第1章 §1 1.2 数列的函数特性-（课件PPT+Word教案）【步步高】2024-2025学年高二数学选择性必修第二册教师用书（北师大版2019）

1.2　数列的函数特性 [学习目标]　1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数.2.了解数列的几种表示方法.3.能从函数的观点研究数列. 导语 我国2010-2023年间每年的国内生产总值(单位：万亿元)数据排成一列数：41.21，48.79，53.86，59.30，64.36，68.89，74.64，83.20，91.93，98.65，101.36，114.92，120.47，126.06，此数列也可用图直观表示： 这就是本节课我们要探究的问题，数列的函数特征. 一、数列与函数的关系 问题1　已知函数f(x)=x2-1，当x=1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出图象. 提示　对应的函数值分别为0，3，8，能构成一个数列.图象如图. 知识梳理 数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在正整数集(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为(n，an)，n=1，2，3，…，这个图象也称为数列的图象. 注意点： (1)数列可以看作是一个定义域为N+(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点. (2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势. (3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法. 例1　在数列{an}中，an=n2-8n，n∈N+，画出{an}的图象. 解　列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，-7)，(2，-12)，(3，-15)，(4，-16)，(5，-15)，(6，-12)，(7，-7)，(8，0)，(9，9)，…，图象如图所示. 反思感悟　数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的. 跟踪训练1　根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来. (1)an=(-1)n+2； (2)an=. 解　(1)a1=1，a2=3，a3=1，a4=3，a5=1. 图象如图1. (2)a1=2，a2=，a3=，a4=，a5=. 图象如图2. 二、数列的增减性 问题2　已知图(1)是数列：3，4，5，6，7，8，9的图象，图(2)是数列：1，，，的图象，图(3)是5，5，5，…，5的图象.观察图象，你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 提示　数列的图象是由一些点组成的，(1)逐渐变大，对应的函数图象是上升的.(2)逐渐变小，对应的图象是下降的.(3)不变的，这些点在与x轴平行的一条直线上. 知识梳理 数列的增减性 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项 an+1>an 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项 an+1<an 常数列 各项都相等 an+1=an 注意点： (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性. (2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列. 角度1　数列增减性的判断 例2　已知数列{an}的通项公式是an=，则该数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 答案　B 解析　对任意n∈N+， ∵an+1-an =- =<0， ∴数列{an}是递减数列. 延伸探究　本例若把数列{an}的通项公式改为an=(k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性. 解　方法一　∵k>0，n∈N+，∴an>0， =·=<1. ∴an+1<an， ∴{an}是递减数列. 方法二　令y=(k>0)， 则函数y=(k>0)在(0，+∞)上单调递减， 故数列{an}为递减数列. 角度2　利用数列的增减性求参数 例3　已知数列{an}，an=-2n2+λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是(　　) A.(-∞，3] B.(-∞，4] C.(-∞，5) D.(-∞，6) 答案　D 解析　依题意，an+1-an=-2(2n+1)+λ<0，即λ<2(2n+1)对任意的n∈N+恒成立，当n∈N+时，2(2n+1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(-∞，6). 反思感悟　数列增减性的两个关注点 (1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小，另外还可以用函数单调性法. (2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围. 跟踪训练2　已知递增数列{an}的通项公式为an=2kn+1，则实数k的取值范围是　　　　.  