19.2.3 一次函数与方程、不等式【七大题型】-2024-2025学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

19.2.3 一次函数与方程、不等式 【考点梳理】 · 考点一：利用图像法解一元一次方程 · 考点二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 · 考点三：利用图像法解一元一次不等式 · 考点四：利用两直线的交点求不等式解集 · 考点五：利用两直线的交点求二元一次方程组 · 考点六：求直线围成的面积 · 考点七：一次函数与方程、不等式的综合问题 【知识梳理】 知识点一：一次函数与一元一次方程 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值。 点拨 从图像上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点横坐标的值。 知识点二：一次函数与一元一次不等式 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围。 点拨 从图像上看kx+b>0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围；kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围。 知识点三：一次函数与二元一次方程(组) 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线。 从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少。 从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解。 【题型探究】 题型一：利用图像法解一元一次方程 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 题型二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级下·河南安阳·期末）一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 题型三：利用图像法解一元一次不等式 7．（24-25八年级下·上海宝山）如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 题型四：利用两直线的交点求不等式解集 10．（2025·陕西咸阳·一模）若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数（k为常数，且）和一次函数（a，b均为常数，且）的图象交于点，根据图象可得关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，①②③当时，④⑤，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型五：利用两直线的交点求二元一次方程组 13．（2025·湖北孝感·二模）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 14．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 题型六：求直线围成的面积 16．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ． 17．（22-23八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点、，若点在一次函数的图象上，则的面积为 ． 18．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是 ； （2）当时，的取值范围是 ． 题型七：一次函数与方程、不等式的综合问题 19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数图象与x轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)下列说法正确的有________（填序号）； ①关于x的不等式的解集是； ②当时，一次函数值的取值范围是； ③关于x的方程的解是； ④关于x的不等式的解集是． (3)观察图象，请直接写出不等式的解集． 20．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线 交直线于点C，交x轴于点． (1)点A的坐标为 ； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组：的解集； ③将沿x轴平移，点 C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 21．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系内，直线与直线交于点，点的横坐标为，则关于的方程组的解是（  ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，若直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标是1，那么不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 8．（24-25八年级上·广西贺州·期末）一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 10．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 12．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为 ． 13．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为 ． 14．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为 ． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 三、解答题 17．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数图象与轴交于点． