期末选择填空题压轴分类汇编（二十大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

期末选择填空题压轴分类汇编（二十大类型） 题型一：分式的加减法 题型二：分式的混合运算 题型三：二次根式的性质与化简 题型四：分母有理化 题型五：二次根式的化简求值 题型六：分式方程的解 题型七：反比例函数的图象 题型八：反比例函数系数k的几何意义 题型九：反比例函数图象上点的坐标特征 题型十：反比例函数与一次函数的交点问题 题型十一：三角形中位线定理 题型十二：平行四边形的性质 题型十三：菱形的性质 题型十四：矩形的性质 题型十五：矩形的判定与性质 题型十六：正方形的性质 题型十七：旋转的性质 题型十八：用样本估计总体 题型十九：扇形统计图 题型二十：利用频率估计概率 题型一．分式的加减法（共1小题） 1．对于正数x，规定，例如：，，则　2011.5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵当x＝1时，f（1），当x＝2时，f（2），当x时，f（）；当x＝3时，f（3），当x时，f（）， ∴f（2）+f（）＝1，f（3）+f（）＝1，…， ∴f（n）+…+f（1）+…+f（）＝f（1）+（n﹣1）， ∴f（1）+（2012﹣1）2011＝2011.5． 故答案为：2011.5． 题型二．分式的混合运算（共1小题） 2．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意可知 第一次倒出：， 第二次倒出：， 第三次倒出：， … 第n次倒出：， ∴第10次倒出：， ∴倒了10次后容器内剩余的水量＝1﹣（）＝1﹣（）＝1﹣（1）． 故答案是． 题型三．二次根式的性质与化简（共2小题） 3．已知：1＜x＜3，则（　　） A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5﹣2x 【答案】C 【解答】解：∵1＜x＜3， ∴x﹣1＞0，3﹣x＞0， ∴4﹣x＞1＞0， ∴原式＝|x﹣1|﹣|4﹣x|＝x﹣1﹣4+x＝2x﹣5． 故选：C． 4．化简　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵（）2有意义， ∴2x﹣3≥0， ∴x≥1.5， ∴2x﹣1≥3﹣1＝2， ∴ 2x+3 ＝2x﹣1﹣2x+3 ＝2， 故答案为2． 题型四．分母有理化（共1小题） 5．观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．　2009　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原式＝（1）（1） ＝（1）（1）＝2009． 题型五．二次根式的化简求值（共1小题） 6．设，，，…，． 设，则S＝　　 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵Sn＝1， ∴11， ∴S＝1+111 ＝n+1 ． 故答案为：． 题型六．分式方程的解（共4小题） 7．若关于x的方程1的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解答】解：将分式方程去分母得： a（x﹣1）+（x+1）（x﹣1）＝（x+a）（x+1） 解得：x＝﹣2a﹣1 ∵解为负数 ∴﹣2a﹣1＜0 ∴a ∵当x＝1时，a＝﹣1；x＝﹣1时，a＝0，此时分式的分母为0， ∴a，且a≠0； 将不等式组整理得： ∵不等式组无解 ∴a≤2 ∴a的取值范围为：a≤2，且a≠0 ∴满足条件的整数a的值为：1，2 ∴所有满足条件的整数a的值之积是2． 故选：C． 8．若分式方程的解为x＝0，则a的值为　5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：把x＝0代入方程得：1，解得：a＝5， 故答案为：5． 9．若关于x的方程1无解，则a的值是　2或1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：x﹣2＝0，解得：x＝2． 方程去分母，得：ax＝4+x﹣2，即（a﹣1）x＝2 当a﹣1≠0时，把x＝2代入方程得：2a＝4+2﹣2， 解得：a＝2． 当a﹣1＝0，即a＝1时，原方程无解． 故答案为：2或1． 10．已知关于x的分式方程1的解是非正数，则a的取值范围是　a≤﹣1且a≠﹣2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：去分母，得a+2＝x+1， 解得：x＝a+1， ∵x≤0，x+1≠0， ∴a+1≤0，x≠﹣1， ∴a≤﹣1，a+1≠﹣1， ∴a≠﹣2， ∴a≤﹣1且a≠﹣2． 故答案为：a≤﹣1且a≠﹣2． 题型七．反比例函数的图象（共1小题） 11．同一坐标系中，一次函数y＝﹣kx+k与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解答】解：A、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝﹣kx+k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误； B、∵由反比例函数的图象在一、三象限可知，k＞0，∴﹣k＜0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、二、四象限，故本选项错误； C、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项错误； D、∵由反比例函数的图象在二、四象限可知，k＜0，∴﹣k＞0，∴一次函数y＝kx﹣k的图象经过一、三、四象限，故本选项正确． 故选：D． 题型八．反比例函数系数k的几何意义（共5小题） 12．如图，两个反比例函数y和y（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1•k2 D． 【答案】B 【解答】解：根据题意可得四边形PAOB的面积＝S矩形OCPD﹣S△OBD﹣S△OAC， 由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2． 故选：B． 13．如图，A、B是双曲线y上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】B 【解答】解：过点B作BE⊥x轴于点E， ∵D为OB的中点，DC∥BE， ∴OC＝CE， ∴CD是△OBE的中位线，即CDBE． 设A（x，），则B（2x，），CD，AD， ∵△ADO的面积为1， ∴AD•OC＝1，（）•x＝1，解得k， 故选：B． 14．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交双曲线，于D、C两点，则△PCD的面积为（　　） A． B． C． D．2 【答案】C 【解答】解：作CE⊥AO于E，DF⊥CE于F， ∵双曲线，，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线于D、C两点， ∴矩形BCEO的面积为：xy＝1， ∵BC×BO＝1，BP×BO＝4， ∴BCBP， ∵AO×AD＝1，AO×AP＝4， ∴ADAP， ∵PA•PB＝4， ∴PBPAPA•PB＝CP×DP4， ∴△PCD的面积为：CP×DP． 故选：C． 15．如图，两个反比例函数y和y在第一象限的图象如图所示，当P在y的图象上，PC⊥x轴于点C，交y的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由于P点在y上，则S□PCOD＝2，A、B两点在y上， 则S△DBO＝S△ACO1． ∴S四边形PAOB＝S□PCOD﹣S△DBO﹣S△ACO＝21． ∴四边形PAOB的面积为1． 故答案为：1． 16．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 　2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：延长BA交y轴于E， ∵AB∥x轴， ∴AE垂直于y轴， ∵点A在双曲线上， ∴四边形AEOD的面积为1， ∵点B在双曲线y上，且AB∥x轴， ∴四边形BEOC的面积为3， ∴矩形ABCD的面积为3﹣1＝2． 