专题09 分段函数零点问题-2025年新高考数学函数与导数压轴小题专题突破

专题09 分段函数零点问题 【题型归纳】 题型一：分段函数不含参数 题型二：分段函数含参数 题型三：转化为恒成立问题 题型四：综合问题 【方法技巧总结】 在处理分段函数零点求参数范围的问题时，需遵循以下步骤： （1）明确分段函数：首先，清晰界定分段函数的各段表达式及其定义域。 （2）分别求解零点：针对每一段函数，独立求解其零点。这可能涉及解方程、利用函数性质或图形分析等方法。 （3）考虑定义域限制：在求解过程中，务必注意每段函数的定义域，确保零点落在有效范围内。 （4）根据题目要求确定参数范围：结合题目条件，如零点个数、位置等，确定参数的取值范围。这可能需要利用不等式、函数单调性或极值等知识。 【典型例题】 题型一：分段函数不含参数 【例1】（2025·高一·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，在上单调递增，函数值集合为， 当时，在上单调递减，函数值集合为， 又函数是定义在R上偶函数，其图象关于y轴对称，作出函数图象： 函数仅有4个零点，则函数图象与直线有4个交点， 当时，函数图象与直线有4个交点， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】当即时， ， 当即时，， 所以 当时，令，即或，解得：或（舍）或此时有2个零点； 当时，令，可得或，所以或都满足，此时有2个零点， 综上所述函数的零点个数为4， 故选：C. 【变式1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【解析】依题意，函数零点的个数，即为方程解的个数， 令，则，当时，，令，， 函数在上单调递增，于是函数在上单调递增， 又，，则存在，使得； 当时，，解得或， 作函数的大致图象，如图： 又，则， 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当时，，由的图象知，方程有两个解； 当，时，，由的图象知，方程有一个解， 综上所述，函数的零点个数为5. 故选：B 【变式1-3】（2025·河南开封·模拟预测）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，, 则, 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 当时，， 则， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. 所以时，. 画出函数的图象如图所示： 因为函数有两个零点， 所以与的图象有两个交点， 由图可知或. 所以的取值范围为. 故选:C. 题型二：分段函数含参数 【例2】（2025·全国·模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】①当时，则只有一个零点0，不符合题意； ②当时，作出函数的大致图象，如图1，在和上各有一个零点，符合题意； ③当时，作出函数的大致图象，如图2，在上没有零点． 则在上有两个零点，此时必须满足，解得． 综上，得或． 故选：A 【变式2-1】（多选题）（2025·高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若有3个不同的零点，则实数的取值范围是 C．若有3个不同的零点，则的取值范围是 D．存在实数，使得有最小值 【答案】ABC 【解析】对于A，若在上单调递增，则解得，故A正确； 对于B，若在上有3个不同的零点，则在内有2个零点， 解得在内有1个零点， 则，故的取值范围是，故B正确； 对于C，由对B的分析知，的取值范围为为方程的两根， ，是的根， 在上单调递减，，的取值范围为，故C正确； 对于D，当时，的图象是开口向下的抛物线，所以在上没有最小值， 当时，单调递增，的最小值为， 而不可能是在上的最小值， 故不可能有最小值，故D错误. 故选：ABC 【变式2-2】（多选题）（2025·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，（，e为自然对数的底数），则（   ） A．函数至少有1个零点 B．函数至多有1个零点 C．当时，若，则 D．当时，方程恰有4个不同实数根 【答案】ACD 【解析】作出函数和函数的图象，如图所示， 时，函数只有1个零点， 时，函数有2个零点， 当时，函数只有1个零点，A正确，B错误； 当时，因每一段单调递增，且， 所以函数为增函数，C正确； 时，则,, 当有2个解，当时有2个解，因此有4个解，D正确， 故选：ACD． 