答案　(0，+∞) 解析　∵{an}是递增数列， ∴an+1-an=[2k(n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0， ∴k>0. 三、数列的最大(小)项 例4　已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数？ (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值. 解　(1)由n2-5n+4<0，解得1<n<4. ∵n∈N+，∴n=2，3， ∴数列中有两项是负数. (2)方法一　∵an=n2-5n+4=-，可知对称轴方程为n==2.5. 又∵n∈N+，故当n=2或n=3时，an有最小值，且a2=a3，其最小值为22-5×2+4=-2. 方法二　设第n项最小， 由n≥2且n∈N+， 得 解得2≤n≤3，∴n=2，3， ∴a2=a3且最小， ∴a2=a3=22-5×2+4=-2. 反思感悟　求数列{an}的最大项和最小项的方法 (1)数列或函数的单调性法. (2)不等式法：当n≥2且n∈N+时，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n. 跟踪训练3　已知数列{an}的通项公式为an=. (1)依次写出数列{an}的前5项； (2)研究数列{an}的单调性，并求数列{an}的最大项和最小项. 解　(1)由题意得a1==，a2==， a3==，a4==，a5==. (2)an===1+， 当n≤49时，an>1且{an}为递增数列； 当n≥50时，an<1且{an}为递增数列， ∴(an)max=a49=2，(an)min=a50=0， 即{an}的最大项为a49=2，最小项为a50=0. 1.知识清单： (1)数列的表示方法. (2)数列的增减性的判断及应用. (3)求数列的最大(小)项. 2.方法归纳：图象法、转化与化归思想. 3.常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N+(或其子集)的特殊函数而出错. 1.已知an=3n-2，则数列{an}的图象是(　　) A.一条直线 B.一条抛物线 C.一个圆 D.一群孤立的点 答案　D 解析　∵an=3n-2，n∈N+， ∴数列{an}的图象是一群孤立的点. 2.在递减数列{an}中，an=kn(k为常数)，则实数k的取值范围是(　　) A.R B.(0，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，0] 答案　C 解析　∵{an}是递减数列， ∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0. 3.已知数列{an}的通项公式是an=，则这个数列是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案　B 解析　数列{an}的通项公式是 an===1+， 所以an+1-an=-<0， 故这个数列为递减数列. 4.数列{an}的通项公式为an=n2-6n，则它的最小值是　　　　.  答案　-9 解析　an=n2-6n=(n-3)2-9， 所以当n=3时，an取得最小值-9. 课时对点练　[分值：100分] 单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分 1.已知an+1=an+3，则数列{an}是(　　) A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 答案　A 解析　∵an+1-an=3>0，∴数列{an}是递增数列. 2.(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为(　　) A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1 C.an= D.an=(-1)n 答案　AC 解析　可以通过画数列的图象一一判断，B中，a1=a2=3，不是递减数列，D中数列是摆动数列. 3.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1=2，且对任意的正整数均有xn+1=f(xn)，则x2 024等于(　　) x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 A.1 B.2 C.4 D.5 答案　A 解析　根据定义，可得x2=f(x1)=1，x3=f(x2)=5，x4=f(x3)=2，x5=f(x4)=1，x6=f(x5)=5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 024=x2=1. 4.已知数列{an}的通项公式为an=，则该数列的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由an=， 得a1=，a2=，a3=，a4=，a5=. 又an=，n∈N+， 函数y=在(0，)上单调递增，在(，+∞)上单调递减， 所以{an}的最大值为a2=a3=. 5.(多选)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，以下说法正确的是(　　) A.该数列有无限个正数项 B.该数列有无限个负数项 C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值 D.-70是该数列中的一项 答案　BD 解析　令-2n2+13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项.当n=3时，数列{an}取到最大值，而当x=3.25时，函数f(x)取到最大值.