2025年中考数学九年级三轮复习压轴题：圆中圆周角定理与相似提升训练

2025年中考数学九年级三轮复习压轴题： 圆中圆周角定理与相似提升训练 1．（2025·广西南宁·模拟预测）如图，是直径，是上一点，不与，重合，点是延长线上一点，连接，，，且． (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的值； (3)若，求的值. 2．（2025·山东济南·一模）如图，在中，是的内接三角形，是的直径，在上取一点D，使，过点C的切线分别与的延长线交于点E，F． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3． （2025·广东一模）如图，AB为⊙O的直径，D，E是⊙O上的两点，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点C，连接BE、DE （1）求证：∠BDC＝∠E． （2）若，AC＝6，求⊙O的半径． 4．（2025·广东珠海·一模）如图，在中，点为上一点，以点为圆心，的长为半径的与相切于点，与相交于点． (1)尺规作图：过点作于点，交的延长线于点． (2)证明：． (3)若，，求的长． 5．（2025·贵州六盘水·一模）如图，为的直径，已知，点P在延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)已知平分，，，求的长． 6．（2025·甘肃兰州·一模）如图，内接于，是的直径，过的延长线上一点作于点，交于点，点是的中点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 7．（2025·黑龙江大庆·一模）如图，是的直径，点在上，点在的延长线上，且，弦交于点，且，连接． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的值． 8．（2025·湖南湘潭·模拟预测）“板车”具有悠久的历史，是上世纪90年代以前农村主要运输及交通工具．如图是板车侧面的部分示意图，为车轮的直径，过圆心的车架一端点着地时，地面与车轮相切于点，连接． (1)求证：； (2)若测得，求的长． 9．（2025·福建三明·一模）如图，在中，，外接于． (1)求证：是的切线； (2)若，的半径，求的面积． 10．（2025·吉林长春·一模）【问题】如图1，为的一条弦，点C在弦所对的优弧上运动时，根据圆周角性质，我们知道的度数不变．受动脑筋的小芳猜想，如果平面内线段的长度已知，的大小确定，那么点C是不是在某个确定的圆上运动呢？ 【探究】为了解决这个问题，小芳先从一个特殊的例子开始研究．如图2，若，线段上方一点C满足，为了画出点C所在的圆，小芳以为底边构造了一个等腰，再以点O为圆心，为半径画圆，则点C在上．后来小芳通过逆向思维及合情推理，得出一个一般性的结论．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点C一定在某一个确定的圆上，即定弦定角必定圆，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型． 【应用】 (1)若，平面内一点C满足，则点C所在圆上劣弧的长度为_______． (2)如图3，已知正方形，以为腰向正方形内部作等腰，其中，过点E作于点F，若点P是的内心． ①求的度数； ②在①的基础上，若，连接，直接写出的最小值________． 11．（2025·四川泸州·三模）如图，已知四边形内接于半径为的圆，且于，于． (1)求证：． (2)设是圆上不同于四边形顶点的一点，过作于，于，于，于（其中，，未画出）． （2.1）求证：． （2.2）求证：． 12．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）定义：三角形一个内角的平分线与另一个内角的邻补角的平分线相交所成的锐角称为该三角形第三个内角的“张望角”． (1)如图1，点D在的延长线上，是中的“张望角”，求证：； (2)如图2，内接于，点D在的延长线上，点E在上，连接，连接，点F在上，，连接，连接并延长交的延长线于点I，求证：是中的“张望角”； (3)如图3，在（2）的条件下，若是的直径，过点I作的垂线，点G为垂足，交于点H，若，，求的长． 13．（2025·山西朔州·一模）如图，是的直径，直线l与相切于点C，连接，于E，的延长线交直线l于点D． (1)试判断和的大小关系，并说明理由； (2)若的半径为2，，求的长． 14．（2025·广东深圳·一模）如图，是的直径，点、在上，，点在线段的延长线上，且． (1)求证：与相切； (2)若，，求的长． 15．（2025·山西长治·模拟预测）如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，是的切线，过点C作于点F． (1)试判断与的数量关系，并说明理由． (2)若，，求直径的长． 16．（2025·浙江温州·一模）如图，在圆内接四边形中，延长交于点E，在上方作，使点F在线段上，且，连结． (1)若，B为的中点，求的度数． (2)连结，当时． ①求证：四边形是平行四边形． ②若，求证：． 17．（2025·江苏常州·一模）小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦于点，且，． (1)复习回顾：求的长． (2)探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点． ①当点是的中点时，求证：； ②如图3，连接，，当为等腰三角形时，请直接写出的长． 18．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）已知：四边形内接于，连接、交于点F． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点E为外一点，连接、，若，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，若，，，，求的长． 19．（2025·陕西西安·一模）如图，在中，是直径，C为上的一点，过点C作的切线交的延长线于点D，过点A作交的延长线于点E，交于点F． (1)求证：平分； (2)若，，求的长． 20．（2025·山东济南·一模）如图，是的直径，点，点在上，且位于的两侧，点在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)当平分时，若，求的长． 参考答案 1．（1）解：如图所示，连接， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（1）证明：连接， ∵是的直径，是的切线，切点为点C， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：同理， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，． 3．（1）证明：由题意知CD⊥OD，∠CDO＝90°． ∵AB为直径， ∴∠BDA＝90°， ∴∠CDO﹣∠BDO＝∠BDA﹣∠BDO，即∠BDC＝∠ODA， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A， ∴∠BDC＝∠A， ∴∠A＝∠E， ∴∠BDC＝∠E； （2）解：由（1），得∠BDC＝∠A， 又∵∠BCD＝∠DCA， ∴△BCD∽△DCA， ∴， ∵， ∴， 设⊙O的半径为r，则， ∴CD＝4，， ∴⊙O的半径为． 4．（1）解：作图如图所示； （2）证明：如图，连接， 与相切于点， ． ， ， ∴， ， ． 连接， 是的直径， ， 即， 垂直平分， ； （3）解：， ． ， ， ， ， ， ，即， ， 又， ． 5．