期末解答题压轴分类汇编（二十二大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（苏科版）

期末解答题压轴分类汇编（二十二大类型） 题型一：分式的混合运算 题型二：二次根式的性质与化简 题型三：分母有理化 题型四：二次根式的化简求值 题型五：二次根式的应用 题型六：分式方程的应用 题型七：反比例函数系数k的几何意义 题型八：待定系数法求反比例函数解析式 题型九：反比例函数与一次函数的交点问题 题型十：反比例函数的应用 题型十一：平行四边形的判定与性质 题型十二：菱形的性质 题型十三：菱形的判定 题型十四：菱形的判定与性质 题型十五：矩形的判定与性质 题型十六：正方形的性质 题型十七：正方形的判定 题型十八：正方形的判定与性质 题型十九：旋转的性质 题型二十：频数（率）分布直方图 题型二十一：条形统计图 题型二十二：利用频率估计概率 题型一．分式的混合运算（共1小题） 1．定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即P﹣Q＝PQ，则称分式Q是分式P的“互动分式”． （1）判断下列分式Q是否为分式P的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（ 　√　 ）； ②，（ 　×　 ）； ③，（ 　×　 ）． （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为N， 则， ∴， ∴． 请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若是的“互动分式”，且关于y的方程的解为正整数，t为正整数，求代数式mx2+tx+n的最大值． 【答案】（1）①√；②×；③×． （2）． （3）7． 【解答】解：（1）①∵，， ∴P﹣Q，PQ， ∴P﹣Q＝PQ， ∴分式Q是分式P的“互动分式”； ②∵，， ∴P﹣Q，PQ， ∴P﹣Q≠PQ， ∴分式Q不是分式P的“互动分式”； ③∵，， ∴P﹣Q，PQ， ∴P﹣Q≠PQ， ∴分式Q不是分式P的“互动分式”； 故答案为：①√；②×；③×． （2）设分式的“互动分式”为N， 则NN， ∴， ∴，即， ∴N， ∴分式的“互动分式”为． （3）设分式的“互动分式”为N， ∴由（2）可得（1）N， ∴N， ∴， ∴可得方程组， 解得， 解关于y的方程得，y． ∵原分式的解为正整数，t为正整数， ∴t＝4， 检验，当t＝4时，y＝7≠2， ∴t＝4符合题意， ∴代数式mx2+tx+n为﹣x2+4x+3． ∵﹣x2+4x+3＝﹣（x﹣2）2+7， ∴原代数式的最大值为7． 题型二．二次根式的性质与化简（共3小题） 2．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•，那么便有±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•， ∴2 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 3．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•，那么便有±（a＞b），例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•， ∴2． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解答】解：（1）； （2）； （3）． 4．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2 ∴1； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）； （2）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵5+23+2+2 ＝（）2+（）2+2 ＝（）2， ∴； （2）∵7﹣44+3﹣422+（）2﹣2×2 ＝（2）2， ∴2． 题型三．分母有理化（共1小题） 5．阅读下列解题过程： 2 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出（n≥2）的结果为　　 ． （2）利用上面所提供的解法，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）原式＝（1）+（）+（）+…+（） 1． 题型四．二次根式的化简求值（共1小题） 6．已知a＝3，b＝3，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 【答案】（1）12；（2）1． 【解答】解：（1）∵a＝3，b＝3， ∴a+b＝336，a﹣b＝332，ab＝（3）（3）＝7， 则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） ＝6 ＝12； （2）由（1）知a﹣b＝2，ab＝（3）（3）＝7， ∴a2﹣3ab+b2 ＝（a﹣b）2﹣ab， ＝8﹣7 ＝1． 题型五．二次根式的应用（共2小题） 7．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 　　 ； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15． ①△ABC的面积为 　84　 ； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． 【答案】（1）；（2）①84；②9． 【解答】解：（1）∵三角形的三边长依次为，，， ∴a，b，c． ∴秦九韶公式求解S ， 又p， ∴p﹣a， p﹣b，p﹣c． ∴S2＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c） [（）2﹣（）2][（）2﹣（）2] （216）（216） （840﹣256） ． ∴S． 故答案为：； （2）①∵AB＝13，BC＝14，AC＝15， ∴21， ∴海伦公式求解S84； 秦九韶公式求解S ＝84． 故答案为：84； ②∵AD⊥BC，BC＝14， ∴14×AD＝84． ∴AD＝12． 又∵AC＝15，∠ADC＝90°， ∴CD9． 8．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． （）2+1＝2，s1；12+（）2＝3，S2；… 12+（）2＝4，S3；… （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：　n　 ，Sn＝　　 ． （2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）因为每一个三角形都是直角三角形，由勾股定理可求得：OA1，OA2，OA3OAn，所以n．Sn•1•故：答案为n 与 （2）当Sn＝2时，有：2，解之得：n＝32 即：说明它是第32个三角形． （3） ＝11.25 即：的值为11.25． 题型六．分式方程的应用（共4小题） 9．某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：原计划每天铺设管道x米； 列方程：， 解得 x＝9， 经检验 x＝9是原方程的解且符合题意； 答：原计划每天铺设管道9 米． 10．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2）已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需要x天，则甲队单独完成这项工程需要x天．根据题意，得 ． 解得 x＝90． 经检验，x＝90是原方程的根． ∴x90＝60． 答：甲、乙两队单独完成这项工程分别需60天和90天． （2）设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天， 则有 ． 解得 y＝36． 需要施工费用：36×（8.4+5.6）＝504（万元）． ∵504＞500． ∴工程预算的施工费用不够用，需追加预算4万元． 11．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 【答案】（1）今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）共有5种进货方案； （3）当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同 【解答】解：（1）设今年5月份A款汽车每辆售价m万元．则： ， 解得：m＝9． 经检验，m＝9是原方程的根且符合题意． 答：今年5月份A款汽车每辆售价9万元； （2）设购进A款汽车x辆．则： 99≤7.5x+6（15﹣x）≤105． 解得：6≤x≤10． ∵x的正整数解为6，7，8，9，10， ∴共有5种进货方案； （3）设总获利为W万元，购进A款汽车y辆，则： W＝（9﹣7.5）y+（8﹣6﹣a）（15﹣y）＝（a﹣0.5）y+30﹣15a． 当a＝0.5时，（2）中所有方案获利相同． 12．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设甲工厂每天加工x件产品，则乙工厂每天加工1.5x件产品， 依题意得10， 解得：x＝40． 经检验：x＝40是原方程的根，且符合题意．所以1.5x＝60． 答：甲工厂每天加工40件产品，乙工厂每天加工60件产品． 题型七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 13．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象， 列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　　 ． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 1 m … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：　②　 ；（填写代号） ①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称； （3）在图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　4　 ． 【答案】（1）． （2）②． （3）4． 【解答】解：（1）将x＝3代入得y， 故答案为：． （2）由（1）中的图象可知，在第一象限内，y随x的增大而减小；在第二象限内，y随x的增大而增大；函数图象关于y轴对称， 故②正确； 故答案为：②． （3）将y＝2代入得x＝1或x＝﹣1， ∴AB＝1﹣（﹣1）＝2， ∵AB在直线y＝2上，OC在x轴上， ∴AB∥OC， 又∵BC∥OA， ∴四边形OABC为平行四边形， ∴S四边形OABC＝AB•yA＝2×2＝4． 故答案为：4． 题型八．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 14．如图，反比例函数y的图象上的一点A（2，3）在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且AB＝AO，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线相交于点C，与反比例函数的图象相交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标； （3）求证：CD＝3BD． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把A（2，3）代入y中，可得m＝6， ∴反比例函数的解析式为y． （2）如图， 过点A作AH⊥x轴于H， ∵A（2，3） ∴H（2，0）， ∵AB＝OA， ∴OB＝2OH， ∴B（4，0）， ∵BD⊥x轴于D， ∴点D的横坐标为4， ∵点D在反比例函数y的图象上， ∴D（4，）； （3）设直线AO的解析式为y＝kx， ∵点A（2，3）， ∴k， ∴直线AO的解析式为yx， ∵点C在直线AO上，且横坐标为2m， ∴C（4，6）， ∴CD， ∵BD， ∴CD＝3BD； 题型九．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题） 15．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， ∵一次函数与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6）， ∴ ∴， ∴一次函数关系式为：y＝x+6， ∴B（﹣4，2）， ∴反比例函数关系式为：； （2）∵点A与点B是反比例函数与一次函数的交点， ∴可得：x+6， 解得：x＝﹣2或x＝﹣4， ∴A（﹣2，4）， ∴S△AOB＝6×6÷2﹣6×2＝6； （3）观察图象，易知的解集为：﹣4＜x＜﹣2． 16．如图所示，直线y1＝kx+b与反比例函数的图象交于点P（2，a），Q（8，1），与坐标轴交于A、B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，当x＞0时，直接写出不等式的解集； （3）连接PO、QO，求三角形POQ的面积． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）把Q（8，1）代入y2得：m＝8×1＝8， ∴反比例函数的解析式为y2； 把P（2，a）代入y2得：2a＝8，解得a＝4， ∴P（2，4）． 把P（2，4），Q（8，1）分别代入y1＝kx+b得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为y1x+5； （2）当x＞0时，不等式kx+b的解集0＜x＜2或x＞8； （3）过点P作PC⊥x轴于点C，过点Q作QD⊥x轴于点D， 则PC＝4，QD＝1，CD＝OD﹣OC＝8﹣2＝6， ∴S△POQ＝S△POC+S梯形PCDQ﹣S△OQD＝S梯形PCDQ15． 