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集________ 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求，，的值； (2)直接写出不等式组的解集：_____________； 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求m和b的值； (2)直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 22．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 19.2.3 一次函数与方程、不等式 【考点梳理】 · 考点一：利用图像法解一元一次方程 · 考点二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 · 考点三：利用图像法解一元一次不等式 · 考点四：利用两直线的交点求不等式解集 · 考点五：利用两直线的交点求二元一次方程组 · 考点六：求直线围成的面积 · 考点七：一次函数与方程、不等式的综合问题 【知识梳理】 知识点一：一次函数与一元一次方程 因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0(a≠0)的形式,所以解一元次方程相当于在某个一次函数y=ax+b的函数值为0时,求自变量x的值。 点拨 从图像上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x轴交点横坐标的值。 知识点二：一次函数与一元一次不等式 因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax+b>0或ax+b<0(a≠0)的形式,所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y=ax+b的值大于0或小于0时,求自变量x的取值范围。 点拨 从图像上看kx+b>0的解集是直线y=kx+b位于x轴上方部分相应x的取值范围；kx+b<0的解集是直线y=kx+b位于x轴下方部分相应x的取值范围。 知识点三：一次函数与二元一次方程(组) 由含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组,都对应两个一次函数,于是也对应两条直线。 从“数”的角度看,解这样的方程组,相当于求自变量为何值时相应的两个函数值相等,以及这个函数值是多少。 从“形”的角度看,解这样的方程组,相当于确定两条相应直线交点的坐标.因此,我们可以用画一次函数图像的方法得到方程组的解。 【题型探究】 题型一：利用图像法解一元一次方程 1．（24-25八年级上·河北保定·期中）一次函数的图象如图所示，则方程的解为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，解题的关键是知道通过图象怎么求方程的解． 关于的方程一元一次方程的解就是一次函数当函数值为时的值，据此可以直接得到答案． 【详解】解：从图象上可知，一次函数与轴交点的横坐标为， 关于的方程的解为：， 故选：C． 2．（2023八年级下·全国·专题练习）如图，直线与相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，首先利用函数解析式求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程的解可得答案． 【详解】解：∵直线与相交于点， ∴， ∴， ∴， ∴结合图象，关于的方程的解是． 故选：B． 3．（24-25八年级上·四川达州·期末）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为8，则关于的方程的解是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，题目具有一定的代表性，难度适中．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于的方程的解是 故选：D． 题型二：已知直线和坐标轴交点求方程的解 4．（24-25八年级下·全国·期末）如图，一次函数与的图象相交于点，则关于的方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先将点代入一次函数可得，从而可得点的坐标为，再将点代入一次函数可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，将点代入一次函数得：，解得， ∴点的坐标为， ∵点在一次函数的图象上， ∴， ∴关于的方程的解是， 故选：A． 5．（23-24八年级下·河南安阳·期末）一次函数的图象与轴交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数和一元一次方程的解的关键，解题的关键是掌握一次函数图象与x轴交点的横坐标等于对应方程的解，据此即可解答． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时， ∴关于的方程的解为， 故选：B． 6．（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）如图，已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点，点，有下列结论：①当时，；②关于x的方程的解为；③当时，；④关于x的方程的解为；其中正确的是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，根据一次函数的图象，一次函数与一元一次方程的关系对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：由图象得： ①当时，，错误； ②关于的方程的解为，正确； ③当时，，正确； ④关于的方程的解为，正确； 故选：C． 题型三：利用图像法解一元一次不等式 7．（24-25八年级下·上海宝山）如图，一次函数的图象经过两点，则关于的不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．根据一次函数与一元一次不等式的关系，利用函数图象找出函数值为负数时，对应的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵当时，，即， ∴由图象可知，关于x的不等式的解集是． 故选：A． 8．