故答案为：2． 题型九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 17．如图，点A1，A2依次在y（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为　（6，0）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：作A1C⊥OB1，垂足为C， ∵△A1OB1为等边三角形， ∴∠A1OB1＝60°， ∴tan60°， ∴A1COC， 设A1的坐标为（m，m）， ∵点A1在y（x＞0）的图象上， ∴m9，解得m＝3， ∴OC＝3， ∴OB1＝6， 作A2D⊥B1B2，垂足为D． 设B1D＝a， 则OD＝6+a，A2Da， ∴A2（6+a，a）． ∵A2（6+a，a）在反比例函数的图象上， ∴代入y，得（6+a）•a＝9， 化简得a2+6a﹣9＝0 解得：a＝﹣3±3． ∵a＞0， ∴a＝﹣3+3． ∴B1B2＝﹣6+6， ∴OB2＝OB1+B1B2＝6， 所以点B2的坐标为（6，0）． 故答案为：（6，0）． 题型十．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题） 18．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1 【答案】C 【解答】解：由图可知，在A点左侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时x＜﹣1； 在B点左侧，y轴的右侧，反比例函数的值大于一次函数的值，此时0＜x＜1． 故选：C． 19．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是（　　） A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2 【答案】C 【解答】解：由题意，当b＞2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数有两个交点， 根据对称性，b＜﹣2时，直线y＝﹣x+b与反比例函数也有两个交点， 故满足条件的b的值为b＜﹣2或b＞2， 故选：C． 20．如图，函数y＝﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【解答】解：∵过函数的图象上A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D， ∴S△AOC＝S△ODB|k|＝2， 又∵OC＝OD，AC＝BD， ∴S△AOC＝S△ODA＝S△ODB＝S△OBC＝2， ∴四边形ABCD的面积为：S△AOC+S△ODA+S△ODB+S△OBC＝4×2＝8． 故选：D． 21．如图，直线y＝2x与双曲线y在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（　　） A．（1，0） B．（1，0）或（﹣1，0） C．（2，0）或（0，﹣2） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 【答案】D 【解答】解：联立直线与反比例解析式得：， 消去y得到：x2＝1， 解得：x＝1或﹣1， ∴y＝2或﹣2， ∴A（1，2），即AB＝2，OB＝1， 根据题意画出相应的图形，如图所示， 可得A′B′＝A′′B′′＝AB＝2，OB′＝OB′′＝OB＝1， 根据图形得：点A′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选：D． 22．如图，函数y＝﹣x的图象是二、四象限的角平分线，将y＝﹣x的图象以点O为中心旋转90°与函数y的图象交于点A，再将y＝﹣x的图象向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为　（2，0）　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：AO的解析式为y＝x， 联立AO与y，得 ， 解得． A点坐标为（1，1）， 设AB的解析式为y＝﹣x+b，则 1＝﹣1+b，解得b＝2． 故AB的解析式为y＝﹣x+2， 当y＝0时，﹣x+2＝0． 解得x＝2， B（2，0）． 故答案为：（2，0）． 题型十一．三角形中位线定理（共3小题） 23．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBn∁nDn，则四边形AnBn∁nDn的面积为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点， ∴A1B1∥AC，A1B1AC， ∴△BA1B1∽△BAC． ∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即． 即S△ABC，同理可证：S△ADC， S△ABD，S△CB1C1S△BDC， ∴S四边形ABCD， 同法可证， 又四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝4，AC⊥BD， ∴四边形ABCD的面积是16． ∴四边形AnBn∁nDn的面积． 故选：B． 24．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（　　） A． B． C．3 D．4 【答案】C 【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE， ∴∠QBA＝∠QBE，∠BQA＝∠BQE，BQ＝BQ， ∴△BQA≌△BQE， ∴BA＝BE， ∴△BAE是等腰三角形， 同理△CAD是等腰三角形， ∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一）， ∴PQ是△ADE的中位线， ∵BE+CD＝AB+AC＝26﹣BC＝26﹣10＝16， ∴DE＝BE+CD﹣BC＝6， ∴PQDE＝3． 故选：C． 25．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 　1　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分别等于A1B1、B1C1、C1A1的一半， ∴以此类推：△A5B5C5的周长为△A1B1C1的周长的， ∴则△A5B5C5的周长为（7+4+5）÷16＝1． 故答案为：1 题型十二．平行四边形的性质（共4小题） 26．如图，▱ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 【答案】B 【解答】解：取DE中点O，连接AO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB＝180°﹣∠ABC＝105°， ∵AF⊥BC， ∴AF⊥AD， ∴∠DAE＝90°， ∴OADE＝OD＝OE， ∵DE＝2AB， ∴OA＝AB， ∴∠AOB＝∠ABO，∠ADO＝∠DAO，∠AED＝∠EAO， ∵∠AOB＝∠ADO+∠DAO＝2∠ADO， ∴∠ABD＝∠AOB＝2∠ADO， ∴∠ABD+∠ADO+∠DAB＝180°， ∴∠ADO＝25°，∠AOB＝50°， ∵∠AED+∠EAO+∠AOB＝180°， ∴∠AED＝65°． 故选：B． 27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论： ①∠CAD＝30°； ②S▱ABCD＝AB•AC； ③OB＝AB； ④OEBC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC＝∠ADC＝60°，∠BAD＝120°， ∵AE平分∠BAD， ∴∠BAE＝∠EAD＝60° ∴△ABE是等边三角形， ∴AE＝AB＝BE， ∵ABBC， ∴AEBC， ∴∠BAC＝90°， ∴∠CAD＝30°，故①正确； ∵AC⊥AB， ∴S▱ABCD＝AB•AC，故②正确， ∵ABBC，OBBD， ∵BD＞BC， ∴AB≠OB，故③错误； ∵CE＝BE，CO＝OA， ∴OEAB， ∴OEBC，故④正确． 故选：C． 