第二单元认识三角形和四边形·单元复习篇（单元复习讲义）【四大篇章】-2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列（原卷版+解析版+答案版）北师大版

第 1 页 共 18 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 18 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元认识三角形和四边形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由 3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有 3条边、3个角和 3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示 第 3 页 共 18 页 法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。 例如，三角形 ABC表示由点 A、点 B和点 C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形 ABC 的三条边分别为 AB、BC和 AC，可以用 a、b和 c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形 ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高， 这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有 3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个 三角形都可以作 3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不 同。（如下图） 第 4 页 共 18 页 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）。 （2）直角三角形：有一个角是 90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°且小于 180°），其余两个角为锐 角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是 180°×（边数－2）。 第 5 页 共 18 页 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形。 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫 做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形。 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系。 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 第 6 页 共 18 页 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 2．数一数，图中共有( )个三角形。 【答案】16 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三 角形的( )性。 【答案】稳定 【高频考题 02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一 共可以围成( )个不同的三角形。 【答案】7 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是 3厘米和 4厘米，另一条 第 7 页 共 18 页 边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【高频考题 03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个( )三角形，按边 分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形， 按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【高频考题 04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 ( )分米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 ( )分米。 【答案】 6 8 2．一个等腰三角形的一条边是 5厘米，另一条边是 7厘米，围成这个等腰三角 形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 3．一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条 边长分别是( )厘米和( )厘米。 【答案】 23 23 【高频考题 05】平行四边形和梯形。 1．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。 【答案】 无数 4 2．等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 第 8 页 共 18 页 【答案】 上下底互相 两腰 3．在图中，线段 AH和线段 CF互相( )，记作( )；数一数，图 中一共有( )个平行四边形，( )个梯形。 【答案】 平行 AH∥CF 3 5 4．只有一组对边平行的四边形叫做( )。某单位大门安装的伸缩门应用 的是平行四边形( )的特点。 【答案】 梯形 易变形 【高频考题 06】平行四边形和梯形作图。 1．下面哪些图形是平行四边形？画出每个平行四边形的高。 【答案】从左起，第一个、第二个、第四个都是平行四边形，画图如下： 2．下面哪些图形是梯形？画出每个梯形的高，分别指出它们的上底、下底和腰。 【答案】 第 9 页 共 18 页 3．下图是两条平行线。 （1）利用平行线，画出一个平行四边形和一个直角梯形。 （2）画出平行四边形的高。 【答案】（1）（2）见下图： 4．在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 5．在点子图上画一个等腰梯形，并画出一条高。 第 10 页 共 18 页 【答案】 第 11 页 共 18 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角 形中，一个锐角是 25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 2．一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是( )°，它还是一个( ) 三角形；如果它的一个底角是 40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【高频考题 02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 2．观察下图，三角形 ABC按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下 C ， 那么剩下图形的内角和是( )度。 【答案】 直角 360 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 第 12 页 共 18 页 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 【高频考题 03】平行四边形的周长问题。 1．学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长 14米和 12米，绕花坛走一 圈是多少米？ 【答案】 （14＋12）×2 ＝26×2 ＝52（米） 答：绕花坛走一圈是 52米。 2．公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是 9米和 10米。现在 要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米 11元，一共需要多少元？ 【答案】 （9＋10）×2×11 ＝19×2×11 ＝38×11 ＝418（元） 答：一共需要 418元。 3．李大爷要围一个平行四边形的篱笆，已知这个平行四边形相邻两条边长分别 是 4米和 7米；如果一面靠墙，那么篱笆的长度至少是多少米？（画出示意图） 【答案】 7＋4×2 第 13 页 共 18 页 ＝7＋8 ＝15（米） 答：篱笆的长度至少是 15米。 【高频考题 04】梯形的周长问题。 4．一块等腰梯形的菜地，上底长 20米，下底长 25米，一条腰长 22米，这块菜 地的周长是多少米？ 【答案】 20＋25＋22×2 ＝45＋44 ＝89（米） 答：这块菜地的周长是 89米。 5．如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要 多少米的铁丝网？ 【答案】 125 85 67  210 67  277 （米） 答：围成这块菜地需要 277米的铁丝网。 6．两个完全一样的等腰梯形的周长都是 26厘米，拼成一个平行四边形后，这个 平行四边形的周长是 42厘米（如下图）。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】 （26×2－42）÷2 ＝（52－42）÷2 ＝10÷2 第 14 页 共 18 页 ＝5（厘米） 答：等腰梯形的腰长是 5厘米。 一、填空题。 1．（2024·安徽安庆·期末）一个直角三角形的一个锐角是 58°，另外一个锐角是 ( )°。 【答案】32 2．（2024·安徽安庆·期末）一个等腰三角形，一条边长 8厘米，另一条边长 3 厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】19 3．（2024·安徽六安·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形框架、在这个过 程中长方形的周长( )平行四边形的周长。（填“大于”“小于”或“等于”。） 【答案】等于 4．（2024·安徽宿州·期末）一根 10米长的木棒，第一次锯掉 2.7米，第二次锯 掉 5.5米，剩下的一段长( )米，这三段木棒( )围成一个三角形。 （填“能”或“不能”） 【答案】 1.8 不能 二、选择题。 5．（2024·浙江金华·期末）下面方框内每组中的三个事物之间有相同的关系， 那么下面选项中具有类似关系的一组是( )。 ①水果，苹果，青苹果 ②动物，鸡，母鸡 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 【答案】C 第 15 页 共 18 页 6．（2024·浙江金华·期末）下列能围成等腰三角形的是( )。 A．3cm、4cm、5cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、5cm、5cm D．5cm、5cm、12cm 【答案】C 7．（2024·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定 是正方形的是图( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 8．（2024·浙江金华·期末）在正方形 ABCD中， AM MB ，沿虚线CM 将正方形 分两部分，用这两部分拼图形，下列四种图形中，不能拼成的图形是( )。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】A 三、计算题。 9．（2024·陕西咸阳·期末）算一算。 (1) ∠2＝( )，∠3＝( )。 第 16 页 共 18 页 (2) ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】(1) 40°/40度 110°/110度 (2) 60°/60度 75°/75度 105°/105度 四、作图题。 10．（2024·陕西汉中·期末）在下面的网格中分别画一个等腰三角形、平行四边 形和梯形。 【答案】 11．（2024·陕西咸阳·期末）按要求在图中画一条直线分一分。 【答案】 五、解答题。 第 17 页 共 18 页 12．（2024·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为 15.2厘米的等边三 角形，如果把它折成一个宽 5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 【答案】 15.2×3＝45.6（厘米） 45.6÷2＝22.8（厘米） 22.8－5.6＝17.2（厘米） 答：长方形的长为 17.2厘米。 13．（2024·陕西咸阳·期末）王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内 角的度数分别是 35度和 45度，它的另一个角是多少度？ 【答案】 180－35－45 ＝145－45 ＝100（度） 答：它的另一个角是 100度。 14．（2024·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先 队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后 老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三 角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长 120厘米，腰长 72厘米；小号红 领巾底边长 100厘米，腰长 60厘米。红领巾的底角都是 30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 【答案】 （1）120＋72×2 ＝120＋144 ＝264（厘米） 100＋60×2 ＝100＋120 ＝220（厘米） 264－220＝44（厘米） 第 18 页 共 18 页 答：大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长 44厘米。 （2）等腰三角形底角是 30°，所以另一个底角也是 30°。 顶角的度数为 180°－30°×2＝180°－60°＝120° 答：红领巾中另外两个角分别是 30°和 120°。 