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系：利用数形结合的思想，从函数的角度看，就是寻求使一次函的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．由一次函数的图象经过，可得关于x的不等式的解集． 【详解】解：∵一次函数的图象经过， ∴，即时，， ∴关于x的不等式的解集为． 故选：A． 9．（24-25八年级上·广东深圳·期末）如图，已知一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点．有下列结论：①图象经过点；②关于的方程的解为；③当时，；④当时，．其中正确的是（   ）    A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与一元一次方程，一次函数的图象及性质． 先用待定系数法求出该函数解析式，把点代入解析式，即可判断①；该函数图象过点，即当时，，即可判断②；由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方，即可判断③；由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方，即可判断④． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴，轴分别交于点，点， ∴，解得， ∴该一次函数为， 把点代入函数，得成立， ∴函数图象经过点．故①正确； ∵该函数图象过点， ∴当时，， ∴关于的方程的解为．故②正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的下方， ∴当时，．故③正确； ∵由图象可得当时，对应的图象在x轴的上方， ∴当时，．故④错误． 综上，正确的是①②③． 故选：A 题型四：利用两直线的交点求不等式解集 10．（2025·陕西咸阳·一模）若函数和函数的图像如图所示，其交点为，则关于的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质、一次函数与不等式，先求出，再结合函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：将代入得：， 解得：， ∴， 由图象可得，关于的不等式的解集是， 故选：B． 11．（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数（k为常数，且）和一次函数（a，b均为常数，且）的图象交于点，根据图象可得关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，能利用函数图象直接得出不等式的取值范围是解答此题的关键．根据两函数图象的交点坐标结合函数图象即可得出结论． 【详解】解：由函数图象可知，和一次函数交于点， 当时，函数的图象在直线的下方， 不等式的解集是：． 故选：B 12．（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，一次函数与的图象交于点．下列结论中，①②③当时，④⑤，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查一次函数综合，涉及一次函数图象与性质判断系数大小、一次函数图象与性质判断式子正负、利用一次函数图象解不等式等知识，数形结合，灵活运用一次函数图像与性质逐项判断即可得到答案，熟练掌握一次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由一次函数图象与轴交于正半轴上，则， 故①错误； 由一次函数图象是下降的，则；由一次函数的图象是上升的，则； ，故②错误； 由一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为， 当时，， 故③错误； 由一次函数与的图象交于点，且点的横坐标为， 当时，，则当时，， 即，故④错误； 由一次函数的图象可知，当时，，则， 故⑤正确； 综上所述，结论正确的是⑤，只有1个， 故选：A． 题型五：利用两直线的交点求二元一次方程组 13．（2025·湖北孝感·二模）如图，一次函数（为常数且）与的图象相交于点，且点的纵坐标为，则关于、的方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组 ，一次函数图象上点的坐标特征等知识点，数形结合是解题的关键．把代入求出，根据数形结合，即可求出答案． 【详解】解：把代入得：， 解得， ∴， ∴关于、的方程组的解是 故选：A． 14．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，一次函数与的图象交于点，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．根据方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标求解． 【详解】解：由于一次函数与的图象交于点， 所以关于x，y的方程组的解为． 故选：C． 15．（24-25八年级下·江西吉安·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点P，则下列结论错误的是（   ） A．方程的解是 B．不等式和不等式的解集相同 C．不等式组的解集是 D．方程组的解是 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与方程，不等式的关系，利用数形结合的思想是解题关键．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可知直线与直线的交点P的坐标为， ∴方程的解是，故A选项结论正确，不符合题意； ∴不等式的解集为，不等式的解集为， ∴不等式和不等式的解集相同，故B选项结论正确，不符合题意； 将点P的坐标代入直线与直线可得直线与直线 ∴直线与x轴交于点， ∴不等式组的解集是，故C选项结论正确，不符合题意； 由题意可知方程组，即方程组的解是， 无法求出方程组的解，故D选项结论错误，符合题意． 故选：D． 题型六：求直线围成的面积 16．（23-24八年级下·四川攀枝花·期中）已知一次函数和的图象都经过点，且与y轴分别交于B，C两点，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】本题是两条直线相交问题，考查了利用待定系数法确定待定系数的值，图象上点的坐标特征，三角形的面积，首先把分别代入一次函数和，求出，的值，则求出两个函数的解析式；然后求出、两点的坐标；最后根据三角形的面积公式求出的面积．熟知待定系数法是解题的关键． 