【变式2-3】（多选题）（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】当时， 时，，， 故函数在区间上单调递增， 因，当时，，故函数在区间上有1个零点 时，开口向下，对称轴为， 故函数在上单调递增，在上单调递减，且， 故函数在上无零点，在有一个零点， 故时，函数有2个不同的零点，符合题意； 当时， 时，，， 当时，，当时，， 故时，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上无零点， 故函数无零点，不符合题意； 当时，， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，得， 故函数有1个零点，不符合题意； 当时， 当时，，， 函数在区间上单调递减，， 故函数在区间上无零点， 当时，开口向上，对称轴为， ，函数在区间上有2零点， 故函数有2个零点，符合题意； 综上可知，的取值范围为， 故选：BC 题型三：转化为恒成立问题 【例3】（2025·高一·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，恒成立，要使没有零点， 所以，时，恒成立，即恒成立， 所以，即实数的取值范围是. 故选：A 题型四：综合问题 【例4】（2025·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】本解析中，“至多可能有1个零点”的含义是“零点个数不超过1”， 即不可能有2个不同的零点，并不意味着零点一定在某些时候存在1个. 当时，只要，就有， 故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，有， 所以在上没有零点. 而若，则只可能，所以在上至多可能有1个零点. 故在上至多可能有1个零点，从而在上至多可能有1个零点，不满足条件； 当时，解可得到，且由知， 从而确为在上的一个零点. 再解方程，即， 可得两个不同的实数根. 而，. 故确为在上的一个零点， 而当且仅当时，另一根是在上的一个零点. 条件为在区间内恰有2个零点，从而此时恰有两种可能：或. 解得； 当时，验证知恰有两个零点和，满足条件. 综上，的取值范围是. 故答案为： 【变式4-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由的解析式，可知在上单调递增， 且值域为，在上单调递增，且值域为， 函数的图像如图所示， 所以在的值域上，任意函数值都有两个值与之对应， 在值域上，任意函数值都有一个值与之对应. 要使恰有三个不同的零点， 则与的交点的横坐标一个在上，另一个在上， 由的图像开口向上且对称轴为，易知， 此时，且， 结合的图像及，得， 则， 所以，且， 令，，则. 当时，单调递增；当时，单调递减. 所以，故的最大值为. 【变式4-2】（2025·高三·山东·开学考试）已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，，，则， ∵在上单调递减，∴在上单调递减， ∵，满足，∴在上单调递增， ∵，，，，， 由得，， 令，则，令则， 图象如图所示，结合图象得中需提供一个根，且该根位于之间，故， 又∵，∴ 故选：D. 【变式4-3】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设函数，函数．则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，函数只有1个零点 C．当时，函数有5个零点 D．存在实数，使得函数没有零点 【答案】ABC 【解析】函数的零点个数即方程异根的个数， 当时，，则，， 由，有，所以或， 当时，，则，， 由，有，所以， 所以问题转为，的交点个数， 作出函数图象可知： 当，即时，有3个交点，即函数有4个零点， 当，即时，有4个交点，函数有5个零点， 当时，只有，函数只有1个零点， 当或即或时，有2个交点，函数有3个零点， 无论实数取何值，使得函数总有零点． 故选：ABC． 【变式4-4】（2025·高一·福建三明·期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】令函数，显然函数在上单调递增， 而，则当时，，当时，， 于是函数，则， 令函数，由，得， 因此函数的零点，即函数的图象与直线交点的横坐标， 当，恒有，在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，当，即时，直线与函数的图象只有一个交点， 如图，直线过点，它与的图象交于两点，当时，， 当，即时，直线与函数的图象只有一个交点， 当，即时，直线与函数的图象有两个交点， 所以函数有两个零点，实数的取值范围是. 故选：A 【过关测试】 1．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【解析】设，令可得：, 对于，，故在处切线的斜率值为， 设与相切于点， 切线斜率，则切线方程为：， 即，解得：； 由于，故作出与图象如下图所示， 与有四个不同交点， 即与有四个不同交点， 设三个交点为，由图象可知：， 作出函数的图象如图， 由此可知与无交点，与有三个不同交点，与各有两个不同交点， 的零点个数为7个， 故选：C 2．（多选题）（2025·高一·江西赣州·开学考试）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】AD 【解析】当时，单调递增，且值域为； 当时，单调递增，所以，即值域为， 当，，当时，取得最大值2， 故值域为且， 画出函数图象如图： 要想函数恰有2个零点，只需与的图象有两个交点， 则或或，故AD正确． 