第 1 页 共 30 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 30 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元认识三角形和四边形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由 3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有 3条边、3个角和 3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示 第 3 页 共 30 页 法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。 例如，三角形 ABC表示由点 A、点 B和点 C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形 ABC 的三条边分别为 AB、BC和 AC，可以用 a、b和 c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形 ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高， 这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有 3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个 三角形都可以作 3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不 同。（如下图） 第 4 页 共 30 页 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）。 （2）直角三角形：有一个角是 90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°且小于 180°），其余两个角为锐 角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是 180°×（边数－2）。 第 5 页 共 30 页 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形。 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫 做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形。 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系。 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 第 6 页 共 30 页 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 【分析】由三条线段组成的封闭图形是三角形，依此解答。 【详解】答：图形③和⑥是三角形，其它的都不是三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的特点，是解答本题的关键。 2．数一数，图中共有( )个三角形。 【答案】16 【分析】观察图形可知，先数单个三角形的个数有 6个，再数 2个图形合成的三 角形，共有 3个，再数 3个图形合成的三角形，共有 6个，最后再加上最大的三 角形共 1个，据此解答即可。 【详解】6＋3＋6＋1 ＝9＋6＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 则图中共有 16个三角形。 【点睛】本题考查了组合图形的计数，数三角形的个数时，不能忽略了其中较大 的三角形。 第 7 页 共 30 页 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三 角形的( )性。 【答案】稳定 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，进行解答即可。 【详解】对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用 了三角形的稳定性。 【点睛】此题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的运用。 【高频考题 02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 【分析】三角形 3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的 长度之差小于第三边，依此填空即可。 【详解】（1）3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜ 4厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （2）3＋3＝6（厘米），6厘米＞3厘米，3－3＝0（厘米），0厘米＜3厘米， 因此这组线段能拼成三角形。 （3）3＋3＝6（厘米），6厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜3厘米， 因此这组线段能拼成三角形。 （4）2＋2＝4（厘米），4厘米＜6厘米，6－2＝4（厘米），2厘米＜4厘米， 因此这组线段不能拼成三角形。 由此可知，填空如下： 【点睛】熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一 共可以围成( )个不同的三角形。 第 8 页 共 30 页 【答案】7 【分析】已知铁丝的总长是 15厘米，即三角形三条边的和是 15厘米，且三条边 中最长的边最大只能是 7厘米，如果是 8厘米的话，就不符合任意两边之和大于 第三边的说法了。所以围绕着最长边是 7厘米来判定其他两边的长度即可。 【详解】由分析可知： 第一种：5厘米、5厘米、5厘米 第二种：4厘米、5厘米、6厘米 第三种：3厘米、5厘米、7厘米 第四种：4厘米、4厘米、7厘米 第五种：1厘米、7厘米、7厘米 第六种：3厘米、6厘米、6厘米 第七种：2厘米、6厘米、7厘米 则一共可以围成 7个不同的三角形。 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系。三角形任意两条边的和大于第三边， 两边之差小于第三边。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是 3厘米和 4厘米，另一条 边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差 一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】3＋4＝7（厘米） 4－3＝1（厘米） 则另一条边的长度比 7厘米短，比 1厘米长。最长可以是 6厘米，最短可以是 2 厘米。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 【高频考题 03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个( )三角形，按边 分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 第 9 页 共 30 页 【分析】我们知道，角分三种，大于 90°的角是钝角，等于 90°的角是直角，小 于 90°的角是锐角，据此即可解答；按边分，每个角都是 60°，对应每个边都是 相等的，据此即可解答。 【详解】一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个（锐角）三角形， 按边分，是个（等边）三角形。 【点睛】本题主要考查三角形的分类。 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形， 按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】根据三角形的分类标准，以及红领巾的特点进行填空即可； 三角形按角分为：钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，有一个角是钝角的三 角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的 三角形是锐角三角形； 按边分为：等腰三角形、等边三角形，等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等； 等边三角形的三条边都相等，三个角都相等。 【详解】红领巾的两腰相等，并且有一个角是钝角，因此红领巾如果按角分它是 一个钝角三角形，按边分它又是一个等腰三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的分类标准是解答此题的关键。 【高频考题 04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 ( )分米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 ( )分米。 【答案】 6 8 【分析】等边三角形也叫正三角形，三条边相等，18分米长的铁丝是三角形的 周长，利用周长除以 3即可求出等边三角形的边长；等腰三角形的两条腰相等， 利用周长减去两条腰长即可求出底边长。 【详解】18÷3＝6（分米） 18－5×2 ＝18－10 第 10 页 共 30 页 ＝8（分米） 王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 6分 米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 8分米。 【点睛】熟练掌握等边三角形和等腰三角形的特征，是解答此题的关键。 2．一个等腰三角形的一条边是 5厘米，另一条边是 7厘米，围成这个等腰三角 形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则第三条边长 5厘米或 7厘米，根据三角形 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知 5＋5＞7，5＋7＞7， 则等腰三角形三条边的长分别为 5厘米，5厘米，7厘米或 7厘米，7厘米，5 厘米，要使围成这个等腰三角形需要的绳子最少，就要使它的腰比底边短，所以 要使它的腰长是 5厘米，5厘米，底边长是 7厘米，将这三条边长度相加求和即 可。 【详解】5＋5＋7 ＝10＋7 ＝17（厘米） 围成这个等腰三角形至少需要 17厘米长的绳子。 【点睛】本题主要考查了学生根据三角形的任意两边之和大于第三边来确定这个 等腰三角形的腰，进而求出它的周长。 3．一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条 边长分别是( )厘米和( )厘米。 【答案】 23 23 【分析】因为等腰三角形的两条腰是相等的，而当 14厘米是等腰三角形的腰时， 此时底边是 60－14－14＝32（厘米），因为 14＋14＜32，所以这种情况不存在； 而当底边是 14厘米时，此时腰是（60－14）÷2＝23（厘米），据此解答。 【详解】若 14厘米是等腰三角形的腰时， 底边是：60－14－14 ＝46－14 ＝32（厘米） 第 11 页 共 30 页 因为 14＋14＜32，所以这种情况不存在； 而当底边是 14厘米时，此时腰是： （60－14）÷2 ＝46÷2 ＝23（厘米） 一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条边长 分别是 23厘米和 23厘米。 【点睛】本题主要是利用等腰三角形的特点：两条腰相等进行解答。注意要结合 三角形三边关系解答。 【高频考题 05】平行四边形和梯形。 1．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。 【答案】 无数 4 【分析】根据平行四边形、梯形的特征可知：平行四边形和梯形都有无数条高， 上下底之间的距离就是平行四边形和梯形的高；据此解答。 【详解】根据分析：平行四边形和梯形都有无数条高，如图的梯形中，高为 4 厘米。 【点睛】本题考查了平行四边形及梯形的特征。 2．等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 【答案】 上下底互相 两腰 【详解】等腰梯形的上下底互相平行，两腰的长度相等。如下图所示： 3．在图中，线段 AH和线段 CF互相( )，记作( )；数一数，图 中一共有( )个平行四边形，( )个梯形。 第 12 页 共 30 页 【答案】 平行 AH∥CF 3 5 【分析】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是 另一条直线的平行线；平行符号为∥；平行四边形的定义：平行四边形，是在同 一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；梯形的定义：只有一组对边 平行的四边形叫做梯形；据此解答。 【详解】根据分析：线段 AH和线段 CF互相平行，记作 AH∥CF；数一数，图 中一共有 3个平行四边形，5个梯形。 【点睛】在数梯形和平行四边形的个数时，应注意分类，防止遗漏。 4．只有一组对边平行的四边形叫做( )。某单位大门安装的伸缩门应用 的是平行四边形( )的特点。 【答案】 梯形 易变形 【分析】梯形只有一组对边平行。平行四边形的不稳定性又叫做易变形性，是指 平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。据此解答。 【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。某单位大门安装的伸缩门应用的 是平行四边形易变形的特点。 【点睛】本题考查了梯形及平行四边形的特征，梯形只有一组对边平行，平行四 边形有两组对边平行。 【高频考题 06】平行四边形和梯形作图。 1．下面哪些图形是平行四边形？画出每个平行四边形的高。 【答案】平行四边形；平行四边形；不是平行四边形；平行四边形；画图见详解 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；在平行四边形底边的对 边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底 第 13 页 共 30 页 边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图即可。 【详解】从左起，第一个、第二个、第四个都是平行四边形，画图如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握平行四边形的特点，以及它的高的画法。 2．下面哪些图形是梯形？画出每个梯形的高，分别指出它们的上底、下底和腰。 【答案】梯形；梯形；四边形；梯形；画图见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；在梯形的上底上任意找一点，过 这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示， 并画上垂直符号；依此画图；梯形中，不平行的两条线段是梯形的腰，平行的两 条线段分别是梯形的上底和下底，依此解答。 