答：三角形POQ的面积为15． 17．如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为（0，1），点B坐标为（0，﹣2），反比例函数y的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点A的坐标为（0，1），点B的坐标为（0，﹣2）， ∴AB＝1+2＝3， ∵四边形ABCD为正方形， ∴Bc＝3， ∴C（3，﹣2）， 把C（3，﹣2）代入y得k＝3×（﹣2）＝﹣6， ∴反比例函数解析式为y， 把C（3，﹣2），A（0，1）代入y＝ax+b得， 解得， ∴一次函数解析式为y＝﹣x+1； （2）设P（t，）， ∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积， ∴1×|t|＝3×3，解得t＝18或t＝﹣18， ∴P点坐标为（18，）或（﹣18，）． 18．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式． 【答案】（1）y1＝x+4；；（2）x＜﹣6或0＜x＜2；（3）． 【解答】解：（1）将点B（﹣6，﹣2）代入y1＝k1x+4， ﹣2＝﹣6k1+4， 解得k1＝1； ∴一次函数的解析式为y1＝x+4； 将点B（﹣6，﹣2）代入， ∴， ∴k2＝12， ∴反比例函数的表达式为； （2）由图可知：当y1＜y2时，0＜x＜2或x＜﹣6； （3）依照题意，画出图形，如图所示： 当x＝0时，y1＝x+4＝4， ∴点C的坐标为（0，4）． 当x＝2时，y1＝x+4＝6， ∴点A的坐标为（2，6）， ∴S四边形ODAC10， ∵S四边形ODAC：S△ODE＝3：1， ∴， ∴，即点E的坐标为． 设直线OP的解析式为y＝kx， 将点代入y＝kx， 得，解得， ∴直线OP的解析式为． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，）在直线y上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y经过点B． （1）求a的值及双曲线y的解析式； （2）经过点B的直线与双曲线y的另一个交点为点C，且△ABC的面积为． ①求直线BC的解析式； ②过点B作BD∥x轴交直线y于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵点A（a，）在直线y上， ∴a，解得a＝2， 则A（2，）， ∵AB∥y轴，且点B的纵坐标为1， ∴点B的坐标为（2，1）． ∵双曲线y经过点B（2，1）， ∴m＝2×1＝2， ∴反比例函数的解析式为y； （2）①设C（t，）， ∵A（2，），B（2，1）， ∴（2﹣t）×（1）， 解得t＝﹣1， ∴点C的坐标为（﹣1，﹣2）， 设直线BC的解析式为y＝kx+b， 把B（2，1），C（﹣1，﹣2）代入得， 解得， ∴直线BC的解析式为y＝x﹣1； ②当y＝1时，1，解得x＝﹣1，则D（﹣1，1）， ∵直线BCy＝x﹣1为直线y＝x向下平移1个单位得到， ∴直线BC与x轴的夹角为45°， 而BD∥x轴， ∴∠DBC＝45°， 当△PBD为等腰直角三角形时，以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形， 若∠BPD＝90°，则点P在BD的垂直平分线上，P点的横坐标为，当x时，y＝x﹣1，此时P（，）， 若∠BDP＝90°，则PD∥y轴，P点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝x﹣1＝﹣2，此时P（﹣1，﹣2）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（﹣1，﹣2）或（，）． 20．已知，B（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及反比例函数解析式； （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标． 【答案】（1）﹣4＜x＜﹣1； （2）； （3）（，）． 【解答】解：（1）由图象，当﹣4＜x＜﹣1时，一次函数值大于反比例函数的值． （2）把B（﹣1，2），代入得m＝﹣2，． 则反比例函数解析式是y．把A（﹣4，），B（﹣1，2）代入y＝kx+b得， 解得． 则一次函数的解析式为； （3）如图，设P的坐标为（x，）， 由A、B的坐标可知AC，OC＝4，BD＝1，OD＝2， 则△PCA的高为x+4，△PDB的高为， 由S△PCA＝S△PDB可得（x+4）1×（2x）， 解得， 此时． 故P点坐标为（，）． 题型十．反比例函数的应用（共5小题） 21．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与药物在空气中的持续时间x（m）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式 （2）当每立方米空气中的含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ （3）当室内空气中的含药量每立方米不低于3.2mg的持续时间超过20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）在0≤x＜10时， yxx； x≥10，函数为反比例函数， 故k＝8×10＝80， 故函数表达式为：y； 故函数表达式为：y； （2）y＝1.6时，yxx＝1.6，解得：x＝2； y＝1.6时，y1.6，解得：x＝50； 根据图象，当y≥1.6时，2≤x≤50， 即从消毒开始第2分钟到第50分钟消毒人员不能停留在教室里； （3）y＝3.2时，yxx＝3.2，解得：x＝4； y＝3.2时，y3.2，解得：x＝25； ∵25﹣4＞20， 本次消毒有效． 22． 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y）．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【设计杆秤】 设定m0＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】（1）l＝5a； （2）101l﹣5a＝250； （3）； （4）ym； （5）5厘米． 【解答】解：（1）由题意得：m＝0，y＝0， ∵m0＝10，M＝50， ∴10l＝50a， ∴l＝5a； （2）由题意得：m＝1000，y＝50， ∴（10+1000）l＝50（a+50）， ∴101l﹣5a＝250； （3）由（1）（2）可得：， 解得：； （4）由（3）可知：l＝2.5，a＝0.5， ∴2.5（10+m）＝50（0.5+y）， 则ym； （5）由（4）可知：y， ∴当m＝0时，则有y＝0；当m＝100时，则有y＝5；当m＝200时，则有y＝10；当m＝300时，则有y＝15；当m＝400时，则有y＝20；当m＝500时，则有y＝25；当m＝600时，则有y＝30；当m＝700时，则有y＝35；当m＝800时，则有y＝40；当m＝900时，则有y＝45；当m＝1000时，则有y＝50； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 23．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 a 4 6 … I/A … b 3 2.4 2 1.5 … （1）a＝　3　 ，b＝　4　 ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　不断减小　 ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，的解集为 　x≥4或x＝0　 ． 【答案】（1）3，4； （2）①见解析； ②不断减小； （3）x≥4或x＝0． 【解答】解：（1）根据题意得：，， ∴a＝3，b＝4， 故答案为：3，4， （2）①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中函数的图象如图1： ②由图象可知随着自变量x的不断增大，函数值y的不断减小， 故答案为：不断减小； （3）作函数y＝﹣x+6的图象，如图2， 由函数图象可知， 当x≥4或x＝0时，， 即当x≥0时，的解集为：x≥4或x＝0， 故答案为：x≥4或x＝0． 24．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为x（mm），振动频率记为y（kHz），记录数据如表1： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 x/mm 20 40 60 80 100 120 y/kHz 4.28 2.15 2.43 1.08 0.86 0.72 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表1中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想y与x大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表2的数据： 音调 do re mi fa sol la si 频率/kHz 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表2中7个音调的吸管乐器． 任务： （1）根据以上材料，可以判断表1中异常的数据是第 　3　 组． （2）根据小晋画出的图象，猜想y是x的 　反比例　 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），y与x的函数关系式为 　　 （系数保留整数）． （3）根据以上材料，求音调“do”对应吸管的长度．（结果精确到1mm） 【答案】（1）3 （2）反比例；． （3）音调“do”对应吸管的长度为331mm． 【解答】解：（1）根据表中数据，可发现吸管的长度x与振动频率记为y的乘积接近86的定值，而第三组xy＝60×2.43＝145.8相差太多，故第三组数据错误． （2）根据散点图判断，可以用反比例函数来确定y与x的对应关系， 由于吸管的长度x与振动频率记为y的乘积接近86的定值， 故在反比例函数中k＝86（系数保留整数）， 故y与x的函数关系式为， 故答案为：反比例、． （3）由题可得，音调“do”对应频率/kHz为0.26，即y＝0.26， 将y＝0.26代入， 可得吸管的长度x≈331mm， 答：音调“do”对应吸管的长度331mm． 25．如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是20℃，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系．当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当0≤x≤5时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午7：20（水温20℃），开机通电后去上学，11：33放学回到家时，饮水机内水的温度为多少℃？并求：在7：20﹣11：33这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当0≤x≤5时，设水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式为：y＝kx+b， 依题意，得， 解得： 故所求的函数关系式为：y＝16x+20； （2）在水温下降过程中，设水温y（℃）与开机时间x（分） 的函数关系式为：y， 依题意，得100， 解得：m＝500， 故y， 当y＝20时，则20， 解得：t＝25； （3）由（2）t＝25，结合图象，可知每25分钟图象重复出现一次， 7：20到11：33经历253分钟， 253÷25＝10 …3， ∴当x＝3时，y＝16×3+20＝68， 答：饮水机内水温为68℃，共有10次达到100℃． 题型十一．平行四边形的判定与性质（共1小题） 26．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　6　 ； （2）当t＝　8　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）BP＝2t＝2×3＝6， 故答案为：6； （2）作∠B的角平分线交AD于F， ∴∠ABF＝∠FBC， ∵∠A＝∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠FBC， ∴∠ABF＝∠AFB， ∴AF＝AB＝4， ∴DF＝AD﹣AF＝8﹣4＝4， ∴BC+CD+DF＝8+4+4＝16， ∴2t＝16，解得t＝8． ∴当t＝8时，点P运动到∠ABC的角平分线上； 故答案为：8； （3）根据题意分3种情况讨论： ①当点P在BC上运动时， S△ABPBP×AB2t×4＝4t；（0＜t＜4）； ②当点P在CD上运动时， S△ABPAB×BC4×8＝16；（4≤t≤6）； ③当点P在AD上运动时， S△ABPAB×AP4×（20﹣2t）＝﹣4t+40；（6＜t≤10）； （4）当0＜t＜6时，点P在BC、CD边上运动， 根据题意分情况讨论： ①当点P在BC上，点P到四边形ABED相邻两边距离相等， ∴点P到AD边的距离为4， ∴点P到AB边的距离也为4， 即BP＝4， ∴2t＝4，解得t＝2s； ②当点P在BC上，点P到AD边的距离为4， ∴点P到DE边的距离也为4， ∴PE＝DE＝5， ∴PC＝PE﹣CE＝2， ∴8﹣2t＝2，解得t＝3s； ③当点P在CD上，如图，过点P作PH⊥DE于点H， 点P到DE、BE边的距离相等， 即PC＝PH， ∵PC＝2t﹣8， ∵S△DCE＝S△DPE+S△PCE， ∴3×45×PH3×PC， ∴12＝8PH， ∴12＝8（2t﹣8）， 解得t． 