令-2n2+13n=-70，得n=10或n=-(舍去).即-70是该数列的第10项. 6.已知数列{an}的通项公式an=n2+kn+2，若对于n∈N+，都有an+1>an成立，则实数k的取值范围是(　　) A.(0，+∞) B.(-1，+∞) C.(-2，+∞) D.(-3，+∞) 答案　D 解析　∵an+1>an，∴an+1-an>0. 又an=n2+kn+2， ∴(n+1)2+k(n+1)+2-(n2+kn+2)>0. ∴k>-2n-1.又-2n-1(n∈N+)的最大值为-3， ∴k>-3. 7.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=，则满足an+1<an的n的值为　　　　.  答案　5 解析　由an=，an+1<an， 得an+1-an=-=<0， 解得<n<， 因为n∈N+，所以n=5. 8.(5分)已知数列{an}满足an=+++…+，则数列{an}是　　　　数列(填“递增”“递减”或“常”).  答案　递增 解析　∵an=+++…+， ∴an+1=+++…+ =+++…+++， ∴an+1-an=+- =-， 又n∈N+，∴2n+1<2(n+1)， ∴an+1-an>0，∴数列{an}是递增数列. 9.(10分)根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来. (1)an=；(5分)(2)an=n2-9n.(5分) 解　(1)a1=-，a2=-，a3=-，a4=-2，a5=2. 图象如图所示. (2)a1=-8，a2=-14，a3=-18，a4=-20，a5=-20. 图象如图所示. 10.(11分)已知数列{an}的通项公式an=(n∈N+)，试判断该数列的增减性，并说明理由. 解　数列{an}为递减数列，理由如下： an+1-an=- = = =. ∵f(x)=-+在[1，+∞)上单调递减， ∴当n≥1时，f(n)≤f(1)=-1<0. 又(n+1)2+1>0，n2+1>0， ∴an+1-an<0， ∴数列{an}是递减数列. 11.对任意的a1∈(0，1)，由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+)，则函数y=f(x)的图象是(　　) 答案　A 解析　根据题意知，由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}，满足an+1>an，即该函数y=f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A. 12.已知数列{an}满足an=n+，则数列{an}的最小值为(　　) A. B. C.8 D.12 答案　A 解析　∵f(x)=x+在(0，4)上单调递减，在(4，+∞)上单调递增，当x∈N+时，f(n)min=min{f(5)，f(6)}，又f(5)=5+=，f(6)=6+=，∴f(n)min=，即an=n+的最小值为. 13.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n)，n∈N+，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(1，3) D.(2，3) 答案　D 解析　结合函数的单调性，要使数列{an}是递增数列，则应有 解得2<a<3. 14.(5分)已知函数f(x)的定义域为R，数列{an}满足an=f(n)，已知两个条件：①函数f(x)在[1，+∞)上单调递增；②{an}是递增数列.写出一个满足①和②的函数f(x)的解析式：　　　　　　；写出一个满足②但不满足①的函数f(x)的解析式：　　　　　　　　　　　　　　　.  答案　f(x)=x f(x)=(答案不唯一) 解析　由题意可知，在[1，+∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f(x)=x. 第二个填空是找一个数列为递增数列，而对应的函数在[1，+∞)上不单调递增，可写为f(x)=. 则这个函数在上单调递减，在上单调递增. ∴f(x)=在[1，+∞)上不单调递增，不满足①. 而对应的数列为an=在n∈N+上越来越大，属于递增数列，满足②. 15.(5分)已知an=(n∈N+)，则数列{an}的最大项的值为　　　　.  答案　 解析　∵an+1-an=(n+2)-(n+1)=·， ∴当n≤7时，an+1-an>0； 当n=8时，an+1-an=0； 当n≥9时，an+1-an<0. ∴a1<a2<…<a7<a8=a9， a9>a10>a11>a12>…. 故数列{an}存在最大项， 且最大项为a8=a9=. 16.(12分)已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式；(6分) (2)证明：数列{an}是递减数列.(6分) (1)解　∵f(x)=2x-2-x，f(log2an)=-2n， ∴-=-2n， 即an-=-2n(看成关于an的方程). ∴+2nan-1=0， 解得an=-n±. ∵an>0， ∴an=-n，n∈N+. (2)证明　作商比较， ∵= =<1， 又an>0，∴an+1<an， 故数列{an}是递减数列. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一章 <<< 1.2　数列的函数特性 1.了解数列是自变量为正整数的一种特殊函数. 2.了解数列的几种表示方法. 3.能从函数的观点研究数列. 学习目标 我国2010-2023年间每年的国内生产总值(单位：万亿元)数据排成一列数：41.21，48.79，53.86，59.30，64.36，68.89，74.64，83.20，91.93，98.65，101.36，114.92，120.47， 126.06，此数列也可用图直观表示： 这就是本节课我们要探究的问题， 数列的函数特征. 