【详解】根据分析，解答如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握梯形的特点，以及它的高的画法。 3．下图是两条平行线。 （1）利用平行线，画出一个平行四边形和一个直角梯形。 （2）画出平行四边形的高。 【答案】见详解 第 14 页 共 30 页 【分析】（1）在两条平行线之间作两条平行的线段即可得到一个平行四边形； 在两条平行线之间作一条垂直于它们的线段，再作一条不与两条平行线平行的线 段，即可得到一个直角梯形。 （2）从平行四边形一边上一点作对边的垂线段，即为平行四边形的一条高。 【详解】（1）（2）见下图： 【点睛】本题主要考查了平行四边形及高和直角梯形的画法。 4．在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【分析】把梯形分成一个三角形和一个平行四边形，因平行四边形的两组对边都 平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个三角形和一个平行四边形，就要用 原来梯形的一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底的顶点 做另一个腰的平行线，即可得到一个平行四边形和一个三角形。 【详解】在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【点睛】只需要以梯形的较短的底为平行四边形的底，梯形的一条腰为平行四边 形的一条边，画平行线即可。 5．在点子图上画一个等腰梯形，并画出一条高。 第 15 页 共 30 页 【答案】见详解 【分析】等腰梯形是只有一组对边平行，两条腰相等的四边形。从梯形一条底边 上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。据此画图。 【详解】 【点睛】本题关键是熟练掌握等腰梯形的特征和梯形的高的画法。 第 16 页 共 30 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角 形中，一个锐角是 25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 【分析】（1）在一个三角形中，已知两个角的度数，依据三角形的内角和是 180°， 即可求出另外一个角的度数； （2）根据在直角三角形中，两个锐角的和是 90°解答即可。 【详解】∠3＝180°－（58°＋42°） ＝180°－100° ＝80° 90°－25°＝65° 在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝80°；在一个直角三角形中，一个 锐角是 25°，另一个锐角是 65°。 【点睛】解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及直角三角形的特点。 2．一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是( )°，它还是一个( ) 三角形；如果它的一个底角是 40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 【分析】根据三角形的内角和是 180°，等腰三角形的两个底角相等，先用 180° 减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，然后除以 2进行解答即可； 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，用 180°减去 2个底角的度数，可 以求得其顶角的度数； 根据三角形按角分类：有一个角大于 90°小于 180°的三角形是钝角三角形，有一 个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；进 行判断即可。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 180°－40°×2 第 17 页 共 30 页 ＝180°－80° ＝100° 一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是 70°，它还是一个锐角三角形；如果 它的一个底角是 40°，它就是一个钝角三角形。 【点睛】此题根据三角形内角和等于 180°和等腰三角形的特点进行解答；用到 的知识点：三角形的分类。 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【分析】根据平角是 180°，求出 71°角的邻角，再根据三角形的内角和是 180° 求出∠1的度数。 【详解】180°－71°＝109° 180°－109°－26° ＝71°－26° ＝45° 所以，∠1是 45°。 【点睛】熟练掌握平角的度数和三角形的内角和是解题的关键。 【高频考题 02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 【分析】根据题图可知，∠1是由三角板中的 45°角与 30°角拼成的，是这两个角 的度数差，则∠1＝45°－30°。四边形的内角和是 360°，则∠2＝360°－90°－90° －60°。 第 18 页 共 30 页 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60°＝120° 2．观察下图，三角形 ABC按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下 C ， 那么剩下图形的内角和是( )度。 【答案】 直角 360 【分析】由图可知，AB和 BC垂直，这是一个直角三角形；剪去∠C，剩下图 形是一个四边形，四边形可以分为两个三角形，三角形的内角和是 180°，依此 计算。 【详解】如图所示： 180°＋180°＝360° 三角形 ABC按角分是一个直角三角形，如果沿着虚线剪下∠C，那么剩下图形 的内角和是 360度。 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 【分析】三角形的面积内角和是 180°，四边形可以分成 2个三角形，内角和是 360°；五边形可以分成 3个三角形，内角和是 540°，由此推导出多边形的内角和： （n－2）×180°；把数据代入公式解答。 【详解】三角形的内角和为：（3－2）×180°＝1×180°＝180°； 第 19 页 共 30 页 四边形的内角和为：（4－2）×180°＝2×180°＝360°； 五边形的内角和为：（5－2）×180°＝3×180°＝180°； 六边形的内角和为：（6－2）×180°＝4×180°＝180°； …… n边形的内角和为：（n－2）×180°； 八边形的内角和为：（8－2）×180°＝6×180°＝1080°。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握多边形内角和公式的推导方法及应用。 【高频考题 03】平行四边形的周长问题。 1．学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长 14米和 12米，绕花坛走一 圈是多少米？ 【答案】52米 【分析】平行四边形是指一种四边形，其中两组对边分别平行且相等。平行四边 形的周长等于两条相邻边长度的两倍。已知两条相邻边分别为 14米和 12米，因 此周长为 2×（14＋12）。 【详解】（14＋12）×2 ＝26×2 ＝52（米） 答：绕花坛走一圈是 52米。 2．公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是 9米和 10米。现在 要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米 11元，一共需要多少元？ 【答案】418元 【分析】根据题意可知，平行四边形花坛相邻两边的长度和乘 2等于花坛的周长， 即栅栏的长度，再乘栅栏每米的价钱即等于一共需要的钱，据此即可解答。 【详解】（9＋10）×2×11 ＝19×2×11 ＝38×11 ＝418（元） 答：一共需要 418元。 3．李大爷要围一个平行四边形的篱笆，已知这个平行四边形相邻两条边长分别 第 20 页 共 30 页 是 4米和 7米；如果一面靠墙，那么篱笆的长度至少是多少米？（画出示意图） 【答案】15米 【分析】根据题意，如果一面靠墙，可以是平行四边形的短边靠墙或长边靠墙， 若是平行四边形的长边靠墙，可以不围篱笆，只围三面的时候用的篱笆最短，也 就是说此时篱笆的长度＝7＋4×2，据此画出示意图并解答。 【详解】 7＋4×2 ＝7＋8 ＝15（米） 答：篱笆的长度至少是 15米。 【高频考题 04】梯形的周长问题。 4．一块等腰梯形的菜地，上底长 20米，下底长 25米，一条腰长 22米，这块菜 地的周长是多少米？ 【答案】89米 【分析】等腰梯形的两腰相等，周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周 长；用上底的长度，加上下底的长度，再加上两条腰长，可以计算出这块菜地的 周长；据此解答。 【详解】20＋25＋22×2 ＝45＋44 ＝89（米） 答：这块菜地的周长是 89米。 5．如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要 多少米的铁丝网？ 【答案】277米 【分析】给靠墙的菜地围铁丝只有三面围铁丝，所以把三条边相加即可求出铁丝 第 21 页 共 30 页 的长度，据此解答。 【详解】125 85 67  210 67  277 （米） 答：围成这块菜地需要 277米的铁丝网。 6．两个完全一样的等腰梯形的周长都是 26厘米，拼成一个平行四边形后，这个 平行四边形的周长是 42厘米（如下图）。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】观察发现拼成一个平行四边形后，平行四边形的周长比原来两个等腰梯 形的周长和减少了 2条腰长；先用 26乘 2计算出两个等腰梯形的周长和，再减 去平行四边形的周长，计算出 2条腰长，最后除以 2计算出等腰梯形的腰长；据 此解答。 【详解】（26×2－42）÷2 ＝（52－42）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：等腰梯形的腰长是 5厘米。 第 22 页 共 30 页 一、填空题。 1．（2024·安徽安庆·期末）一个直角三角形的一个锐角是 58°，另外一个锐角是 ( )°。 【答案】32 【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；锐角是大于 0°小于 90°的角， 直角为 90°，三角形的内角和为 180°，那么用 180°减去 90°，再减去 58°可以计 算出另外一个锐角的度数；据此解答。 【详解】根据分析： 180°－90°－58°＝32° 所以另外一个锐角是 32°。 2．（2024·安徽安庆·期末）一个等腰三角形，一条边长 8厘米，另一条边长 3 厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】19 【分析】根据等腰三角形有两条边长相等，再根据三角形第三边小于两边和，大 于两边差，据此先判断三角形三条边的长度，再相加即可求出周长。 【详解】如果腰是 3厘米，3＋3＝6，6＜8，不符合三角形三边关系； 腰是 8厘米，8＋3＝11（厘米），11＞8，8－3＝5（厘米），5＜8，符合三角形 三边关系。 8＋8＋3 ＝16＋3 ＝19（厘米） 所以它的周长是 19厘米。 3．（2024·安徽六安·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形框架、在这个过 程中长方形的周长( )平行四边形的周长。（填“大于”“小于”或“等于”。） 【答案】等于 【分析】根据题意，平行四边形的周长等于四条边长之和。把长方形框架拉成平 行四边形后，长方形的形状变了，但它的边长并没有改变．边长没有改变，所以 第 23 页 共 30 页 周长不变。据此解答。 【详解】根据分析，在这个过程中长方形的周长等于平行四边形的周长。 4．（2024·安徽宿州·期末）一根 10米长的木棒，第一次锯掉 2.7米，第二次锯 掉 5.5米，剩下的一段长( )米，这三段木棒( )围成一个三角形。 （填“能”或“不能”） 【答案】 1.8 不能 【分析】根据题意，先用木棒的总长度减去第一次和第二次锯掉的长度，即可求 出剩下的一段长多少米；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差 小于第三边，据此判断是否能围成三角形即可。 【详解】10－2.7－5.5 ＝7.3－5.5 ＝1.8（米） 2.7＋1.8＝4.5（米） 4.5米＜5.5米，两边之和小于第三边，不能围成三角形。 一根 10米长的木棒，第一次锯掉 2.7米，第二次锯掉 5.5米，剩下的一段长 1.8 米，这三段木棒不能围成一个三角形。 二、选择题。 5．（2024·浙江金华·期末）下面方框内每组中的三个事物之间有相同的关系， 那么下面选项中具有类似关系的一组是( )。 ①水果，苹果，青苹果 ②动物，鸡，母鸡 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 【答案】C 【分析】由题意可知，方框内每组中的三个事物之间的共同点就是前者和后者之 间都有包含关系，前者都包含了后者。据此选择。 【详解】A．长方形属于四边形，四边形包含了长方形，但梯形不属于长方形， 所以长方形没有包含梯形。不符合题意。 第 24 页 共 30 页 B．三角形不属于四边形，前者没有包含后者。不符合题意。 C．平行四边形属于四边形，前者包含后者，长方形属于特殊的平行四边形，前 者包含后者。符合题意。 D．正方形属于四边形，前者包含后者，但梯形不属于正方形，前者没有包含后 者。不符合题意。 故答案为：C 6．（2024·浙江金华·期末）下列能围成等腰三角形的是( )。 A．3cm、4cm、5cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、5cm、5cm D．5cm、5cm、12cm 【答案】C 【分析】根据等腰三角形条件：必须有且只有两条边长度相等，且满足三角形三 边关系（任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： A．3cm、4cm、5cm：三边均不相等，无法构成等腰三角形。 B．3cm、3cm、6cm：两短边之和（3＋3＝6）等于第三边，无法构成三角形。 C．3cm、5cm、5cm：两长边相等（5cm），且满足三边关系（3＋5＞5，5＋5 ＞3），可构成等腰三角形。 D．5cm、5cm、12cm：两短边之和（5＋5＝10）小于第三边（12cm），无法构 成三角形。 故答案为：C 7．