28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 【答案】B 【解答】解：∵AE为∠DAB的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵DC∥AB， ∴∠BAE＝∠DFA， ∴∠DAE＝∠DFA， ∴AD＝FD， 又F为DC的中点， ∴DF＝CF， ∴AD＝DFDCAB＝2， 在Rt△ADG中，根据勾股定理得：AG， 则AF＝2AG＝2， ∵平行四边形ABCD， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠E，∠ADF＝∠ECF， 在△ADF和△ECF中， ， ∴△ADF≌△ECF（AAS）， ∴AF＝EF， 则AE＝2AF＝4． 故选：B． 29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°， ∴BC⊥AB． ∵四边形ADCE是平行四边形， ∴OD＝OE，OA＝OC． ∴当OD取最小值时，DE线段最短，此时OD⊥BC． ∴OD∥AB． 又点O是AC的中点， ∴OD是△ABC的中位线， ∴ODAB＝1.5， ∴ED＝2OD＝3． 故选：B． 题型十三．菱形的性质（共2小题） 30．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12 【答案】D 【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵顶点C的坐标为（m，3）， ∴OE＝﹣m，CE＝3， ∴OC6， ∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°， ∴OB＝OC＝6，∠BOD∠BOC＝30°， ∵DB⊥x轴， ∴DB＝OB•tan30°＝62， ∴点D的坐标为：（﹣6，2）， ∵反比例函数y的图象与菱形对角线AO交D点， ∴k＝xy＝﹣12． 故选：D． 31．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　） A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9 【答案】C 【解答】解：∵ME∥AD， ∴△MEC∽△DAC， ∴， ∵菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH， ∴AE＝1cm，EC＝3cm， ∴， ∴， ∴图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为：． 故选：C． 题型十四．矩形的性质（共5小题） 32．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：∵矩形ABCD的对角线互相平分，面积为5， ∴平行四边形ABC1O1的面积为， ∵平行四边形ABC1O1的对角线互相平分， ∴平行四边形ABC2O2的面积为， …， 依此类推，平行四边形ABC2009O2009的面积为． 故选：B． 33．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　） A．（，3）、（，4） B．（，3）、（，4） C．（，）、（，4） D．（，）、（，4） 【答案】B 【解答】解：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H， ∵四边形AOBC是矩形， ∴AC∥OB，AC＝OB， ∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO， 在△ACF和△OBE中， ， ∴△CAF≌△BOE（AAS）， ∴BE＝CF＝4﹣1＝3， ∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠AOD＝∠OBE， ∵∠ADO＝∠OEB＝90°， ∴△AOD∽△OBE， ∴， 即， ∴OE， 即点B（，3）， ∴AF＝OE， ∴点C的横坐标为：﹣（2）， ∴点C（，4）． 故选：B． 34．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解答】解：连接OP，过D作DM⊥AC于M， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AO＝OCAC，OD＝OBBD，AC＝BD，∠ADC＝90° ∴OA＝OD， 由勾股定理得：AC5， ∵S△ADC3×45×DM， ∴DM， ∵S△AOD＝S△APO+S△DPO， ∴（AO×DM）（AO×PE）（DO×PF）， 即PE+PF＝DM， 故选：B． 35．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论： ①AE＝BC； ②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2； ③EF＝AE+DH； ④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④． 【解答】解：①在矩形ABCD中，∠A＝90°，AD＝BC， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形， ∴AD＝AE， ∴AE＝BC；故①正确； ②∵∠GCH+∠HCE＝90°，∠ECB+∠HCE＝90°， ∴∠GCH＝∠ECB， ∵∠G＝∠B＝90°， ∴△GCH∽△BCE， ∴， ∵∠AEF+∠CEB＝90°，∠BCE+∠CEB＝90°， ∴∠AEF＝∠BCE， 在△AEF和△BCE中， ， ∴△AEF≌△BCE（AAS）， ∴EF＝EC， ∵四边形CEFG是矩形， ∴四边形CEFG是正方形， ∴CG＝CE， ∵， ∴CE2＝CH•CB＝5×4＝20， ∴CE＝2；故②正确； ③若BC＝AE＝4，CE＝2， ∴BE2， ∴CD＝AB＝AE+BE＝4+2＝6， ∴DH＝DC﹣CH＝6﹣5＝1， ∵EF＝2，AE＝4， ∴EF≠AE+DH；故③错误； ④当F是AD的中点时， 设AF＝DF＝a，则AD＝BC＝AE＝2a， ∵BE＝AF＝a， ∴AB＝AE+BE＝3a， ∴S四边形ABCD＝2a•3a＝6a2， ∵EFa， ∴S四边形EFGC＝EF2＝5a2， ∴S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6a2：5a2＝6：5．故④正确． 综上所述：①②④． 故答案为：①②④． 36．如图，四边形ABCD是矩形，边AB长为6，∠ABD＝60°，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，连接CG，取CG的中点P，连接PM，PN， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝6， ∵EF∥BC， ∴∠BEG＝∠A＝90°， ∵∠ABD＝60°， ∴∠BGE＝90°﹣∠ABD＝90°﹣60°＝30°， ∴BG＝2BE＝2×4＝8， ∴EG4， ∵M、P、N分别是DG、CG、CE的中点， ∴PM∥CD，PMCD＝3，PN∥EF，PNEG＝2， ∴∠MPG＝∠DCG， ∵PN∥EF，EF∥BC， ∴PN∥BC， ∴∠NPG＝∠BCG， ∴∠MPG+∠NPG＝∠DCG+∠BCG＝∠BCD＝90°， ∴∠MPN＝90°， ∴MN， 故答案为：． 题型十五．矩形的判定与性质（共2小题） 37．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 【答案】C 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5， ∴AB2+AC2＝BC2， 即∠BAC＝90°． 又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F， ∴四边形AEPF是矩形， ∴EF＝AP． 因为AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4， ∴EF的最小值为2.4， 故选：C． 38．