专题11 零点嵌套问题-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题11 零点嵌套问题 【题型归纳】 题型一：构造二次函数与对数函数关系 题型二：构造二次函数与指数函数关系 题型三：构造二次函数与三角函数关系 【方法技巧总结】 零点嵌套问题的解题方法，关键在于利用函数的零点性质进行逐步推导。具体步骤如下： （1）找零点：先求解函数的零点，即令函数值为零，解出对应的自变量值。 （2）建嵌套：根据题目条件，将求得的零点或零点表达式代入到其他相关函数或等式中，构建嵌套关系。 （3）逐步解：利用函数性质和代数方法，逐步化简嵌套结构，直至求得最终解。 （4）验答案：将求得的解代入原问题验证，确保满足题目要求。 【典型例题】 题型一：构造二次函数与对数函数关系 【例1】（2025·四川南充·二模）已知函数有三个不同的零点，且．则实数的值为（    ） A． B． C．－1 D．1 【变式1-1】（2025·辽宁·二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9 【变式1-2】（2025·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·河北石家庄·期中）若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型二：构造二次函数与指数函数关系 【例2】（2025·高三·江西·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 【变式2-1】（2025·高三·陕西西安·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 【变式2-2】（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（    ） A．81 B．-81 C．9 D．-9 【变式2-3】（2025·高三·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 题型三：构造二次函数与三角函数关系 【例3】（2025·高三·浙江宁波·期末）已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解，，.若，则的值为 . 【过关测试】 1．（2025·高三·福建福州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 2．（2025·高二·四川攀枝花·期末）已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为 A． B． C． D． 3．（2025·高三·四川达州·阶段练习）若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2025·高三·河南·开学考试）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·高三·甘肃白银·期末）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·一模）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D．1 7．（2025·高二·上海·期中）已知函数有三个不同的零点，其中则的值为 . 8．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ． 9．（2025·山东聊城·三模）已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为 ． 10．（2025·高三·江苏·阶段练习）若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为 11．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为 ． 12．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 . 13．（2025·高二·四川成都·期中）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 ． 14．（2025·高一·江西吉安·期末）已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则 ． 15．（2025·高二·湖北·期中）已知函数（），，若方程有三个实根、、，且，则的值为 . 16．（2025·高二·江苏苏州·期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题11 零点嵌套问题 【题型归纳】 题型一：构造二次函数与对数函数关系 题型二：构造二次函数与指数函数关系 题型三：构造二次函数与三角函数关系 【方法技巧总结】 零点嵌套问题的解题方法，关键在于利用函数的零点性质进行逐步推导。具体步骤如下： （1）找零点：先求解函数的零点，即令函数值为零，解出对应的自变量值。 （2）建嵌套：根据题目条件，将求得的零点或零点表达式代入到其他相关函数或等式中，构建嵌套关系。 （3）逐步解：利用函数性质和代数方法，逐步化简嵌套结构，直至求得最终解。 （4）验答案：将求得的解代入原问题验证，确保满足题目要求。 【典型例题】 题型一：构造二次函数与对数函数关系 【例1】（2025·四川南充·二模）已知函数有三个不同的零点，且．则实数的值为（    ） A． B． C．－1 D．1 【答案】D 【解析】令，则，当时，是增函数，当时，是减函数； 又趋向于0时趋向负无穷，趋向于正无穷时趋向0，且， 令，则，要使有3个不同零点， 则必有2个零点，若，则或， 所以有两个不同的根，则， 所以或，且，， ①若，，与的范围相矛盾，故不成立； ②若，则方程的两个根一正一负，即，； 又，则，且，， 故. 故选：D 【变式1-1】（2025·辽宁·二模）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．81 B．﹣81 C．﹣9 D．