导 语 一、数列与函数的关系 二、数列的增减性 课时对点练 三、数列的最大(小)项 随堂演练 内容索引 数列与函数的关系 一 已知函数f(x)=x2-1，当x=1，2，3时对应的函数值分别是什么？它们能构成一个数列吗？请作出图象. 问题1 提示　对应的函数值分别为0，3，8，能构成一个数列.图象如图. 数列与函数的关系 可以把一个数列视作定义在_________(或其子集)上的函数，因此可以用图象(平面直角坐标系内的一串点)来表示数列，图象中每个点的坐标为_______________________，这个图象也称为数列的图象. 正整数集 (n，an)，n=1，2，3，… 知识梳理 (1)数列可以看作是一个定义域为N+(或其子集)的函数，是当自变量由小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，数列的通项公式an=f(n)是数列的第n项an与自变量n之间的函数解析式，数列的图象是横坐标为正整数的一系列离散的点. (2)图象法的优点：能够直观地表示出随着项数的变化，相应项的变化趋势. (3)数列的表示方法有通项公式法、图象法、列表法. 注 意 点 <<< 8 　　　在数列{an}中，an=n2-8n，n∈N+，画出{an}的图象. 例 1 9 列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 … an -7 -12 -15 -16 -15 -12 -7 0 9 … 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图象：(1，-7)，(2，-12)，(3，-15)，(4，-16)，(5，-15)，(6，-12)，(7，-7)，(8，0)，(9，9)，…，图象如图所示. 10 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图象来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图象，因为它的定义域是正整数集N+(或它的有限子集{1，2，3，…，n})，所以其图象是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的. 反 思 感 悟 11 　　　　　根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来. (1)an=(-1)n+2； 跟踪训练 1 a1=1，a2=3，a3=1，a4=3，a5=1. 图象如图1. 12 (2)an=. a1=2，a2=，a3=，a4=，a5=. 图象如图2. 13 二 数列的增减性 已知图(1)是数列：3，4，5，6，7，8，9的图象，图(2)是数列： 1，，，的图象，图(3)是5，5，5，…，5的图象.观察图象， 你能说出每个数列中项的变化规律吗？ 问题2 提示　数列的图象是由一些点组成的，(1)逐渐变大，对应的函数图象是上升的.(2)逐渐变小，对应的图象是下降的.(3)不变的，这些点在与x轴平行的一条直线上. 名称 定义 判断方法 递增数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项 an+1>an 递减数列 从第2项起，每一项都_____它的前一项 an+1<an 常数列 各项都_____ an+1=an 数列的增减性 大于 小于 相等 知识梳理 (1)可以用函数的观点、方法研究数列的增减性. (2)一个数列{an}，如果从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项，这样的数列叫作摆动数列. 注 意 点 <<< 18 　　　已知数列{an}的通项公式是an=，则该数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 例 2 角度1　数列增减性的判断 √ 19 对任意n∈N+， ∵an+1-an =- =<0， ∴数列{an}是递减数列. 20 　　　　　本例若把数列{an}的通项公式改为an=(k>0，且k为常数)，试判断数列{an}的增减性. 延伸探究 21 方法一　∵k>0，n∈N+，∴an>0， =·=<1. ∴an+1<an， ∴{an}是递减数列. 方法二　令y=(k>0)， 则函数y=(k>0)在(0，+∞)上单调递减， 故数列{an}为递减数列. 22 　　　已知数列{an}，an=-2n2+λn，若该数列是递减数列，则实数λ的取值范围是 A.(-∞，3] B.(-∞，4] C.(-∞，5) D.(-∞，6) 例 3 角度2　利用数列的增减性求参数 √ 依题意，an+1-an=-2(2n+1)+λ<0，即λ<2(2n+1)对任意的n∈N+恒成立，当n∈N+时，2(2n+1)的最小值是6，因此λ<6，即λ的取值范围是(-∞，6). 23 反 思 感 悟 (1)判断数列的增减性，通常是运用作差或作商的方法判断an+1与an(n∈N+)的大小，另外还可以用函数单调性法. (2)利用数列的增减性可以求参数范围：数列的增减性揭示了项之间的大小关系，可以据此列出不等式(组)，求某些参数的范围. 数列增减性的两个关注点 　　　　　已知递增数列{an}的通项公式为an=2kn+1，则实数k的取值范围是　　　　.  跟踪训练 2 (0，+∞) ∵{an}是递增数列， ∴an+1-an=[2k(n+1)+1]-(2kn+1)=2k>0， ∴k>0. 25 数列的最大(小)项 三 　　　已知数列{an}的通项公式为an=n2-5n+4. (1)数列中有多少项是负数？ 