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：连接PC． ∵PE⊥AC，PF⊥BC， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°； 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形ECFP是矩形， ∴EF＝PC， ∴当PC最小时，EF也最小， 即当CP⊥AB时，PC最小， ∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5， ∴AC•BCAB•PC， ∴PC． ∴线段EF长的最小值为； 故答案为：． 题型十六．正方形的性质（共13小题） 39．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解答】解：延长FP交AB于点N，延长AP交EF于点M． ∵四边形ABCD是正方形． ∴∠ABP＝∠CBD 又∵NP⊥AB，PE⊥BC， ∴四边形BNPE是正方形，∠ANP＝∠EPF， ∴NP＝EP， ∴AN＝PF 在△ANP与△FPE中， ∵， ∴△ANP≌△FPE（SAS）， ∴AP＝EF，∠PFE＝∠BAP（故①④正确）； △APN与△FPM中，∠APN＝∠FPM，∠NAP＝∠PFM ∴∠PMF＝∠ANP＝90° ∴AP⊥EF，（故②正确）； ∵四边形PECF为矩形， ∴PF∥BC，PF＝BC， ∴∠DPF＝45°， ∴PDPFCE， 故⑤不正确； ∵AP＝EF，AD＝BC＝PE+CE，PDCE， ∴只有PE＝CE或PE＝（1）CE时，△APD才是等腰三角形， 故③不正确； 故正确的是：①②④． 故选：B． 40．如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD+S△APB； ④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：如图，∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠BAD＝ADC＝90°， ∵AE⊥AP， ∴∠EAP＝90°， ∴∠BAE+∠BAP＝∠BAP+∠DAP＝90°， ∴∠BAE＝∠DAP， ∵AE＝AP＝1， ∴△ABE≌△ADP（SAS）， ∴∠AEB＝∠APD，BE＝DP， ∵△AEP是等腰直角三角形， ∴∠AEP＝∠APE＝45°，EPAE， ∴∠APD＝180°﹣∠APE＝180°﹣45°＝135°， ∴∠AEB＝135°， ∴∠BED＝∠AEB﹣∠AEP＝135°﹣45°＝90°， ∴EB⊥ED， ∴①正确； ∴BE1＝AE， ∴②不正确； ∵△ABE≌△ADP， ∴S△ABE＝S△ADP， ∵∠BAP＝90°，AE＝AP＝1，PB， ∴EP，∠AEP＝45°， ∵∠AEB＝135°， ∴∠BEP＝135°﹣45°＝90°， ∴S△APD+S△APB＝S△AEB+S△APB＝S△AEP+S△EPBAE×APEP×BE1×11， ∴③正确； 如图，过点B作BO⊥AE，交AE的延长线于点O， 则∠O＝90°， ∵∠BEO＝180°﹣∠AEB＝180°﹣135°＝45°， ∴△BOE是等腰直角三角形， ∴OE＝OBBE， ∴AO＝AE+OE＝1， 在Rt△ABO中，∵AB2＝AO2+OB2＝（1）2+（）2＝2， ∴S正方形ABCD＝AB2＝2； ∴④正确； 故选：A． 41．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CN＝2AN；④S△ADN：S四边形CNFB＝2：5；⑤∠ADF＝∠BMF．其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：①∵ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠DAF＝∠EDC, ∵DF⊥CE， ∴∠EDM+∠DEM＝90°， ∵∠DEM+∠DCE＝90°, ∴∠ADF＝∠DCE， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE， 故本选项正确； ②∵△ADF≌△DCE， ∴DE＝AF， ∵AE＝DE， ∴AE＝AF， 在△ANF和△ANE中 ， ∴△ANF≌△ANE， ∴NF＝NE， ∵NM⊥CE， ∴NE＞MN， ∴NF＞MN， ∴MN＝FN错误， 故本选项错误； ③∵AF∥CD， ∴∠CDN＝∠NFA，∠DCN＝∠NAF， ∴△DCN∽△FAN， 又∵△ADF≌△DCE，且四边形ABCD为正方形， ∴AFABDC， ∴， ∴CN＝2AN， 故本选项正确； ④连接CF， 设S△ANF＝1， 则S△ACF＝3，S△ADN＝2， ∴S△ACB＝6， ∴S四边形CNFB＝5， ∴S△ADN：S四边形CNFB＝2：5， 故本选项正确； ⑤延长DF与CB交于G，则∠ADF＝∠G， 根据②的结论F为AB中点，即AF＝BF， 在△DAF与△GBF中， ， ∴△DAF≌△GBF（AAS）， ∴BG＝AD，又AD＝BC， ∴BC＝BG， 又∵∠ADF＝∠DCE，∠ADF+∠CDM＝90°， ∴∠DCE+∠CDM＝90°， ∴∠DMC＝∠CMG＝90°， ∴△CMG是直角三角形， ∴MB＝BG＝BC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， ∴∠G＝∠BMF， 因此∠ADF＝∠BMF，故选项正确． 所以正确的有①③④⑤共4个． 故选：C． 42．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 【答案】B 【解答】解：如图，连接AP，AN，点A是正方形的对角线的交点． 则AP＝AN，∠APF＝∠ANE＝45°， ∵∠PAF+∠FAN＝∠FAN+∠NAE＝90°， ∴∠PAF＝∠NAE， ∴△PAF≌△NAE， ∴四边形AENF的面积等于△NAP的面积， 而△NAP的面积是正方形的面积的，而正方形的面积为4， ∴四边形AENF的面积为1cm2，四块阴影面积的和为4cm2． 故选：B． 43．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　） A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014 【答案】D 【解答】方法一： 解：如图所示：∵正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3… ∴D1E1＝B2E2，D2E3＝B3E4，∠D1C1E1＝∠C2B2E2＝∠C3B3E4＝30°， ∴D1E1＝C1D1sin30°，则B2C2＝（）1， 同理可得：B3C3（）2， 故正方形AnBn∁nDn的边长是：（）n﹣1． 则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是：（）2014． 故选：D． 方法二： ∵正方形A1B1C1D1的边长为1， ∠B1C1O＝60°， ∴D1E1＝B2E2， ∵B1C1∥B2C2∥B3C3… ∴∠E2B2C2＝60°， ∴B2C2， 同理： B3C3 ∴a1＝1，q， ∴正方形A2015B2015C2015D2015的边长＝1． 故选：D． 44．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG＝FC；③S△FGC．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【解答】解：∵正方形ABCD中，AB＝3，CD＝3DE， ∴DE3＝1，CE＝3﹣1＝2， ∵△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，EF＝DE＝1，∠AFE＝∠D＝90°， ∴AB＝AF＝AD， 在Rt△ABG和Rt△AFG中，， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴BG＝FG， 设BG＝FG＝x，则EG＝EF+FG＝1+x，CG＝3﹣x， 在Rt△CEG中，EG2＝CG2+CE2， 即（1+x）2＝（3﹣x）2+22， 解得，x， ∴CG＝3， ∴BG＝CG， 即点G是BC中点，故①正确； ∵tan∠AGB2， ∴∠AGB≠60°， ∴∠CGF≠180°﹣60°×2＝60°， 又∵BG＝CG＝FG， ∴△CGF不是等边三角形， ∴FG≠FC，故②错误； △CGE的面积CG•CE2， ∵EF：FG＝1：2：3， ∴S△FGC，故③正确； 综上所述，正确的结论有①③． 