浙江省宁波市2024-2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷

绝密★启用前 宁波市2024学年第二学期高考模拟考试 高三数学试题卷 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟。 注意事项： L.答卷前，考生务必用黑色字迹销笔或签字笔将白己的姓名，准考证号填写在答题卷上，将条 形码横贴在答题卷右上角“贴条形码区”。 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卷上对应题目选项的答案标号涂黑： 如需改动，用豫皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题卷上。 3.非选择愿必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各愿目指定区域内相应位 置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要 求作答的答案无效， 4.考生必须保持答题卷的整洁，不要折叠、不要弄破。 选择题部分（共58分） 一、选择题：本题共8小愿，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个迹项中，只有一项是符合题目 要求的 1.己知集合A=xeZx2-x-2>0,则C,A= A.{-1.0,L24 B.{01.2 C.(2) D-L,0 乙。下列四个质数中，以为最小正周期，且在区侧？上单调造减的是 A.y=cosr B.y=sin对 C.ystanx D.y-sin 3.已知向量a,五满足d-2,a(2a+)-9,则a(2a-)= A.3 B.4 C,6 D.7 4设：出点，期时 A,0 C,1 D.2 5,已知数列{a,}中，4，=1，记Sn为(a)的前n项和，2S=m,则0的值为 A.2023 B.2024 C,2025 D.2026 6.已知点M(,0),N(2,3)到同一直线的能离分别为2,3，若这样的直线恰有2条，则0的取值范围为 A,(-2,0 B.(-2,6 C.(0,6) D.(26 7一个长方体墨水瓶的长、室，商分别为10m,8em、15m,内部装有400章升雨水.将墨水底便 斜，使其一条长边(0em)置于水平地面，高边(15em)所在直线与水平地面成45度角。则此时墨 水与蜜水瓶接触部分的面积为 A.180 B.220 C,260 D.300 数学试圆第项（供4项） 8.已知函数f)=x-ax-b,其中a<b,5为（的极小值点.若f)在(a,a+3)内有最大值。 则：的取值底围是 A.(4,5) B.(4,5 c. 。( 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.下面说法正确的是 A若数据2,2，，2。的方差为8，则数据与，，，马。的方差为4 B,若a,口，，a,是等差数列，测这线数的中位数与平均数相等 C,已知X是随机变量，则E(X)≥E(X) D,若两个具有线性相关关系的变敏的相关性越强，则线性相关系数：的值越接近于1 10。国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、艺片 及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大辐度减少二进制逻辑电路的品体管数量，降低电路的功 耗，提高计算效率，该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以-1,0,1为基本数码的计数体系 (对称三进制)：三进制数（口44的b人对应的十进制数为43+83++43+ 439+43+632+…+43,其中a,4,4444…,4∈-10,1，ae-1,为了记号的 方便，我们用F表示数码-1，比知01k1-4,F,护(-号 (FF2=(-)×32+(-1)×3+(一)×39=-3.下面选项正确的是 A.00F)3=25 B.01o1i0,-(10I01),=(F0F0F) C.若n=0.A的6人，eF,a,f=12-mmeN,则州< D.存在一的4,4,4，aA,4,A,A∈0，，使得(1a4a4)(h,44）=20成立 1L.如图，在平行六面体ABCD-4BCD中，AB=2,AD=2, BC=CC=1,CG⊥CD,∠DC=120,E为CD中点，F在 线段BC上（包含瑞点），则下列说法正确的是 A,#在点F,使得4FI平面4DE 第11圈图 B,存在点F,使得平面AD,E⊥平面D,EF C.不存在点F,使得D+EF时=o D.