9 【答案】A 【解析】把f（x）的零点转化为的零点，令，，可得方程有两实根，，由判别式大于0解得a的范围，再由根与系数的关系可得，，进一步得到，，结合，可得，，，则可知，，则. ∴ ∴ 令，，则， ∴ 令，解得 ∴时，，单调递减；时，，单调递增； ∴，， ∴a﹣3 ∴. 设关于t的一元二次方程有两实根，， ∴，可得或. ∵，故 ∴舍去 ∴6，. 又∵，当且仅当时等号成立， 由于，∴，（不妨设）. ∵，可得，，. 则可知，. ∴. 故选：A. 【变式1-2】（2025·四川成都·一模）已知函数有三个零点、、且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，得，整理得， 令，原方程化为， 设， 则， 令，解得，且， 当时，，则单调递增， 当时，，则单调递减， 则在时，有最大值为， 则当时，有一个解， 当时，有两个解， 当时，有一个解， 当时，无解， 因为原方程为， 由题可知有三个零点，因此方程有两个不等实根、，设， 则有，， 若，则，故舍去， 若，则，， 有，即有，，代入得，矛盾，故舍去， 若则，， ， 设，则，得到， 所以. 故选：D. 【变式1-3】（2025·高二·河北石家庄·期中）若方程有三个不同的解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由方程，可得， 令，则， 令，其中， 则，令，得， 列表如下： ， 0 单调递增 极大值 单调递减 函数的图象如下图所示： 由于方程有三个不同的解，而关于的二次方程至多有两个根． 当关于的二次方程有两根时，设这两根分别为，，不妨设， 则，①，或，②，或，，③， 由①得，解得， 在②中，将代入，可得， 所以，与矛盾，故无解； 在③中，，代入，可得， 所以，与矛盾，故无解． 综上所述，实数的取值范围是． 故选：B． 题型二：构造二次函数与指数函数关系 【例2】（2025·高三·江西·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．6 C．9 D．36 【答案】D 【解析】因为，所以，因为，所以有三个不同的零点，令，则，所以当时，当时，即在上单调递增，在上单调递减，所以，当时，令，则必有两个根、，不妨令、，且，，即必有一解，有两解、，且，故 故选：D 【变式2-1】（2025·高三·陕西西安·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，且，则的值为（    ） A．3 B．4 C．9 D．16 【答案】C 【解析】， ，有三个不同的零点. 令，在递增，在上递减， .时，. 令， 必有两个根， ，且， 有一解，有两解，且， 故 . 故选：C 【变式2-2】（2025·高三·重庆南岸·阶段练习）设定义在R上的函数满足有三个不同的零点且 则的值是（    ） A．81 B．-81 C．9 D．-9 【答案】A 【解析】由有三个不同的零点知：有三个不同的实根，即有三个不同实根， 若，则，整理得，若方程的两根为， ∴，而， ∴当时，即在上单调递减；当时，即在上单调递增；即当时有极小值为，又，有，即. ∵方程最多只有两个不同根， ∴，即，， ∴. 故选：A 【变式2-3】（2025·高三·浙江绍兴·期中）已知函数有三个不同的零点.其中，则的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【解析】令，则， 故当时，，是增函数， 当时，，是减函数， 可得处取得最小值， ，，画出的图象， 由可化为， 故结合题意可知，有两个不同的根， 故，故或， 不妨设方程的两个根分别为，， ①若，， 与相矛盾，故不成立； ②若，则方程的两个根，一正一负； 不妨设，结合的性质可得，，，， 故 又，， ． 故选：A． 题型三：构造二次函数与三角函数关系 【例3】（2025·高三·浙江宁波·期末）已知函数，且关于的方程有三个不相等的实数解，，.若，则的值为 . 【答案】1 【解析】，设 所以 当时恒成立， 所以在单调递增， 如图所示： 令，又因为 即，即在有两个根 即 根据韦达定理得： 所以 故答案为：1 【过关测试】 1．（2025·高三·福建福州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．9 【答案】D 【解析】由得， 即， 记，且设， 一方面由得（*）， 当时方程（*）有两个不相等的实数根，，且，； 另一方面，由知在上单调递减，在上单调递增， ，， 当时，，当时，， 如图：   ， 且，， 因此. 故选：D 2．（2025·高二·四川攀枝花·期末）已知函数有三个不同的零点 （其中），则 的值为 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令，构造，求导得，当时，；当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，且时，，时，，，可画出函数的图象（见下图），要使函数有三个不同的零点（其中），则方程需要有两个不同的根（其中），则，解得或，且， 若，即，则，则，且， 故， 若，即，由于，故，故不符合题意，舍去. 故选A. 3．（2025·高三·四川达州·阶段练习）若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由关于的方程， 令，则有， 令函数，则， 当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减， 其图象如下： 要使关于的方程有3个不相等的实数解，，， 且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，，由韦达定理知，，， ， 又， 可得， 故选：B． 4．（2025·高三·河南·开学考试）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程，可得． 令，则有，即． 函数，则． 在上单调递增，在上单调递减． 作出图象如下： 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，． 且，，，， 所以，，解得． 故． 故选：A. 5．（2025·高三·甘肃白银·期末）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由方程，可得. 