故选：B． 45．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（　　） A． B．2 C．2 D．1 【答案】B 【解答】解：∵BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线， ∴∠ADB＝∠CGE＝45°， ∴∠GDT＝180°﹣90°﹣45°＝45°， ∴∠DTG＝180°﹣∠GDT﹣∠CGE＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴△DGT是等腰直角三角形， ∵两正方形的边长分别为4，8， ∴DG＝8﹣4＝4， ∴GT4＝2． 故选：B． 46．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．则∠OFG的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．75° 【答案】B 【解答】解：在正方形ABCD中，∠ABO＝∠CBO＝∠BCO＝45°， ∵BE平分∠ABO， ∴∠OBE＝22.5°， ∴∠CBE＝180°﹣45°﹣67.5°＝67.5°， ∴∠CBE＝∠CEB， ∵CF⊥BE， ∴BF＝EF， 又∵∠AOB＝90°， ∴OF＝BF， ∴∠BOF＝∠OBE＝22.5°， 在△BOF中，∠OFG+22.5°+22.5°+90°＝180°， ∴∠OFG＝45°． 故选：B． 47．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解答】解：如图，设正方形S2的边长为x， 根据等腰直角三角形的性质知，ACx，xCD， ∴AC＝2CD，CD2， ∴EC2＝22+22，＝8， ∴S2的面积为EC2＝8； ∵S1的边长为3，S1的面积为3×3＝9， ∴S1+S2＝8+9＝17． 故选：B． 48．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；正方形A2B2C2D2的面积为　25　 ，以此下去…，则正方形AnBn∁nDn的面积为　5n　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，则把它的各边延长一倍后，三角形AA1B1的面积是1，新正方形A1B1C1D1的面积是5，从而正方形A2B2C2D2的面积为5×5＝25，正方形AnBn∁nDn的面积为5n． 故答案为：25，5n． 49．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　①②③　 ． 【答案】①②③． 【解答】解：过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴NE＝NC， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ∴矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； 当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③． 故答案为：①②③． 50．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 　　 ． 【答案】． 【解答】解：如图，设AN和BD交于点Q， ∵正方形ABCD的边长为4， ∴BD4， ∵BM＝2AM， ∴BM+AM＝AB＝4， ∴AM＝BN，BM， ∵AD∥BN， ∴△NQB∽△AQD， ∴， ∴DQ＝3BQ， ∴DQ＝3，BQ， ∵O是BD的中点， ∴OD＝2， ∴OQ＝DQ﹣OD， 在△ADM和△BAN中， ， ∴△ADM≌△BAN（SAS）， ∴∠ADM＝∠BAN， ∵∠PAD+∠BAN＝90°， ∴∠PAD+∠ADM＝90°， ∴∠APD＝90°， ∵∠DAM＝90°，AM，AD＝4， ∴DM， ∵S△ADMAD•AMDM•AP， ∴AP， ∴PM， ∴PD＝DM﹣PM， ∵△ADM≌△BAN， ∴AN＝DM， ∵， ∴NQ，AQ， ∴PQ＝AQ﹣AP， 如图，过点O作OG⊥DM于点G， ∵OG∥PQ， ∴△OGD∽△QPD， ∴， ∴DGDP，OGQP， ∴PG＝DP﹣DG， ∴OP． 故答案为：． 51．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为　EF2＝AE2+CF2　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，将△DCH绕点D顺时针旋转90°，得△DAM，则△DAM≌△DCH 则DM＝DH，AM＝CH，∠CDH＝∠ADM 在DM上截取DN＝DF，连接NE，AN 在△DAN和△DCF中 ； ∴△DAN≌△DCF（SAS） ∴AN＝CF，∠DAN＝∠DCF＝45° 又∵∠DAC＝45° ∴∠NAE＝90° ∴AN2+AE2＝NE2 ∵∠GDH＝45°， ∴∠NDE＝45° 在△DNE和△DFE中 ∴△DNE≌△DFE ∴NE＝EF 又∵AN＝CF ∴CF2+AE2＝EF2 故答案为：EF2＝AE2+CF2． 题型十七．旋转的性质（共5小题） 52．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（　　） A．75° B．60° C．45° D．15° 【答案】B 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∵△ABD经旋转后到达△ACE的位置， ∴∠BAC等于旋转角， 即旋转角等于60°． 故选：B． 53．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（　　） ①AE＝CF；②EC+CF；③DE＝DF；④若△ECF的面积确定，则EF的长也是一个定值． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：①连接CD． ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点， ∴CD⊥AB，CD＝AD＝DB， 在△ADE与△CDF中，∠A＝∠DCF＝45°，AD＝CD，∠ADE＝∠CDF， ∴△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF．说法正确； ②∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8， ∴AC＝BC＝4． 由①知AE＝CF， ∴EC+CF＝EC+AE＝AC＝4．说法正确； ③由①知△ADE≌△CDF， ∴DE＝DF．说法正确； ④∵△ECF的面积CE×CF，如果面积确定，则CE•CF是一个定值， 又∵EC+CF， ∴可唯一确定EC与CF的值， 再由勾股定理知EF的长也是一个定值，说法正确． 故选：D． 54．已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论： ①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB＝150°； ④S△APC+S△APB，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 【答案】C 【解答】解：连PD，如图， ∵线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD， ∴AD＝AP，∠DAP＝60°， 又∵△ABC为等边三角形， ∴∠BAC＝60°，AB＝AC， ∴∠DAB+∠BAP＝∠PAC+∠BAP， ∴∠DAP＝∠BAC， ∴△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到，所以①正确； ∵DA＝PA，∠DAP＝60°， ∴△ADP为等边三角形， ∴PD＝PA＝3，所以②正确； 在△PBD中，PB＝4，PD＝3，由①得到BD＝PC＝5， ∵32+42＝52，即PD2+PB2＝BD2， ∴△PBD为直角三角形，且∠BPD＝90°， 由②得∠APD＝60°， ∴∠APB＝∠APD+∠BPD＝60°+90°＝150°，所以③正确； ∵△ADB≌△APC， ∴S△ADB＝S△APC， ∴S△APC+S△APB＝S△ADB+S△APB＝S△ADP+S△BPD323×4＝6，所以④不正确． 