不存在点F，使得四棱锥F-CDDC有内切球 数学试题第2项（共4） 非选择题部分（共92分） 三、填空恩：本题共3小题，每小题5分，共15分， 以（？-的展并式中的常数项为人 13.在△ABC中，mA=8 sin BsinC,cosA=8 cos BcosC,则nA=▲ 14.关于x的方程e+=2(b>0且≠1)有唯一实数解，其中c为白然对数的底数，则实数b的取值范 围是A, 四、解答愿：本题共5小题，共7分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)如图，在直三棱柱ABC-ABG中，∠B4C=90°，4B=AC=2, A4=2N2.N是BC的中点，P是BC与BC的交点. (1)若Q是AN的中点，证明：PQ∥平面4BC: (2)求AP与平面48C所成角的正弦值， 第15题图 16.(15分)在1,2,3,7这7个自然数中，任取3个数. (1)求这3个数中恰有1个是码数的概率： (2)设X为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1,2,3，则有两组相邻的数1,2和 2,3,此时X的值是2).求随机变量X的分布列及其数学期望E(X). 17.(15分)已知函数f(x)=n(x+)+ax2-x(aeR): (1)当a=1时，讨论f(x)的单调性： (2)当x之0时，代x)之0恒成立，求知的取值范偶： 3)求证当nN时，1+号音+2<2ha+0 数学试地第3页（共4页） 1保们分)已知龄霞Ey产-1(m>0,点八Q=)到指线B上直的距高的最大位为 3 (1)求树词E的方程： 2)若过定点(Q2)的直线1交椭圆5于点小，B,设点Q》 直线AP与直线BQ交于直线 少上一点，求直线粉的方程 19.(17分)设n维向量ā=(6，，)，万=0为，y.),定义运算：a6-+2++x (1)当n=2时，若=0y)且x<:,男<为，试比较aB与ac的大小： (2)己知neN,记Mm=-6a=(化名，x)5-0,y,)且x…x和 均为1,2，，n的某一挂列 )求M(3),M(4; ()若n24,求Mm.（提示产+2++-a+2n+》) 6 数学试题第4页（供4）宁波市2023学年第二学期高考模拟考试 高三数学参考答案 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 7.C 2.B 3.D 4.C 5.B 6.B 1.A 8.D 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要 求。全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。 9.BC 10.ACD 11.ABD 三、填空题;本题共3小题,每小题5分,共15分。 14.11(12() 12.15 13.9 四、解答题;本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A 15.(1)法一:连结NP交BC于点R,连结AR, :点O是AN中点,点P是NR中点 .PO是△NR4的中位线,即PO//RA, 又PQ平面ABC,R4c平面ABC, :PO//平面A.BC. 法二:取AB中点M,连结MO,PM. C M P为BC的中点;M为4B中点::PM//AC, 又:PM平面A.BC,:.PM//平面ABC. :Q是A.N的中点,:QM//BC. 又:OM平面4.BC,*.OM//平面ABC. 又·PMOOM=M,:平面POM//平面ABC. :PO//平面A.BC。 #5 法三:由题意,以A原点,以AC,AB,A4所在直线分别为x C 轴,y轴,2轴,建立如图所示空间直角坐标系A-x .4(0.0.22), B(0.2.0),C(2.0.0),B(0.2.22),C.(2.0.2V2), #0.22), P(.),#./2),# AB-(0.2,-22). #-20770-). 设平面ABC的法向量i=(x.yv.z) [2y-22z-0 , ,不妨令=1,则x-2,y=2,:i=(2.2.1),:Pi=, lBC.io l2x-2y=0 :PQ//平面ABC. (2)法一:由(1)可得AP=(1.1.-2):设A.P与平面ABC所成角为e -7# 则sing=cos(4Pi)= 10 C A 法二:AC=AB,R为BC中点:AR1BC, ·N,R分别为BC和BC的中点,:BB.