【详解】解：如图， 和的图象都过点， 所以可得，， ，， 两函数表达式分别为，， 则直线与与轴的交点分别为，， ． 17．（22-23八年级下·四川巴中·期中）已知一次函数与的图象都经过点，且与轴分别交于点、，若点在一次函数的图象上，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了两条直线的交点问题：两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解．也考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积．将两一次函数的解析式联立，求出点坐标，再根据一次函数图象上点的坐标特征求出、、的坐标，然后根据的面积的面积的面积求解． 【详解】解：由，解得，则． 一次函数与的图象与轴分别交于点，， ，． 点在一次函数的图象上， ，解得， ． 的面积的面积的面积 ． 故答案为：3． 18．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）已知直线和直线． 若直线与轴所围成的三角形面积记作． （1）当时，的值是 ； （2）当时，的取值范围是 ． 【答案】 / 或 【分析】本题考查了两直线与坐标轴围成的三角形的面积问题； （1）将代入得出，，作出图形，根据三角形的面积即可求解； （2）依题意得出过定点，则点到轴的距离为,根据，结合题意，得出和时的值，结合图象即可求解． 【详解】解：（1）当时，， 如图所示，设交于点，与轴交于点，与轴交于点，则 ∴，解得：，则， 当时，，∴， ∴， ∴ （2）∵， ∴过定点，则点到轴的距离为, 设与轴交于点，则,则 ∴ 当时， 解得：或 当时， 解得：或 ∵ ∴或 故答案为：或． 题型七：一次函数与方程、不等式的综合问题 19．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，一次函数图象与x轴交于点A，一次函数图象与x轴交于点，两函数图象交于点． (1)求一次函数的表达式； (2)下列说法正确的有________（填序号）； ①关于x的不等式的解集是； ②当时，一次函数值的取值范围是； ③关于x的方程的解是； ④关于x的不等式的解集是． (3)观察图象，请直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)①③④ (3)或 【分析】本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）先求得，再利用待定系数法求解即可； （2）利用数形结合，即可求解； （3）转化为或，观察图象，数形结合，即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数图象经过点， ∴， ∴， ∵一次函数图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数； （2）解：观察图象， ①关于x的不等式的解集是，说法正确； ②令，则， ∴当时，一次函数值的取值范围是，原说法错误； ③关于x的方程的解是，说法正确； ④关于x的不等式的解集是，说法正确． 综上，正确的说法是①③④； 故答案为：①③④； （3）解：∵， ∴或， 观察图象，的解集为， 的解集为， 综上，的解集为或． 20．（24-25八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线 交直线于点C，交x轴于点． (1)点A的坐标为 ； (2)若点C在第二象限，的面积是5； ①求点C的坐标； ②直接写出不等式组：的解集； ③将沿x轴平移，点 C、A、D的对应点分别为、、，设点的横坐标为m．直接写出平移过程中只有两个顶点在外部时，m的取值范围． 【答案】(1) (2) 或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象的性质，一次函数图象与不等式的解集，三角形面积问题，平移的性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）把代入求得对应的自变量的值即可求得； （2）①利用三角形面积公式求得的纵坐标，代入即可求得的坐标； ②根据图象即可求得自变量的取值范围； ③求出直线的解析式，然后令，求出，然后根据沿轴向右平移或沿轴向左平移两种情况解答即可． 【详解】（1）解：把代入, 得, 解得, ∴； （2）解：①∵点, ∴, ， ，即， ∴, 把代入, 得,解得, ∴； ②∵直线交直线于点, 根据图象得：不等式的解集为； ③连接, 把代入得 ∴点的坐标为, 设直线的解析式为， 把, 代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为把代得：， 解得：， 当点在直线上时，点的横坐标为：， 当点在点上时，点的横坐标为： ， 当沿轴向右平移时， 只有两个顶点在外部时， 当沿轴向左平移，只有两个顶点在外部时； 综上可知，只有两个顶点在外部时，的取值范围为或． 21．（23-24八年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点，点在直线上，过点作轴，交直线于点．点、点恰好关于点对称． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)如果线段的长为，求点的坐标； (4)我们规定：横坐标和纵坐标都是整数的点叫整点．如果，直接写出所有符合条件的整点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点坐标为或 (4) 【分析】（1）根据得，根据点、点恰好关于点对称，得到．代入，解得m值即可求直线的解析式； （2）根据得到，根据得到，继而得到，根据得到，根据，解答即可； （3）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．结合线段的长为，得到，解答即可； （4）根据点在直线上，设，根据轴，交直线于点，得．得到，结合，分类解答即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵点、点恰好关于点对称， ∴． 把代入， 得 解得， 故直线的解析式为． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∵线段的长为， ∴， ∴或， 解得或． ∴点坐标为或． （4）∵点在直线上，设， ∵轴，交直线于点， ∴． ∴， ∵， ∴，， ∴，，，， 解得，，， ∴或， ∵点P是整点，， ∴n必须是整数，必须是整数， ∴或，且n是2的倍数， 故或， 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； 综上所述，点或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，对称的性质，不等式组解集的整数解，平行y轴直线上的两点间距离公式，熟练掌握待定系数法，不等式组解集的整数解是解题的关键． 