期末解答题压轴分类汇编（十七大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

期末解答题压轴分类汇编（十七大类型） 题型一：平方根 题型二：算术平方根 题型三：实数与数轴 题型四：估算无理数的大小 题型五：二元一次方程的解 题型六：二元一次方程组的解 题型七：解二元一次方程组 题型八：由实际问题抽象出二元一次方程组 题型九：三元一次方程组的应用 题型十：一元一次不等式的应用 题型十一：解一元一次不等式组 题型十二：一元一次不等式组的应用 题型十三：坐标确定位置 题型十四：坐标与图形性质 题型十五：平行线的性质 题型十六：平行线的判定与性质 题型十七：坐标与图形变化-平移 题型一：平方根（共1小题） 1．已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15． （1）求这个正数； （2）求的平方根． 题型二：算术平方根（共1小题） 2．阅读下列解题过程：；；；… （1）　 　 ，　 　 ． （2）观察上面的解题过程，则　 　 （n为自然数） （3）利用这一规律计算：． 题型三：实数与数轴（共1小题） 3．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，且线段AB＝4，CD＝6，已知A表示的数是﹣10，C表示的数是8，若线段AB以每秒6个单位长度的速度，线段CD以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动（A在B左侧，C在D左侧） （1）B，D两点所表示的数分别是　 　 、　 　 ； （2）若线段AB向右运动，同时线段CD向左运动，经过多少秒时，BC＝2； （3）若线段AB、CD同时向右运动，同时点P从原点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P到点A，C的距离相等？ 题型四：估算无理数的大小（共2小题） 4．阅读理解． ∵，即23． ∴11＜2 ∴1的整数部分为1， ∴1的小数部分为2． 解决问题：已知a是3的整数部分，b是3的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17． 5．观察：∵，即23，∴的整数部分为2，小数部分为2，请你观察上述式子规律后解决下面问题． （1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[π]＝3， 填空：[2]＝　 　 ；[5]＝　 　 ． （2） 如果5的小数部分为a，5的小数部分为b，求a+b的值． 题型五：二元一次方程的解（共1小题） 6．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c 的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　 　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2023的值； （3）已知整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求m的值． 题型六：二元一次方程组的解（共3小题） 7．【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求x的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求Dx，Dy，并写出该方程组的解． 8． 已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值． 9．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　 　 ． 题型七：解二元一次方程组（共1小题） 10．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“可爱点”．例如：点E（3，1），令得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“可爱点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“可爱点”． （1）请判断点A（7，1）是否为“可爱点”：　 　 （填“是”或“否”）． （2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点B（x，y）是“可爱点”，求t的值； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“可爱点”，求正整数a，b的值． 题型八：由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 11．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题． 题型九：三元一次方程组的应用（共5小题） 12．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 13．在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B，C三种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入900元，出售2件A产品和3件B产品共收入1600元． （1）求A产品和B产品的单价； （2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售A，B两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件A产品，赠送2件C产品．某客户欲购买A，B，C三种产品共50件，并要求B产品的件数是A产品的1.5倍，A产品至少10件．企业赠送的C产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分C产品，若C产品单价为100元，求客户支付的总金额． 14．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③ ③得：2x+y+z＝3， 所以2x+y+z的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】 （3） 某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 15．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　 　 ，x+y＝　 　 ； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 16．请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺•你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，c型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 　 　 张C型的消费券，此时的实际消费最少为 　 　 元． 任务二 若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此时消费券的搭配方案． 、 题型十：．一元一次不等式的应用（共4小题） 17．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？ （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？ 18．某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个，付款总额不得超过11815元．已知厂家两种球的批发价和商场两种球的零售价如下表，试解答下列问题： 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 130 160 排球 100 120 （1）该采购员最多可购进篮球多少个？ （2）若该商场把这100个球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员有几种采购方案？该商场最多可盈利多少元？ 19．为培养学生养成爱读书、读好书的习惯，某中学举办了“汉字听写大赛”，并准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买三个书包和两本词典． （1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？ （2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获奖的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？ 20．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元，超出100元的部分按85%收费．已知小红在同一商场累计购物x元，其中x＞200． （1）当x＝300时，小红在甲商场需花费　 　 元，在乙商场需花费　 　 元． （2）分别用含x的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费． （3）当小红在同一商场累计购物超过200元时，通过计算说明小红在哪家商场购物的实际花费少． 题型十一：．解一元一次不等式组（共2小题） 21．已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 22．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式2x﹣5，2﹣x，﹣2有：当2x﹣5+2﹣x＞﹣2时的解集为x＞1，则称2x﹣5，2﹣x，﹣2构成“雅礼不等式”． （1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； （2）若ax，a+1，x构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； （3）若mx+m，﹣2nx，n构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 题型十二：．一元一次不等式组的应用（共2小题） 23．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价； （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10 500元．请问有几种购买方案？ 24． 某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 题型十三：．坐标确定位置（共1小题） 25．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积； （3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，），当时，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标． 题型二十四：．坐标与图形性质（共7小题） 26．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1）， ①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是　 　 ； ②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　 　 ； （2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值． 27．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）20，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． （1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝　 　 ； （2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； （3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0． （1）a＝　 　 ，b＝　 　 ； （2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP； （3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）． 29．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0 （1）求a，b的值． （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． （3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP， OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 30．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3 （1）写出点A、B、C的坐标． （2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小． （3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数． 31．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（　 　 ，　 　 ）、C（　 　 ，　 　 ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 32．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（a，0），B（b，0），C（0，3）且a，b满足|a+4|+（b﹣4）2＝0，连接AC、BC． （1）如图1，若AC＝BC＝5，点M是直线BC上的一个动点，当AM最短时，求AM的值：点P是线段AB上的一个动点，且满足PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求PE+PF的值； （2）如图2，点过C作直线l1∥x轴，过点B作l2∥AC与l1交于点D，与y轴交于点E，AN、EN分别平分∠CAB、∠CEB，求∠ANE的度数． 题型十五：平行线的性质（共9小题） 33．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 34．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF． （1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数； （2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由； （3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系． 35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　 　 °； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 36．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 37．如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠BEF＝α，∠FHD＝β． （1）直接写出∠EFH的度数为 　 　 ； （2）如图2，若HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，证明：∠EFH+2∠M＝180°； （3）如图3，若∠BEN∠BEF，∠MHC∠FHC，则∠M＝　 　 ．（用含有n，α，β的式子表示） 38．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． （1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由． 39．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是 　 　 ． 40．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； （1）若∠E＝60°，则∠F＝　 　 ； （2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； （3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 41．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 题型十六：．平行线的判定与性质（共7小题） 42．