综上所述：t＝2或t＝3或t时，点P到四边形ABED相邻两边距离相等． 题型十二．菱形的性质（共1小题） 27．如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°． （1）求证：△ABE≌△DBF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解答； （2）△BEF是等边三角形，理由见解答． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD＝AB， ∵∠ADB＝60° ∴△ADB是等边三角形，△BDC是等边三角形， ∴AB＝BD，∠ABD＝∠A＝∠BDC＝60°， ∵∠ABD＝∠EBF＝60°， ∴∠ABE＝∠DBF， 在△ABE和△DBF中， ， ∴△ABE≌△DBF（ASA）． （2）解：结论：△BEF是等边三角形． 理由：∵△ABE≌△DBF， ∴BE＝BF， ∵∠EBF＝60°， ∴△EBF是等边三角形． 题型十三．菱形的判定（共1小题） 28．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝26，AD＝24，动点P在线段AD边上以每秒1个单位的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，满足PQ＝CD或PQ∥CD？请说明理由． （2）如图2，若H是BC上一点，BH＝10，那么在线段AD上是否存在一点R，使得四边形BHRP是菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）当t＝6或t＝7时，满足PQ＝CD或PQ∥CD； （2）t的值为6． 【解答】解：（1）当t＝6或t＝7时，满足PQ＝CD或PQ∥CD， 理由：当PQ＝CD时，如图1，由题意得AP＝t，CQ＝3t， ∵BC＝26，AD＝24， ∴BQ＝BC﹣CQ＝26﹣3t，PD＝AD﹣AP＝24﹣t， 过点P作PG⊥BC交于G点，过点D作DH⊥BC交于H点， ∴GQ＝26﹣4t或GQ＝4t﹣26， ∴PQ，DH2， ∵PQ＝CD ∴2， 解得t＝6或7； 当PQ∥CD时， ∵PD∥CQ， ∴四边形PQCD是平行四边形， ∴PQ＝CD， ∴t＝6或7； （2）存在， 如图2，∵四边形BHRP是菱形， ∴BH＝BP＝10， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8， ∴∠A＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴AP6， ∴t的值为6． 题型十四．菱形的判定与性质（共2小题） 29．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG． （1）证明▱ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数； （3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）证明： ∵AF平分∠BAD， ∴∠BAF＝∠DAF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠DAF＝∠CEF，∠BAF＝∠CFE， ∴∠CEF＝∠CFE， ∴CE＝CF， 又∵四边形ECFG是平行四边形， ∴四边形ECFG为菱形； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC，AD∥BC， ∵∠ABC＝120°， ∴∠BCD＝60°，∠BCF＝120° 由（1）知，四边形CEGF是菱形， ∴CE＝GE，∠BCG∠BCF＝60°， ∴CG＝GE＝CE，∠DCG＝120°， ∵EG∥DF， ∴∠BEG＝120°＝∠DCG， ∵AE是∠BAD的平分线， ∴∠DAE＝∠BAE， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∴∠BAE＝∠AEB， ∴AB＝BE， ∴BE＝CD， ∴△BEG≌△DCG（SAS）， ∴BG＝DG，∠BGE＝∠DGC， ∴∠BGD＝∠CGE， ∵CG＝GE＝CE， ∴△CEG是等边三角形， ∴∠CGE＝60°， ∴∠BGD＝60°， ∵BG＝DG， ∴△BDG是等边三角形， ∴∠BDG＝60°； （3）如图2中，连接BM，MC， ∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF＝90°， ∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC， ∵M为EF中点， ∴∠CEM＝∠ECM＝45°， ∴∠BEM＝∠DCM＝135°， 在△BME和△DMC中， ∵， ∴△BME≌△DMC（SAS）， ∴MB＝MD， ∠DMC＝∠BME． ∴∠BMD＝∠BME+∠EMD＝∠DMC+∠EMD＝90°， ∴△BMD是等腰直角三角形． ∵AB＝6，AD＝8， ∴BD＝10， ∴DMBD＝5． 方法二：∵∠ABC＝90°，四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是矩形， 又由（1）可知四边形ECFG为菱形， ∠ECF＝90°， ∴四边形ECFG为正方形． ∵∠BAF＝∠DAF， ∴BE＝AB＝DC＝6， 过M作MH⊥CF于H， 则△MHF是等腰直角三角形， ∵△ADF是等腰直角三角形， ∴DF＝AD＝8， ∵CF＝CE＝2， ∴MH＝FH＝1， ∴DM5． 30．如图，正方形ABCD，点E，F是对角线AC上的两点，∠EBF＝45°，连接BE，BF，△ABE和△GBE关于直线BE对称．点G在BD上，连接FG． （1）求∠FBC的度数； （2）如备用图，延长BF交CD于点H，连接HG． ①求证：四边形GHCF是菱形； ②求的值． 【答案】（1）22.5°； （2）①证明见解析；②1． 【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝90°，∠CBD＝∠ABD＝∠BAC＝∠BCA＝45°， 由轴对称的性质得：∠BGE＝∠BAE＝45°，∠ABE＝∠GBE∠ABD＝22.5°， ∵∠EBF＝45°， ∴∠DBF＝45°﹣22.5°＝22.5°， ∴∠FBC＝∠CBD﹣∠DBF＝22.5°； （2）①证明：设AC与BD交于点O，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝45°，OA＝OC，AC⊥BD， ∴∠BEF＝∠BFE＝90°﹣22.5°＝67.5°， ∴BE＝BF， ∴OE＝OF， ∴GE＝GF， ∵AC⊥BD， ∴∠BGF＝∠NGE＝45°， ∴∠EGF＝45°+45°＝90°， ∴△EFG是等腰直角三角形， ∴∠GFE＝45°＝∠ACD， ∴GF∥HC， ∵∠CFH＝∠BFE＝67.5°，∠CHF＝90°﹣∠FBC＝67.5°， ∴∠CFH＝∠CHF， ∴HC＝CF， ∵OA＝OC，OE＝OF， ∴AE＝CF， ∴GF＝CF＝HC， ∴四边形GHCF是平行四边形， ∵HC＝CF， ∴平行四边形GHCF是菱形； ②解：设OE＝OF＝a，则AE＝GE＝GF＝CF＝CHa， ∴AC＝（2+2）a， ∴CDAC＝（2）a， ∴1． 题型十五．矩形的判定与性质（共1小题） 31．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ME，NE是△PDC的中位线， ∴ME∥PC，EN∥PD， ∴四边形PMEN是平行四边形； （2）当AP＝5时， 在Rt△PAD和Rt△PBC中， ， ∴△PAD≌△PBC， ∴PD＝PC， ∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴NE＝PMPD，ME＝PNPC， ∴PM＝ME＝EN＝PN， ∴四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN可能是矩形． 若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90° 设PA＝x，PB＝10﹣x， DP，CP． DP2+CP2＝DC2 16+x2+16+（10﹣x）2＝102 x2﹣10x+16＝0 x＝2或x＝8． 故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形． 题型十六．正方形的性质（共10小题） 32．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，AD∥BC， ∴∠DAB＝∠ABE，∠ADO＝∠BEO， ∵AB＝BE， ∴AD＝BE， ∴△ADO≌△BEO（ASA）， ∴AO＝BO； （2）证明：延长BC至F，且使CF＝BC，连接AF，如图1所示： 则BF＝CE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝DC，AD∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠DCB＝90°， 在△ABF和△DCE中，， ∴△ABF≌△DCE（SAS）， ∴∠DEC＝∠AFB， ∵EB＝CF，BN＝CN， ∴N为EF的中点， ∴MN为△AEF的中位线， ∴MN∥AF， ∴∠HNB＝∠AFB＝∠HEB； （3）解：过点B作BQ⊥BP交DE于Q，如图2所示： 则∠PBQ＝90°， ∵∠ABE＝180°﹣∠ABC＝90°， ∴∠EBQ＝∠ABP， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠BEQ， ∵AP⊥DE，∠BAD＝90°， 由角的互余关系得：∠BAP＝∠ADP， ∴∠BEQ＝∠BAP， 在△BEQ和△BAP中，， ∴△BEQ≌△BAP（ASA）， ∴PA＝QE，QB＝PB， ∴△PBQ是等腰直角三角形， ∴PQPB， ∴． 33．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题： （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　垂直　 ，数量关系为 　相等　 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①CF⊥BD，CF＝BD …（2分） 故答案为：垂直、相等． ②成立，理由如下：…（3分） ∵∠FAD＝∠BAC＝90° ∴∠BAD＝∠CAF 在△BAD与△CAF中， ∵ ∴△BAD≌△CAF（SAS）（5分） ∴CF＝BD，∠ACF＝∠ACB＝45°， ∴∠BCF＝90° ∴CF⊥BD …（7分） （2）当∠ACB＝45°时可得CF⊥BC，理由如下：…（8分） 过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G …（9分） 则∵∠ACB＝45° ∴AG＝AC，∠AGC＝∠ACG＝45° ∵AG＝AC，AD＝AF， ∵∠GAD＝∠GAC﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC，∠FAC＝∠FAD﹣∠DAC＝90°﹣∠DAC， ∴∠GAD＝∠FAC， ∴△GAD≌△CAF（SAS） …（10分） ∴∠ACF＝∠AGD＝45° ∴∠GCF＝∠GCA+∠ACF＝90° ∴CF⊥BC …（12分） 34．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F． （1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE，求AB的长； （2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DFAF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设BM＝x，则CM＝2x，BC＝3x， ∵BA＝BC，∴BA＝3x． 在Rt△ABM中，E为斜边AM中点， ∴AM＝2BE＝2． 由勾股定理可得AM2＝MB2+AB2， 即40＝x2+9x2，解得x＝2． ∴AB＝3x＝6． （2）延长FD交过点A作垂直于AF的直线于H点，过点D作DP⊥AF于P点． ∵DF平分∠CDE， ∴∠1＝∠2． ∵DE＝DA，DP⊥AF ∴∠3＝∠4． ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝90°， ∴∠2+∠3＝45°． ∴∠DFP＝90°﹣45°＝45°． ∴AH＝AF． ∵∠BAF+∠DAF＝90°，∠HAD+∠DAF＝90°， ∴∠BAF＝∠DAH． 又AB＝AD， ∴△ABF≌△ADH（SAS）． ∴AF＝AH，BF＝DH． ∵Rt△FAH是等腰直角三角形， ∴HFAF． ∵HF＝DH+DF＝BF+DF， ∴BF+DFAF． 35．矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH的顶点E、G在矩形的边AD、BC上；顶点F、H在矩形的对角线BD上． （1）如图1，当四边形EFGH是平行四边形时，求证：△DEH≌△BGF． （2）如图2，当四边形EFGH是正方形时，求BF的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在Rt△BCD中，tan∠DBCtanα，则sin，cosα， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠EDH＝∠GBF， （1）∵四边形EFGH是平行四边形， ∴EH＝FG，∠EHF＝∠GFH， ∴∠BFG＝180°﹣∠GFH，∠EHD＝180°﹣∠EHF＝∠BFG， 又∵∠EDH＝∠GBF， ∴△DEH≌△BGF（AAS）； （2）∵四边形EFGH是正方形也为平行四边形， 故由（1）得：△DEH≌△BGF（AAS）， ∴BF＝DH， 设BF＝x＝DH， 如图，过点H作HK⊥BC于点K，作HN⊥CD于点N，作FM⊥BC于点M， 在Rt△BFM中，FM＝BFsin∠FBM＝xsinαDN， 同理BMHN＝CK， ∵∠FGM+∠HGK＝90°，∠HGK+∠GHK＝90°， ∴∠GHK＝∠FGM， 又∵∠HKG＝∠GMF＝90°，FG＝GH， ∴△HKG≌△GMF（AAS）， ∴GM＝HK＝CN＝CD﹣DN＝6，GK＝FM， ∴BC＝BM+MG+GK+KC（6）8， 解得：x， 即BF的长为． 