故选：C． 55．如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论： ①点D与点D′的距离为5；②△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③∠ADC＝150°；④点D到CD′的距离为3；⑤， 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【解答】解：连接DD′，如图， ∵线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′， ∴AD＝AD′，∠DAD′＝60°， ∴△ADD′为等边三角形， ∴DD′＝5，所以①正确； ∵△ABC为等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴把△ABD逆时针旋转60°后，AB与AC重合，AD与AD′重合， ∴△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到，所以②正确； ∴D′C＝DB＝4， ∵DC＝3， 在△DD′C中， ∵32+42＝52， ∴DC2+D′C2＝DD′2， ∴△DD′C为直角三角形， ∴∠DCD′＝90°， ∵△ADD′为等边三角形， ∴∠ADD′＝60°， ∴∠ADC≠150°，所以③错误； ∵∠DCD′＝90°， ∴DC⊥CD′， ∴点D到CD′的距离为3，所以④正确； ∵S△ADD′+S△D′DC 523×4 ＝6，所以⑤正确． 故选：C． 56．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是　1.5　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，取AC的中点G，连接EG， ∵旋转角为60°， ∴∠ECD+∠DCF＝60°， 又∵∠ECD+∠GCE＝∠ACB＝60°， ∴∠DCF＝∠GCE， ∵AD是等边△ABC的对称轴， ∴CDBC， ∴CD＝CG， 又∵CE旋转到CF， ∴CE＝CF， 在△DCF和△GCE中， ， ∴△DCF≌△GCE（SAS）， ∴DF＝EG， 根据垂线段最短，EG⊥AD时，EG最短，即DF最短， 此时∵∠CAD60°＝30°，AGAC6＝3， ∴EGAG3＝1.5， ∴DF＝1.5． 故答案为：1.5． 题型十八．用样本估计总体（共1小题） 57．为估算湖里有多少条鱼，先捕上100条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有 　1000　 条鱼． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：可估计湖里大约有鱼1001000条． 故答案为1000． 题型十九．扇形统计图（共2小题） 58．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 A B C D E F 人数 40 60 100 下列说法不正确的是（　　） A．这次被调查的学生人数为400人 B．E对应扇形的圆心角为80° C．喜欢选修课F的人数为72人 D．喜欢选修课A的人数最少 【答案】B 【解答】解：60÷15%＝400人，因此选项A正确， C对应的人数为400×12%＝48人，F对应的人数为400×18%＝72人，E对应的人数为400﹣40﹣60﹣100﹣48﹣72＝80人，因此C、D都正确； 360°72°，因此B是错误的， 故选：B． 59．优秀的中华民族有很多传统习俗，其中端午节吃粽子就是一种．某食品厂为了了解市民对去年销售较好的A、B、C、D四种粽子的喜好情况．在端午节前通过发放粽子对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），其中A种粽子发放了70个，B种粽子发放了220个，根据不完整扇形统计图，C种粽子所在扇形的圆心角的度数是 　79.2°　 ． 【答案】79.2°． 【解答】解：∵B种粽子发放了220个，占比为44%， ∴四种粽子的总数量为：220÷44%＝500（个）， ∵A种粽子发放了70个， ∴A种粽子占比为：70÷500＝14%， ∴C种粽子占比为：1﹣（14%+44%+20%）＝22%， ∴C种粽子圆心角的度数是：360°×22%＝79.2°， 故答案为：79.2°． 题型二十．利用频率估计概率（共1小题） 60．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表： 柑橘总质量n/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 完好柑橘质量m/kg 92.40 138.45 183.80 229.50 276.30 322.70 367.20 414.45 459.50 柑橘完好的频率 0.924 0.923 0.919 0.918 0.921 0.922 0.918 0.921 0.919 ①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为　0.920　 （结果保留小数点后三位）； ②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据抽查的柑橘完好的频率，大约集中在0.920上下波动，因此估计柑橘的完好的概率为0.920， 故答案为：0.920； （2）设总质量为m千克，从火车站运到A地柑橘完好的概率为x，由题意得， m×0.920×x＝m×0.880， 解得，x， 故答案为：． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/16 15:14:04；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末选择填空题压轴分类汇编（二十大类型） 题型一：分式的加减法 题型二：分式的混合运算 题型三：二次根式的性质与化简 题型四：分母有理化 题型五：二次根式的化简求值 题型六：分式方程的解 题型七：反比例函数的图象 题型八：反比例函数系数k的几何意义 题型九：反比例函数图象上点的坐标特征 题型十：反比例函数与一次函数的交点问题 题型十一：三角形中位线定理 题型十二：平行四边形的性质 题型十三：菱形的性质 题型十四：矩形的性质 题型十五：矩形的判定与性质 题型十六：正方形的性质 题型十七：旋转的性质 题型十八：用样本估计总体 题型十九：扇形统计图 题型二十：利用频率估计概率 题型一．分式的加减法（共1小题） 1．对于正数x，规定，例如：，，则　 　 ． 题型二．分式的混合运算（共1小题） 2．一个容器装有1升水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出升水，第2次倒出的水量是升的，第3次倒出的水量是升的，第4次倒出的水量是升的，…按照这种倒水的方法，倒了10次后容器内剩余的水量是　 　 ． 题型三．二次根式的性质与化简（共2小题） 3．已知：1＜x＜3，则（　　） A．﹣3 B．3 C．2x﹣5 D．5﹣2x 4．化简　 　 ． 题型四．分母有理化（共1小题） 5．观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．　 　 ． 题型五．二次根式的化简求值（共1小题） 6．设，，，…，． 设，则S＝　 　 （用含n的代数式表示，其中n为正整数）． 题型六．分式方程的解（共4小题） 7．若关于x的方程1的解为负数，且关于x的不等式组无解．则所有满足条件的整数a的值之积是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 8．若分式方程的解为x＝0，则a的值为　 　 ． 9．若关于x的方程1无解，则a的值是　 　 ． 10．已知关于x的分式方程1的解是非正数，则a的取值范围是　 　 ． 题型七．反比例函数的图象（共1小题） 11．同一坐标系中，一次函数y＝﹣kx+k与反比例函数的图象大致是（　　） A． B． C． D． 