已知AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，点E、F分别在射线AD、BC上运动，满足∠AEF＝∠B，连接EG． （1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF； （2）如图2，当点F在点G右侧时，设∠BAG＝α，∠GEF＝β，请直接用含α，β的代数式表示∠AGE的度数 　 　 ； （3）在射线BC下方有一点H，连接AH、EH，满足∠BAH＝2∠HAG，EH平分∠FEG，若∠FEG＝20°，∠BAG＝60°，请直接写出∠AGE+∠H的度数 　 　 ． 43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）填空：∠1与∠3的数量关系：　 　 ；理由是 　 　 ； （2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　 　 ； （3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当BE∥AD时．画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值． 44．（1）探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连结PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH＝∠AGP+∠CHP； （2）变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知∠GPH＝α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数． 45．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　 　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 46．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 47．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　 　 ； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 48．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝108°，试解答下列问题： （1）如图①，则∠O＝　 　 ，则OB与AC的位置关系为　 　 （2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于　 　 ； （3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC到如图③所示位置． ①在AC移动的过程中，∠OCB与∠OFB的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理由； ②当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA． 题型十七：．坐标与图形变化-平移（共2小题） 49．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　 　 ）、B（ 　 　 ）、C（ 　 　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　 　 ． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 50．在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b），且a，b满足|b+2|＝0，B向上平移k个单位得到线段CD． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，E为线段CD上任意一点，F为线段AB上任意一点，∠EOF＝120°．G为线段AB与线段CD之间一点，连接GE，GF，且∠DEG∠DEO，∠EGF＝80°．试写出∠AFG与∠GFO之间的数量关系，并证明你的结论． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期末解答题压轴分类汇编（十七大类型） 题型一：平方根 题型二：算术平方根 题型三：实数与数轴 题型四：估算无理数的大小 题型五：二元一次方程的解 题型六：二元一次方程组的解 题型七：解二元一次方程组 题型八：由实际问题抽象出二元一次方程组 题型九：三元一次方程组的应用 题型十：一元一次不等式的应用 题型十一：解一元一次不等式组 题型十二：一元一次不等式组的应用 题型十三：坐标确定位置 题型十四：坐标与图形性质 题型十五：平行线的性质 题型十六：平行线的判定与性质 题型十七：坐标与图形变化-平移 题型一：平方根（共1小题） 1．已知一个正数的平方根是a+3和2a﹣15． （1）求这个正数； （2）求的平方根． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵一个正数的平方根是a+3和2a﹣15， ∴a+3+2a﹣15＝0， ∴a＝4， a+3＝7， 这个正数为72＝49； （2）a+12＝4+12＝16， ∵4， ∴的平方根是±2 题型二：算术平方根（共1小题） 2．阅读下列解题过程：；；；… （1）　　 ，　　 ． （2）观察上面的解题过程，则　　 （n为自然数） （3）利用这一规律计算：． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1），，故答案为：，． （2）观察上面的解题过程，则，故答案为：； （3）原式 ． 题型三：实数与数轴（共1小题） 3．如图，在数轴上有A、B、C、D四个点，且线段AB＝4，CD＝6，已知A表示的数是﹣10，C表示的数是8，若线段AB以每秒6个单位长度的速度，线段CD以每秒2个单位长度的速度在数轴上运动（A在B左侧，C在D左侧） （1）B，D两点所表示的数分别是　﹣6　 、　14　 ； （2）若线段AB向右运动，同时线段CD向左运动，经过多少秒时，BC＝2； （3）若线段AB、CD同时向右运动，同时点P从原点出发以每秒1个单位长度的速度向右运动，经过多少秒时，点P到点A，C的距离相等？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵OA＝10，AB＝4， ∴OB＝6， ∵OC＝8，CD＝6， ∴OD＝14， ∴B，D两点所表示的数分别是﹣6、14 故答案为﹣6，14． （2）①当B点在C点左边时， 根据题意得：6t+2t+2＝14 解得：t＝1.5 ②当B点在C点右边时， 根据题意得：6t+2t﹣2＝14 解得：t＝2 综上可得：经过1.5秒或2秒时，BC＝2． （3）①当点P是线段AC的中点时， 根据题意得：2t+8﹣t＝t﹣（6t﹣10） 解得：t． ②当A点与C点重合时， 根据题意得：2t+8﹣t＝（6t﹣10）﹣t 解得：t 综上可得：经过秒或秒时，点P到点A，C的距离相等． 题型四：估算无理数的大小（共2小题） 4．阅读理解． ∵，即23． ∴11＜2 ∴1的整数部分为1， ∴1的小数部分为2． 解决问题：已知a是3的整数部分，b是3的小数部分． （1）求a，b的值； （2）求（﹣a）3+（b+4）2的平方根，提示：（）2＝17． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∴， ∴45， ∴13＜2， ∴a＝1，b4； （2）（﹣a）3+（b+4）2＝（﹣1）3+（4+4）2＝﹣1+17＝16， ∴（﹣a）3+（b+4）2的平方根是±±4． 5．观察：∵，即23，∴的整数部分为2，小数部分为2，请你观察上述式子规律后解决下面问题． （1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，例如：[]＝0，[π]＝3， 填空：[2]＝　5　 ；[5]＝　1　 ． （2）如果5的小数部分为a，5的小数部分为b，求a+b的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）根据题意得：[2]＝5；[5]＝1； 故答案为：5；1； （2）根据题意得：a＝58，b＝51， 则a+b＝58+51＝1． 题型五：二元一次方程的解（共1小题） 6．