36．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°， ①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； ②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 【答案】（1）①10． ②4． （2）3． 【解答】解：（1）①在正方ABCD中，∠C＝90°， 在Rt△CMN中，∠C＝90°，CM＝6，CN＝8， ∴， 即MN的长为10． ②如图，延长CB至点E，使BE＝DM，连接AE， 在正方形ABCD中，∠ABC＝∠D＝∠BAD＝90°，AB＝AD， 在△ABE和△ADM中， ， ∴△ABE≌△ADM（SAS）， ∴AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∵∠MAN＝45°， ∴∠BAN+∠DAM＝45°， ∴∠EAN＝∠BAE+∠BAN＝45°，即∠EAN＝∠MAN， 在△AEN和△AMN中， ， ∴△AEN≌△AMN（SAS）， ∴EN＝MN， ∵DM：CM＝3：2， 设DM＝3a，BN＝b，则CM＝2a，AB＝BC＝5a，MN＝EN＝3a+b． ∴CN＝BC﹣BN＝5a﹣b， 在Rt△CMN中，CN2+CM2＝MN2， ∴（5a﹣b）2+（2a）2＝（3a+b）2， ∴4a（5a﹣4b）＝0， ∵a≠0， ∴5a﹣4b＝0，即， ∴AB：BN的值为4． （2）如图，延长AN、DC交于点E． ∵AB∥DE， ∴∠E＝∠BAN， 在△CEN和△BAN中， ， ∴△CEN≌△BAN（AAS）， ∴EN＝AN， ∵∠AMD＝2∠BAN＝2∠E， ∠AMD＝∠E+∠MAE， ∴∠E＝∠MAE， ∴AM＝EM， ∵AN＝6，AM＝8， ∴EN＝AN＝6，EM＝AM＝8， 设DM＝x，则AD2＝AM2﹣DM2＝AE2﹣DE2， 即82﹣x2＝122﹣（x+8）2， 解得：x＝1， ∴． 37．在正方形ABCD中，点M在对角线BD上，连接AM，过点M作MN⊥AM，交直线BC于点N． （1）如图1，当点N在BC上时，求证：AM＝MN； （2）如图2，当点N在CB的延长线上时，，BN＝1，求AD的长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）3． 【解答】（1）证明：如图1，过点M作MP⊥AB于点P，MQ⊥BC于点Q， ∴∠APM＝∠NQM＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABD＝∠CBD＝45°，∠ABC＝90°， ∴MP＝MQ， ∴四边形BQMP是正方形， ∴∠PMQ＝90°， ∵MN⊥AM， ∴∠AMN＝90°， ∴∠AMP＝∠NMQ＝90°﹣∠PMN， ∵∠APM＝∠NQM＝90°， ∴△APM≌△NQM（ASA）， ∴AM＝MN； （2）解：如图2，过点M作VT⊥AD于点V，交BC于点T， ∴∠AVM＝90°， 在正方形ABCD中，∠BAD＝∠ABC＝∠AVM＝90°，∠CBD＝∠ADB＝45°， ∴四边形ABTV是矩形， ∴∠BTM＝∠AVM＝90°，AV＝BT，AB＝VT， ∵∠CBD＝45°， ∴∠BMT＝180°﹣∠BTM﹣∠CBD＝45°， ∴∠CBD＝∠BMT， ∴BT＝MT＝AV， ∵∠AMN＝90°， ∴∠AMV＝90°﹣∠NMT＝∠MNT， ∴△AVM≌△MTN（AAS）， ∴MV＝NT， ∵∠ADB＝45°，， ∴MV＝DVMD＝2， ∴MV＝NT＝2， ∵BN＝1， ∴BT＝MT＝AV＝NT﹣BN＝1， ∴AD＝AV+DV＝1+2＝3． 38．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 【答案】（1）证明见解答部分； （2）AF＝5或． （3）MN的长度为或． 【解答】（1）证明：∵AF⊥DE，∠B＝90°， ∴∠AED＝∠AFB， 在△ABF与△DAE中， ， ∴△ABF≌△DAE（AAS）， ∴AF＝DE， ∵∠ADE+∠CDE＝∠ADE+∠DAG＝90°， ∴∠CDE＝∠DAF， 在△ADF和△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）． （2）解：∵△ABF≌△DAE， ∴AE＝BF＝x， ∴BE＝CF＝4﹣x， ∴△DEF的面积＝S正方形﹣S△ADE﹣S△EBF﹣S△DCF ＝4×44•x（4﹣x）•x4•（4﹣x） ＝8﹣2xx2， ∴yx2﹣2x+8， 解得，x1＝3，x2＝1， ∴AE＝3或AE＝1， ∴AF＝DE＝5或． （3）解：如图，连接AM并延长交CD于点P，连接PF， ∵点M是DE的中点， ∴DM＝ME， ∵AB∥CD， ∴∠PDM＝∠AEM，∠DPM＝∠EAM， ∴△DPM≌△EAM（AAS）， ∴PM＝AM，DP＝AE＝3或1， 当AE＝3时，BF＝DP＝3， ∴CF＝CP＝1， ∴PF， ∴MNPF； 当AE＝1时，BF＝EP＝1， ∴CF＝CP＝3， ∴PF＝3， ∴MNPF； 综上，MN的长度为或． 39．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？ （2）求证：△AMB≌△ENB； （3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）解：△BMN是等边三角形． 理由如下：如图①，∵BM绕点B逆时针旋转60°得到BN， ∴BM＝BN，∠MBN＝60°， ∴△BMN是等边三角形； （2）证明：∵△ABE和△BMN都是等边三角形， ∴AB＝EB，BM＝BN，∠ABE＝∠MBN＝60°， ∴∠ABE﹣∠ABN＝∠MBN﹣∠ABN， 即∠ABM＝∠EBN， 在△AMB和△ENB中， ， ∴△AMB≌△ENB（SAS）； （3）①由两点之间线段最短可知A、M、C三点共线时，AM+CM的值最小， ∵四边形ABCD是正方形， ∴点M为BD的中点； ②当点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小， 理由如下：如图②，∵△AMB≌△ENB， ∴AM＝EN， ∵△BMN是等边三角形， ∴BM＝MN， ∴AM+BM+CM＝EN+MN+CM， 由两点之间线段最短可知，点E、N、M、C在同一直线上时，EN+MN+CM， 故，点M在CE与BD的交点时，AM+BM+CM的值最小． 40．如图1，正方形ABCD中，点P是直线AB上一个动点，连接DP，过点C作CM⊥DP于点M，过点A作AN∥MC交DP于点N，连接BM、CM． （1）若点P在边AB上，猜想： ①线段BM和线段CN的数量关系是 　BM＝CN　 ； ②线段BM和线段CN的位置关系是 　BM⊥CN　 ． （2）如图2，点P在AB延长线上，（1）中的猜想成立吗？请说明理由． （3）已知AB＝5，当DN＝2AN时．直接写出BM的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①BM＝CN，理由如下： ∵四边形ABCD为正方形， ∴AD＝AB＝DC＝BC，∠DCB＝∠CBA＝∠CBD＝∠BAD＝90°， ∵CM⊥DP，AN∥MC， ∴∠AND＝∠CMN＝∠DMC＝90°， ∴∠ADN+∠DAN＝∠ADN+∠CDM＝90°， ∴∠CDM＝∠DAN， 在△ADN和△DCM中， ， ∴△ADN≌△DCM（AAS）， ∴DN＝CM，AN＝DM， ∵∠MDC+∠MCD＝∠BCM+∠MCD＝90°， ∴∠MDC＝∠MCB， 在△DCN和△CBM中， ， ∴△DCN≌△CBM（SAS）， ∴BM＝CN； ②BM⊥CN，理由如下： ∵△DCN≌△CBM， ∴∠CMB＝∠DNC， ∴∠CMB+∠PMB＝∠DNC+∠PMB＝90°， ∴BM⊥CN； 故答案为：BM＝CN；BM⊥CN； （2）成立，理由如下： ∵△ADN≌△DCM， ∴DN＝CM， ∴∠MDC+∠MCD＝∠BCM+∠MCD＝90°， ∴∠NDC＝∠MCB， 在△DCN和△CBM中， ， ∴△DCN≌△CBM（SAS）， ∴BM＝CN，∠DCN＝∠CBM， ∴∠DCN+∠NCB＝∠NCB+∠CBM＝90°， ∴BM⊥CN； （3）设AN＝x，则DN＝2x， ∵AB＝AD＝5，AD2＝AN2+DN2， ∴x2+（2x）2＝52， ∴x（负值舍去）， ∴AN＝DM，DN＝CM＝2， ∴MN＝DN﹣DM， ∴CN5， 或者MN＝DN+DM＝3， ∴CN， ∴BM＝CN＝5或． 41．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG． （1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　5　 ； （2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长； （3）若AG，请直接写出此时DE的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，连接CG， ∵四边形ABCD和四边形EBGF是正方形， ∴∠CDB＝∠CBD＝45°，∠DBG＝90°，BD＝BG， ∴∠CBG＝45°， ∴∠CBG＝∠CBD， ∵BC＝BC， ∴△CBD≌△CBG（SAS）， ∴∠DCB＝∠BCG＝90°，DC＝CG＝5， ∴G，C，D三点共线， ∴AG5； 故答案为：5； （2）如图2，过点G作GK⊥AB，交AB的延长线于K， ∵DE＝2，DC＝5， ∴CE＝3， ∵∠EBG＝∠EBC+∠CBG＝90°，∠CBG+∠GBK＝90°， ∴∠EBC＝∠GBK， ∵BE＝BG，∠K＝∠BCE＝90°， ∴△BCE≌△BKG（AAS）， ∴CE＝KG＝3，BC＝BK＝5， ∴AK＝10， 由勾股定理得：AG； （3）分三种情况： ①当点E在CD的延长线上时，如图3，同理知△BCE≌△BKG（AAS）， ∴BC＝BK＝5， ∵AG， 由勾股定理得：KG， ∴CE＝KG，此种情况不成立； ②当点E在边CD上时，如图4， 同理得：DE； ③当点E在DC的延长线上时，如图5， 同理得CE＝GK， ∴DE＝5， 综上，DE的长是或． 题型十七．正方形的判定（共1小题） 42．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）求证：DF∥AB，DFAB； （3）当△ABC满足 　是等腰直角三角形　 时，四边形ADCE为正方形． 【答案】（1）见解答； （2）见解答； （3）是等腰直角三角形． 【解答】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC垂足是D， ∴AD平分∠BAC，∠B＝∠5， ∴∠1＝∠2， ∵AE是△ABC的外角平分线， ∴∠3＝∠4， ∵∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠3＝90°， 即∠DAE＝90°， 又∵AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， 又∵CE⊥AE， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE是矩形． （2）证明：∵四边形ADCE是矩形， ∴AF＝CFAC， ∵AB＝AC，AD平分∠BAC， ∴BD＝CDBC， ∴DF是△ABC的中位线， 即DF∥AB，DF． （3）解：当△ABC是等腰直角三角形时，四边形ADCE为正方形． ∵在Rt△ABC中，AD平分∠BAC， ∴∠5＝∠2＝∠3＝45°， ∴AD＝CD， 又∵四边形ADCE是矩形， ∴矩形ADCE为正方形． 故答案为：是等腰直角三角形． 题型十八．正方形的判定与性质（共2小题） 43．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）①证明过程见解答； ②3． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAE＝∠DAE＝45°，AB＝AD， 在△ABE和△ADE中， ， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， 得矩形EMCN， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； ②解：∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG，∠DAE＝∠DCG＝45°， ∵∠ACD＝45°， ∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝90°， ∴CE⊥CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB＝9． ∵CG＝3， ∴CE＝6， 连接EG， ∴EG3， ∴DEEG＝3． ∴正方形DEFG的边长为3． 44．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N， ∴∠MEN＝90°， ∵点E是正方形ABCD对角线上的点， ∴EM＝EN， ∵∠DEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， ∵∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴EF＝DE， ∵四边形DEFG是矩形， ∴矩形DEFG是正方形； （2）CE+CG的值是定值，定值为6，理由如下： ∵正方形DEFG和正方形ABCD， ∴DE＝DG，AD＝DC， ∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°， ∴∠CDG＝∠ADE， 在∴△ADE和△CDG中，， ∴△ADE≌△CDG（SAS）， ∴AE＝CG， ∴CE+CG＝CE+AE＝ACAB36是定值． 