例 4 由n2-5n+4<0，解得1<n<4. ∵n∈N+，∴n=2，3， ∴数列中有两项是负数. 27 (2)n为何值时，an有最小值？并求出最小值. 28 方法一　∵an=n2-5n+4=-，可知对称轴方程为n==2.5. 又∵n∈N+，故当n=2或n=3时，an有最小值，且a2=a3，其最小值为22-5×2+4=-2. 方法二　设第n项最小， 由n≥2且n∈N+， 得 29 解得2≤n≤3，∴n=2，3， ∴a2=a3且最小， ∴a2=a3=22-5×2+4=-2. 30 反 思 感 悟 (1)数列或函数的单调性法. (2)不等式法：当n≥2且n∈N+时，求最小项可由来确定n，求最大项可由来确定n. 求数列{an}的最大项和最小项的方法 　　　　　已知数列{an}的通项公式为an=. (1)依次写出数列{an}的前5项； 跟踪训练 3 由题意得a1==，a2==， a3==，a4==，a5==. 32 (2)研究数列{an}的单调性，并求数列{an}的最大项和最小项. an===1+， 当n≤49时，an>1且{an}为递增数列； 当n≥50时，an<1且{an}为递增数列， ∴(an)max=a49=2，(an)min=a50=0， 即{an}的最大项为a49=2，最小项为a50=0. 33 1.知识清单： (1)数列的表示方法. (2)数列的增减性的判断及应用. (3)求数列的最大(小)项. 2.方法归纳：图象法、转化与化归思想. 3.常见误区：求数列的最大(小)项时，忽略数列是定义域为N+(或其子集)的特殊函数而出错. 课堂小结 随堂演练 四 1 2 3 4 1.已知an=3n-2，则数列{an}的图象是 A.一条直线 B.一条抛物线 C.一个圆 D.一群孤立的点 √ ∵an=3n-2，n∈N+， ∴数列{an}的图象是一群孤立的点. 2.在递减数列{an}中，an=kn(k为常数)，则实数k的取值范围是 A.R B.(0，+∞) C.(-∞，0) D.(-∞，0] 1 2 3 4 √ ∵{an}是递减数列， ∴an+1-an=k(n+1)-kn=k<0. 3.已知数列{an}的通项公式是an=，则这个数列是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 1 2 3 4 √ 数列{an}的通项公式是 an===1+， 所以an+1-an=-<0， 故这个数列为递减数列. 4.数列{an}的通项公式为an=n2-6n，则它的最小值是　　.  1 2 3 4 an=n2-6n=(n-3)2-9， 所以当n=3时，an取得最小值-9. -9 课时对点练 五 1.已知an+1=an+3，则数列{an}是 A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 基础巩固 √ ∵an+1-an=3>0，∴数列{an}是递增数列. 2.(多选)若数列{an}为递减数列，则{an}的通项公式可能为 A.an=-2n+1 B.an=-n2+3n+1 C.an= D.an=(-1)n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 可以通过画数列的图象一一判断，B中，a1=a2=3，不是递减数列， D中数列是摆动数列. √ 3.函数f(x)定义如表，数列{xn}满足x1=2，且对任意的正整数均有xn+1=f(xn)，则x2 024等于 A.1 B.2 C.4 D.5 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据定义，可得x2=f(x1)=1，x3=f(x2)=5，x4=f(x3)=2，x5=f(x4)=1，x6=f(x5)=5，…，所以数列{xn}的周期为3，故x2 024=x2=1. x 1 2 3 4 5 f(x) 5 1 3 4 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知数列{an}的通项公式为an=，则该数列的最大值是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由an=， 得a1=，a2=，a3=，a4=，a5=. 又an=，n∈N+， 函数y=在(0，，+∞)上单调递减， 所以{an}的最大值为a2=a3=. 5.(多选)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n，关于该数列，以下说法正确的是 A.该数列有无限个正数项 B.该数列有无限个负数项 C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值 D.-70是该数列中的一项 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 令-2n2+13n>0，得0<n<，故数列{an}有6项是正数项，有无限个负数项.当n=3时，数列{an}取到最大值，而当x=3.25时，函数f(x)取到最大值.令-2n2+13n=-70，得n=10或n=-(舍去).即-70是该数列的第10项. 6.已知数列{an}的通项公式an=n2+kn+2，若对于n∈N+，都有an+1>an成立，则实数k的取值范围是 A.(0，+∞) B.(-1，+∞) C.(-2，+∞) D.(-3，+∞) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵an+1>an，∴an+1-an>0. 又an=n2+kn+2， ∴(n+1)2+k(n+1)+2-(n2+kn+2)>0. ∴k>-2n-1.又-2n-1(n∈N+)的最大值为-3， ∴k>-3. 7.