定义：关于x，y的二元一次方程ax+by＝c（其中a≠b≠c）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：ax+by＝c 的交换系数方程为cx+by＝a或ax+cy＝b． （1）方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为 　或　 ； （2）已知关于x，y的二元一次方程ax+by＝c的系数满足a+b+c＝0，且ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程mx+ny＝p的一个解，求代数式（m+n）m﹣p（n+p）+2023的值； （3）已知整数m，n，t满足条件t＜n＜8m，并且（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”，求m的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵方程3x+2y＝4的“交换系数方程”为4x+2y＝3或3x+4y＝2， ∴方程 3x+2y＝4 与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②． ∴方程组①的解为，方程组②的解为． 故答案为：或． （2）方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组为①或②． ∴方程组①的解为．当a+b+c＝0时，方程组①的解为； 方程组②的解为．当a+b+c＝0时，方程组②的解为 ． ∴方程ax+by＝c与它的“交换系数方程”组成的方程组解为． 将代入mx+ny＝p，得﹣（m+n）＝p． ∴（m+n）m﹣p（n+p）+2023＝﹣pm﹣pn﹣p2+2023＝﹣p（m+n）﹣p2+2023＝（﹣p）2﹣p2+2023＝2023． （3）（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”为（2m+2）x+2023y＝1+n或（1+n）x+（2m+2）y＝2023． ∵（10m﹣t）x+2023y＝m+t是关于x，y的二元一次方程（1+n）x+2023y＝2m+2的“交换系数方程”， ∴（10m﹣t）x+2023y＝m+t各系数与（2m+2）x+2023y＝1+n各系数对应相等，得①， ∴（10m﹣t）x+2023y＝m+t各系数与（1+n）x+（2m+2）y＝2023各系数对应相等，得②． 解方程组①得． ∵t＜n＜8m， ∴tt+2，解得6＜t＜22（t为整数）． ∴8＜t+2＜24， ∴若m为整数，必须有t+2＝16，此时m＝2． ∴t＝14． 当t＝14时，n15． ∴m＝2． 解方程组②得m（不是整数）， ∴方程组②的解不符合题意，需舍去． 综上，m＝2． 题型六：二元一次方程组的解（共3小题） 7．【阅读理解】 我们把四个数a，b，c，d排成两行两列，记为，称为二阶行列式，规定它的运算法则为． 小李同学在学习二元一次方程组的解法时，发现可以利用二阶行列式求解．例如：求二元一次方程组的解． 解：记， ，则原方程组的解为 【类比应用】 （1）若二阶行列式，求x的值； （2）已知方程组利用二阶行列式求得D＝﹣11，请求Dx，Dy，并写出该方程组的解． 【答案】（1）﹣3；（2）． 【解答】解：（1）由题意得： x×1﹣2×（x+1）＝1， 解得：x＝﹣3； （2）， ， ． 所以方程组的解为． 8．已知方程组，甲正确地解得，而乙粗心地把c看错了，得，试求出a，b，c的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：根据题意得：， 解得：， 把代入方程5x﹣cy＝1，得到：10﹣3c＝1， 解得：c＝3． 故a＝3，b＝﹣1，c＝3． 9．阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组时，采用了一种“整体换元”的解法．把m+5，n+3看成一个整体，设m+5＝x，n+3＝y，则原方程组可化为，解得，即，解得． （1）学以致用，模仿乐乐同学的“整体换元”的方法，解方程组． （2）拓展提升，已知关于x，y的方程组的解为，请直接写出关于m、n的方程组的解是 　　 ． 【答案】（1）； （2）． 【解答】解：（1）对于，令， 则原方程组可化为， 解得：， ∴，即， 解得：； （2）∵方程组的解是， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型七：解二元一次方程组（共1小题） 10．阅读材料并回答下列问题： 当m，n都是实数，且满足m﹣n＝6，就称点P（m﹣1，3n+1）为“可爱点”．例如：点E（3，1），令得，m﹣n＝4≠6，所以E（3，1）不是“可爱点”；F（4，﹣2），令得，m﹣n＝6，所以F（4，﹣2）是“可爱点”． （1）请判断点A（7，1）是否为“可爱点”：　否　 （填“是”或“否”）． （2）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点B（x，y）是“可爱点”，求t的值； （3）若以关于x，y的方程组的解为坐标的点C（x，y）是“可爱点”，求正整数a，b的值． 【答案】（1）否； （2）t的值为10； （3）或或或． 【解答】解：（1）∵点A（7，1），令， 解得， ∵m﹣n＝8≠6， ∴A（7，1）不是“可爱点“， 故答案为：否； （2）方程组的解为， ∵点B（，）是“可爱点”， ∴， ∴， ∵m﹣n＝6， ∴6， 解得t＝10， ∴t的值为10． （3）方程组的解为， ∵点C（，）是“可爱点”， ∴， ∴， ∵m﹣n＝6， ∴6， 解得b＝14a， ∵a，b为正整数， ∴或或或． 题型八：由实际问题抽象出二元一次方程组（共1小题） 11．小明作业本中有一页被墨水污染了，已知他所列的方程组是正确的．写出题中被墨水污染的条件，并求解这道应用题． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：被污染的条件为：同样的空调每台优惠400元． 根据题意，得 解得 答：“五一”前同样的电视每台2500元，空调每台3000元． 题型九：三元一次方程组的应用（共5小题） 12．某学校计划用104 000元购置一批电脑（这批款项须恰好用完，不得剩余或追加）．经过招标，其中平板电脑每台1600元，台式电脑每台4000元，笔记本电脑每台4600元． （1）若学校同时购进其中两种不同类型的电脑共50台，请你帮学校设计该如何购买； （2）若学校同时购进三种不同类型的电脑共26台（三种类型的电脑都有），并且要求笔记本电脑的购买量不少于15台，请你帮学校设计购买方案． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设购买平板电脑x台，台式电脑y台，笔记本电脑z台， ①若购买平板电脑、台式电脑时，由题意，得 ， 解得：； ②若购买平板电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：； ③当购买台式电脑、笔记本电脑时，由题意，得 ， 解得：，不合题意，舍去． 故共有两种购买方案：①购买平板电脑40台，台式电脑10台；②购买平板电脑42台，笔记本电脑8台． （2）根据题意得： ， 解得：或． 答：购买平板电脑4台，台式电脑6台，笔记本电脑16台，或购买平板电脑5台，台式电脑1台，笔记本电脑20台． 13．在中国进出口商品交易会上，某陶瓷企业出售了A，B，C三种产品．已知出售1件A产品和2件B产品共收入900元，出售2件A产品和3件B产品共收入1600元． （1）求A产品和B产品的单价； （2）若出售A，B两种产品（均有销售）共收入2400元，则出售A，B两种产品各几件？ （3）为推广产品，该企业开展促销活动：每出售一件A产品，赠送2件C产品．某客户欲购买A，B，C三种产品共50件，并要求B产品的件数是A产品的1.5倍，A产品至少10件．企业赠送的C产品不能满足客户的需求，客户还需要另行购买部分C产品，若C产品单价为100元，求客户支付的总金额． 【答案】（1）A产品的单价500元，B产品的单价200元； （2）出售A产品2件，B产品7件或出售A产品4件，B产品2件； （3）客户支付的总金额为8500元． 【解答】解：（1）设A产品的单价x元，B产品的单价y元， 由题意得，， 解得， 答：A产品的单价500元，B产品的单价200元； （2）设出售A产品a件，则出售B产品b件， 由题意得500a+200b＝2400， 化简得5a+2b＝24， ∵a，b为正整数， ∴或， 答：出售A产品2件，B产品7件或出售A产品4件，B产品2件； （3）设该客户支付的总金额为w元，购买A产品c件，则B产品1.5c件，C产品（50﹣c﹣1.5c）件， 由题意得：w＝500c+200×1.5c+100×（50﹣c﹣1.5c﹣2c） ＝5000+350c， ∵c≥10，50﹣c﹣1.5c﹣2c＞0， ∴10≤c， ∵c为正整数，1.5c也是正整数， ∴c＝10， 当c＝10时，w＝5000+350×10＝8500（元）． 答：客户支付的总金额为8500元． 14．【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求2x+y+z的值． 解：②﹣①得：4x+2y+2z＝6③ ③得：2x+y+z＝3， 所以2x+y+z的值为3． 