故选：AD. 3．（多选题）（2025·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 【答案】BC 【解析】由题意可知， 当时，在上单调递减，则； 当时，在上单调递增，则； 若函数恰好有4个不同的零点， 令，则有两个零点，可得， 当时，则，解得； 当时，则，可得； 可得和均有两个不同的实根， 即与、均有两个交点， 则，且，解得， 综上所述：实数的取值范围为. 且，故A、D错误，B、C正确. 故选：BC. 4．（2025·高一·福建三明·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】． 【解析】令，即有三个不同的解， ∴方程在存在一个解，即，即，解得或， 方程在存在两个解， 令，函数的对称轴是， 则，解得， ∴. 故答案为：. 5．（2025·高三·青海·阶段练习）已知函数，若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】若，则， 当时，函数在上单调递增，故， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以. 若当时，有个零点， 则当时，有个零点， 则，解得 若当时，没有零点， 则当时，有个零点，则或， 解得. 综上，或. 故答案为：；. 6．（2025·高一·河南南阳·阶段练习）设函数 ①当时， ； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当时，，所以，所以. ②当时，令，所以或. 当或时，方程在上有唯一解； 当或时，方程在上的解为或. 当时，令，所以. 当时，，方程在上有唯一解； 当时，，方程在上无解. 综上， 当时，函数有2个零点，； 当时，函数有2个零点，1； 当时，函数有3个零点，，； 当时，函数有2个零点，. 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：； 7．（2025·高三·天津·阶段练习）已知函数若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】 对于，，对其求导，， 易得故函数在单调递减，在单调递增， 且.由题得，，. 因为函数的图象和直线有六个交点， 所以，，三点的高度应满足或， 即或. 显然，由三点高度知道，，所以解不等式可得或， 综合得. 故答案为：. 8．（2025·高三·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 . 【答案】或 【解析】令， 当时，，； 当时，，， ； 当时，，， ； 当时，，， ； …… 作出函数的部分图象如下， 因为的零点个数为2，所以的图象与的图象的公共点个数为2， 由图可知，或. 故答案为：或. 9．（2025·高一·四川成都·期末）设函数，若，则= ；若有三个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由，得， 即； 当时，在上单调递增， 当时，， 若有三个零点，则时函数必有一个零点，在时函数必有两个零点， 不妨设时两零点为， 则需满足，解得， （其中需比较的大小，如下：，而，即可得） 即a的取值范围为， 故答案为：； 10．（2025·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 【答案】7 【解析】令，则，设，则等价于， 则函数的零点个数问题即为解的个数问题． 二次函数，其图像开口向上，过点，对称轴为，最小值为， 由题意得作出函数的图像如图所示． 由图可知有3个根，当时，，即； 当时，，即. 则对于，当时，; 当时，，此时共有3个解． 对于，此时有1个解，，即有2个解． 对于，此时有1个解，，即无解． 因此，此时函数有7个零点． 故答案为：7. 11．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】易知，所以是函数的一个零点． （1）当时，由可得， 令，，则，所以单调递增． 又， ∴当时，方程有且只有一解；当时，方程无解. （2）当且时，由可得， 令（且），则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 且， 所以，函数的大致图象如下， 作直线如图所示，数形结合可得若函数有三个不同的零点，须有. 故实数a的取值范围是． 故答案为：. 12．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】①当时，，由于时，时， 此时只有一个零点，所以不符合题意； ②当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于时，，时，，当且仅当，即时取等号， 此时在上有，要使有两个零点，只需，即； ③当时，，函数的大概图象如图所示， ， 由于函数在上是增函数，故与x轴有且只有一个交点， 要使有两个零点，只需函数有一个零点即可， 当时，恰好只有一个零点. 