题型十九．旋转的性质（共5小题） 45．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合． （1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2＝EF2； （2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2＝EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】证明：（1）连CD，如图4， ∵两个等腰直角三角形的相似比为1：， 而小直角三角形的斜边等于大直角三角形的直角边， ∴点D为AB的中点， ∴CD＝AD，∠4＝∠A＝45°， 又∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠3＝∠1， ∴△CDF≌△ADE， ∴CF＝AE， 同理可得△CED≌△BFD， ∴CE＝BF， 而CE2+CF2＝EF2， ∴AE2+BF2＝EF2； （2）结论AE2+BF2＝EF2仍然成立．理由如下： 把△CFB绕点C顺时针旋转90°，得到△CGA，如图5 ∴CF＝CG，AG＝BF，∠4＝∠1，∠B＝∠GAC＝45°， ∴∠GAE＝90°， 而∠3＝45°， ∴∠2+∠4＝90°﹣45°＝45°， ∴∠1+∠2＝45°， ∴△CGE≌△CFE， ∴GE＝EF， 在Rt△AGE中，AE2+AG2＝GE2， ∴AE2+BF2＝EF2； （3）线段BM、MN、DN能构成直角三角形的三边长．理由如下： 把△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABP，点N的对应点为Q，如图 ∴∠4＝∠2，∠1+∠3+∠4＝90°，BP＝DF，BQ＝DN，AF＝AP， ∵△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半， ∴EF＝BE+DF， ∴EF＝EP， ∴△AEF≌△AEP， ∴∠1＝∠3+∠4， 而AQ＝AN， ∴△AMQ≌△AMN， ∴MN＝QM， 而∠ADN＝∠QBA＝45°，∠ABD＝45°， ∴∠QBN＝90°， ∴BQ2+BM2＝QM2， ∴BM2+DN2＝MN2． 46．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 【答案】（1）见解析； （2）50°； （3）140°或125°或110°． 【解答】（1）证明：由旋转的性质得：OC＝CD，∠DCO＝60°， ∴△COD是等边三角形， ∴∠CDO＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AC＝BC，∠ACB＝60°， ∴∠ACD＝∠BCO， ∴△BOC≌△ADC（SAS）， ∴∠ADC＝∠BOC＝150°， ∴∠ADO＝90°， 即△AOD是直角三角形； （2）解：∵△COD是等边三角形， ∴∠COD＝60°， ∵∠AOB＝110°，∠BOC＝α， ∴∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α， 由（1）知：△ADC≌△BOC， ∴∠ADC＝∠BOC＝α， ∴∠ADO＝α﹣60°， △ADO中，∠DAO＝180°﹣∠ADO﹣∠AOD＝180°﹣（α﹣60°）﹣（190°﹣α）＝50°； （3）解：分三种情况： ①当AO＝AD时，∠AOD＝∠ADO． ∵∠AOD＝360°﹣∠AOB﹣∠COD﹣α＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴190°﹣α＝α﹣60°， ∴α＝125°； ②当OA＝OD时，∠OAD＝∠ADO． ∵∠AOD＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝50°， ∴α﹣60°＝50°， ∴α＝110°； ③当OD＝AD时，∠OAD＝∠AOD． ∵190°﹣α＝50°， ∴α＝140°， 综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形． 47．（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 　BD2+CE2＝DE2　 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）线段BD、DE、CE之间的等量关系式是：BD2+CE2＝DE2； 理由：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABD＝∠ACE＝45°，由旋转的性质可知，△AEC≌△AFB， ∴∠ABF＝∠ACE＝45°，FB＝CE ∴∠FBD＝∠ABF+∠ABD＝90°旋转角∠FAE＝90°，又∠DAE＝45°， 故∠FAD＝∠FAE﹣∠DAE＝45°， 易证△AFD≌△AED，故FD＝DE， 在Rt△FBD中，由勾股定理得：BD2+BF2＝DF2； 即：BD2+CE2＝DE2． （2）仿照（1）可证，△AEC≌△AFB， 故BF＝CE，△AFD≌△AED，故FD＝DE， ∵∠ADE＝45°， ∴∠ADF＝45°，故∠BDF＝90°， 在Rt△BDF中，由勾股定理，得BF2＝BD2+DF2， ∴CE2＝BD2+DE2． 48．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将△ABE绕点B顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE． （1）试判断四边形BEFE'的形状，并说明理由； （2）若DA＝DE，如图2，请猜想线段CF与E'F的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）四边形BE′FE是正方形；（2）CF＝FE'． 【解答】解：（1）四边形BE′FE是正方形． 理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°， ∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°， ∴四边形BE′FE是矩形， 由旋转得，BE′＝BE， ∴四边形BE′FE是正方形． （2）CF＝FE'， 证明如下：如图，过点D作DG⊥AE于点G， 则∠DGA＝∠AEB＝90°， ∵DA＝DE， ∴AGAE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴DA＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠BAE+∠DAG＝90°， ∵∠ADG+∠DAG＝90°， ∴∠ADG＝∠BAE， ∴△ADG≌△BAE（AAS）， ∴AG＝BE； ∵四边形BE′FE是正方形， ∴BE＝FE′， ∴AG＝FE′， 由旋转得，AE＝CE′， ∴AECE′， ∴FE′AECE′， ∴CF＝FE'． 49．如图1，点E是正方形ABCD边AB上任意一点，以BE为边作正方形BEFG，连接DF，点M，N分别是线段AE、DF中点，连接MN． （1）请猜想MN与AE的关系，并证明你的结论； （2）把图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段BC、AB上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 【答案】（1）MN⊥AE，MNAE； （2）正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°后，（1）中的结论依然成立． 【解答】（1）MN⊥AE，MNAE． 证明：连接EN并延长交AD于点H， 在正方形ABCD和正方形BEFG中， AD∥BC，EF∥BG，AD＝AB，BE＝EF，∠A＝90°， ∴AD∥EF， ∴∠HDN＝∠EFN， ∵点N是DF的中点， ∴DN＝FN， ∵∠HND＝ENF， ∴△HND≌△EFN（ASA）， ∴NH＝NE，HD＝EF， ∴点N是EH的中点，HD＝BE， ∴AD﹣HD＝AB﹣BE即AH＝AE， ∵M、N分别是AE、EH的中点， ∴MN是△AEH的中位线， ∴MN∥AD，MNAH， ∴∠EMN＝∠A＝90°，MNAE， ∴MN⊥AE，MNAE； （2）正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°后，（1）中的结论依然成立． 证明：取AG的中点H，连接HN、AN、GN、EN、BF， 在正方形ABCD和正方形BEFG中， AD∥BC，GF∥BC，∠BAD＝∠ABC＝∠FEB＝90°， ∵点N是DF的中点， ∴AD∥HN∥GF， ∴∠GHN＝∠BAD＝90°， ∴HN是AG的垂直平分线， ∴AN＝GN，∠DAN＝∠FGN， ∵BF是正方形BEFG的对角线，BD是正方形ABCD的对角线， ∴∠BFG＝∠BFE＝45°，FG＝FE，点B、F、D三点共线， ∴∠GFN＝∠BFN＝135°， ∵FN＝FN， ∴△GFN≌△EFN（SAS）， ∴GN＝EN，HD＝EF，∠FGN＝∠FEN， ∴AN＝EN，∠DAN＝∠FEN， ∴∠BAN+∠BEN＝∠BAD+∠FEB＝180°， 在四边形ABEN中，∠ANE＝360°﹣（∠BAN+∠ABE+∠BEN）＝90°， ∴△AEN是等腰直角三角形， ∵点M是AE的中点， ∴MN⊥AE，MNAE． 二十．频数（率）分布直方图（共2小题） 50．某校为加强学生安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分100分）进行统计，请根据尚未完成的频率和频数分布直方图，解答下列问题： 分数段 频数 频率 50.5～60.5 16 0.08 60.5～70.5 40 0.2 70.5～80.5 50 0.25 80.5～90.5 m 0.35 90.5～100.5 24 n （1）这次抽取了　200　 名学生的竞赛成绩进行统计，其中m＝　70　 ，n＝　0.12　 ； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：200（名）， m＝200×0.35＝70（名）， n0.12； 故答案为：200，70，0.12； （2）根据（1）补图如下： （3）根据题意得： 1500×（0.08+0.2）＝420（人）， 答：该校安全意识不强的学生约有420人． 51．某校为了解本校1200名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数统计表和频数分布直方图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 50≤x＜60 6 第2组 60≤x＜70 10 第3组 70≤x＜80 a 第4组 80≤x＜90 b 第5组 90≤x＜100 12 请结合图表完成下列各题： （1）频数表中的a＝　18　 ，b＝　14　 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于80分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据条形统计图所给出的数据可得：a＝18， 则b＝60﹣6﹣10﹣18﹣12＝14； 故答案为：18，14； （2）根据（1）求出的b的值，补图如下： （3）“优秀”等级的人数大约为：1200520（人）． 答：“优秀”等级的人数大约为520人． 题型二十一．条形统计图（共4小题） 52．为了解某区2015年七年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名七年级学生的体育测试成绩等级，绘制如图统计图（不完整）： 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量　200　 ，“A等级”对应扇形的圆心角度数为　108°　 ； （2）请补全条形统计图； （3）该区约10000名七年级学生，根据抽样调查结果，请估计其中体育测试成绩为“D等级”的学生人数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量：10÷5%＝200（名），“A等级”对应扇形的圆心角度数为（1﹣50%﹣15%﹣5%）×360°＝108°， 故答案为：200，108°． （2）B等级的人数为200×50%＝100（名），C等级的人数为：200×15%＝30（名），如图， （3）体育测试成绩为“D等级”的学生人数为10000×5%＝500（名）． 53．班长小李对他所在班级（八年级2班）全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的数据绘制了下面的统计图表，根据调查他想写一个调查报告交给学校，建议学校根据学生的个人兴趣爱好，适当的安排一些特长培养或合理安排学生在校期间的课余活动，请你根据图中提供的信息，帮助小李完成信息采集． （1）该班共有学生　40　 人； （2）在图1中，请将条形统计图补充完整； （3）在图2中，在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数　108　 度； （4）求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）该班共有学生14÷35%＝40（人） 故答案为：40； （2）选择书画的人数为：40﹣（14+12+4）＝10（人），补全条形统计图如图所示： （3）在图2中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数为， 故答案为：108； （4）爱好“书画”的人数占本班学生数的百分比是：． 