【类比迁移】 （1）已知，求3x+4y+5z的值； 【实际应用】 （2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买3本笔记本、2支签字笔、1支记号笔需要28元；若购买7本笔记本、5支签字笔、3支记号笔需要66元；本班共45位同学，则购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要多少钱？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， ①+②得：6x+8y+10z＝36③， ③得：3x+4y+5z＝18， ∴3x+4y+5z的值为18； （2）设购买1本笔记本需要a元，1支签字笔需要b元，1支记号笔需要c元， 由题意得：， ②﹣①×2得：a+b+c＝10③， ③×45得：45a+45b+45c＝450， 答：购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元钱． 15．阅读理解：已知实数x，y满足3x﹣y＝5…①，2x+3y＝7…②，求x﹣4y和7x+5y的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： （1）已知二元一次方程组，则x﹣y＝　﹣1　 ，x+y＝　5　 ； （2）买20支铅笔、3块橡皮、2本日记本共需32元，买39支铅笔、5块橡皮、3本日记本共需58元，求购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需多少元？ （3）对于实数x，y，定义新运算：x*y＝ax+by+c，其中a，b，c是常数，等式右边是实数运算．已知3*5＝15，4*7＝28，求1*1的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）， 由①﹣②得：x﹣y＝﹣1， ①+②得：3x+3y＝15， ∴x+y＝5， 故答案为：﹣1，5； （2）设铅笔单价为m元，橡皮的单价为n元，日记本的单价为p元， 由题意得：， 由①×2﹣②得：m+n+p＝6， ∴5m+5n+5p＝5×6＝30， 答：购买5支铅笔、5块橡皮5本日记本共需30元； （3）由题意得：， 由①×3﹣②×2可得：a+b+c＝﹣11， ∴1*1＝a+b+c＝﹣11． 16．请同学们根据以下表格中的素材一和素材二，自主探索完成任务一、任务二、任务三． 如何合理搭配消费券？ 素材一 为促进消费，某市人民政府决定，发放“双促双旺•你消费我助力”消费券，一人可领取的消费券有：A型消费券（满35减15元）2张，B型消费券（满68减25元）2张，c型消费券（满158减60元）1张． 素材二 在此次活动中，小明一家5人每人都领到了所有的消费券．某日小明一家在超市使用消费券，消费金额减了390元，请完成以下任务． 任务一 若小明一家用了5张A型消费券，3张B型的消费券，则用了 　4　 张C型的消费券，此时的实际消费最少为 　621　 元． 任务二 若小明一家用13张A、B、C型的消费券消费，已知A型比C型的消费券多1张，求A、B、C型的消费券各多少张？ 任务三 若小明一家仅用两种不同类型的消费券消费，请问如何搭配使用消费券，使得使用付款最少，并求出此时消费券的搭配方案． 【答案】任务一：4，621； 任务二：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则C型的消费券3张； 任务三：使用10张A型券，4张C型券． 【解答】解：任务一：用C型的消费券数量为：（390﹣5×15﹣3×25）÷60＝4， ∴满减前至少消费5×35+68×3+158×4＝1011（元）． ∴满减后实际消费1011﹣390＝621（元）． 故答案为：4；621． 任务二：设A型的消费券x张，B型的消费券y张，则C型的消费券（x﹣1）张， 由题意可得，解得． ∴C型的消费券3张． 答：A型的消费券4张，B型的消费券6张，则c型的消费券3张． 任务三：设小明一家共使用A型的消费券a张，B型的消费券b张，C型的消费券c张，则a，b，c都是正整数，a≤10，b≤10，c≤5， ①A、B型：15a+25b＝390， ∴3a+5b＝78． ∵a，b都是正整数，a≤10，b≤10，c≤5， ∴无解． ②B、C型：25b+60c＝390， ∴5b+12c＝78． ∵a，b，c都是正整数，a≤10，b≤10．c≤5， ∴． ∴付款为6×68+4×158﹣390＝650（元）． ③A、C型：15a+60c＝390， ∴a+4c＝26． ∵a，b，c都是正整数，a≤10，b≤10、c≤5， ∴或． ∴付款为：6×35+5×158﹣390＝610（元）或10×35+4×158﹣390＝592（元）． 综上所述，付款最少得方案为：使用10张A型券，4张C型券． 题型十：一元一次不等式的应用（共4小题） 17．某公司决定从厂家购进甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台？ （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，问有哪些购买方案？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设该公司购进甲型显示器x台，则购进乙型显示器（50﹣x）台， 由题意，得：1000x+2000（50﹣x）≤77000 解得：x≥23． ∴该公司至少购进甲型显示器23台． （2）依题意可列不等式：x≤50﹣x， 解得：x≤25． ∴23≤x≤25． ∵x为整数， ∴x＝23，24，25． ∴购买方案有： ①甲型显示器23台，乙型显示器27台； ②甲型显示器24台，乙型显示器26台； ③甲型显示器25台，乙型显示器25台． 18．某体育用品商场采购员要到厂家批发购进篮球和排球共100个，付款总额不得超过11815元．已知厂家两种球的批发价和商场两种球的零售价如下表，试解答下列问题： 品名 厂家批发价（元/个） 商场零售价（元/个） 篮球 130 160 排球 100 120 （1）该采购员最多可购进篮球多少个？ （2）若该商场把这100个球全部以零售价售出，为使商场获得的利润不低于2580元，则采购员有几种采购方案？该商场最多可盈利多少元？ 【答案】（1）购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只； （2）篮球60只，此时排球40只，该商场可盈利2600元． 【解答】解：（1）设采购员可购进篮球x只，则排球是（100﹣x）只， 依题意得130x+100（100﹣x）≤11815， 解得x≤60.5， ∵x是整数， ∴x＝60， 答：购进篮球和排球共100只时，该采购员最多可购进篮球60只． （2）设篮球x只，则排球是（100﹣x）只， 则， 由①得，x≤60.5， 由②得，x≥58， 58≤x≤60.5，x取58，59，60共三种方案， ∵篮球的利润大于排球的利润，因此这100只球中，当篮球最多时，商场可盈利最多， 故篮球60只，此时排球40只，商场可盈利（160﹣130）×60+（120﹣100）×40＝1800+800＝2600（元）． 即该商场可盈利2600元． 19．为培养学生养成爱读书、读好书的习惯，某中学举办了“汉字听写大赛”，并准备为获奖同学颁奖．在购买奖品时发现，一个书包和一本词典会花去48元，用124元恰好可以购买三个书包和两本词典． （1）每个书包和每本词典的价格各是多少元？ （2）学校计划用总费用不超过900元的钱数，为获奖的40名同学颁发奖品（每人一个书包或一本词典），求最多可以购买多少个书包？ 【答案】（1）每个书包的价格是28元，每本词典的价格是20元； （2）最多可以购买12个书包． 【解答】解：（1）设每个书包和每本词典的价格各是x元，y元，根据题意得出： ， 解得：． 答：每个书包的价格是28元，每本词典的价格是20元； （2）设购买z个书包，则购买词典（40﹣z）本，根据题意得出： 28z+20（40﹣z）≤900， 解得：z≤12.5． 故最多可以购买12个书包． 20．甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元，超出200元的部分按80%收费；在乙商场累计购物超过100元，超出100元的部分按85%收费．已知小红在同一商场累计购物x元，其中x＞200． （1）当x＝300时，小红在甲商场需花费　280　 元，在乙商场需花费　270　 元． （2）分别用含x的代数式表示小红在甲、乙商场的实际花费． （3）当小红在同一商场累计购物超过200元时，通过计算说明小红在哪家商场购物的实际花费少． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）当x＝300时，小红在甲商场所花费用为200+（300﹣200）×80%＝280（元）；在乙商场所花费用为100+（300﹣100）×85%＝270（元）； 故答案为280，270； （2）x＞200， 小红在甲商场所花费用为200+（x﹣200）×80%＝（0.8x+40）元； 在乙商场所花费用为100+（x﹣100）×85%＝（0.85x+15）元； （3）当0.8x+40＞0.85x+15时，解得x＜500， 所以当200＜x＜500时，小红在乙商场购物的实际花费少； 当0.8x+40＝0.85x+15时，解得x＝500， 所以当x＝500时，小红在甲乙商场购物的实际花费一样； 当0.8x+40＜0.85x+15时，解得x＞500， 所以当x＞500时，小红在甲商场购物的实际花费少． 