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25八年级上·山东青岛·期末）在同一直角坐标系内一次函数和的图象如图所示，关于，的方程组的解为，则下列结论正确的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的关系与二元一次方程组，理解点在图象上点的横纵坐标满足它的解析式，求图象交点的坐标常转化为求方程组的解是解答本题的关键．方程组的解实际上是两个一次函数图象的交点的横纵坐标，而交点在第二象限，从而得到，的范围． 【详解】解：关于，的方程组的解即是一次函数和的交点坐标， 由图象可知，交点在第二象限， ，， 故选：D． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）已知不等式的解是，则一次函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式，解不等式的方法，把不等式的解集理解为当时，一次函数的函数值大于0，即函数图象上x的上方，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：∵不等式的解是， ∴对于一次函数，当时，， 即当时，一次函数的图象上x的上方． 故选：B． 3．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，直线与分别交轴于点，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了直线交点与不等式的解集，理解图示，掌握直线交点与不等式的性质是解题的关键． 根据直线的交点的特点，不等式的性质，数形结合即可求解． 【详解】解：直线与分别交轴于点， 不等式， ∴与异号， ∴当时，与异号，符合题意； 当，与同号，不符合题意； 当时，与异号，符合题意； ∴解集为或， 故选：D ． 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）在平面直角坐标系内，直线与直线交于点，点的横坐标为，则关于的方程组的解是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，函数图像交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解． 先求出点的坐标，即可得到答案． 【详解】解：直线与直线交于点，点的横坐标为， ， 关于的方程组的解是， 故选：A ． 5．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，若直线经过点，与直线交于点，且点的横坐标是1，那么不等式组的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式组的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 根据一次函数的图象即可求解，即在点A、B之间的函数图象满足题意． 【详解】解：根据图象可知，不等式组的解集为：， 故选：A． 6．（24-25八年级上·辽宁丹东·期末）如图，已知一次函数和的图象交于点，则二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题主要考查了一次函数与二元一次方程组，由于函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解．因此所求方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：由图知：函数和的图象交于点 则同时满足两个函数的解析式， ∴是二元一次方程组的解． 故选：B． 7．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）在平面直角坐标系中，两个一次函数的表达式分别为和，则下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，则或 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，两个一次函数交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先求出两个一次函数与轴的交点坐标，再根据函数图象，进行解答即可． 【详解】解：在一次函数中令，则， 一次函数的图象过点， 在一次函数中令，则， 一次函数的图象过点， 如图，画出两个一次函数图象， 由函数图象可以得出：当时，，当或时，， 故选：D 8．（24-25八年级上·广西贺州·期末）一次函数与的图象如图，则以下结论：①当时，；②当时，；③当时，中，正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象交点问题，根据函数图象结合交点解答即可． 【详解】解：观察图象可知：①当时，一次函数的图象一部分在轴上方（），一部分在轴下方（），故结论①不正确； ②当时，一次函数的图象在轴上方，即，故结论②正确； ③当时，一次函数的图象在一次函数的图象上方，故，故结论③不正确， 所以，正确的个数是1个， 故选：B． 9．（24-25八年级上·安徽·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B． C．当时， D．关于的方程组的解为 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．根据一次函数的图象即可判断选项A错误；根据一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方即可判断选项B错误；根据函数图象可得当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，由此即可判断选项C错误；根据两个一次函数的交点坐标即可判断选项D正确． 【详解】解：A、由函数图象可知，随的增大而减小，则此项错误，不符合题意； B、由函数图象可知，一次函数与轴的交点位于一次函数与轴的交点的上方，所以，此项错误，不符合题意； C、由函数图象可知，当时，一次函数的图象位于一次函数的图象的下方，所以，此项错误，不符合题意； D、由函数图象可知，两个一次函数的交点坐标为，所以关于的方程组，即方程组的解为，此项正确，符合题意； 故选：D． 