令，则有，即. 令函数，则， 由，解得，，解得 所以在上单调递增，在上单调递减，且 作出图象如图所示，要使关于的方程有三个不相等的实数解，，，且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，，，. 所以，解得或 若，则,解得，则 此时只有1个实数根，此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意. 若，则，可得，显然此时原方程没有3个不等实数根，故不满足题意. 要使原方程有3个不等实数根，则 所以，，解得. 所以， 故. 故选：A 6．（2025·河南·一模）若关于的方程有三个不相等的实数解，，，且，其中，为自然对数的底数，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【解析】设即所以,令,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根，且，且则即可求解.由方程，有 设即 所以 令 ，则 所以在上单调递增，在上单调递减, 且，，当时，其大致图像如下. 要使关于的方程有三个不相等的实数解，，， 且. 结合图像可得关于的方程一定有两个不等的实数根 且, 则. 所以 故选：D 7．（2025·高二·上海·期中）已知函数有三个不同的零点，其中则的值为 . 【答案】1 【解析】设， ， 当时，； 当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 且时，；时，， ∴， 作出的图象，如图 要使有三个不同的零点，其中 令，则需要有两个不同的实数根（其中） 可得， ∵，∴，则 ∴，则，且 ∴， 故答案为：1. 8．（2025·高三·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数有三个不同的零点，，，且，则的值为 ． 【答案】4 【解析】，又， 则有三个不同的零点，，，且， 令，则， 当时，单调递减；当时，单调递增 则在时取得最大值，时， 令，则 则必有二根，且 则 则有一解，有二解且 故 故答案为：4 9．（2025·山东聊城·三模）已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为 ． 【答案】1 【解析】设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，， ∴，作出的图象，如图 要使有三个不同的零点，，其中 令，则需要有两个不同的实数根（其中） 则，即或，且 若，则，∵，∴，则 ∴，则，且 ∴= 若，则，因为，且， ∴，故不符合题意，舍去 综上 故答案为：1 10．（2025·高三·江苏·阶段练习）若关于的方程有三个不等的实数解，且，其中，为自然对数的底数，则的值为 【答案】 【解析】由关于的方程， 令，则有， 令函数，则， 当时，当时， 在上单调递增，在上单调递减，且时，， 其图象如下： 要使关于的方程有3个不相等的实数解，，， 且， 结合图象可得关于的方程一定有两个实根，， 且，，由韦达定理知，，， 所以， 又， 可得. 故答案为：． 11．（2025·高二·江苏淮安·期中）已知函数有四个不同的零点，且四个零点全部大于1，则的值为 ． 【答案】 【解析】根据函数的零点与方程根的关系，令，则可得，结合所求令，则函数有四个不同的零点，等价于关于 的方程有两个不同的实根，且此时直线与的图象应有四个交点，交点的横坐标分别为，由数形结合的知识，即可求解.由题意令， ， 令，则 所以函数有四个不同的零点， 等价于关于 的方程， 即方程有两个不同的实根， 且此时直线与的图象应有四个交点， 交点的横坐标分别为， 由上，；上，， ， 且当时，；当时，， 所以由数形结合可知： ， 故答案为： 12．（2025·高三·江苏苏州·开学考试）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 . 【答案】 1 【解析】由， 令，∴， 令，， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 当时，. 作出大致图象如下，要使原方程有三个不同的零点， （*）式关于t的一元二次方程有两个不等的实根，，其中，， 令，∴， 且，，， ∴， 故答案为：；1. 13．（2025·高二·四川成都·期中）已知函数有三个不同的零点，，，且，则实数a的取值范围是 ；的值为 ． 【答案】 16 【解析】因为， 所以，令， 所以（*），令， ，所以， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，， 作出大致图象， 要使原方程有三个不同的零点， （*）式关于的一元二次方程有两个不等的实根，， 其中，， 令，所以， 所以， 且， 所以. 故答案为：；. 14．（2025·高一·江西吉安·期末）已知函数（）有三个不同的零点，，，其中，则 ． 【答案】64 【解析】令，则，由可化为，∵，∴， 即必有两个不同的根，，且， 故，异号，设为负，为正，结合题意，可画出大致示意图如下： 由图可知，即有唯一解， 即有两个解，，且，故 ， 故答案为：. 15．（2025·高二·湖北·期中）已知函数（），，若方程有三个实根、、，且，则的值为 . 【答案】16 【解析】因为，， 所以，令得， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 又， 故可画出函数的大致图象，如图所示： 因为方程有三个实根， 故有两个不等实根，不妨设两根为，，且，则， 所以， 则，， 所以. 故答案为：16. 16．（2025·高二·江苏苏州·期末）已知函数存在三个零点、、，且满足，则的值为 . 【答案】 【解析】函数的定义域为，由可得， 令，可得，即， 构造函数，其中，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 当时，，当时，，且， 作出函数的图象如下图所示： 若使得方程由三个不等的实根、、，且满足， 则关于的方程有两个不等的实根、，设， 由韦达定理可得，则， 由图可知，， 因此，. 故答案为：. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$