（2024·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定 是正方形的是图( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】四个角都是直角且四条边都相等的四边形是正方形；两组对边分别平行、 四个角都是直角的四边形叫做长方形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形，一 第 25 页 共 30 页 腰垂直于底的梯形叫直角梯形；据此分析每个选项。 【详解】 A． ，可能是长方形，正方形，直角梯形，不符合； B． ，可能是长方形，直角梯形，不符合； C． ，一定是正方形；符合； D． ，可能是长方形，正方形，直角梯形或者是有一个直角的普 通四边形；不符合。 故答案为：C 8．（2024·浙江金华·期末）在正方形 ABCD中， AM MB ，沿虚线CM 将正方形 分两部分，用这两部分拼图形，下列四种图形中，不能拼成的图形是( )。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】 将剪开的四边形 ADCM的边 AM 与△MCB的边MB重合，A点与 B点重合， 第 26 页 共 30 页 DAC连成一条直线，得到直角三角形如图： ； 把△MCB的边 BC与四边形 ADCM的边 AD重合，A点与 B点重合，C点与 D 点重合，MB与 AM连成一条直线，得到平行四边形，如图： ； 把△MCB 的 C 点与四边形 ADCM 的 A 点重合，B 点与 D 点重合，MB 与 DC 连成一条直线，得到一个等腰梯形，如图： ； 不能拼成等腰三角形，据此解答。 【详解】根据分析可知，在正方形 ABCD中， AM MB ，沿虚线CM 将正方形分 两部分，用这两部分拼图形，不能拼成的图形是等腰三角形。 故答案为：A 三、计算题。 9．（2024·陕西咸阳·期末）算一算。 (1) ∠2＝( )，∠3＝( )。 (2) ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】(1) 40°/40度 110°/110度 (2) 60°/60度 75°/75度 105°/105度 【分析】（1）直角的是 90°，三角形的内角和是 180°，根据题图可知∠2与一个 第 27 页 共 30 页 直角一个 50°的角是同一个三角形内的角，那么用 180°减去 90°再减去 50°即可求 出∠2；∠3、∠2和一个 30°的角组成了一个平角，平角是 180°，那么用 180°减 去∠2再减去 30°，即可求出∠3； （2）平角是 180°，∠1与一个 120°的角组成一个平角，用 180°减去 120°即可求 出∠1；三角形的内角和是 180°，∠1、∠2与一个 45°的角是同一个三角形内的 角，那么用 180°减去∠1再减去 45°即可求出∠2；∠2与∠3组成一个平角，用 180°减去∠2即可求出∠3。 【详解】（1）180°－90°－50° ＝90°－50° ＝40° 180°－40°－30° ＝140°－30° ＝110° ∠2＝40°，∠3＝110°。 （2）180°－120°＝60° 180°－60°－45° ＝120°－45° ＝75° 180°－75°＝105° ∠1＝60°，∠2＝75°，∠3＝105°。 四、作图题。 10．（2024·陕西汉中·期末）在下面的网格中分别画一个等腰三角形、平行四边 形和梯形。 【答案】见详解 第 28 页 共 30 页 【分析】根据平行四边形、梯形和等腰三角形的特点直接画图即可； 画平行四边形时，两组对边平行且长度相等； 画梯形时一定要一组对边平行； 画等腰三角形时，两条腰一定要长度相等。 【详解】 11．（2024·陕西咸阳·期末）按要求在图中画一条直线分一分。 【答案】见详解 【分析】由三条边组成的封闭图形是三角形；梯形的上、下底互相平行；据此连 接长方形的对角线与对应长边上一点；根据梯形的特征，梯形的上、下底互相平 行，根据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等，在梯形上底上找一个 点（这个点不能和上底的两个顶点重合），过这个点作另一顶点所在的腰的平行 线，这条平行线与梯形下底相交，这样这个梯形就被分成了一个平行四边形和一 个梯形。 【详解】 五、解答题。 12．（2024·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为 15.2厘米的等边三 角形，如果把它折成一个宽 5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 【答案】17.2厘米 【分析】根据题意，计算铁丝总长度（等边三角形周长）：等边三角形边长为 第 29 页 共 30 页 15.2厘米，用边长乘 3，求出铁丝的长度；确定长方形周长与铁丝长度相同；利 用长方形周长＝（长＋宽）÷2，求长方形的长：长方形的周长×2－宽，已知宽 为 5.6厘米，代入数据，求出长方形的长即可。 【详解】根据分析可知： 15.2×3＝45.6（厘米） 45.6÷2＝22.8（厘米） 22.8－5.6＝17.2（厘米） 答：长方形的长为 17.2厘米。 13．（2024·陕西咸阳·期末）王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内 角的度数分别是 35度和 45度，它的另一个角是多少度？ 【答案】100度 【分析】三角形内角和为 180度，用 180度减去两个已知角的度数，即可求出它 的另一个角是多少度。 【详解】180－35－45 ＝145－45 ＝100（度） 答：它的另一个角是 100度。 14．（2024·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先 队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后 老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三 角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长 120厘米，腰长 72厘米；小号红 领巾底边长 100厘米，腰长 60厘米。红领巾的底角都是 30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 【答案】（1）44厘米； （2）另外两个角分别是 30°和 120° 【分析】（1）首先分别计算出大号红领巾和小号红领巾的周长，然后用大号红 领巾的周长减去小号红领巾的周长，即可得到它们的周长差。等腰三角形的周长 ＝底边长＋腰长×2。 第 30 页 共 30 页 （2）等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为 180°。已知底角是 30°， 用 180°减去两个底角的度数就可以得到顶角的度数。 【详解】（1）120＋72×2 ＝120＋144 ＝264（厘米） 100＋60×2 ＝100＋120 ＝220（厘米） 264－220＝44（厘米） 答：大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长 44厘米。 （2）等腰三角形底角是 30°，所以另一个底角也是 30°。 顶角的度数为 180°－30°×2＝180°－60°＝120° 答：红领巾中另外两个角分别是 30°和 120°。 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元认识三角形和四边形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形。 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形。 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系。 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 2．数一数，图中共有( )个三角形。    【答案】16 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【高频考题02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成( )个不同的三角形。 【答案】7 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【高频考题03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形，按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【高频考题04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长( )分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长( )分米。 【答案】 6 8 2．一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 3．一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是( )厘米和( )厘米。 【答案】 23 23 【高频考题05】平行四边形和梯形。 1．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。 【答案】 无数 4 2．等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 【答案】 上下底互相 两腰 3．在图中，线段AH和线段CF互相( )，记作( )；数一数，图中一共有( )个平行四边形，( )个梯形。 【答案】 平行 AH∥CF 3 5 4．只有一组对边平行的四边形叫做( )。某单位大门安装的伸缩门应用的是平行四边形( )的特点。 【答案】 梯形 易变形 【高频考题06】平行四边形和梯形作图。 1．下面哪些图形是平行四边形？画出每个平行四边形的高。 【答案】从左起，第一个、第二个、第四个都是平行四边形，画图如下： 2．下面哪些图形是梯形？画出每个梯形的高，分别指出它们的上底、下底和腰。 【答案】 3．下图是两条平行线。 （1）利用平行线，画出一个平行四边形和一个直角梯形。 （2）画出平行四边形的高。 【答案】（1）（2）见下图： 4．在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 5．在点子图上画一个等腰梯形，并画出一条高。 【答案】 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 2．一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是( )°，它还是一个( )三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【高频考题02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 2．观察下图，三角形按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下，那么剩下图形的内角和是( )度。    【答案】 直角 360 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 【高频考题03】平行四边形的周长问题。 1．学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长14米和12米，绕花坛走一圈是多少米？ 【答案】 （14＋12）×2 ＝26×2 ＝52（米） 答：绕花坛走一圈是52米。 2．公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是9米和10米。现在要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米11元，一共需要多少元？ 【答案】 （9＋10）×2×11 ＝19×2×11 ＝38×11 ＝418（元） 答：一共需要418元。 3．李大爷要围一个平行四边形的篱笆，已知这个平行四边形相邻两条边长分别是4米和7米；如果一面靠墙，那么篱笆的长度至少是多少米？（画出示意图） 【答案】 7＋4×2 ＝7＋8 ＝15（米） 答：篱笆的长度至少是15米。 【高频考题04】梯形的周长问题。 4．一块等腰梯形的菜地，上底长20米，下底长25米，一条腰长22米，这块菜地的周长是多少米？ 【答案】 20＋25＋22×2 ＝45＋44 ＝89（米） 答：这块菜地的周长是89米。 5．如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要多少米的铁丝网？ 【答案】 （米） 答：围成这块菜地需要277米的铁丝网。 6．两个完全一样的等腰梯形的周长都是26厘米，拼成一个平行四边形后，这个平行四边形的周长是42厘米（如下图）。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】 （26×2－42）÷2 ＝（52－42）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：等腰梯形的腰长是5厘米。 一、填空题。 1．（2024·安徽安庆·期末）一个直角三角形的一个锐角是58°，另外一个锐角是( )°。 【答案】32 2．（2024·安徽安庆·期末）一个等腰三角形，一条边长8厘米，另一条边长3厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】19 3．（2024·安徽六安·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形框架、在这个过程中长方形的周长( )平行四边形的周长。（填“大于”“小于”或“等于”。） 【答案】等于 4．（2024·安徽宿州·期末）一根10米长的木棒，第一次锯掉2.7米，第二次锯掉5.5米，剩下的一段长( )米，这三段木棒( )围成一个三角形。（填“能”或“不能”） 【答案】 1.8 不能 二、选择题。 5．（2024·浙江金华·期末）下面方框内每组中的三个事物之间有相同的关系，那么下面选项中具有类似关系的一组是( )。 ①水果，苹果，青苹果 ②动物，鸡，母鸡 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 【答案】C 6．（2024·浙江金华·期末）下列能围成等腰三角形的是( )。 A．3cm、4cm、5cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、5cm、5cm D．5cm、5cm、12cm 【答案】C 7．（2024·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 8．（2024·浙江金华·期末）在正方形中，，沿虚线将正方形分两部分，用这两部分拼图形，下列四种图形中，不能拼成的图形是( )。