10．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示．小星根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，y的值随着x值的增大而减小；②关于x，y的二元一次方程组的解为；③关于x的一元一次方程的解为；④当时，．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图像，结合一次函数的性质和图象，逐一判断即可解答，熟知一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：①由函数图象可知，直线从左至右呈下降趋势， 所以y的值随着x值的增大而减小，故①正确； ②由函数图象可知，一次函数一次函数与的图象交点坐标为， 所以方程组的解为，故②正确； ③由函数图象可知，直线与x轴的交点坐标为， 所以方程的解为，故③正确； ④由函数图象可知，直线过点， 所以当时，，故④正确； 故选：D． 二、填空题 11．（24-25八年级下·上海闵行·阶段练习）如图，一次函数的图像经过、两点，那么关于的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，根据函数图象即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，关于的不等式的解集是， 故答案为：． 12．（24-25八年级上·贵州毕节·期末）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线交点求二元一次方程组的解，理解两直线交点的含义是解题的关键． 根据两直线交点得到对应二元一次方程组的解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于点， ∴关于的方程组的解为， 故答案为： ． 13．（24-25八年级上·广东梅州·期末）如图，直线与交于点，交轴、轴分别于，两点．若，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的关系：方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．设点A坐标为，先求得，，根据三角形的面积公式结合已知求得，则，进而求得，即可求解． 【详解】解：设点A坐标为， 对于直线，当时，，则， ∴， 当时，由得，则， ∴， ∵， ∴，即， ∴，则， 将代入中，得， 解得， ∴， ∴方程的，解为， 故答案为：． 14．（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，直线与在第二象限交于点A，交x轴于点B．若，，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程（组）、等腰三角形的性质，过点A作于点H，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形面积公式计算出，从而得到点A的坐标为，然后根据方程组的解就是两个相应的一次函数图像的交点坐标即可解答． 【详解】解：过点A作于点H， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵点A在第二象限， ∴点A的坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． 15．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）如图，和的图象交于点P，P的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系根据两函数的交点坐标，结合图象即可确定出所求不等式的解集．从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． 【详解】解：由图知：当直线的图象在直线的下方时，不等式成立； 由于两直线的交点横坐标为：， 观察图象可知，当时，，即不等式的解集为． 故答案为：． 16．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）新定义：对于两个实数、，我们用表示这两个数中最大的数，即，对于函数： （1）当时， ； （2）若过定点的直线与函数的图象有两个交点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与不等式，一次函数的图象及性质，能够根据定义，画出分段函数的图象，数形结合解题是关键． （1）利用新定义求得即可； （2）根据题意，当时，，当时，，再数形结合解题即可． 【详解】解：（1）当时，， 故答案为：； （2）当时，， 当时，， 如图： 当直线经过点时，， 当与直线平行时，， 时，直线与函数的图象有两个交点， 故答案为：． 三、解答题 17．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图所示，已知正比例函数和一次函数，它们的图象都经过点，且一次函数图象与轴交于点． (1)求、的值； (2)求的面积； (3)直接写出不等式的解集________ 【答案】(1)， (2)3 (3) 【分析】此题主要考查了一次函数的性质，待定系数法求函数解析式以及三角形面积求法，正确求出函数解析式是解题关键． （1）将代入正比例函数可求，将代入一次函数，可求的值； （2）利用三角形面积求法得出答案； （3）根据交点坐标可求不等式的解集． 【详解】（1）解：将代入正比例函数得， 解得， 将代入一次函数得， 解得； （2）解：因为 所以 因为 所以的面积为：； （3）解：由图象可知，不等式的解集为． 故答案为：． 18．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，直线与直线交于点，直线与轴、轴分别交于点，． (1)求，，的值； (2)直接写出不等式组的解集：_____________； 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查一次函数的图像和性质，以及两直线相交问题，解决此类题目的关键是灵活运用待定系数法求函数的解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）由图可得时，在点的右侧，而当时，，由此可得出不等式组的解集． 