题型八．反比例函数系数k的几何意义（共5小题） 12．如图，两个反比例函数y和y（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（　　） A．k1+k2 B．k1﹣k2 C．k1•k2 D． 13．如图，A、B是双曲线y上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为（　　） A． B． C．3 D．4 14．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且PA⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B，PA、PB分别交双曲线，于D、C两点，则△PCD的面积为（　　） A． B． C． D．2 15．如图，两个反比例函数y和y在第一象限的图象如图所示，当P在y的图象上，PC⊥x轴于点C，交y的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y的图象于点B，则四边形PAOB的面积为　 　 ． 16．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线y上，且AB∥x轴，C、D在x轴上，若四边形ABCD为矩形，则它的面积为 　 　 ． 题型九．反比例函数图象上点的坐标特征（共1小题） 17．如图，点A1，A2依次在y（x＞0）的图象上，点B1，B2依次在x轴的正半轴上．若△A1OB1，△A2B1B2均为等边三角形，则点B2的坐标为　 　 ． 题型十．反比例函数与一次函数的交点问题（共5小题） 18．如图，反比例函数和正比例函数y2＝k2x的图象交于A（﹣1，﹣3）、B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（　　） A．﹣1＜x＜0 B．﹣1＜x＜1 C．x＜﹣1或0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0或x＞1 19．在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+2与反比例函数y的图象有唯一公共点，若直线y＝﹣x+b与反比例函数y的图象有2个公共点，则b的取值范围是（　　） A．b＞2 B．﹣2＜b＜2 C．b＞2或b＜﹣2 D．b＜﹣2 20．如图，函数y＝﹣x与函数的图象相交于A，B两点，过A，B两点分别作y轴的垂线，垂足分别为点C，D．则四边形ACBD的面积为（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 21．如图，直线y＝2x与双曲线y在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为（　　） A．（1，0） B．（1，0）或（﹣1，0） C．（2，0）或（0，﹣2） D．（﹣2，1）或（2，﹣1） 22．如图，函数y＝﹣x的图象是二、四象限的角平分线，将y＝﹣x的图象以点O为中心旋转90°与函数y的图象交于点A，再将y＝﹣x的图象向右平移至点A，与x轴交于点B，则点B的坐标为　 　 ． 题型十一．三角形中位线定理（共3小题） 23．如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBn∁nDn，则四边形AnBn∁nDn的面积为（　　） A． B． C． D．不确定 24．如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝10，则PQ的长为（　　） A． B． C．3 D．4 25．如图，在△A1B1C1中，已知A1B1＝7，B1C1＝4，A1C1＝5，依次连接△A1B1C1三边中点，得△A2B2C2，再依次连接△A2B2C2的三边中点得△A3B3C3，…，则△A5B5C5的周长为 　 　 ． 题型十二．平行四边形的性质（共4小题） 26．如图，▱ABCD中，∠ABC＝75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE＝2AB，则∠AED的大小是（　　） A．60° B．65° C．70° D．75° 27．如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，且∠ADC＝60°，ABBC，连接OE．下列结论： ①∠CAD＝30°； ②S▱ABCD＝AB•AC； ③OB＝AB； ④OEBC，成立的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 28．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F，且点F为边DC的中点，DG⊥AE，垂足为G，若DG＝1，则AE的边长为（　　） A．2 B．4 C．4 D．8 29．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，点D在BC上，以AC为对角线的所有▱ADCE中，DE最小的值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 题型十三．菱形的性质（共2小题） 30．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC＝60°，顶点C的坐标为（m，3），反比例函数y的图象与菱形对角线AO交于D点，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（　　） A．6 B．﹣6 C．12 D．﹣12 31．如图，菱形ABCD的对角线AC＝4cm，把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH，则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（　　） A．4：3 B．3：2 C．14：9 D．17：9 题型十四．矩形的性质（共5小题） 32．如图，矩形ABCD的面积为5，它的两条对角线交于点O1，以AB，AO1为两邻边作平行四边形ABC1O1，平行四边形ABC1O1的对角线交BD于点O2，同样以AB，AO2为两邻边作平行四边形ABC2O2．…，依此类推，则平行四边形ABC2009O2009的面积为（　　） A． B． C． D． 33．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（　　） A．（，3）、（，4） B．（，3）、（，4） C．（，）、（，4） D．（，）、（，4） 34．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在AD上，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则PE+PF等于（　　） A． B． C． D． 35．如图，在矩形ABCD中，DE平分∠ADC，交AB于点E，EF⊥CE，交AD于点F，以CE，EF为边，作矩形CEFG，FG与DC相交于点H．则下列结论： ①AE＝BC； ②若AE＝4，CH＝5，则CE＝2； ③EF＝AE+DH； ④当F是AD的中点时，S四边形ABCD：S四边形CEFG＝6：5． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号） 36．如图，四边形ABCD是矩形，边AB长为6，∠ABD＝60°，点E在边AB上，BE＝4，过点E作EF∥BC，分别交BD，CD于G，F两点，若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为 　 　 ． 题型十五．矩形的判定与性质（共2小题） 37．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为（　　） A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5 38．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是　 　 ． 题型十六．正方形的性质（共13小题） 39．