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】A 三、计算题。 9．（2024·陕西咸阳·期末）算一算。 (1) ∠2＝( )，∠3＝( )。 (2) ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】(1) 40°/40度 110°/110度 (2) 60°/60度 75°/75度 105°/105度 四、作图题。 10．（2024·陕西汉中·期末）在下面的网格中分别画一个等腰三角形、平行四边形和梯形。 【答案】 11．（2024·陕西咸阳·期末）按要求在图中画一条直线分一分。 【答案】 五、解答题。 12．（2024·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为15.2厘米的等边三角形，如果把它折成一个宽5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 【答案】 15.2×3＝45.6（厘米） 45.6÷2＝22.8（厘米） 22.8－5.6＝17.2（厘米） 答：长方形的长为17.2厘米。 13．（2024·陕西咸阳·期末）王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内角的度数分别是35度和45度，它的另一个角是多少度？ 【答案】 180－35－45 ＝145－45 ＝100（度） 答：它的另一个角是100度。 14．（2024·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长120厘米，腰长72厘米；小号红领巾底边长100厘米，腰长60厘米。红领巾的底角都是30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 【答案】 （1）120＋72×2 ＝120＋144 ＝264（厘米） 100＋60×2 ＝100＋120 ＝220（厘米） 264－220＝44（厘米） 答：大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长44厘米。 （2）等腰三角形底角是30°，所以另一个底角也是30°。 顶角的度数为180°－30°×2＝180°－60°＝120° 答：红领巾中另外两个角分别是30°和120°。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元认识三角形和四边形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形。 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形。 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系。 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 【答案】③；⑥ 【分析】由三条线段组成的封闭图形是三角形，依此解答。 【详解】答：图形③和⑥是三角形，其它的都不是三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的特点，是解答本题的关键。 2．数一数，图中共有( )个三角形。    【答案】16 【分析】观察图形可知，先数单个三角形的个数有6个，再数2个图形合成的三角形，共有3个，再数3个图形合成的三角形，共有6个，最后再加上最大的三角形共1个，据此解答即可。 【详解】6＋3＋6＋1 ＝9＋6＋1 ＝15＋1 ＝16（个） 则图中共有16个三角形。 【点睛】本题考查了组合图形的计数，数三角形的个数时，不能忽略了其中较大的三角形。 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的( )性。 【答案】稳定 【分析】根据三角形的特性：三角形具有稳定性，进行解答即可。 【详解】对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的稳定性。 【点睛】此题主要考查三角形的稳定性在实际生活中的运用。 【高频考题02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 【答案】（1）（√）；（2）（√）；（3）（√）； 【分析】三角形3条边的关系是：任意两边的长度之和大于第三边，任意两边的长度之差小于第三边，依此填空即可。 【详解】（1）3＋4＝7（厘米），7厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜4厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （2）3＋3＝6（厘米），6厘米＞3厘米，3－3＝0（厘米），0厘米＜3厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （3）3＋3＝6（厘米），6厘米＞5厘米，5－3＝2（厘米），2厘米＜3厘米，因此这组线段能拼成三角形。 （4）2＋2＝4（厘米），4厘米＜6厘米，6－2＝4（厘米），2厘米＜4厘米，因此这组线段不能拼成三角形。 由此可知，填空如下： 【点睛】熟练掌握三角形三边的关系，是解答本题的关键。 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成( )个不同的三角形。 【答案】7 【分析】已知铁丝的总长是15厘米，即三角形三条边的和是15厘米，且三条边中最长的边最大只能是7厘米，如果是8厘米的话，就不符合任意两边之和大于第三边的说法了。所以围绕着最长边是7厘米来判定其他两边的长度即可。 【详解】由分析可知： 第一种：5厘米、5厘米、5厘米 第二种：4厘米、5厘米、6厘米 第三种：3厘米、5厘米、7厘米 第四种：4厘米、4厘米、7厘米 第五种：1厘米、7厘米、7厘米 第六种：3厘米、6厘米、6厘米 第七种：2厘米、6厘米、7厘米 则一共可以围成7个不同的三角形。 【点睛】本题主要考查三角形三边的关系。三角形任意两条边的和大于第三边，两边之差小于第三边。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【答案】 6 2 【分析】三角形的三边关系为三角形的两边之和大于第三边，三角形的两边之差一定小于第三边；据此解答即可。 【详解】3＋4＝7（厘米） 4－3＝1（厘米） 则另一条边的长度比7厘米短，比1厘米长。最长可以是6厘米，最短可以是2厘米。 【点睛】熟练掌握三角形的三边关系，灵活运用三角形的三边关系解决问题。 【高频考题03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。 【答案】 锐角 等边 【分析】我们知道，角分三种，大于90°的角是钝角，等于90°的角是直角，小于90°的角是锐角，据此即可解答；按边分，每个角都是60°，对应每个边都是相等的，据此即可解答。 【详解】一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个（锐角）三角形，按边分，是个（等边）三角形。 【点睛】本题主要考查三角形的分类。 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形，按边分它又是一个( )三角形。 【答案】 钝角 等腰 【分析】根据三角形的分类标准，以及红领巾的特点进行填空即可； 三角形按角分为：钝角三角形、直角三角形和锐角三角形，有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形； 按边分为：等腰三角形、等边三角形，等腰三角形的两腰相等，两个底角也相等；等边三角形的三条边都相等，三个角都相等。 【详解】红领巾的两腰相等，并且有一个角是钝角，因此红领巾如果按角分它是一个钝角三角形，按边分它又是一个等腰三角形。 【点睛】熟练掌握三角形的分类标准是解答此题的关键。 【高频考题04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长( )分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长( )分米。 【答案】 6 8 【分析】等边三角形也叫正三角形，三条边相等，18分米长的铁丝是三角形的周长，利用周长除以3即可求出等边三角形的边长；等腰三角形的两条腰相等，利用周长减去两条腰长即可求出底边长。 【详解】18÷3＝6（分米） 18－5×2 ＝18－10 ＝8（分米） 王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长6分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长8分米。 【点睛】熟练掌握等边三角形和等腰三角形的特征，是解答此题的关键。 2．一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要( )厘米长的绳子。 【答案】17 【分析】等腰三角形的两条腰相等，则第三条边长5厘米或7厘米，根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可知5＋5＞7，5＋7＞7，则等腰三角形三条边的长分别为5厘米，5厘米，7厘米或7厘米，7厘米，5厘米，要使围成这个等腰三角形需要的绳子最少，就要使它的腰比底边短，所以要使它的腰长是5厘米，5厘米，底边长是7厘米，将这三条边长度相加求和即可。 【详解】5＋5＋7 ＝10＋7 ＝17（厘米） 围成这个等腰三角形至少需要17厘米长的绳子。 【点睛】本题主要考查了学生根据三角形的任意两边之和大于第三边来确定这个等腰三角形的腰，进而求出它的周长。 3．一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是( )厘米和( )厘米。 【答案】 23 23 【分析】因为等腰三角形的两条腰是相等的，而当14厘米是等腰三角形的腰时，此时底边是60－14－14＝32（厘米），因为14＋14＜32，所以这种情况不存在；而当底边是14厘米时，此时腰是（60－14）÷2＝23（厘米），据此解答。 【详解】若14厘米是等腰三角形的腰时， 底边是：60－14－14 ＝46－14 ＝32（厘米） 因为14＋14＜32，所以这种情况不存在； 而当底边是14厘米时，此时腰是： （60－14）÷2 ＝46÷2 ＝23（厘米） 一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是23厘米和23厘米。 【点睛】本题主要是利用等腰三角形的特点：两条腰相等进行解答。注意要结合三角形三边关系解答。 【高频考题05】平行四边形和梯形。 1．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。 【答案】 无数 4 【分析】根据平行四边形、梯形的特征可知：平行四边形和梯形都有无数条高，上下底之间的距离就是平行四边形和梯形的高；据此解答。 【详解】根据分析：平行四边形和梯形都有无数条高，如图的梯形中，高为4厘米。 【点睛】本题考查了平行四边形及梯形的特征。 2．等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 【答案】 上下底互相 两腰 【详解】等腰梯形的上下底互相平行，两腰的长度相等。如下图所示： 3．在图中，线段AH和线段CF互相( )，记作( )；数一数，图中一共有( )个平行四边形，( )个梯形。 【答案】 平行 AH∥CF 3 5 【分析】平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；平行符号为∥；平行四边形的定义：平行四边形，是在同一个二维平面内，由两组平行线段组成的闭合图形；梯形的定义：只有一组对边平行的四边形叫做梯形；据此解答。 【详解】根据分析：线段AH和线段CF互相平行，记作AH∥CF；数一数，图中一共有3个平行四边形，5个梯形。 【点睛】在数梯形和平行四边形的个数时，应注意分类，防止遗漏。 4．只有一组对边平行的四边形叫做( )。某单位大门安装的伸缩门应用的是平行四边形( )的特点。 【答案】 梯形 易变形 【分析】梯形只有一组对边平行。平行四边形的不稳定性又叫做易变形性，是指平行四边形边长确定，其形状、大小不能完全确定。据此解答。 【详解】只有一组对边平行的四边形叫做梯形。某单位大门安装的伸缩门应用的是平行四边形易变形的特点。 【点睛】本题考查了梯形及平行四边形的特征，梯形只有一组对边平行，平行四边形有两组对边平行。 【高频考题06】平行四边形和梯形作图。 1．下面哪些图形是平行四边形？画出每个平行四边形的高。 【答案】平行四边形；平行四边形；不是平行四边形；平行四边形；画图见详解 【分析】两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图即可。 【详解】从左起，第一个、第二个、第四个都是平行四边形，画图如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握平行四边形的特点，以及它的高的画法。 2．下面哪些图形是梯形？画出每个梯形的高，分别指出它们的上底、下底和腰。 【答案】梯形；梯形；四边形；梯形；画图见详解 【分析】只有一组对边平行的四边形叫做梯形；在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图；梯形中，不平行的两条线段是梯形的腰，平行的两条线段分别是梯形的上底和下底，依此解答。 【详解】根据分析，解答如下： 【点睛】解答此题的关键是要熟练掌握梯形的特点，以及它的高的画法。 3．下图是两条平行线。 （1）利用平行线，画出一个平行四边形和一个直角梯形。 （2）画出平行四边形的高。 【答案】见详解 【分析】（1）在两条平行线之间作两条平行的线段即可得到一个平行四边形；在两条平行线之间作一条垂直于它们的线段，再作一条不与两条平行线平行的线段，即可得到一个直角梯形。 （2）从平行四边形一边上一点作对边的垂线段，即为平行四边形的一条高。 【详解】（1）（2）见下图： 【点睛】本题主要考查了平行四边形及高和直角梯形的画法。 4．在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【答案】见详解 【分析】把梯形分成一个三角形和一个平行四边形，因平行四边形的两组对边都平行，梯形的一组对边平行，所以要分成一个三角形和一个平行四边形，就要用原来梯形的一组平行的边，作为平行四边形的一组对边，再过梯形的上底的顶点做另一个腰的平行线，即可得到一个平行四边形和一个三角形。 【详解】在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 【点睛】只需要以梯形的较短的底为平行四边形的底，梯形的一条腰为平行四边形的一条边，画平行线即可。 5．在点子图上画一个等腰梯形，并画出一条高。 【答案】见详解 【分析】等腰梯形是只有一组对边平行，两条腰相等的四边形。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。据此画图。 