题型十一：．解一元一次不等式组（共2小题） 21．已知方程组中x为非正数，y为负数． （1）求a的取值范围； （2）在a的取值范围中，当a为何整数时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）解方程组得：， ∵方程组中x为非正数，y为负数， ∴， 解得：﹣2＜a≤3， 即a的取值范围是﹣2＜a≤3； （2）2ax+x＞2a+1， （2a+1）x＞2a+1， ∵要使不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1， 必须2a+1＜0， 解得：a＜﹣0.5， ∵﹣2＜a≤3，a为整数， ∴a＝﹣1， 所以当a为﹣1时，不等式2ax+x＞2a+1的解集为x＜1． 22．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1的实数，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式2x﹣5，2﹣x，﹣2有：当2x﹣5+2﹣x＞﹣2时的解集为x＞1，则称2x﹣5，2﹣x，﹣2构成“雅礼不等式”． （1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”吗？请说明理由； （2）若ax，a+1，x构成“雅礼不等式”，求a的值或取值范围； （3）若mx+m，﹣2nx，n构成“雅礼不等式”，求关于x的不等式组的解集． 【答案】（1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”；（2）a＞﹣1；（3）x或x或﹣1＜x． 【解答】解：（1）x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”， ∵x﹣2+x+1＞1，即2x﹣1＞1的解集为x＞1， ∴x﹣2，1，x+1可以构成“雅礼不等式”． （2）①若ax+a+1＞x，即（a﹣1）x＞﹣（a+1）， 则a﹣1＞0即a＞1且1， 解得a＝0（舍）； ②若ax+x＞a+1，即（a+1）x＞a+1， 则a+1＞0且x＞1，符合题意；此时a＞﹣1； ③若a+1+x＞ax，即（a﹣1）x＜a+1， 则a﹣1＜0，即a＜1且1（此方程无解）； 综上，a＞﹣1； （3）①若﹣2nx+n＞mx+m，即（m+2n）x＜n﹣m， 则m+2n＜0即m＜﹣2n且1， 化简得n＝﹣2m， 代入m+2n＜0得﹣3m＜0，即m＞0，则n＜0， 由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即5mx＞3m， ∴x， 由2mx＞m+n，得：2mx＞﹣m， ∴x， 此时不等式组的解集为x； ②若mx+m+n＞﹣2nx，即（m+2n）x＞﹣（m+n）， 则m+2n＞0，1， 化简得nm， 代入m+2n＞0，得：m＜0，则n＞0， 由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即mxm， ∴x， 由2mx＞m+n，得x， ∴不等式组的解集为x； ③若mx+m﹣2nx＞n，即（m﹣2n）x＞﹣（m﹣n）， 则m﹣2n＞0，即m＞2n，且1， 化简得nm， 代入m﹣2n＞0得mm＞0，解得m＜0， 由2nx﹣n＜mx﹣m，得：（m﹣2n）x＞m﹣n，即mxm， 解得x＞﹣1； 由2mx＞m+n，得2mxm， 解得x， ∴此时不等式组的解集为﹣1＜x． 综上，x或x或﹣1＜x． 题型十二：．一元一次不等式组的应用（共2小题） 23．学校需要购买一批篮球和足球，已知一个篮球比一个足球的进价高30元，买两个篮球和三个足球一共需要510元． （1）求篮球和足球的单价； （2）根据实际需要，学校决定购买篮球和足球共100个，其中篮球购买的数量不少于足球数量的，学校可用于购买这批篮球和足球的资金最多为10 500元．请问有几种购买方案？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设一个篮球x元，则一个足球（x﹣30）元，由题意得： 2x+3（x﹣30）＝510， 解得：x＝120． 故一个篮球120元，一个足球90元． （2）设购买篮球x个，则购买足球（100﹣x）个， 根据题意，得， 解得40≤x≤50． 因为x为正整数， 所以共有11种购买方案． 24．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设安排住宿的房间为x间，则学生有（4x+20）人， 根据题意，得 解之得5.25≤x≤6.25 又∵x只能取正整数， ∴x＝6 ∴当x＝6，4x+20＝44．（人） 答：住宿生有44人，安排住宿的房间6间． 题型十三：．坐标确定位置（共1小题） 25．如图，在平面直角坐标系中，已知A（a，0），B（b，0），其中a，b满足． （1）填空：a＝ 　﹣1　 ，b＝ 　3　 ； （2）若在第三象限内有一点M（﹣2，m），用含m的式子表示△ABM的面积； （3）在（2）条件下，线段BM与y轴相交于C（0，），当时，点P是y轴上的动点，当满足△PBM的面积是△ABM的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵a、b满足（b﹣3）2＝0， ∴a+1＝0，且b﹣3＝0， ∴a＝﹣1，b＝3， 故答案为：﹣1，3； （2）∵a＝﹣1，b＝3， ∴A（﹣1，0），B（3，0）， ∴AB＝4， ∵M（﹣2，m），且M在第三象限， ∴m＜0， ∴△ABM的面积4×（﹣m）＝﹣2m； （3）当m时， 则M（﹣2，），S△ABM＝﹣2m＝﹣2×（）＝3， ∵△PBM的面积＝△ABM的面积的2倍＝6， ∵△PBM的面积＝△MPC的面积+△BPC的面积PC×2PC×3＝6， 解得：PC， ∵C（0，）， ∴OC， 当点P在点C的下方时，P（0，），即P（0，）； 当点P在点C的上方时，P（0，），即P（0，）； 综上所述，点P的坐标为（0，）或（0，）． 题型十四：．坐标与图形性质（共7小题） 26．在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到x、y轴的距离中的最大值等于点Q到x、y轴的距离中的最大值，则称P，Q两点为“等距点”．如图中的P，Q两点即为“等距点”． （1）已知点A的坐标为（﹣3，1）， ①在点E（0，3），F（3，﹣3），G（2，﹣5）中，为点A的“等距点”的是　E、F　 ； ②若点B的坐标为B（m，m+6），且A，B两点为“等距点”，则点B的坐标为　（﹣3，3）　 ； （2）若T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”，求k的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵点A（﹣3，1）到x、y轴的距离中最大值为3， ∴与A点是“等距点”的点是E、F． ②当点B坐标中到x、y轴距离其中至少有一个为3的点有（3，9）、（﹣3，3）、（﹣9，﹣3）， 这些点中与A符合“等距点”的是（﹣3，3）． 故答案为①E、F；②（﹣3，3）； （2）T1（﹣1，﹣k﹣3），T2（4，4k﹣3）两点为“等距点”， ①若|4k﹣3|≤4时，则4＝﹣k﹣3或﹣4＝﹣k﹣3 解得k＝﹣7（舍去）或k＝1． ②若|4k﹣3|＞4时，则|4k﹣3|＝|﹣k﹣3| 解得k＝2或k＝0（舍去）． 根据“等距点”的定义知，k＝1或k＝2符合题意． 即k的值是1或2． 27．如图，在平面直角坐标系中，AB⊥x轴，垂足为A，BC⊥y轴，垂足为C，已知A（a，0），C（0，c），其中a，c满足关系式（a﹣6）20，点P从O点出发沿折线OA﹣AB﹣BC的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒． （1）在运动过程中，当点P到AB的距离为2个单位长度时，t＝　2或8　 ； （2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标； （3）当点P在线段AB上的运动过程中，射线AO上一点E，射线OC上一点F（不与C重合），连接PE，PF，使得∠EPF＝70°，求∠AEP与∠PFC的数量关系． 【答案】（1）2s或8s； （2）P（20﹣2t，﹣8）； （3）∠PEA+∠PFC＝160°或∠PFC﹣∠PEA＝20°． 