已知数列{an}的通项公式为an=，则满足an+1<an的n的值为　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5 由an=，an+1<an， 得an+1-an=-=<0， 解得<n<， 因为n∈N+，所以n=5. 8.已知数列{an}满足an=+++…+，则数列{an}是　　　数列(填“递增”“递减”或“常”).  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 递增 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an=+++…+， ∴an+1=+++…+ =+++…+++， ∴an+1-an=+- =-， 又n∈N+，∴2n+1<2(n+1)， ∴an+1-an>0，∴数列{an}是递增数列. 9.根据数列的通项公式，写出数列的前5项，并用图象表示出来. (1)an=； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1=-，a2=-，a3=-，a4=-2，a5=2. 图象如图所示. (2)an=n2-9n. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 a1=-8，a2=-14，a3=-18，a4=-20，a5=-20. 图象如图所示. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.已知数列{an}的通项公式an=(n∈N+)，试判断该数列的增减性，并说明理由. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 数列{an}为递减数列，理由如下： an+1-an=- = = =. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=-+在[1，+∞)上单调递减， ∴当n≥1时，f(n)≤f(1)=-1<0. 又(n+1)2+1>0，n2+1>0， ∴an+1-an<0， ∴数列{an}是递减数列. 11.对任意的a1∈(0，1)，由关系式an+1=f(an)得到的数列满足an+1>an(n∈N+)，则函数y=f(x)的图象是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 根据题意知，由关系式an+1=f(an)得到的数列{an}，满足an+1>an，即该函数y=f(x)的图象上任一点(x，y)都满足y>x，结合图象，只有A满足，故选A. 12.已知数列{an}满足an=n+，则数列{an}的最小值为 A. B. C.8 D.12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ ∵f(x)=x+在(0，4)上单调递减，在(4，+∞)上单调递增，当x∈N+时，f(n)min=min{f(5)，f(6)}，又f(5)=5+=，f(6)=6+=，∴f(n)min=，即an=n+. 13.设函数f(x)=数列{an}满足an=f(n)，n∈N+，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是 A. B. C.(1，3) D.(2，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 结合函数的单调性，要使数列{an}是递增数列， 则应有 解得2<a<3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.已知函数f(x)的定义域为R，数列{an}满足an=f(n)，已知两个条件：①函数f(x)在[1，+∞)上单调递增；②{an}是递增数列.写出一个满足①和②的函数f(x)的解析式：　　　　；写出一个满足②但不满足①的函数f(x) 的解析式：　　　　　　　　　　　　.  f(x)=x f(x)=(答案不唯一) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由题意可知，在[1，+∞)这个区间上单调递增的函数有许多，可写为f(x)=x. 第二个填空是找一个数列为递增数列，而对应的函数在[1，+∞)上不单调递增，可写为f(x)=. 则这个函数在上单调递增. ∴f(x)=在[1，+∞)上不单调递增，不满足①. 而对应的数列为an=在n∈N+上越来越大，属于递增数列，满足②. 15.已知an=(n∈N+)，则数列{an}的最大项的值为　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵an+1-an=(n+2)-(n+1)=·， ∴当n≤7时，an+1-an>0； 当n=8时，an+1-an=0； 当n≥9时，an+1-an<0. ∴a1<a2<…<a7<a8=a9， a9>a10>a11>a12>…. 故数列{an}存在最大项， 且最大项为a8=a9=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知函数f(x)=2x-2-x，数列{an}满足f(log2an)=-2n. (1)求数列{an}的通项公式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ∵f(x)=2x-2-x，f(log2an)=-2n， ∴-=-2n， 即an-=-2n(看成关于an的方程). ∴+2nan-1=0， 解得an=-n±. ∵an>0， ∴an=-n，n∈N+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)证明：数列{an}是递减数列. 作商比较， ∵= =<1， 又an>0，∴an+1<an， 故数列{an}是递减数列. 第一章 <<< $$