【详解】 【点睛】本题关键是熟练掌握等腰梯形的特征和梯形的高的画法。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是( )°。 【答案】 80 65 【分析】（1）在一个三角形中，已知两个角的度数，依据三角形的内角和是180°，即可求出另外一个角的度数； （2）根据在直角三角形中，两个锐角的和是90°解答即可。 【详解】∠3＝180°－（58°＋42°） ＝180°－100° ＝80° 90°－25°＝65° 在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝80°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是65°。 【点睛】解答此题的主要依据是：三角形的内角和定理以及直角三角形的特点。 2．一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是( )°，它还是一个( )三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 【答案】 70 锐角 钝角 【分析】根据三角形的内角和是180°，等腰三角形的两个底角相等，先用180°减去顶角的度数，求出两个底角的度数和，然后除以2进行解答即可； 根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质，用180°减去2个底角的度数，可以求得其顶角的度数； 根据三角形按角分类：有一个角大于90°小于180°的三角形是钝角三角形，有一个角是直角的三角形是直角三角形，三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；进行判断即可。 【详解】（180°－40°）÷2 ＝140°÷2 ＝70° 180°－40°×2 ＝180°－80° ＝100° 一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是70°，它还是一个锐角三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个钝角三角形。 【点睛】此题根据三角形内角和等于180°和等腰三角形的特点进行解答；用到的知识点：三角形的分类。 3．∠1＝( )°。 【答案】45 【分析】根据平角是180°，求出71°角的邻角，再根据三角形的内角和是180°求出∠1的度数。 【详解】180°－71°＝109° 180°－109°－26° ＝71°－26° ＝45° 所以，∠1是45°。 【点睛】熟练掌握平角的度数和三角形的内角和是解题的关键。 【高频考题02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 15 120 【分析】根据题图可知，∠1是由三角板中的45°角与30°角拼成的，是这两个角的度数差，则∠1＝45°－30°。四边形的内角和是360°，则∠2＝360°－90°－90°－60°。 【详解】∠1＝45°－30°＝15° ∠2＝360°－90°－90°－60°＝120° 2．观察下图，三角形按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下，那么剩下图形的内角和是( )度。    【答案】 直角 360 【分析】由图可知，AB和BC垂直，这是一个直角三角形；剪去∠C，剩下图形是一个四边形，四边形可以分为两个三角形，三角形的内角和是180°，依此计算。 【详解】如图所示：     180°＋180°＝360° 三角形ABC按角分是一个直角三角形，如果沿着虚线剪下∠C，那么剩下图形的内角和是360度。 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【答案】1080 【分析】三角形的面积内角和是180°，四边形可以分成2个三角形，内角和是360°；五边形可以分成3个三角形，内角和是540°，由此推导出多边形的内角和：（n－2）×180°；把数据代入公式解答。 【详解】三角形的内角和为：（3－2）×180°＝1×180°＝180°； 四边形的内角和为：（4－2）×180°＝2×180°＝360°； 五边形的内角和为：（5－2）×180°＝3×180°＝180°； 六边形的内角和为：（6－2）×180°＝4×180°＝180°； …… n边形的内角和为：（n－2）×180°； 八边形的内角和为：（8－2）×180°＝6×180°＝1080°。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握多边形内角和公式的推导方法及应用。 【高频考题03】平行四边形的周长问题。 1．学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长14米和12米，绕花坛走一圈是多少米？ 【答案】52米 【分析】平行四边形是指一种四边形，其中两组对边分别平行且相等。平行四边形的周长等于两条相邻边长度的两倍。已知两条相邻边分别为14米和12米，因此周长为2×（14＋12）。 【详解】（14＋12）×2 ＝26×2 ＝52（米） 答：绕花坛走一圈是52米。 2．公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是9米和10米。现在要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米11元，一共需要多少元？ 【答案】418元 【分析】根据题意可知，平行四边形花坛相邻两边的长度和乘2等于花坛的周长，即栅栏的长度，再乘栅栏每米的价钱即等于一共需要的钱，据此即可解答。 【详解】（9＋10）×2×11 ＝19×2×11 ＝38×11 ＝418（元） 答：一共需要418元。 3．李大爷要围一个平行四边形的篱笆，已知这个平行四边形相邻两条边长分别是4米和7米；如果一面靠墙，那么篱笆的长度至少是多少米？（画出示意图） 【答案】15米 【分析】根据题意，如果一面靠墙，可以是平行四边形的短边靠墙或长边靠墙，若是平行四边形的长边靠墙，可以不围篱笆，只围三面的时候用的篱笆最短，也就是说此时篱笆的长度＝7＋4×2，据此画出示意图并解答。 【详解】 7＋4×2 ＝7＋8 ＝15（米） 答：篱笆的长度至少是15米。 【高频考题04】梯形的周长问题。 4．一块等腰梯形的菜地，上底长20米，下底长25米，一条腰长22米，这块菜地的周长是多少米？ 【答案】89米 【分析】等腰梯形的两腰相等，周长的认识：封闭图形一周的长度叫做图形的周长；用上底的长度，加上下底的长度，再加上两条腰长，可以计算出这块菜地的周长；据此解答。 【详解】20＋25＋22×2 ＝45＋44 ＝89（米） 答：这块菜地的周长是89米。 5．如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要多少米的铁丝网？ 【答案】277米 【分析】给靠墙的菜地围铁丝只有三面围铁丝，所以把三条边相加即可求出铁丝的长度，据此解答。 【详解】 （米） 答：围成这块菜地需要277米的铁丝网。 6．两个完全一样的等腰梯形的周长都是26厘米，拼成一个平行四边形后，这个平行四边形的周长是42厘米（如下图）。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 【答案】5厘米 【分析】观察发现拼成一个平行四边形后，平行四边形的周长比原来两个等腰梯形的周长和减少了2条腰长；先用26乘2计算出两个等腰梯形的周长和，再减去平行四边形的周长，计算出2条腰长，最后除以2计算出等腰梯形的腰长；据此解答。 【详解】（26×2－42）÷2 ＝（52－42）÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 答：等腰梯形的腰长是5厘米。 一、填空题。 1．（2024·安徽安庆·期末）一个直角三角形的一个锐角是58°，另外一个锐角是( )°。 【答案】32 【分析】直角三角形：有一个角是直角的三角形；锐角是大于0°小于90°的角，直角为90°，三角形的内角和为180°，那么用180°减去90°，再减去58°可以计算出另外一个锐角的度数；据此解答。 【详解】根据分析： 180°－90°－58°＝32° 所以另外一个锐角是32°。 2．（2024·安徽安庆·期末）一个等腰三角形，一条边长8厘米，另一条边长3厘米，它的周长是( )厘米。 【答案】19 【分析】根据等腰三角形有两条边长相等，再根据三角形第三边小于两边和，大于两边差，据此先判断三角形三条边的长度，再相加即可求出周长。 【详解】如果腰是3厘米，3＋3＝6，6＜8，不符合三角形三边关系； 腰是8厘米，8＋3＝11（厘米），11＞8，8－3＝5（厘米），5＜8，符合三角形三边关系。 8＋8＋3 ＝16＋3 ＝19（厘米） 所以它的周长是19厘米。 3．（2024·安徽六安·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形框架、在这个过程中长方形的周长( )平行四边形的周长。（填“大于”“小于”或“等于”。） 【答案】等于 【分析】根据题意，平行四边形的周长等于四条边长之和。把长方形框架拉成平行四边形后，长方形的形状变了，但它的边长并没有改变．边长没有改变，所以周长不变。据此解答。 【详解】根据分析，在这个过程中长方形的周长等于平行四边形的周长。 4．（2024·安徽宿州·期末）一根10米长的木棒，第一次锯掉2.7米，第二次锯掉5.5米，剩下的一段长( )米，这三段木棒( )围成一个三角形。（填“能”或“不能”） 【答案】 1.8 不能 【分析】根据题意，先用木棒的总长度减去第一次和第二次锯掉的长度，即可求出剩下的一段长多少米；根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，据此判断是否能围成三角形即可。 【详解】10－2.7－5.5 ＝7.3－5.5 ＝1.8（米） 2.7＋1.8＝4.5（米） 4.5米＜5.5米，两边之和小于第三边，不能围成三角形。 一根10米长的木棒，第一次锯掉2.7米，第二次锯掉5.5米，剩下的一段长1.8米，这三段木棒不能围成一个三角形。 二、选择题。 5．（2024·浙江金华·期末）下面方框内每组中的三个事物之间有相同的关系，那么下面选项中具有类似关系的一组是( )。 ①水果，苹果，青苹果 ②动物，鸡，母鸡 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 【答案】C 【分析】由题意可知，方框内每组中的三个事物之间的共同点就是前者和后者之间都有包含关系，前者都包含了后者。据此选择。 【详解】A．长方形属于四边形，四边形包含了长方形，但梯形不属于长方形，所以长方形没有包含梯形。不符合题意。 B．三角形不属于四边形，前者没有包含后者。不符合题意。 C．平行四边形属于四边形，前者包含后者，长方形属于特殊的平行四边形，前者包含后者。符合题意。 D．正方形属于四边形，前者包含后者，但梯形不属于正方形，前者没有包含后者。不符合题意。 故答案为：C 6．（2024·浙江金华·期末）下列能围成等腰三角形的是( )。 A．3cm、4cm、5cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、5cm、5cm D．5cm、5cm、12cm 【答案】C 【分析】根据等腰三角形条件：必须有且只有两条边长度相等，且满足三角形三边关系（任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）。以此答题即可。 【详解】根据分析可知： A．3cm、4cm、5cm：三边均不相等，无法构成等腰三角形。 B．3cm、3cm、6cm：两短边之和（3＋3＝6）等于第三边，无法构成三角形。 C．3cm、5cm、5cm：两长边相等（5cm），且满足三边关系（3＋5＞5，5＋5＞3），可构成等腰三角形。 D．5cm、5cm、12cm：两短边之和（5＋5＝10）小于第三边（12cm），无法构成三角形。 故答案为：C 7．（2024·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图( )。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【分析】四个角都是直角且四条边都相等的四边形是正方形；两组对边分别平行、四个角都是直角的四边形叫做长方形；只有一组对边平行的四边形叫做梯形，一腰垂直于底的梯形叫直角梯形；据此分析每个选项。 【详解】 A．，可能是长方形，正方形，直角梯形，不符合； B．，可能是长方形，直角梯形，不符合； C．，一定是正方形；符合； D．，可能是长方形，正方形，直角梯形或者是有一个直角的普通四边形；不符合。 故答案为：C 8．（2024·浙江金华·期末）在正方形中，，沿虚线将正方形分两部分，用这两部分拼图形，下列四种图形中，不能拼成的图形是( )。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形 【答案】A 【分析】 将剪开的四边形ADCM的边AM与△MCB的边MB重合，A点与B点重合，DAC连成一条直线，得到直角三角形如图：； 把△MCB的边BC与四边形ADCM的边AD重合，A点与B点重合，C点与D点重合，MB与AM连成一条直线，得到平行四边形，如图：； 把△MCB的C点与四边形ADCM的A点重合，B点与D点重合，MB与DC连成一条直线，得到一个等腰梯形，如图：； 不能拼成等腰三角形，据此解答。 【详解】根据分析可知，在正方形中，，沿虚线将正方形分两部分，用这两部分拼图形，不能拼成的图形是等腰三角形。 故答案为：A 三、计算题。 9．（2024·陕西咸阳·期末）算一算。 (1) ∠2＝( )，∠3＝( )。 (2) ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。 【答案】(1) 40°/40度 110°/110度 (2) 60°/60度 75°/75度 105°/105度 【分析】（1）直角的是90°，三角形的内角和是180°，根据题图可知∠2与一个直角一个50°的角是同一个三角形内的角，那么用180°减去90°再减去50°即可求出∠2；∠3、∠2和一个30°的角组成了一个平角，平角是180°，那么用180°减去∠2再减去30°，即可求出∠3； （2）平角是180°，∠1与一个120°的角组成一个平角，用180°减去120°即可求出∠1；三角形的内角和是180°，∠1、∠2与一个45°的角是同一个三角形内的角，那么用180°减去∠1再减去45°即可求出∠2；∠2与∠3组成一个平角，用180°减去∠2即可求出∠3。 【详解】（1）180°－90°－50° ＝90°－50° ＝40° 180°－40°－30° ＝140°－30° ＝110° ∠2＝40°，∠3＝110°。 （2）180°－120°＝60° 180°－60°－45° ＝120°－45° ＝75° 180°－75°＝105° ∠1＝60°，∠2＝75°，∠3＝105°。 四、作图题。 10．（2024·陕西汉中·期末）在下面的网格中分别画一个等腰三角形、平行四边形和梯形。 【答案】见详解 【分析】根据平行四边形、梯形和等腰三角形的特点直接画图即可； 画平行四边形时，两组对边平行且长度相等； 画梯形时一定要一组对边平行； 画等腰三角形时，两条腰一定要长度相等。 