【解答】解：（1）∵a，c满足关系式（a﹣6）20， ∴a﹣6＝0，c+8＝0， ∴a＝6，c＝﹣8， ∴B（6，﹣8）， 当点P到AB的距离为2个单位长度时，s＝6﹣2＝4，或s＝6+8+2＝16， ∴4÷2＝2s或16÷2＝8s， 故答案为：2或8； （2）①当0≤t＜3时，点P在OA上，此时，P（2t，0）． ②当3≤t＜7时，点P在AB上，此时，PA＝2t﹣6，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则P（6，6﹣2t）； ③当7≤t≤10时，点P在BC上，此时PB＝2t﹣OA﹣AB＝2t﹣14，PC＝BC﹣PB＝6﹣（2t﹣14）＝20﹣2t， ∴P（20﹣2t，﹣8）； （3）当点P在线段AB上时，∠PFC+∠PEA＝160°或∠PFC﹣∠AEP＝20°．分四种情况： ①如图1中，∠PFC﹣∠PEA＝20°，理由如下： ∵∠PEA＝90°﹣∠APE， ∴∠PFC＝180°﹣∠APF＝180°﹣70°﹣∠APE＝110°﹣∠APE， ∴∠PFC﹣∠PEA＝110°﹣∠APE﹣（90°﹣∠APE）＝20°； ②如图2中，∠PFC﹣∠PEA＝20°，理由如下： ∵∠PEA＝90°﹣∠APE， ∴∠PFC＝180°﹣∠APF＝180°﹣70°﹣∠APE＝110°﹣∠APE， ∴∠PFC﹣∠PEA＝110°﹣∠APE﹣（90°﹣∠APE）＝20°； ③如图3中，结论：∠PEA+∠PFC＝160°，理由如下： 连接OP， ∵∠PFC＝∠FPO+∠FOP，∠AEP＝∠EOP+∠EPO， ∴∠PEA+∠PFC＝∠FPO+∠FOP+∠EOP+∠EPO＝∠AOF+∠EPF＝90°+70°＝160°； ④如图4中，结论，∠PFC+∠AEP＝160°，理由如下： E在x轴负半轴，F在线段OC上，设PM交OC于G， ∵∠AEP+∠EGO＝90°，∠EGO＝∠PGF＝110°﹣∠PFG， ∴∠AEP+110°﹣∠PFG＝90°， ∴∠PFG﹣∠AEP＝20°， ∴180°﹣∠PFC﹣∠AEP＝20， ∴∠PFC+∠AEP＝160° 综上所述：∠PEA+∠PFC＝160°或∠PFC﹣∠PEA＝20°． 28．如图1，在平面直角坐标系中，点A为x轴负半轴上一点，点B为x轴正半轴上一点，C（0，a），D（b，a），其中a，b满足关系式|a+2|+（b﹣a+1）2＝0． （1）a＝　﹣2　 ，b＝　﹣3　 ； （2）如图2，若AC⊥BC，BQ平分∠ABC交AC于点Q，交OC于点P，求证：∠CPQ＝∠CQP； （3）如图3，若点A、点B分别在x轴负半轴和正半轴上运动，∠ACB的角平分线交x轴于点M，点N在x轴上，且∠BCF＝∠DCN，请补全图形，探究的值的变化情况，并直接写出结论（不要求写出探究过程）． 【答案】（1）﹣2，﹣3；（2）见解析；（3）． 【解答】（1）解：如图1中， ∵|a+2|+（b﹣a+1）2＝0， ∴a＝﹣2，b＝﹣3， 故答案为：﹣2，﹣3； （2）证明：如图2中， ∵BQ平分∠CBA， ∴∠OBP＝∠CBQ， ∵AC⊥BC， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BOP＝∠BCQ＝90°， ∴∠BPO＝∠CQP， ∵∠CPQ＝∠BPO， ∴∠CQP＝∠CPQ； （3）解：如图3，结论：定值． 理由：设∠DCN＝∠BCF＝x，∠ACD＝y， ∴∠ACB＝180°﹣x﹣y，∠ACN＝x﹣y， ∵CM平分∠ACB， ∴∠MCB（180°﹣x﹣y）， ∵AB∥CD， ∴∠ABC＝∠BCF＝x， ∴∠BCO＝90°﹣x， ∴∠OCM（180°﹣x﹣y）﹣（90°﹣x） ∴． 29．如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2），且|a+2|+（b﹣3）2＝0 （1）求a，b的值． （2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使，求点M的坐标； ②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使仍然成立，若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标． （3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上一动点，连接OP，OE平分∠AOP， OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由． 【答案】（1）a＝﹣2，b＝3； （1）①M（0，5）； ②M（2.5，0）或M（﹣2.5，0）或M（0，﹣5）； （3）2． 【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣3）2＝0， ∴a＝﹣2，b＝3， （2）①设M（0，m）（m＞0）， 由题意得：0.5m•1＝0.5×0.5×（2+3）×2， 解得：m＝5， ∴M（0，5）； ②当M 在y轴的负半轴上时，0.5（﹣m）•1＝0.5×0.5×（2+3）×2， m＝﹣5， M（0，﹣5）； 当M在横轴上时，设M（n，0）， 则：0.5×|n|×2＝0.5×0.5×（2+3）×2， 解得：n＝±2.5， ∴M（±2.5，0）， 所以M（2.5，0）或M（﹣2.5，0）或M（0，﹣5）； （3） 2， 理由：∵∠EOF＝90°，∠ODE＝90°， ∴∠OED+∠EFO＝90°，∠DOE+∠DEO＝90°，∠AOE+∠FOB＝90°，∠EOP+∠POF＝90°， ∴∠EOD＝∠EFO， ∵OE平分∠AOP，EF∥AB， ∴∠AOE＝∠EOP，∠OFE＝∠FOB， ∴∠FOP＝∠FOB＝∠OFP， ∵∠OPD＝∠PFO+∠POF＝2∠OFP＝2∠DOE， ∴2． 30．如图①，在平面直角坐标系中，点A、B在x轴上，AB⊥BC，AO＝OB＝2，BC＝3 （1）写出点A、B、C的坐标． （2）如图②，过点B作BD∥AC交y轴于点D，求∠CAB+∠BDO的大小． （3）如图③，在图②中，作AE、DE分别平分∠CAB、∠ODB，求∠AED的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）依题意得：A（﹣2，0），B（2，0），C（2，3）； （2）∵BD∥AC， ∴∠ABD＝∠BAC， ∴CAB+∠BDO＝∠ABD+∠BDO＝90°； （3）：∵BD∥AC， ∴∠ABD＝∠BAC， ∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB， ∴∠CAE+∠BDE（∠BAC+∠BDO）（∠ABD+∠BDO）90°＝45°， 过点E作EF∥AC， 则∠CAE＝∠AEF，∠BDE＝∠DEF， ∴∠AED＝∠AEF+∠DEF＝∠CAE+∠BDE＝45°． 31．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，过点A（8，6）分别作x轴、y轴的平行线，交y轴于点B，交x轴于点C，点P是从点B出发，沿B→A→C以2个单位长度/秒的速度向终点C运动的一个动点，运动时间为t（秒）． （1）直接写出点B和点C的坐标B（　0　 ，　6　 ）、C（　8　 ，　0　 ）； （2）当点P运动时，用含t的式子表示线段AP的长，并写出t的取值范围； （3）点D（2，0），连接PD、AD，在（2）条件下是否存在这样的t值，使S△APDS四边形ABOC，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）B（0，6），C（8，0）， 故答案为：0、6，8、0； （2）当点P在线段BA上时， 由A（8，6），B（0，6），C（8，0）可得：AB＝8，AC＝6 ∵AP＝AB﹣BP，BP＝2t， ∴AP＝8﹣2t（0≤t＜4）； 当点P在线段AC上时， ∴AP＝点P走过的路程﹣AB＝2t﹣8（4≤t≤7）． （3）存在两个符合条件的t值， 当点P在线段BA上时 ∵S△APDAP•AC S四边形ABOC＝AB•AC，S△APDS四边形ABOC， ∴（8﹣2t）×68×6， 解得：t＝3＜4， 当点P在线段AC上时， ∵S△APDAP•CD CD＝8﹣2＝6， ∴（2t﹣8）×68×6， 解得：t＝5． 综上所述：当t为3秒和5秒时S△APDS四边形ABOC， 32．在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（a，0），B（b，0），C（0，3）且a，b满足|a+4|+（b﹣4）2＝0，连接AC、BC． （1）如图1，若AC＝BC＝5，点M是直线BC上的一个动点，当AM最短时，求AM的值：点P是线段AB上的一个动点，且满足PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求PE+PF的值； （2）如图2，点过C作直线l1∥x轴，过点B作l2∥AC与l1交于点D，与y轴交于点E，AN、EN分别平分∠CAB、∠CEB，求∠ANE的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵|a+4|+（b﹣4）2＝0， ∴a＝﹣4，b＝4， ∴A（﹣4，0），B（4，0）， ∴AO＝BO＝4， ∵AC＝BC＝5， 过A作AM⊥BC，垂足为M，此时AM最短， ∵S△ABCAB•OCBC•AM， ∴AB•OC＝BC•AM， 即：8×3＝5•AM， ∴AM，∵△ABC，AC＝BC，PE⊥AC，PF⊥BC， ∴PE+PF＝AM， 答：当AM最短时，AM：PE+PF， （3）∵OA＝OB＝4，BE∥AC，∠AOC＝∠BOE＝90° ∴∠OAC＝∠OBE，∠OBE+∠OEB＝90°， ∴∠OAC+∠OEB＝90°， 过点N作NP∥AC，则NP∥AC∥BE， ∴∠ANP＝∠CAN∠OAC， ∠ENP＝∠BEN∠OEB， ∴∠ANP+∠ENP（∠OAC+∠OEB）90°＝45°， ∴∠ANE＝45°． 