//NR, 又:BB 1.BC,.NR1BC, .NRC平面APR,A.RC平面A.PR,NROA.R=R,:BC1平面APR R ,R :BCC平面ABC,:平面A.PR1平面A.BC, 过点P作A.R的垂线PH, ·PH1A.R,平面A.PRO平面A.BC=AR. .PH1平面A.BC,即 PA.H= PAR为A.P与平面A.BC所成角的平面角 'AB=AC=2,N是BC的中点,:AN-2, -BB-NR-22,:NP=PR=2. 由勾股定理,得AP=4.N+NP=2,4R=4.N+NR{=10 A.P+4.R-PR4+10-2 3V10 0 .cos乙PA.H-cos PAR=- 2A.P:A.R 10 2x2x10 -,:sin/PA.R=) 10 10· 16.(1)从7个自然数中任意选三个共有C=35种选择,恰有一个偶数的情况有C.C=18种, ---------------6分 (2)当x-2时,共有5种; 当X-1时,共有20种: 当X-0时,共有10种 X的分布列如下: 0 2 所以E(x)-x1+2-# x+I x1,-1. 所以当xe(-1-)时,/”(x)20,f(x)单调递增:; 当xe(-时,f(t)0./()单词减 当xE(---8..--.--, --.-.--.-----------------------------------.5分 (2)法一:因为/(x)-ln(1+x)+ax2-x 2ax}+(2a-1)x x(2ax+2a-) 1+x 1+x 1+x 设g$(x)=2ax+2 a -$$ 当as0时,g(x)<0,所以f'(x)<0,所以f(x)在[0,+)上单调递减 所以f(x)<f(0)=0,不合题意 2a 上单调递减, 所以#(1-2)(0)10.后! 所以f(x)>f(0)=0 法二:/'(t)-+2ax-1,/”(x)-+2a. x+1 (x+1)} 因为任意x>0,都有f(x)>0恒成立,且f(0)=f'(0)=0 (x+1)} (x+1)} 所以f’(x)在[0,+oo)上单调递增,所以f’(x)>f'(0)=0, 所以f(x)在[0,+co)上单调递增,所以f(x)>f(0)=0; 上。) ---10分 $- ,有n1(1)-_- 所以>2[ln(k+1)-lnk]>2k-1, 二 n} m+2 CP{}=x+(y+1)}=-(1+m)}+2y+(3+m). 设f(y)=-(1+m)y}+2y+(3+m),yE -1.1]. n+1 02)_△41 m+1 3' (2)法一:设直线AB:y=k+2,A(x,y, B(x,y). 由于对称性,不妨设k<0,此时x>x,直线AP,BO的斜率分别为k,. y=+2 联立圆方程得, →(4+1)x2+16kx+12=0, 1r2+4y2-4 4' 16& #+=- 4^}+1 由韦达定理得 x_1 12 y-x-1 {##2# 2 x k&+36kox+9 二4k×,+9x-6=0, 化简得 1 2x -8k+24k2-3 4k+1 由求根公式可得: -8$-24^}-3$ #= 4k+1 48k -$ +24k-3-8k-24k-3 代入得, -+9. $=--4=5 \4 k$-3$$ 4k+1 4+1 4+1 两边平方得,16k^{}=25(4^$-3) ##7#7 解得尺25 #,即 14 (舍去), 14 当k-- 14 57 14 14 -x42. 57 57 综上所述,直线AB的方程为v=- -x+2或y= 14 14 -x+2----------------------------17分 法二:同法一可得4kx.x.+9x-6x,=0 - 16k #+x=- 可得4k×:4^+1 48-3(×+×) 又由 12 x= 4+1' 2=2 642 所以,(1)} 2-2-13 #× x2 x.x 3(4+1)-2=6’ -#7#7 解得25 (舍去), 14 14 57 当-- 14 14x+2, 57 时, 57 由对称性可知当k=- A -x+2. 57 57 综上所述,直线AB的方程为=- x+2或v= 14 14 -x+2 -------------------------------------17分 法三:设直线AB:y=kK+2,直线AP,BO的斜率分别为k,. y=hx-1 1 所以=#(一)-,简得人,3, 联立AP与圆方程,得 fy-3kx-1 →(36k}+1)x2-24k,x=0. 1r2+4y2-4→ 24 36k,2-1 ·x=0,.×= 361'y=3k.x -1-3 36-212-+1 xo{ 8k [y-x+2 12_ 442+1 联立直线AB与直线BO方程: 得 40。{}+2 12k4k2+1) #0#). “点B 在圆E上,x。+4y。}-4,即 20+1'40+2 -14. 12k2+1 5、7 57 8h. 14,AB:y=- 4x2: 12+157 57 当二一 -时,k-- ,.AB:y 8. 14 -x+2. 