54．某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）这次调查中，一共调查了多少名学生？ （2）求出扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图； （3）若该校有2000名学生，请估计选择“A：跑步”的学生约有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：120÷40%＝300（名）， 则一共调查了300名学生； （2）根据题意得：跳绳学生数为300﹣（120+60+90）＝30（名）， 则扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数为360°36°， ； （3）根据题意得：2000×40%＝800（人）， 则估计选择“A：跑步”的学生约有800人． 55．为切实落实“双减”，丰富学生课余生活，遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：A、绘画；B、唱歌；C、演讲；D、书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题： （1）这次抽查的学生人数是多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，求选课程D的人数所对的圆心角的度数； （4）如果该校共有3600名学生，请你估计该校报课程B的学生约有多少人？ 【答案】（1）这次抽查的学生有40人； （2）见解答； （3）36°； （4）1260人． 【解答】解：（1）12÷30%＝40（人）， 答：这次抽查的学生有40人； （2）40﹣12﹣14﹣4＝10（人），补全条形统计图如图所示： （3）360°36°， （4）36001260（人）， 答：该校3600名学生中报课程B的学生约有1260人． 题型二十二．利用频率估计概率（共5小题） 56．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　0.25　 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.25；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.25； 故答案为：0.25； （2）60×0.25＝15，60﹣15＝45； 答：盒子里白、黑两种颜色的球分别有15个、45个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝15； 经检验x＝15是原方程的解， 答：需要往盒子里再放入15个白球． 57．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.50　 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）0.50； （2）估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个； （3）需要往盒子里再放入5个白球． 【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50； 故答案为：0.50； （2）20×0.5＝10（个），20﹣10＝10（个）； 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有10个、10个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝5； 答：需要往盒子里再放入5个白球． 58．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 　0.50　 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 　0.5　 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：当n很大时，摸到白球的概率将会接近0.50；假如你摸一次，你摸到白球的概率为0.5； （2）40×0.5＝20（个），40﹣20＝20（个）； 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有20个、20个； （3）设需要往盒子里再放入x个白球； 根据题意得：， 解得：x＝10； 答：需要往盒子里再放入10个白球． 59．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 … 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 … 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 … （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　0.60　 ； （2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 　0.60　 ，摸到黑球的概率是 　0.40　 ； （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 【答案】见试题解答内容 【解答】答：（1）根据题意可得当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60； （2）因为当n很大时，摸到白球的频率将会接近0.60； 所以摸到白球的概率是0.6； 摸到黑球的概率是0.4； （3）因为摸到白球的概率是0.6，摸到黑球的概率是0.4， 所以口袋中黑、白两种颜色的球有白球是30×0.6＝18个， 黑球是30×0.4＝12个； 故答案为：（1）0.60； （2）0.6，0.4； 60．“2018东台西溪半程马拉松”的赛事共有两项：A、“半程马拉松”、B、“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组． （1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为　　 ． （2）为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“半程马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 ①请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为　0.7　 ．（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有3000人，请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组， ∴小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为：， 故答案为：； （2）①由表格中数据可得：本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为：0.7； 故答案为：0.7； ②参加“迷你马拉松”的人数是：30000×0.7＝2100（人）． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/16 15:40:48；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末解答题压轴分类汇编（二十二大类型） 题型一：分式的混合运算 题型二：二次根式的性质与化简 题型三：分母有理化 题型四：二次根式的化简求值 题型五：二次根式的应用 题型六：分式方程的应用 题型七：反比例函数系数k的几何意义 题型八：待定系数法求反比例函数解析式 题型九：反比例函数与一次函数的交点问题 题型十：反比例函数的应用 题型十一：平行四边形的判定与性质 题型十二：菱形的性质 题型十三：菱形的判定 题型十四：菱形的判定与性质 题型十五：矩形的判定与性质 题型十六：正方形的性质 题型十七：正方形的判定 题型十八：正方形的判定与性质 题型十九：旋转的性质 题型二十：频数（率）分布直方图 题型二十一：条形统计图 题型二十二：利用频率估计概率 题型一．分式的混合运算（共1小题） 1．定义：若分式P与分式Q的差等于它们的积，即P﹣Q＝PQ，则称分式Q是分式P的“互动分式”． （1）判断下列分式Q是否为分式P的“互动分式”（若“是”，填“√”；若“不是”，填“×”． ①，（ 　 　 ）； ②，（ 　 　 ）； ③，（ 　 　 ）． （2）小益在求分式的“互动分式”时，用了以下方法：设的“互动分式”为N， 则， ∴， ∴． 请你仿照小益的方法求分式的“互动分式”； （3）若是的“互动分式”，且关于y的方程的解为正整数，t为正整数，求代数式mx2+tx+n的最大值． 题型二．二次根式的性质与化简（共3小题） 2．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a、b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•，那么便有±（a＞b）例如：化简 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•， ∴2 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 3．先阅读下列的解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个数a，b使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•，那么便有±（a＞b），例如：化简． 解：首先把化为，这里m＝7，n＝12； 由于4+3＝7，4×3＝12，即（）2+（）2＝7，•， ∴2． 由上述例题的方法化简： （1）； （2）； （3）． 4．阅读材料：把根式进行化简，若能找到两个数m、n，是m2+n2＝x且mn，则把x±2变成m2+n2±2mn＝（m±n）2开方，从而使得化简． 例如：化简 解：∵3+21+2+212+（）2+2×1（1）2 ∴1； 请你仿照上面的方法，化简下列各式： （1）； （2）． 题型三．分母有理化（共1小题） 5．阅读下列解题过程： 2 请回答下列问题： （1）观察上面的解题过程，请直接写出（n≥2）的结果为　 　 ． （2）利用上面所提供的解法，求的值． 题型四．二次根式的化简求值（共1小题） 6．已知a＝3，b＝3，分别求下列代数式的值： （1）a2﹣b2； （2）a2﹣3ab+b2． 题型五．二次根式的应用（共2小题） 7．如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该如何计算它的面积呢？ 我国南宋数学家秦九韶在《数书九章》中给出了如下公式：（秦九韶公式） 古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了如下公式：（海伦公式），其中． 秦九韶公式和海伦公式都解决了由三角形的三边长直接求三角形面积的问题，它们虽然形式不同，但完全等价，请使用这两个公式解决下面的问题： （1）如果一个三角形的三边长依次为，，，那么它的面积为 　 　 ； （2）如图，在△ABC中，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15． ①△ABC的面积为 　 　 ； ②作AD⊥BC于点D，求CD的长． 8．细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题． （）2+1＝2，s1；12+（）2＝3，S2；… 12+（）2＝4，S3；… （1）请用含有n（n为正整数）的等式表示上述变化规律：　 　 ，Sn＝　 　 ． （2）若一个三角形的面积是2，计算说明它是第几个三角形？ （3）求出的值． 题型六．分式方程的应用（共4小题） 9． 某区为治理污水，需要铺设一段全长为300米的污水排放管道．铺设120米后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，以后每天铺设管道的长度比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 10．京广高速铁路工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书．从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天完成． （1）求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ （2） 已知甲队每天的施工费用为8.4万元，乙队每天的施工费用为5.6万元．工程预算的施工费用为500万元．为缩短工期并高效完成工程，拟安排预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由． 11．某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，今年销售额只有90万元． （1）今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？ （2）为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？ （3）如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使（2）中所有的方案获利相同，a值应是多少？ 12．