综上所述，实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．（2025·陕西西安·一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】易知函数在R上增函数，函数在上减函数， 所以，当时，，当时，， 于是函数的值域为， 又函数的在上单调递增，在上单调递减， 函数图象如图所示： 设，由可知，，则. 因为有两个零点，所以，即， 于是，则方程，即有两个零点， 所以，由的图象可知，使方程有两个零点， 则满足，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．（2025·天津河北·一模）函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 【答案】或 【解析】因为， 所以， 则函数恰有2个零点等价于有两个不同的解， 故，的图象有两个不同的交点， 设， 又，的图象如图所示， 由图象可得两个函数的图象均过原点， 当时， 考虑直线与的图象相切， 则由可得，即， 考虑直线与的图象相切， 由可得，则，即． 考虑直线与的图象相切， 由可得，则，即， 结合图象可得当或时，两个函数的图象有两个不同的交点， 综上，或． 故答案为：或． 15．（2025·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，则，则， 令，显然,则有，令， 由对勾函数性质可知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 又，， 若恰有两个不同的实数根、，且，则， 令，解得或，故， 即有，故. 故答案为：. 16．（2025·高三·湖北荆州·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【解析】设，当时，，此时， 由，得，即，解得或， 即在上有2个零点； 若，，其图象对称轴为， 函数的大致图像如图： 则此时，即，则， 即无解，则无零点，此时无零点，不符合题意； 故需，此时函数的大致图像如图： 由得或， 要使得函数恰有3个零点，需满足在上有一个零点 此时只有一个解，故只需与函数在y轴左侧图象无交点， 则需，解得，结合， 可得， 故答案为： 17．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】设， 当时，，； 当时，，； 当时，，. 综上可得，. 函数的定义域为， 由复合函数单调性可知函数单调递增. 又， 作出的图象如图所示 由图象可知，当时，曲线与恒有两个交点， 即有两个零点， 所以的取值范围是. 故答案为：. 18．（2025·北京海淀·一模）设函数 ①当时， ； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，， 所以， 所以， 令，可得 当时，， 所以或， 当或时，方程在上有唯一解， 当或时，方程在上的解为或， 当时，， 所以当时，， 当时，方程在上无解， 综上，当时，函数有两个零点， 当时，函数有两个零点， 当时，函数有三个零点， 当时，函数有两个零点， 因为恰有2个零点，所以或， 所以a的取值范围是. 故答案为：；. 19．（2025·北京平谷·一模）设函数，的值域是 ，设，若恰有两个零点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【解析】当时，，当时，， 所以函数的值域为； 作出函数图象 从图象上可以看出函数的值域为， 因为恰有两个零点，则方程恰有两个解， 从而函数与有两个交点，易知图象是恒过点（1,0）的直线， 如图 当时，函数与有一个交点，当时， 函数与有一个交点，又当时，，则， 所以，故在点处的切线为，即， 故当时，函数与有一个交点， 所以要使函数与有两个交点，则，即恰有两个零点时，a的取值范围为. 故答案为：；. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 分段函数零点问题 【题型归纳】 题型一：分段函数不含参数 题型二：分段函数含参数 题型三：转化为恒成立问题 题型四：综合问题 【方法技巧总结】 在处理分段函数零点求参数范围的问题时，需遵循以下步骤： （1）明确分段函数：首先，清晰界定分段函数的各段表达式及其定义域。 （2）分别求解零点：针对每一段函数，独立求解其零点。这可能涉及解方程、利用函数性质或图形分析等方法。 （3）考虑定义域限制：在求解过程中，务必注意每段函数的定义域，确保零点落在有效范围内。 （4）根据题目要求确定参数范围：结合题目条件，如零点个数、位置等，确定参数的取值范围。这可能需要利用不等式、函数单调性或极值等知识。 【典型例题】 题型一：分段函数不含参数 【例1】（2025·高一·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】（2025·福建漳州·模拟预测）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．