当k≥1时，均有f(k)≥k+1成立 C.若f(2)<3成立，则f(1)≥2成立 D.若f(4)≥5成立，则当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 若f(5)<6不成立，则f(5)≥6，由题意知f(6)≥7，与f(6)<7成立矛盾，所以f(5)<6成立，故A正确； 若f(4)≥5成立，则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4，n0∈N+)，即f(k)≥k+1(k≥5)，结合f(4)≥5，所以当k≥4时，均有f(k)≥k+1成立，故D正确. 所以选AD. 6.已知f(n)=+++…+，则 A.f(n)中共有n项，当n=2时，f(2)=+ B.f(n)中共有n+1项，当n=2时，f(2)=++ C.f(n)中共有n2-n项，当n=2时，f(2)=+ D.f(n)中共有n2-n+1项，当n=2时，f(2)=++ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 观察分母的首项为n，最后一项为n2，公差为1，∴项数为n2-n+1. 7.用数学归纳法证明1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N+)的过程如下： ①当n=1时，左边=1，右边=21-1=1，等式成立. ②假设当n=k时，等式成立，即 1+2+22+…+2k-1=2k-1， 则当n=k+1时，1+2+22+…+2k-1+2k==2k+1-1， 所以当n=k+1时等式成立. 由此可知，对任何n∈N+，等式都成立.上述证明的错误是____________ _______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 没有用上归 纳假设进行递推 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当n=k+1时正确的解法是， 1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2k+1-1， 即上述证明的错误是没有用上归纳假设进行递推. 8.若f(n)=12+22+32+…+(2n)2，则f(k+1)与f(k)的递推关系式是____________ _______________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 因为f(k)=12+22+…+(2k)2， f(k+1)=12+22+…+(2k)2+(2k+1)2+(2k+2)2， 所以f(k+1)-f(k)=(2k+1)2+(2k+2)2， 即f(k+1)=f(k)+(2k+1)2+(2k+2)2. f(k+1)=f(k)+ (2k+1)2+(2k+2)2 9.用数学归纳法证明： =(n≥2，n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n=2时，左边=1-=， 右边==，∴左边=右边. ∴当n=2时等式成立. (2)假设当n=k(k≥2，k∈N+)时等式成立， 即=. 那么当n=k+1时，利用归纳假设有 ==·==， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 即当n=k+1时等式也成立. 综合(1)(2)知，对任意n≥2，n∈N+等式恒成立. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.用数学归纳法证明：1+≤1+++…+≤+n(n∈N+). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (1)当n=1时，左式=1+，右式=+1， 且≤1+≤，命题成立. (2)假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，命题成立， 即1+≤1+++…+≤+k， 则当n=k+1时，1+++…++++…+>1++2k·=1+. 又1+++…++++…+<+k+2k·=+(k+1)， 即当n=k+1时，命题也成立. 由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N+都成立. 11.(多选)已知一个命题p(k)，k=2n(n∈N+)，若当n=1，2，…，1 000时，p(k)成立，且当n=1 001时也成立，则下列判断中正确的是 A.p(k)对k=528成立 B.p(k)对每一个自然数k都成立 C.p(k)对每一个正偶数k都成立 D.p(k)对某些偶数可能不成立 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 由题意知p(k)对k=2，4，6，…，2 002成立，当k取其他值时不能确定p(k)是否成立，故选AD. √ 12.用数学归纳法证明“n3+(n+1)3+(n+2)3(n∈N+)能被9整除”，当n=k+1时，只需展开 A.(k+3)3 B.(k+2)3 C.(k+1)3 D.(k+1)3+(k+2)3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 假设当n=k时，原式=k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除，当n=k+1时，原式=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3，为了能用上面的归纳假设，只需将(k+3)3展开，让其出现k3即可. 13.已知f(n)=1+++…+(n∈N+)，用数学归纳法证明f(2n)>时，f(2k+1)- f(2k)=　　　　 　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ++…+ f(2k+1)=1+++…++++…+ =f(2k)+++…+， ∴f(2k+1)-f(2k)=++…+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N+成立，那 么a=　　，b=　　，c=　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 把n=1，2，3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c， 可得 整理并解得 15.用数学归纳法证明当n∈N+，1+2+22+23+…+25n-1是31的倍数时，当n= 1时，原式为　　　　　　，从n=k到n=k+1需增添的项是______________ __________. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1+2+22+23+24 25k+25k+1+25k+2+ 25k+3+25k+4 当n=1时，原式=1+2+22+…+25×1-1 =1+2+22+23+24； 1+2+22+…+25(k+1)-1-(1+2+22+…+25k-1)=25k+25k+1+25k+2+25k+3+25k+4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.设函数y=f(x)，对任意实数x，y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy. (1)求f(0)的值； 令x=y=0， 得f(0+0)=f(0)+f(0)+2×0×0，得f(0)=0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)若f(1)=1，求f(2)，f(3)，f(4)的值； 由f(1)=1， 得f(2)=f(1+1)=f(1)+f(1)+2×1×1=4； f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)+2×2×1=9； f(4)=f(3+1)=f(3)+f(1)+2×3×1=16. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)在(2)的条件下，猜想f(n)(n∈N+)的表达式并用数学归纳法证明. 由(2)可猜想f(n)=n2. 用数学归纳法证明如下： ①当n=1时，f(1)=12=1，显然成立. ②假设当n=k(k≥1，k∈N+)时，命题成立， 即f(k)=k2， 则当n=k+1时，f(k+1)=f(k)+f(1)+2×k×1=k2+1+2k=(k+1)2， 即当n=k+1时命题也成立， 由①②可知，对一切n∈N+都有f(n)=n2成立. 第一章 <<< $$