为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场．现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信息： 信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍． 根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？ 题型七．反比例函数系数k的几何意义（共1小题） 13．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下： （1）绘制函数图象， 列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝　 　 ． x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 1 2 3 … y … 1 2 4 4 2 1 m … 描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点； 连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整； （2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：　 　 ；（填写代号） ①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称； （3）在图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝　 　 ． 题型八．待定系数法求反比例函数解析式（共1小题） 14．如图，反比例函数y的图象上的一点A（2，3）在第一象限内，点B在x轴的正半轴上，且AB＝AO，过点B作BC⊥x轴，与线段OA的延长线相交于点C，与反比例函数的图象相交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）求点D的坐标； （3）求证：CD＝3BD． 题型九．反比例函数与一次函数的交点问题（共6小题） 15．如图，一次函数y1＝k1x+b与反比例函数的图象相交于A，B两点，且与坐标轴的交点为（﹣6，0），（0，6），点B的横坐标为﹣4． （1）试确定反比例函数的解析式； （2）求△AOB的面积； （3）直接写出不等式的解集． 16．如图所示，直线y1＝kx+b与反比例函数的图象交于点P（2，a），Q（8，1），与坐标轴交于A、B两点． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，当x＞0时，直接写出不等式的解集； （3）连接PO、QO，求三角形POQ的面积． 17．如图，四边形ABCD为正方形，点A坐标为（0，1），点B坐标为（0，﹣2），反比例函数y的图象经过点C，一次函数y＝ax+b的图象经过A、C两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）若点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标． 18．如图，一次函数y1＝k1x+4与反比例函数y2的图象交于点A（2，m）和B（﹣6，﹣2），与y轴交于点C． （1）求一次函数与反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出y1＜y2时x的取值范围； （3）过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点，设直线OP与线段AD交于点E，当S四边形ODAC：S△ODE＝3：1时，求直线OP的解析式． 19．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（a，）在直线y上，AB∥y轴，且点B的纵坐标为1，双曲线y经过点B． （1）求a的值及双曲线y的解析式； （2）经过点B的直线与双曲线y的另一个交点为点C，且△ABC的面积为． ①求直线BC的解析式； ②过点B作BD∥x轴交直线y于点D，点P是直线BC上的一个动点．若将△BDP以它的一边为对称轴进行翻折，翻折前后的两个三角形所组成的四边形为正方形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 20．已知，B（﹣1，2）是一次函数y＝kx+b与反比例函数（m≠0，m＜0）图象的两个交点，AC⊥x轴于C，BD⊥y轴于D． （1）根据图象直接回答：在第二象限内，当x取何值时，一次函数大于反比例函数的值？ （2）求一次函数解析式及反比例函数解析式； （3）P是线段AB上的一点，连接PC，PD，若△PCA和△PDB面积相等，求点P坐标． 题型十．反比例函数的应用（共5小题） 21．为预防传染病，某校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量y（mg）与药物在空气中的持续时间x（m）成正比例；燃烧后，y与x成反比例（如图所示）．现测得药物10分钟燃完，此时教室内每立方米空气含药量为8mg．根据以上信息解答下列问题： （1）分别求出药物燃烧时及燃烧后y关于x的函数表达式 （2）当每立方米空气中的含药量低于1.6mg时，对人体方能无毒害作用，那么从消毒开始，在哪个时段消毒人员不能停留在教室里？ （3）当室内空气中的含药量每立方米不低于3.2mg的持续时间超过20分钟，才能有效杀灭某种传染病毒．试判断此次消毒是否有效，并说明理由． 22． 制作简易杆秤 杆秤示意图 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：（m0+m）•l＝M•（a+y）．其中秤盘质量m0克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为1厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米． 【设计杆秤】 设定m0＝10克，M＝50克，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （2）当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； （3）根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． （4）根据任务一，求y关于m的函数解析式； （5）从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 23．【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L（灯丝的阻值RL＝2Ω）亮度的实验（如图），已知串联电路中，电流与电阻R、RL之间关系为，通过实验得出如下数据： R/Ω … 1 2 a 4 6 … I/A … b 3 2.4 2 1.5 … （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）【探究】根据以上实验，构建出函数，结合表格信息，探究函数的图象与性质． ①在平面直角坐标系中画出对应函数的图象； ②随着自变量x的不断增大，函数值y的变化趋势是 　 　 ． （3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当x≥0时，的解集为 　 　 ． 24．阅读与思考 下面是小晋同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期六 借助物理知识用吸管制作乐器 根据物理学知识，我们知道声音是由物体的振动产生的．查阅资料可知，用吸管吹气时，吸管内部空气的振动产生声音，而吸管的长度能够影响空气振动的频率，使吸管发出不同的声调．于是我准备了一些相同规格的吸管进行如下操作： ①分别剪出不同长度的吸管． ②借助仪器用同样的力度向吸管吹气，并记录吸管中空气的振动频率． ③将吸管的长度记为x（mm），振动频率记为y（kHz），记录数据如表1： 组别 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 x/mm 20 40 60 80 100 120 y/kHz 4.28 2.15 2.43 1.08 0.86 0.72 ④建立如图所示的平面直角坐标系，将表1中的数据对应的各点在平面直角坐标系中描出． 我发现其中一个数据异常，将其剔除后，用光滑的曲线将剩余的点顺次连接起来，根据画出的图象，猜想y与x大致满足我们学过的一种函数关系． 再次查阅资料得到了表2的数据： 音调 do re mi fa sol la si 频率/kHz 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 根据以上研究，我成功制作出了可以吹出表2中7个音调的吸管乐器． 任务： （1）根据以上材料，可以判断表1中异常的数据是第 　 　 组． （2）根据小晋画出的图象，猜想y是x的 　 　 函数（填“一次”“二次”或“反比例”），y与x的函数关系式为 　 　 （系数保留整数）． （3）根据以上材料，求音调“do”对应吸管的长度．（结果精确到1mm） 25．如图所示，小明家饮水机中原有水的温度是20℃，开机通电后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）满足一次函数关系．当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（℃）与开机时间x（分）成反比例关系．当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热…，不断重复上述程序．根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当0≤x≤5时，求水温y（℃）与开机时间x（分）的函数关系式； （2）求图中t的值； （3）有一天，小明在上午7：20（水温20℃），开机通电后去上学，11：33放学回到家时，饮水机内水的温度为多少℃？并求：在7：20﹣11：33这段时间里，水温共有几次达到100℃？ 题型十一．平行四边形的判定与性质（共1小题） 26．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠BCD＝90°，AB＝DC＝4，AD＝BC＝8．延长BC到E，使CE＝3，连接DE，由直角三角形的性质可知DE＝5．动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．（t＞0） （1）当t＝3时，BP＝　 　 ； （2）当t＝　 　 时，点P运动到∠B的角平分线上； （3）请用含t的代数式表示△ABP的面积S； （4）当0＜t＜6时，直接写出点P到四边形ABED相邻两边距离相等时t的值． 题型十二．菱形的性质（共1小题） 27．如图，在菱形ABCD中，∠ADB＝60°，点E，F分别在AD，CD上，且∠EBF＝60°． （1）求证：△ABE≌△DBF； （2）判断△BEF的形状，并说明理由． 题型十三．菱形的判定（共1小题） 28．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝8，BC＝26，AD＝24，动点P在线段AD边上以每秒1个单位的速度由点A向点D运动，动点Q从点C同时出发，以每秒3个单位的速度向点B运动，设动点P的运动时间为t秒． （1）当t为何值时，满足PQ＝CD或PQ∥CD？请说明理由． （2）如图2，若H是BC上一点，BH＝10，那么在线段AD上是否存在一点R，使得四边形BHRP是菱形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 题型十四．菱形的判定与性质（共2小题） 29．如图，在▱ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于F，以EC、CF为邻边作▱ECFG． （1）证明▱ECFG是菱形； （2）若∠ABC＝120°，连接BD、CG，求∠BDG的度数； （3）若∠ABC＝90°，AB＝6，AD＝8，M是EF的中点，求DM的长． 30．如图，正方形ABCD，点E，F是对角线AC上的两点，∠EBF＝45°，连接BE，BF，△ABE和△GBE关于直线BE对称．点G在BD上，连接FG． （1）求∠FBC的度数； （2）如备用图，延长BF交CD于点H，连接HG． ①求证：四边形GHCF是菱形； ②求的值． 题型十五．矩形的判定与性质（共1小题） 31．如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． 题型十六．正方形的性质（共10小题） 32．如图，已知正方形ABCD中，E为CB延长线上一点，且BE＝AB，M、N分别为AE、BC的中点，连DE交AB于O，MN交，ED于H点． （1）求证：AO＝BO； （2）求证：∠HEB＝∠HNB； （3）过A作AP⊥ED于P点，连BP，则的值． 33．如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF．解答下列问题： （1）如果AB＝AC，∠BAC＝90°， ①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为 　 　 ，数量关系为 　 　 ． ②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？ （2）如果AB≠AC，∠BAC≠90°点D在线段BC上运动．试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由． 34．如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F． （1）如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE，求AB的长； （2）如图2，若DA＝DE，求证：BF+DFAF． 