【详解】（1）解：把点代入，得， 解得， 分别把点和点代入， 得， 解得， 即，，的值分别为，，； （2）解：若，即， 由图可知时在点的右侧，包括点， ，则， 而当时，， 不等式组的解集为：． 19．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，平面直角坐标系中，，，A、C分别在x轴的正、负半轴上．过点C的直线绕点C旋转，交y轴于点D，交线段于点E． (1)直接写出A、C的坐标； (2)写出直线的解析式； (3)若与的面积相等，求点E的坐标． 【答案】(1)、 (2) (3) 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，坐标与图形的性质，三角形的面积等知识点，数形结合是解此题的关键． （1）根据，求解即可； （2）用待定系数法即可求出直线的解析式； （3）推出和的面积相等，根据面积公式求出E的纵坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴，； （2）解：设直线的解析式为． ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （3）解：∵， ∴， 即， ∵点E在线段上， ∴点E在第一象限，且， ∴ ∴ 把代入直线的解析式得：   ∴ ∴． 20．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点． (1)求m和b的值； (2)直线与轴交于点，动点在线段上从点开始以每秒1个单位的速度向点运动．设点的运动时间为秒． ①若的面积为10，求的值； ②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①7秒；②当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【分析】（1）把点代入直线中得：，则点，直线过点，，； （2）①由题意得：，，中，当时，，，，，即可求解；②分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入直线中得：， 点， 直线过点， ∴， 解得：． （2）解：①由题意得：， 中，当时，， ， ， 中，当时，， ， ， ， 的面积为10， ， ， 则的值为7秒； ②设点，点、的坐标为：、， 当时，则点在的中垂线上，即， 解得：； 如图，当时，过点作轴于，则， ∵直线与轴，轴分别交于，两点， ∴当时，，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点与点重合时，故， 解得：； 当时，由勾股定理得：， ∴, ∴ 故：当秒或秒或秒时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、面积的计算及勾股定理等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 21．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）把一次函数（k，b为常数，）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，与原来在x轴上方的图象组合，得到一个新的图象，我们称之为一次函数的“V”形图象，例如，如图1就是函数的“V”形图象． (1)请在图2中画出一次函数的“V”形图象，并直接写出该“V”形图象的函数表达式及自变量x的取值范围； (2)在（1）的条件下，若一次函数的“V”形图象与x轴交于点A，与直线相交于B，C两点，求的面积； (3)一次函数（k为常数）的“V”形图象经过，两点，且，求k的取值范围． 【答案】(1)图象见解析； (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的应用及两直线的交点问题、一次函数的基本性质等，理解题意，熟练掌握一次函数的基本性质是解题关键． （1）根据题意作出相应函数图象， （2）由一次函数解析式确定点A的坐标即可,然后联立求出交点坐标，结合图形求三角形面积即可； （3）对的取值范围进行分类讨论，利用一次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 该“V”形图象的函数表达式为 （2），当时，， ∴点的坐标为 由图可得：线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 线段所在直线的解析式为， ∴， 解得 ∴ 由（1）得： ∴的面积； （3）∵直线（，且为常数） 当时， ∴经过定点 当时， ∴该图象与x轴交点 ①当时，当，则对称轴为直线， ∵， 由图象可知， 解得 ∴ ②当时，由图象可知，始终有 综上所述，或． 22．（24-25八年级上·浙江金华·期末）如图1，直线分别与x轴，y轴相交于A，B两点，直线分别与x轴，y轴相交于C，D两点，两条直线相交于点E． (1)点C的坐标为______，点A的坐标为_______（点A用含k的代数式表示）． (2)若点A关于y轴的对称点恰好落在的内部，求k的取值范围． (3)如图2，若点D为的中点，点Q为直线上一点，连接，记点E关于直线的对称点为．请问：是否存在点Q，使得点恰好落在直线上方的坐标轴上？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)k的取值范围为 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）分别把代入函数解析式，解方程，进一步得出结果； （2）求出，根据恰好落在的内部得出不等式组，求解即可； （3）可推出，，进而得出，从而得出轴，从而得出，求得直线的解析式后，代入求得的值，进而得出结果；当点在轴上时，可求得点，，求得直线直线的解析式后，与直线的解析式联立成方程组，进一步得出结果． 【详解】（1）解：当时， ，， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：∵点与点关于y轴对称， ∴， ∵，恰好落在△的内部，直线与直线相交于点E． ∴ 解得：． （3）解：如图1， 当点落在轴上时，设， 关于直线的对称点为， ，， 当时，， ， 点是的中点， ， ，， ， ， ， 轴， ，， ， 轴， ， 过， ， ， ， 由得， ， ， 如图2， 当点在轴上时， ，， ， ， ， ， ，即， 设直线的解析式为：， ， ， ， 由得， ， ， 综上所述：或． 【点睛】本题考查了求一次函数的解析式，等腰三角形的性质，二元一次方程组的解法，轴对称的性质等知识，解决问题的关键是分类讨论． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$