【详解】 11．（2024·陕西咸阳·期末）按要求在图中画一条直线分一分。 【答案】见详解 【分析】由三条边组成的封闭图形是三角形；梯形的上、下底互相平行；据此连接长方形的对角线与对应长边上一点；根据梯形的特征，梯形的上、下底互相平行，根据平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等，在梯形上底上找一个点（这个点不能和上底的两个顶点重合），过这个点作另一顶点所在的腰的平行线，这条平行线与梯形下底相交，这样这个梯形就被分成了一个平行四边形和一个梯形。 【详解】 五、解答题。 12．（2024·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为15.2厘米的等边三角形，如果把它折成一个宽5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 【答案】17.2厘米 【分析】根据题意，计算铁丝总长度（等边三角形周长）：等边三角形边长为15.2厘米，用边长乘3，求出铁丝的长度；确定长方形周长与铁丝长度相同；利用长方形周长＝（长＋宽）÷2，求长方形的长：长方形的周长×2－宽，已知宽为5.6厘米，代入数据，求出长方形的长即可。 【详解】根据分析可知： 15.2×3＝45.6（厘米） 45.6÷2＝22.8（厘米） 22.8－5.6＝17.2（厘米） 答：长方形的长为17.2厘米。 13．（2024·陕西咸阳·期末）王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内角的度数分别是35度和45度，它的另一个角是多少度？ 【答案】100度 【分析】三角形内角和为180度，用180度减去两个已知角的度数，即可求出它的另一个角是多少度。 【详解】180－35－45 ＝145－45 ＝100（度） 答：它的另一个角是100度。 14．（2024·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长120厘米，腰长72厘米；小号红领巾底边长100厘米，腰长60厘米。红领巾的底角都是30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 【答案】（1）44厘米； （2）另外两个角分别是30°和120° 【分析】（1）首先分别计算出大号红领巾和小号红领巾的周长，然后用大号红领巾的周长减去小号红领巾的周长，即可得到它们的周长差。等腰三角形的周长＝底边长＋腰长×2。 （2）等腰三角形的两个底角相等，三角形的内角和为180°。已知底角是30°，用180°减去两个底角的度数就可以得到顶角的度数。 【详解】（1）120＋72×2 ＝120＋144 ＝264（厘米） 100＋60×2 ＝100＋120 ＝220（厘米） 264－220＝44（厘米） 答：大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长44厘米。 （2）等腰三角形底角是30°，所以另一个底角也是30°。 顶角的度数为180°－30°×2＝180°－60°＝120° 答：红领巾中另外两个角分别是30°和120°。 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时， 能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走 于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到 自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找 资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料 应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。 于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了 一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」》，它基于教材 知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单 元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其 优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经 典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面， 精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基 础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为 A卷·基础巩固卷、B卷·素 养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去， 它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请 留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101 数学创作社 2025 年 1 月 9 日 第 2 页 共 13 页 2024-2025 学年四年级数学下册典型例题系列「2025 版」 第二单元认识三角形和四边形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由 3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有 3条边、3个角和 3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示 第 3 页 共 13 页 法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。 例如，三角形 ABC表示由点 A、点 B和点 C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形 ABC 的三条边分别为 AB、BC和 AC，可以用 a、b和 c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形 ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形 的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高， 这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有 3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个 三角形都可以作 3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不 同。（如下图） 第 4 页 共 13 页 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于 90°）。 （2）直角三角形：有一个角是 90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于 90°且小于 180°），其余两个角为锐 角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是 180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用 180°连续减去已知 的两个角的度数或用 180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是 360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是 180°×（边数－2）。 第 5 页 共 13 页 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形。 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫 做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形。 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系。 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 第 6 页 共 13 页 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题 01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 2．数一数，图中共有( )个三角形。 3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三 角形的( )性。 【高频考题 02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一 共可以围成( )个不同的三角形。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是 3厘米和 4厘米，另一条 边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【高频考题 03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是 60°，按角分，这是一个( )三角形，按边 分，是个( )三角形。 第 7 页 共 13 页 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形， 按边分它又是一个( )三角形。 【高频考题 04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根 18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长 ( )分米，若折成一条腰是 5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长 ( )分米。 2．一个等腰三角形的一条边是 5厘米，另一条边是 7厘米，围成这个等腰三角 形至少需要( )厘米长的绳子。 3．一个等腰三角形的周长是 60厘米，其中一条边长是 14厘米，它的另外两条 边长分别是( )厘米和( )厘米。 【高频考题 05】平行四边形和梯形。 1．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。 2．等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 3．在图中，线段 AH和线段 CF互相( )，记作( )；数一数，图 中一共有( )个平行四边形，( )个梯形。 4．只有一组对边平行的四边形叫做( )。某单位大门安装的伸缩门应用 的是平行四边形( )的特点。 【高频考题 06】平行四边形和梯形作图。 1．下面哪些图形是平行四边形？画出每个平行四边形的高。 第 8 页 共 13 页 2．下面哪些图形是梯形？画出每个梯形的高，分别指出它们的上底、下底和腰。 3．下图是两条平行线。 （1）利用平行线，画出一个平行四边形和一个直角梯形。 （2）画出平行四边形的高。 4．在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 5．在点子图上画一个等腰梯形，并画出一条高。 第 9 页 共 13 页 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题 01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角 形中，一个锐角是 25°，另一个锐角是( )°。 2．一个等腰三角形的顶角是 40°，一个底角是( )°，它还是一个( ) 三角形；如果它的一个底角是 40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 3．∠1＝( )°。 【高频考题 02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 2．观察下图，三角形 ABC按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下 C ， 那么剩下图形的内角和是( )度。 3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 第 10 页 共 13 页 【高频考题 03】平行四边形的周长问题。 1．学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长 14米和 12米，绕花坛走一 圈是多少米？ 2．公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是 9米和 10米。现在 要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米 11元，一共需要多少元？ 3．李大爷要围一个平行四边形的篱笆，已知这个平行四边形相邻两条边长分别 是 4米和 7米；如果一面靠墙，那么篱笆的长度至少是多少米？（画出示意图） 【高频考题 04】梯形的周长问题。 4．一块等腰梯形的菜地，上底长 20米，下底长 25米，一条腰长 22米，这块菜 地的周长是多少米？ 5．如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要 多少米的铁丝网？ 第 11 页 共 13 页 6．两个完全一样的等腰梯形的周长都是 26厘米，拼成一个平行四边形后，这个 平行四边形的周长是 42厘米（如下图）。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 一、填空题。 1．（2024·安徽安庆·期末）一个直角三角形的一个锐角是 58°，另外一个锐角是 ( )°。 2．（2024·安徽安庆·期末）一个等腰三角形，一条边长 8厘米，另一条边长 3 厘米，它的周长是( )厘米。 3．（2024·安徽六安·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形框架、在这个过 程中长方形的周长( )平行四边形的周长。（填“大于”“小于”或“等于”。） 4．（2024·安徽宿州·期末）一根 10米长的木棒，第一次锯掉 2.7米，第二次锯 掉 5.5米，剩下的一段长( )米，这三段木棒( )围成一个三角形。 （填“能”或“不能”） 二、选择题。 