35．矩形ABCD，AB＝6，BC＝8，四边形EFGH的顶点E、G在矩形的边AD、BC上；顶点F、H在矩形的对角线BD上． （1）如图1，当四边形EFGH是平行四边形时，求证：△DEH≌△BGF． （2）如图2，当四边形EFGH是正方形时，求BF的长． 36．如图，在四边形ABCD中，点M、N分别在边CD、BC上．连接AM、AN． （1）如图1，四边形ABCD为正方形时，连结MN，且∠MAN＝45°， ①已知CM＝6，CN＝8，求MN的长； ②已知DM：CM＝3：2，求AB：BN的值； （2）如图2，四边形ABCD为矩形，∠AMD＝2∠BAN，点N为BC的中点，AN＝6，AM＝8，求AD的长． 37．在正方形ABCD中，点M在对角线BD上，连接AM，过点M作MN⊥AM，交直线BC于点N． （1）如图1，当点N在BC上时，求证：AM＝MN； （2）如图2，当点N在CB的延长线上时，，BN＝1，求AD的长． 38．如图，正方形ABCD边长为4，点E在边AB上（点E与点A、B不重合），过点A作AF⊥DE，垂足为G，AF与边BC相交于点F． （1）求证：△ADF≌△DCE； （2）若△DEF的面积为，求AF的长； （3）在（2）的条件下，取DE，AF的中点M，N，连接MN，求MN的长． 39．如图①，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）连接MN，△BMN是等边三角形吗？为什么？ （2）求证：△AMB≌△ENB； （3）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②如图②，当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，请你画出图形，并说明理由． 40．如图1，正方形ABCD中，点P是直线AB上一个动点，连接DP，过点C作CM⊥DP于点M，过点A作AN∥MC交DP于点N，连接BM、CM． （1）若点P在边AB上，猜想： ①线段BM和线段CN的数量关系是 　 　 ； ②线段BM和线段CN的位置关系是 　 　 ． （2）如图2，点P在AB延长线上，（1）中的猜想成立吗？请说明理由． （3）已知AB＝5，当DN＝2AN时．直接写出BM的长． 41．在边长为5的正方形ABCD中，点E在边CD所在直线上，连接BE，以BE为边，在BE的下方作正方形BEFG，并连接AG． （1）如图1，当点E与点D重合时，AG＝　 　 ； （2）如图2，当点E在线段CD上时，DE＝2，求AG的长； （3）若AG，请直接写出此时DE的长． 题型十七．正方形的判定（共1小题） 42．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC垂足是D，AN是∠BAC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足是E，连接DE交AC于F． （1）求证：四边形ADCE为矩形； （2）求证：DF∥AB，DFAB； （3）当△ABC满足 　 　 时，四边形ADCE为正方形． 题型十八．正方形的判定与性质（共2小题） 43．如图1，四边形ABCD为正方形，E为对角线AC上一点，连接DE，BE． （1）求证：BE＝DE； （2）如图2，过点E作EF⊥DE，交边BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． ①求证：矩形DEFG是正方形； ②若正方形ABCD的边长为9，CG＝3，求正方形DEFG的边长． 44．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝3，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）求证：矩形DEFG是正方形； （2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 题型十九．旋转的性质（共5小题） 45．如图1、2是两个相似比为1：的等腰直角三角形，将两个三角形如图3放置，小直角三角形的斜边与大直角三角形的一直角边重合． （1）在图3中，绕点D旋转小直角三角形，使两直角边分别与AC、BC交于点E，F，如图4．求证：AE2+BF2＝EF2； （2）若在图3中，绕点C旋转小直角三角形，使它的斜边和CD延长线分别与AB交于点E、F，如图5，此时结论AE2+BF2＝EF2是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3） 如图6，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，满足△CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，AE、AF分别与对角线BD交于M、N，试问线段BM、MN、DN能否构成三角形的三边长？若能，指出三角形的形状，并给出证明；若不能，请说明理由． 46．如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，将CO绕点C顺时针方向旋转60°得到CD，连接AD，OD． （1）当α＝150°时，求证：△AOD为直角三角形； （2）求∠DAO的度数； （3）请你探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？ 47．（1）如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝45°，为了探究BD、DE、CE之间的等量关系，现将△AEC绕A顺时针旋转90°后成△AFB，连接DF，经探究，你所得到的BD、DE、CE之间的等量关系式是 　 　 ．（无需证明） （2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，D、E在BC上，∠DAE＝60°、∠ADE＝45°，试仿照（1）的方法，利用图形的旋转变换，探究BD、DE、CE之间的等量关系，并证明你的结论． 48．如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将△ABE绕点B顺时针方向旋转90°，得到△CBE'（点A的对应点为点C），延长AE交CE'于点F，连接DE． （1）试判断四边形BEFE'的形状，并说明理由； （2）若DA＝DE，如图2，请猜想线段CF与E'F的数量关系，并加以证明． 49．如图1，点E是正方形ABCD边AB上任意一点，以BE为边作正方形BEFG，连接DF，点M，N分别是线段AE、DF中点，连接MN． （1）请猜想MN与AE的关系，并证明你的结论； （2）把图1中的正方形BEFG绕点B顺时针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段BC、AB上，如图2，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？请说明理由． 题型二十．频数（率）分布直方图（共2小题） 50．某校为加强学生安全意识，组织了全校1500名学生参加安全知识竞赛，从中抽取了部分学生成绩（得分取正整数，满分100分）进行统计，请根据尚未完成的频率和频数分布直方图，解答下列问题： 分数段 频数 频率 50.5～60.5 16 0.08 60.5～70.5 40 0.2 70.5～80.5 50 0.25 80.5～90.5 m 0.35 90.5～100.5 24 n （1）这次抽取了　 　 名学生的竞赛成绩进行统计，其中m＝　 　 ，n＝　 　 ； （2）补全频数分布直方图； （3）若成绩在70分以下（含70分）的学生为安全意识不强，有待进一步加强安全教育，则该校安全意识不强的学生约有多少人？ 51．某校为了解本校1200名初中生对安全知识掌握情况，随机抽取了60名初中生进行安全知识测试，并将测试成绩进行统计分析，绘制了如下不完整的频数统计表和频数分布直方图： 组别 成绩x分 频数（人数） 第1组 50≤x＜60 6 第2组 60≤x＜70 10 第3组 70≤x＜80 a 第4组 80≤x＜90 b 第5组 90≤x＜100 12 请结合图表完成下列各题： （1）频数表中的a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）将频数分布直方图补充完整； （3）若测试成绩不低于80分定为“优秀”，你估计该校的初中生对安全知识掌握情况为“优秀”等级的大约有多少人？ 题型二十一．条形统计图（共4小题） 52．为了解某区2015年七年级学生的体育测试情况，随机抽取了该区若干名七年级学生的体育测试成绩等级，绘制如图统计图（不完整）： 请根据以上统计图表提供的信息，解答下列问题： （1）本次抽样调查的样本容量　 　 ，“A等级”对应扇形的圆心角度数为　 　 ； （2）请补全条形统计图； （3）该区约10000名七年级学生，根据抽样调查结果，请估计其中体育测试成绩为“D等级”的学生人数． 53．班长小李对他所在班级（八年级2班）全体同学的业余兴趣爱好进行了一次调查，据采集到的数据绘制了下面的统计图表，根据调查他想写一个调查报告交给学校，建议学校根据学生的个人兴趣爱好，适当的安排一些特长培养或合理安排学生在校期间的课余活动，请你根据图中提供的信息，帮助小李完成信息采集． （1）该班共有学生　 　 人； （2）在图1中，请将条形统计图补充完整； （3）在图2中，在扇形统计图中，“音乐”部分所对应的圆心角的度数　 　 度； （4）求爱好“书画”的人数占该班学生数的百分数． 54．某校在一次大课间活动中，采用了四钟活动形式：A、跑步，B、跳绳，C、做操，D、游戏．全校学生都选择了一种形式参与活动，小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查，根据调查统计结果，绘制了不完整的统计图． 请结合统计图，回答下列问题： （1）这次调查中，一共调查了多少名学生？ （2）求出扇形统计图中“B：跳绳”所对扇形的圆心角的度数，并补全条形图； （3）若该校有2000名学生，请估计选择“A：跑步”的学生约有多少人？ 55．为切实落实“双减”，丰富学生课余生活，遂宁市某学校开展了“第二课堂”活动，推出了以下四种选修课程：A、绘画；B、唱歌；C、演讲；D、书法．学校规定：每个学生都必须报名且只能选择其中的一个课程．学校随机抽查了部分学生，对他们选择的课程情况进行了统计，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息解决下列问题： （1）这次抽查的学生人数是多少人？ （2）将条形统计图补充完整； （3）在扇形统计图中，求选课程D的人数所对的圆心角的度数； （4）如果该校共有3600名学生，请你估计该校报课程B的学生约有多少人？ 题型二十二．利用频率估计概率（共5小题） 56．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共60个，它们除颜色不同外，其余都相同，王颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中搅匀，经过大量重复上述摸球的过程，发现摸到白球的频率稳定于0.25， （1）请估计摸到白球的概率将会接近 　 　 ； （2）计算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 57．在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共20个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当摸球次数很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 58．在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当n很大时，摸到白球的概率将会接近 　 　 （精确到0.01），假如你摸一次，你摸到白球的概率为 　 　 ； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下，如果要使摸到白球的概率为，需要往盒子里再放入多少个白球？ 59．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共30只，某小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 … 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 … 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 … （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　 ； （2）假如你去摸一次，你摸到白球的概率是 　 　 ，摸到黑球的概率是 　 　 ； （3）试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ 60．“2018东台西溪半程马拉松”的赛事共有两项：A、“半程马拉松”、B、“欢乐跑”．小明参加了该项赛事的志愿者服务工作，组委会随机将志愿者分配到两个项目组． （1）小明被分配到“半程马拉松”项目组的概率为　 　 ． （2）为估算本次赛事参加“半程马拉松”的人数，小明对部分参赛选手作如下调查： 调查总人数 20 50 100 200 500 参加“半程马拉松”人数 15 33 72 139 356 参加“半程马拉松”频率 0.750 0.660 0.720 0.695 0.712 ①请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为　 　 ．（精确到0.1） ②若本次参赛选手大约有3000人，请你估计参加“半程马拉松”的人数是多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$