（1）证明：连接，则， ∵为的直径，， ∴，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， 即， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的半径为5， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为，的长为． 6．（1）证明： 连接， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵在中， 点为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线． （2）解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴． 7．（1）证明：如图，连接． ∵是的直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵是的半径， ∴是的切线． （2）证明：如图，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，即． （3）解：由（2）知， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴，，，． ∵， ∴． ∴． ∴． 8．（1）解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵是的直径， ∴． ∵ ∴ ∵． 又∵， ∴， （2）解：由（1）可知， 在Rt中，， 在中，由勾股定理得， ∴． 又， , ，即， ， 在中，设，则， 又， ， 解得：（负值已舍去）． 的长为 9．（1）证明：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 由圆周角定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：如图，连接，延长交于点， 由（1）已证：， 设，则， 由（1）已得：， ∴， ∴， 又∵， ∴（等腰三角形的三线合一）， 设， ∵的半径， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积为． 10．（1）由“定弦定角”模型，作出图形，如图，过作， ，， ， ， ，， ， ， ∴劣弧的长为 故答案为：； （2）①， ， ， 点是的内心， 平分， ， ， ， ， ； ②如图，作的外接圆，圆，连接，过作交的延长线于点， 由题意的由“定弦定角”模型，可知，， 作出的外接圆，圆心为，设圆的半径为，则的最小值即为， ， 设优弧所对的圆心角优角为， 则， ， ， ， ， ， ，四边形是正方形， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ． 的最小值为． 11．（1）证明：连接并延长，交于，连接，，，， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 是的中位线， ， ； （2）（2.1）证明：连接并延长，交于，连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 的半径为， ； （2.2）证明：根据题意作图如下： 连接， 四边形是的内接四边形， ， ， ， 于，于， ， ， ， 于， 于， ， ， ， ， ， ． 12．（1）证明：是中的“张望角”， ∴分别是，的平分线 ； （2）证明：， ， ， 即平分， ， ， ∵四边形内接于， ， ， ， ， 即平分， 是中的“张望角”； （3）解：连接，， 是中的“张望角”， ∴， ∵， ∴，又， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴，又， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴，又， ∴，即， ∴， ∴， 过F作于M，在上截取，连接，，则垂直平分， ∴， ∴， 设，则， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又， ∴， ∴， 设，又， ∴，解得（负值已舍去）， ∴， ∴， 由得，则； ∵， ∴， ∴， 过I作于K，则是等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，由得， 解得（负值已舍去），即， ∴． 13．（1）解：，理由如下： 如图，连接， 直线l与相切于点C， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：是直径， ， 根据勾股定理可得， ， ， ， ， 即， ． 14．（1）证明：连接， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 为半径， 与相切； （2）解：设半径为，则， ，， ， 在中，，， ，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， 半径为，则， 在中，，，， ． 15．（1）解：，理由如下：如答图1，连接， ∵， ∴， ∵与相切于点B， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴； （2）解：如答图2，连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：． 16．（1）解：如图， ∵B为的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）①如图， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． ②如图2，过点B作交圆于点P，连结， 则，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴ 17．（1）解：连接，如图1， ∵的直径垂直弦于点E，且， ∴， ∴， 在中，， ∴； （2）解：①证明：连接，如图， ∵点G是的中点， ∴， ∴， ∵的直径垂直弦于点E， ∴， ∴， ∴； ②当时， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴； 当时， 在中，， 在中，， ∴， 同理， ∴ ，即 ， ∴ ． 综上，的长为或． 18．（1）证明：∵，， ∴； （2）证明：∵， ， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：作直径交于点M，连接、 ∵，，， ∴， ∴， ∴是是直径， ∵， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∵为直径， ∴， ∵， ∴， 连接， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵，即， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 过F作于K， ∴， ∵， ∴， 设 ，则， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 19．（1）证明：连接，如图， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接、，如图， ∵是直径， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得． 20．（1）证明：连接， 是的直径， ， ， ， ， ∵，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：，， ， ， ， ， ， 连接， 平分， ， ， ， 是的直径， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$