6 D．8 【变式1-3】（2025·河南开封·模拟预测）已知若函数有两个零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二：分段函数含参数 【例2】（2025·全国·模拟预测）若函数恰有2个零点，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（多选题）（2025·高一·湖南邵阳·阶段练习）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若有3个不同的零点，则实数的取值范围是 C．若有3个不同的零点，则的取值范围是 D．存在实数，使得有最小值 【变式2-2】（多选题）（2025·高一·江苏宿迁·阶段练习）已知函数，（，e为自然对数的底数），则（   ） A．函数至少有1个零点 B．函数至多有1个零点 C．当时，若，则 D．当时，方程恰有4个不同实数根 【变式2-3】（多选题）（2025·江苏苏州·模拟预测）已知函数，其中，若函数有2个不同的零点，则a取值范围可以是（    ） A． B． C． D． 题型三：转化为恒成立问题 【例3】（2025·高一·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型四：综合问题 【例4】（2025·天津·二模）设，函数. 若在区间内恰有2个零点，则的取值范围是 . 【变式4-1】（2025·陕西商洛·模拟预测）已知函数，，记函数，若函数恰有三个不同的零点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·高三·山东·开学考试）已知函数的定义域为，对于，满足，且当时，.若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（多选题）（2025·全国·模拟预测）设函数，函数．则下列说法正确的是（    ） A．当时，函数有3个零点 B．当时，函数只有1个零点 C．当时，函数有5个零点 D．存在实数，使得函数没有零点 【变式4-4】（2025·高一·福建三明·期中）已知，定义：，设.若函数有两个零点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【过关测试】 1．已知函数（为自然对数的底数），则函数的零点个数为（    ） A．3 B．5 C．7 D．9 2．（多选题）（2025·高一·江西赣州·开学考试）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（多选题）（2025·河北·模拟预测）（多选）已知函数，若函数恰好有4个不同的零点，则实数的取值可以是（ ） A．-3 B．-2 C．0 D．2 4．（2025·高一·福建三明·期末）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 5．（2025·高三·青海·阶段练习）已知函数，若，则的最小值为 ；若恰有2个零点，则的取值范围为 . 6．（2025·高一·河南南阳·阶段练习）设函数 ①当时， ； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是 . 7．（2025·高三·天津·阶段练习）已知函数若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围是 . 8．（2025·高三·天津滨海新·阶段练习）已知函数，若函数的零点个数为2，则a的范围为 . 9．（2025·高一·四川成都·期末）设函数，若，则= ；若有三个零点，则a的取值范围是 ． 10．（2025·全国·模拟预测）已知函数则函数有 个零点． 11．（2025·全国·模拟预测）已知函数，若函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是 ． 12．（2025·江苏徐州·模拟预测）若函数有两个零点，则实数的取值范围为 . 13．（2025·陕西西安·一模） ，若有两个零点，则的取值范围是 . 14．（2025·天津河北·一模）函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围为 . 15．（2025·天津·一模）若函数恰有两个不同的零点，且，则的取值范围为 ． 16．（2025·高三·湖北荆州·阶段练习）设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为 ． 17．（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，，若有2个不同的零点，则实数的取值范围是 . 18．（2025·北京海淀·一模）设函数 ①当时， ； ②若恰有2个零点，则a的取值范围是 ． 19．（2025·北京平谷·一模）设函数，的值域是 ，设，若恰有两个零点，则a的取值范围为 ． 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$