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接EF给出下列五个结论：①AP＝EF；②AP⊥EF；③△APD一定是等腰三角形；④∠PFE＝∠BAP；⑤PD＝2EC．其中有正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 40．如图，正方形ABCD外取一点E，连接AE、BE、DE．过点A作AE的垂线交DE于点P，若AE＝AP＝1，PB．下列结论：①EB⊥ED；②点B到直线DE的距离为； ③S△APD+S△APB； ④S正方形ABCD＝2．其中正确结论的序号是（　　） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 41．如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，DF⊥CE于M，交AC于点N，交AB于点F，连接EN、BM．有如下结论：①△ADF≌△DCE；②MN＝FN；③CN＝2AN；④S△ADN：S四边形CNFB＝2：5；⑤∠ADF＝∠BMF．其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 42．将五个边长都为2cm的正方形按如图所示摆放，点A、B、C、D分别是四个正方形的中心（对角线的交点），则图中四块阴影面积的和为（　　） A．2cm2 B．4cm2 C．6cm2 D．8cm2 43．在平面直角坐标系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、D2E3E4B3、A3B3C3D3…按如图所示的方式放置，其中点B1在y轴上，点C1、E1、E2、C2、E3、E4、C3…在x轴上，已知正方形A1B1C1D1的边长为1，∠B1C1O＝60°，B1C1∥B2C2∥B3C3…则正方形A2015B2015C2015D2015的边长是（　　） A．（）2014 B．（）2015 C．（）2015 D．（）2014 44．如图，正方形ABCD中，AB＝3，点E在边CD上，且CD＝3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下列结论：①点G是BC中点；②FG＝FC；③S△FGC．其中正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 45．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连接BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（　　） A． B．2 C．2 D．1 46．如图，正方形ABCD的对角线相交于O点，BE平分∠ABO交AO于E点，CF⊥BE于F点，交BO于G点，连接EG、OF．则∠OFG的度数是（　　） A．60° B．45° C．30° D．75° 47．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1，S2，则S1+S2的值为（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 48．如图（1），已知小正方形ABCD的面积为1，把它的各边延长一倍得到新正方形A1B1C1D1；把正方形A1B1C1D1边长按原法延长一倍得到正方形A2B2C2D2（如图（2））；正方形A2B2C2D2的面积为　 　 ，以此下去…，则正方形AnBn∁nDn的面积为　 　 ． 49．如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中： ①DE＝EF； ②△DAE≌△DCG； ③AC⊥CG； ④CE＝CF． 其中正确的结论序号是 　 　 ． 50．如图，正方形ABCD的边长为4，O为对角线BD的中点，点M在边AB上，且BM＝2AM，点N在边BC上，且BN＝AM，连接AN，MD交于点P，连接OP，则OP的长为 　 　 ． 51．在正方形ABCD中，点G在AB上，点H在BC上，且∠GDH＝45°，DG、DH分别与对角线AC交于点E、F，则线段AE、EF、FC之间的数量关系为　 　 ． 题型十七．旋转的性质（共5小题） 52．如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上的点，∠BAD＝15°，△ABD经旋转后到达△ACE的位置，那么旋转了（　　） A．75° B．60° C．45° D．15° 53．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8，点D为AB的中点，若直角MDN绕点D旋转，分别交AC于点E，交BC于点F，则下列说法正确的有（　　） ①AE＝CF；②EC+CF；③DE＝DF；④若△ECF的面积确定，则EF的长也是一个定值． A．①② B．①③ C．①②③ D．①②③④ 54．已知：如图，在等边△ABC中取点P，使得PA，PB，PC的长分别为3，4，5，将线段AP以点A为旋转中心顺时针旋转60°得到线段AD，连接BD，下列结论： ①△ABD可以由△APC绕点A顺时针旋转60°得到；②点P与点D的距离为3；③∠APB＝150°； ④S△APC+S△APB，其中正确的结论有（　　） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．②③④ 55．如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD′，下列结论： ①点D与点D′的距离为5；②△ACD′可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；③∠ADC＝150°；④点D到CD′的距离为3；⑤， 其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 56．如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是　 　 ． 题型十八．用样本估计总体（共1小题） 57．为估算湖里有多少条鱼，先捕上100条做了标记，然后再放回湖里，过一段时间（鱼群完全混合）后，再捕上200条鱼，发现其中带标记的鱼有20条，那么湖里大约有 　 　 条鱼． 题型十九．扇形统计图（共2小题） 58．某学校准备为七年级学生开设A，B，C，D，E，F共6门选修课，选取了若干学生进行了我最喜欢的一门选修课调查，将调查结果绘制成了如图所示的统计图表（不完整）． 选修课 A B C D E F 人数 40 60 100 下列说法不正确的是（　　） A．这次被调查的学生人数为400人 B．E对应扇形的圆心角为80° C．喜欢选修课F的人数为72人 D．喜欢选修课A的人数最少 59．优秀的中华民族有很多传统习俗，其中端午节吃粽子就是一种．某食品厂为了了解市民对去年销售较好的A、B、C、D四种粽子的喜好情况．在端午节前通过发放粽子对某小区居民进行抽样调查（每人只选一种粽子），其中A种粽子发放了70个，B种粽子发放了220个，根据不完整扇形统计图，C种粽子所在扇形的圆心角的度数是 　 　 ． 题型二十．利用频率估计概率（共1小题） 60．为了打赢脱贫攻坚战，某村计划将该村的特产柑橘运到A地进行销售．由于受道路条件的限制，需要先将柑橘由公路运到火车站，再由铁路运到A地．村里负责销售的人员从该村运到火车站的所有柑橘中随机抽取若干柑橘，进行了“柑橘完好率”统计，获得的数据记录如下表： 柑橘总质量n/kg 100 150 200 250 300 350 400 450 500 完好柑橘质量m/kg 92.40 138.45 183.80 229.50 276.30 322.70 367.20 414.45 459.50 柑橘完好的频率 0.924 0.923 0.919 0.918 0.921 0.922 0.918 0.921 0.919 ①估计从该村运到火车站，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为　 　 （结果保留小数点后三位）； ②若从该村运到A地柑橘完好的概率为0.880，估计从火车站运到A地后，取出一个柑橘，柑橘完好的概率为　 　 ． 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