14 57 57 综上所述,直线AB的方程为y=- x+2或v= 14 14 -x+2 -----------------------------------------17分 设直线AP与直线pO交点R(^). 法四: 直线AB:y=kx+2,A(x,y),B(x,v), .AP:y=- 4a 4a* y=cx+2 $= 12a 联立直线AP与直线AB,得 9-4ak 9 →{ -x-1 )= 18+4ak' 4a = 9-4ak =kx+2 6a 2= 联立直线BO与直线AB, 3-4ak 得 效 :3-4ak =4a* 6-2ak' [6124184)_4 2+4-4 B(x,y)在圆E上,可得 点A(x,), →{ #5&+4R4 $44^{+4(18+4ak){}=4(9-4$ak)$} 化简得→ 3 ^}+4(6-2 ak){}=4(3-4ak){} ②’ (舍去),代入①,解得a-63 4 4 x [-3#7 #.-7#7 ## 解得 ##### 14 $当&=-= 当k=14 57 57 57 综上所述,直线AB的方程为y=- 14 -x+2或y-= 14 19. ($) -=(xy+xy)-(x+xy)=(x-)(-y)>0,所以> . (2) (i)先求M(3),不妨设=(1.2.3),=(y,y,),其中y,y,y为1,2,3的排列. 所以ā=y+2y+3y=2(v+y+y)+(-y)=12+y-y 而y-y可取的值为土2,+1,故M(3)=10,11,13,14. 再求M(4),不妨设=(1,2.3,4),b=(,y,y,y),其中y,y,y,y为1,2.3,4的排列. 26.27,29,30; 23.24,25,27,28,29; 21.22,23,25,26,27; 综上M(4)=20,21,.-,30} (ii)方法一: 由(1)可得,若存在x<x,y>y,则不妨交换y,y,则,5会变大. 不妨设ā=(1.2.3..,n),则 #=(n,n-1,.,)时,n6-n(n+1)(n+2) 最小: 5=(1.2..,n)时,a.-n(n+1)(2n+1) 最大. 6 6 [n(n+1)(n+2)n(n+1)(2n+1)] 所以M(n)中的元素均属于集合S(n)= 6 设a.表示集合(x|xES(n)且xM(n)的元素个数,即a.=S(n)-|M(n) |( Al表示集合A 的元素个数) 下证a.=0(n>4). 当n=4时,由(2)知a.=0. 我们考虑a..及M(n+1) (n+1)(n+2)(n+3) (n+1)(n+2)(2n+3) 因为M(n+1)中的最小元素为 最大元素为 ,即 6 6 M(n+1)中的元素均在S(n+1)中 设=t(1.2.,n.n+1),b=(y,y..y,n+1),其中y,y,.,y.为1,2,.,n的任一排列, 则:5可能取值为B(n+l)=(x+(n+){}xEM(n)),即:5恰好没有覆盖到集合 C(n+1)= [(n+1)(n}+8n+6)(n+1)(n+2)(2n+3) 中的a.个元素. 6 6 当=(1.2..n n+(n,y,y),其y,y.为,2..n的一排列, 则ā.6-n+1+(1+1)y-n+1+' n(n+1) 2 2 故品石可能取值为D(n+1)#-{+(n+1n+2)c M(n)}, 即.5恰好没有覆盖到集合 [(n+1)(n+2)(n+3) (n+1)(n”+2n+3)] 中a。个元素. 6 2 又因为当n>4时; )(n+1)(n}+8n+6)(n+1)(n}+2n+3) (n+1)(n+2)(n+3) (n+1)(n+2)(2n+3) 6 6 3 6 [(n+1)(n+2)(n+3) (n+1)(n+2)(2n+3) 即C(n+1)UE(n+1)- -S(n+1). 6 6 又B(n+1)D(n+1)cM(n+1)cC(n+1)UE(n+)=S(n+1) 故M(n+1)不覆盖集合S(n+D)的元素至多有2a.个,故a..<2a.,又因为a.=0,所以 a=a=...-a.=0. n(n+1)(n+2) 所以M(n)-e21 n(n+1)(2n+1) # __-....------.-.-.----------------17 分 (iì)方法二:猜想M(n)-{ez1 n(n+1)(n+2) <k< n(n+1)(2n+1) 6 6 证明:(对n进行归纳)当n三4时,命题成立. [(k+1)(k+2)k(k+1)(0k+2) 1.... r(k+1)(2k+1)] 假设n=k,k>4时,命题成立,即M(k)= # 6 6 则n=k+1时,不妨设ā=(1.2.3...-,k+1). (+1D)(k+2)(2k+3) 同法一,可知当6-(1,2.,k+1)时,-6 最大; 6