5．（2024·浙江金华·期末）下面方框内每组中的三个事物之间有相同的关系， 那么下面选项中具有类似关系的一组是( )。 ①水果，苹果，青苹果 ②动物，鸡，母鸡 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 6．（2024·浙江金华·期末）下列能围成等腰三角形的是( )。 A．3cm、4cm、5cm B．3cm、3cm、6cm 第 12 页 共 13 页 C．3cm、5cm、5cm D．5cm、5cm、12cm 7．（2024·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定 是正方形的是图( )。 A．① B．② C．③ D．④ 8．（2024·浙江金华·期末）在正方形 ABCD中， AM MB ，沿虚线CM 将正方形 分两部分，用这两部分拼图形，下列四种图形中，不能拼成的图形是( )。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形 三、计算题。 9．（2024·陕西咸阳·期末）算一算。 (1) ∠2＝( )，∠3＝( )。 (2) ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。 四、作图题。 10．（2024·陕西汉中·期末）在下面的网格中分别画一个等腰三角形、平行四边 第 13 页 共 13 页 形和梯形。 11．（2024·陕西咸阳·期末）按要求在图中画一条直线分一分。 五、解答题。 12．（2024·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为 15.2厘米的等边三 角形，如果把它折成一个宽 5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 13．（2024·陕西咸阳·期末）王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内 角的度数分别是 35度和 45度，它的另一个角是多少度？ 14．（2024·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先 队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后 老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三 角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长 120厘米，腰长 72厘米；小号红 领巾底边长 100厘米，腰长 60厘米。红领巾的底角都是 30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 篇首寄语 我们每位老师都希望把最好的教学资料留给学生使用，所以在平时教学时，能够快速找到高质量、高效率、高标准的资料显得十分重要。编者以前常常游走于各大学习网站寻找自己所需的资料，可却总在花费大量时间与精力后才能找到自己心仪的那份，这样费时费力不讨好，实在有些苦恼。正因如此，每次在寻找资料时，编者就会想，如果是自己来创作一份资料那又该如何呢？那么这份资料应该首先满足自身教学需要，并达到我的高标准要求，然后才能为他人提供参考。于是，本着这样的想法，在结合自身教学需求和学生实际情况后，最终酝酿出了一个既适宜课堂教学，又适应课后作业，还适合阶段复习的大综合系列。 《2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」》，它基于教材知识和常年真题进行总结与编辑，该系列主要分为典型例题篇、专项练习篇、单元复习篇、思维素养篇、分层试卷篇等五个部分。 1.典型例题篇，按照单元顺序进行编辑，主要分为计算和应用两大部分，其优点在于考题典型，考点丰富，变式多样。 2.专项练习篇，从高频考题和期末真题中选取专项练习，其优点在于选题经典，题型多样，题量适中。 3.单元复习篇，汇集系列精华，高效助力单元复习，其优点在于综合全面，精练高效，实用性强。 4.思维素养篇，新的学年，新的篇章，从课本到奥数，从方法到思维，从基础技能到核心素养，其优点在于由浅入深，思维核心，方法易懂。 5.分层试卷篇，根据试题难度和水平，主要分为A卷·基础巩固卷、B卷·素养提高卷、C卷·思维拓展卷，其优点在于考点广泛，分层明显，适应性广。 时光荏苒，转眼之间，《典型例题系列》已经历三个学年三个版本，在过去，它扬长补短，去粗取精，日臻完善；在未来，它承前启后，不断发展，未有竟时。 黄金无足色，白璧有微瑕，如果您在使用资料的过程中有任何宝贵意见，请留言于我，欢迎您的使用，感谢您的支持！ 101数学创作社 2025年1月9日 2024-2025学年四年级数学下册典型例题系列「2025版」 第二单元认识三角形和四边形·单元复习篇【四大篇章】 知识点一：三角形的概念与表示。 1. 三角形的定义。 由3条线段首尾相连围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 2. 三角形的组成。 三角形有3条边、3个角和3个顶点。 3. 三角形的表示方法。 三角形的表示方法有多种，常用的方法包括顶点表示法、边长表示法和角度表示法。 （1）顶点表示法。 顶点表示法是最常见的三角形表示方法，它用三个大写字母表示三角形的顶点。例如，三角形ABC表示由点A、点B和点C组成的三角形。 （2）边长表示法。 边长表示法是通过表示三角形的三条边的长度来表示三角形。例如，三角形ABC的三条边分别为AB、BC和AC，可以用a、b和c表示。 （3）角度表示法。 角度表示法是通过表示三角形的三个内角的大小来表示三角形。例如，三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C,可以用α、β和γ表示。 知识点二：三角形的性质。 三角形具有稳定性，不易变形，例如：三脚架、房梁加固、斜钉木条固定窗框等。 知识点三：三角形的高。 1. 三角形的高和底。 从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底（如图）。 注意事项： 三角形的底与高是相对应的，它们是一组互相垂直的线段，在哪一条边上作高，这条边就是这条高所对应的底。 2. 三角形高的画法。 因为三角形有3个顶点，过每个顶点都可以向对边作一条垂线段，所以任意一个三角形都可以作3条高，由于三角形的形状不同，因此三角形的高的位置也就不同。（如下图） 知识点四：两点间线段最短与两点间的距离。 两点间所有连线中线段最短，这条线段的长度叫做两点间的距离。 知识点五：三角形三边关系定理。 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 知识点六：三角形的分类。 1. 三角形按角分类。 （1）锐角三角形：三个角都是锐角（小于90°）。 （2）直角三角形：有一个角是90°，其余两个角为锐角。 （3）钝角三角形：有一个角是钝角（大于90°且小于180°），其余两个角为锐角。 2. 三角形按边分类。 注意：等边三角形是特殊的等腰三角形。 知识点七：三角形和多边形的内角和。 1. 三角形的内角和是180°。 2. 在三角形中，已知两个角的度数，求第三个角的度数，用180°连续减去已知的两个角的度数或用180°减去这两个角的度数和。 3. 四边形的内角和是360°。 4. 多边形的内角和公式。 （1）多边形的内角和是180°×（边数－2）。 （2）通过分割的方法将求多边形内角和转化为求多个三角形内角和相加。 知识点八：认识平行四边形。 1. 平行四边形：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2. 从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 知识点九：认识梯形。 1. 梯形：只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 2. 两腰相等的梯形叫做等腰梯形。等腰梯形两腰相等，两底角相等。 3. 梯形内，夹在两底之间的垂线段叫梯形的高。 知识点十：平行四边形与梯形的关系。 两个完全一样的梯形可以拼成一个平行四边形。 两个完全一样的直角梯形可以拼成一个长方形。 【第一部分】基本知识与基本应用 【高频考题01】三角形的认识与性质。 1．下面哪些图形是三角形？ 2．数一数，图中共有( )个三角形。    3．对照相要求比较高的时候，摄影师一般会使用一个三角支架，这是利用了三角形的( )性。 【高频考题02】三角形三边关系定理与应用。 1．在能拼成三角形的各组线段下面画“√”。（单位：厘米） 2．15厘米的铁丝剪成三段（每段的长度都是整厘米数），然后围成三角形，一共可以围成( )个不同的三角形。 3．三角形的三条边都是整厘米数，其中两条边分别是3厘米和4厘米，另一条边最长可以是( )厘米，最短可以是( )厘米。 【高频考题03】三角形的分类。 1．一个三角形的三个内角都是60°，按角分，这是一个( )三角形，按边分，是个( )三角形。 2．红领巾是我们少先队员佩戴的标志，如果按角分它是一个( )三角形，按边分它又是一个( )三角形。 【高频考题04】等腰三角形与等边三角形的特征及应用。 1．王叔叔把一根18分米长的铁丝正好折成了一个正三角形铁框，铁框一边长( )分米，若折成一条腰是5分米的等腰三角形铁框，铁框底边长( )分米。 2．一个等腰三角形的一条边是5厘米，另一条边是7厘米，围成这个等腰三角形至少需要( )厘米长的绳子。 3．一个等腰三角形的周长是60厘米，其中一条边长是14厘米，它的另外两条边长分别是( )厘米和( )厘米。 【高频考题05】平行四边形和梯形。 1．平行四边形和梯形都有( )条高，如图的梯形中，高为( )厘米。 2．等腰梯形的( )平行，( )的长度相等。 3．在图中，线段AH和线段CF互相( )，记作( )；数一数，图中一共有( )个平行四边形，( )个梯形。 4．只有一组对边平行的四边形叫做( )。某单位大门安装的伸缩门应用的是平行四边形( )的特点。 【高频考题06】平行四边形和梯形作图。 1．下面哪些图形是平行四边形？画出每个平行四边形的高。 2．下面哪些图形是梯形？画出每个梯形的高，分别指出它们的上底、下底和腰。 3．下图是两条平行线。 （1）利用平行线，画出一个平行四边形和一个直角梯形。 （2）画出平行四边形的高。 4．在下面的梯形中画一条线，将梯形分割成一个三角形和一个平行四边形。 5．在点子图上画一个等腰梯形，并画出一条高。 【第二部分】综合应用与解决问题 【高频考题01】三角形的内角和问题。 1．在一个三角形中，∠1＝58°，∠2＝42°，∠3＝( )°；在一个直角三角形中，一个锐角是25°，另一个锐角是( )°。 2．一个等腰三角形的顶角是40°，一个底角是( )°，它还是一个( )三角形；如果它的一个底角是40°，它就是一个( )三角形。（按角分类） 3．∠1＝( )°。 【高频考题02】多边形的内角和问题。 1．图中，一副三角板叠放在一起，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 2．观察下图，三角形按角分是一个( )三角形，如果沿着虚线剪下，那么剩下图形的内角和是( )度。    3．探究多边形的内角和与它的边数的关系，一个八边形的内角和是 °。 多边形 …… 边数 3 4 5 6 …… 内角和 180° 360° 540° 720° …… 【高频考题03】平行四边形的周长问题。 1．学校一花坛是平行四边形，两条相邻的边分别长14米和12米，绕花坛走一圈是多少米？ 2．公园里有一个平行四边形的花坛，相邻两边的长度分别是9米和10米。现在要在花坛的四周围上栅栏，栅栏每米11元，一共需要多少元？ 3．李大爷要围一个平行四边形的篱笆，已知这个平行四边形相邻两条边长分别是4米和7米；如果一面靠墙，那么篱笆的长度至少是多少米？（画出示意图） 【高频考题04】梯形的周长问题。 4．一块等腰梯形的菜地，上底长20米，下底长25米，一条腰长22米，这块菜地的周长是多少米？ 5．如图，爸爸用铁丝网围成的一块菜地（其中一面靠墙）。围成这块菜地需要多少米的铁丝网？ 6．两个完全一样的等腰梯形的周长都是26厘米，拼成一个平行四边形后，这个平行四边形的周长是42厘米（如下图）。等腰梯形的腰长是多少厘米？ 一、填空题。 1．（2024·安徽安庆·期末）一个直角三角形的一个锐角是58°，另外一个锐角是( )°。 2．（2024·安徽安庆·期末）一个等腰三角形，一条边长8厘米，另一条边长3厘米，它的周长是( )厘米。 3．（2024·安徽六安·期末）把一个长方形框架拉成平行四边形框架、在这个过程中长方形的周长( )平行四边形的周长。（填“大于”“小于”或“等于”。） 4．（2024·安徽宿州·期末）一根10米长的木棒，第一次锯掉2.7米，第二次锯掉5.5米，剩下的一段长( )米，这三段木棒( )围成一个三角形。（填“能”或“不能”） 二、选择题。 5．（2024·浙江金华·期末）下面方框内每组中的三个事物之间有相同的关系，那么下面选项中具有类似关系的一组是( )。 ①水果，苹果，青苹果 ②动物，鸡，母鸡 ③交通工具，汽车，小轿车 A．四边形，长方形，梯形 B．四边形，三角形，平行四边形 C．四边形，平行四边形，长方形 D．四边形，正方形，梯形 6．（2024·浙江金华·期末）下列能围成等腰三角形的是( )。 A．3cm、4cm、5cm B．3cm、3cm、6cm C．3cm、5cm、5cm D．5cm、5cm、12cm 7．（2024·福建泉州·期末）下面的图形都是四边形，都被遮挡了一部分，一定是正方形的是图( )。 A．① B．② C．③ D．④ 8．（2024·浙江金华·期末）在正方形中，，沿虚线将正方形分两部分，用这两部分拼图形，下列四种图形中，不能拼成的图形是( )。 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰梯形 D．平行四边形 三、计算题。 9．（2024·陕西咸阳·期末）算一算。 (1) ∠2＝( )，∠3＝( )。 (2) ∠1＝( )，∠2＝( )，∠3＝( )。 四、作图题。 10．（2024·陕西汉中·期末）在下面的网格中分别画一个等腰三角形、平行四边形和梯形。 11．（2024·陕西咸阳·期末）按要求在图中画一条直线分一分。 五、解答题。 12．（2024·陕西咸阳·期末）用一根铁丝可以折成一个边长为15.2厘米的等边三角形，如果把它折成一个宽5.6厘米的长方形，求长方形的长为多少厘米？ 13．（2024·陕西咸阳·期末）王叔叔用钢材做了一个三角形的钢架，其中两个内角的度数分别是35度和45度，它的另一个角是多少度？ 14．（2024·安徽六安·期末）某县很多学校开展了“红领巾奖章”争章活动，少先队员们都积极踊跃参加。每次开展活动同学们都学到了很多的知识，活动结束后老师和同学们都会佩戴红领巾合影纪念。老师和同学们佩戴的红领巾都是等腰三角形而且分为大号和小号，大号红领巾底边长120厘米，腰长72厘米；小号红领巾底边长100厘米，腰长60厘米。红领巾的底角都是30°。 （1）大号红领巾的周长比小号红领巾的周长长多少厘米？ （2）红领巾中另外两个角分别是多少度？ 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$