题型十五：．平行线的性质（共9小题） 33．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1+∠2+∠FEG＝180°， ∠3+∠4+∠EGH＝180°， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∴EF∥GH； （2）β＝2α﹣180°，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB， ∴∠2＝∠MEB， ∴∠MEG＝2∠2， 同理可得，∠MGE＝2∠3， 在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°， ∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE） ＝180°﹣（2∠2+2∠3） ＝180°﹣2（∠2+∠3） ＝180°﹣2（180°﹣α） ＝2α﹣180°； （3）90°+m或150°． 理由如下：①当n＝3时，如图所示： ∵∠BEG＝∠1＝m， ∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m， ∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m， ∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m）， ∵EF∥HK， ∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°， 则∠GHK＝120°， 则∠GHC＝30°， 由△GCH内角和，得γ＝90°+m． ②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 如图所示： 根据三角形外角定义，得 ∠G＝γ﹣60°， 由EF∥HK，且由（1）的结论可得， ∠G＝γ﹣60°＝90°， 则γ＝150°． 综上所述：γ的度数为：90°+m或150°． 34．已知，直线AB∥CD，点E、F分别在直线AB、CD上，点P是直线AB与CD外一点，连接PE、PF． （1）如图1，若∠AEP＝45°，∠DFP＝105°，求∠EPF的度数； （2）如图2，过点E作∠AEP的角平分线EM交FP的延长线于点M，∠DFP的角平分线FN交EM的反向延长线交于点N，若∠M与3∠N互补，试探索直线EP与直线FN的位置关系，并说明理由； （3）若点P在直线AB的上方且不在直线EF上，作∠DFP的角平分线FN交∠AEP的角平分线EM所在直线于点N，请直接写出∠EPF与∠ENF的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过P作PQ∥AB， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPE＝∠AEP＝45°，∠QPF＝∠180°﹣∠DFP＝180°﹣105°＝75°， ∴∠EPF＝∠QPE+∠DFP＝45°+75°＝120°． 故∠EPF＝120°； （2）EP∥FN，如图， 理由：∵EM平分∠AEP，FN平分∠MFD， ∴∠AEP＝2∠1，∠MFD＝2∠3， ∵AB∥CD， ∴∠3＝∠4， 由（1）得，∠M＝∠1+∠CFM＝∠1+（180°﹣2∠3）＝∠1+（180°﹣2∠4）， 由三角形外角的性质可得，∠N＝∠4﹣∠2＝∠4﹣∠1， ∵∠M与3∠N互补， ∴∠1+（180°﹣2∠4）+3（∠4﹣∠1）＝180°， 整理得，∠4＝2∠1＝∠AEP， ∴EP∥FN； （3）①∠EPF+2∠ENF＝180°．如图， ∵AB∥CD， ∴∠CFH＝∠EHF，∠EKF＝∠DFK， ∵FN平分∠DFP，ME平分∠AEP， ∴∠CFH＝180°﹣2∠DFK，∠AEP＝2∠AEM＝2∠KEN， 由外角的性质得，∠EPF＝∠EHF﹣∠AEP＝180°﹣2∠DFK﹣2∠AEM，∠ENF＝∠EKF+∠KEN＝∠DFK+∠AEM， ∴∠EPF＝180°﹣2∠ENF， ∴∠EPF+2∠ENF＝180°． ②∠EPF＝2∠ENF﹣180°．如图， ∵AB∥CD， ∴∠PKB＝∠PFD＝2∠DFN， 由外角的性质得，∠EPF＝∠PKB﹣∠BEP＝∠PKB﹣（180°﹣2∠MEP）＝2∠DFN+2∠AEM﹣180°， 由（1）得，∠ENF＝∠DFN+∠NEK＝∠DFN+∠AEM， ∴2∠ENF＝2∠DFN+2∠AEM， ∴∠EPF＝2∠ENF﹣180°． 35．已知，AB∥CD，点E为射线FG上一点． （1）如图1，若∠EAF＝30°，∠EDG＝45°，则∠AED＝　75　 °； （2）如图2，当点E在FG延长线上时，此时CD与AE交于点H，则∠AED、∠EAF、∠EDG之间满足怎样的关系，请说明你的结论： （3）如图3，DI平分∠EDC，交AE于点K，交AI于点I，且∠EAI：∠BAI＝1：2，∠AED＝22°，∠I＝20°求∠EKD的度数． 【答案】（1）75； （2）∠EAF＝∠AED+∠EDG，理由见解答； （3）142°． 【解答】解：（1）如图，延长DE交AB于H， ∵AB∥CD， ∴∠D＝∠AHE＝45°， ∵∠AED是△AEH的外角， ∴∠AED＝∠A+∠AHE＝30°+45°＝75°， 故答案为：75； （2）∠EAF＝∠AED+∠EDG． 理由：∵AB∥CD， ∴∠EAF＝∠EHC， ∵∠EHC是△DEH的外角， ∴∠EHG＝∠AED+∠EDG， ∴∠EAF＝∠AED+∠EDG； （3）∵∠EAI：∠BAI＝1：2， 设∠EAI＝α，则∠BAE＝3α， ∵∠AED＝22°，∠I＝20°，∠DKE＝∠AKI， 又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK＝180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI＝180°， ∴∠EDK＝α﹣2°， ∵DI平分∠EDC， ∴∠CDE＝2∠EDK＝2α﹣4°， ∵AB∥CD， ∴∠EHC＝∠EAF＝∠AED+∠EDG， 即3α＝22°+2α﹣4°， 解得α＝18°， ∴∠EDK＝16°， 在△DKE中，∠EKD＝180°﹣16°﹣22°＝142°． 36．已知：直线a∥b，点A和点B是直线a上的点，点C和点D是直线b上的点，连接AD，BC，设直线AD和BC交于点E． （1）在如图1所示的情形下，若AD⊥BC，求∠ABE+∠CDE的度数（提示：可过点E作EG∥AB）； （2）在如图2所示的情形下，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF与DF交于点F，当∠ABC＝64°，∠ADC＝72°时，求∠BFD的度数． （3）如图3，当点B在点A的右侧时，若BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF交于点F，设∠ABC＝α，∠ADC＝β，用含有α，β的代数式表示∠BFD的补角．（直接写出结果即可） 【答案】（1）90°； （2）68°； （3）． 【解答】解：（1）过点E作EG∥AB， ∵a∥b， ∴EG∥CD， ∴∠ABE＝∠BEG，∠CDE＝∠DEG， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BEG+∠DEG＝∠BED， ∵AD⊥BC， ∴∠ABE+∠CDE＝∠BED＝90°； （2）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FH∥CD， ∴∠ABF＝∠BFH，∠CDF＝∠DFH， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝∠BFH+∠DFH， ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝64°，∠ADC＝72°， ∴∠ABFABC＝32°，∠CDFADC＝36°， ∴∠BFD＝∠ABF+∠CDF＝68°； （3）如图，过点F作FH∥AB， ∵a∥b， ∴FQ∥CD， ∴∠ABF+∠BFQ＝180°，∠CDF＝∠DFQ， ∴∠BFD＝∠BFQ+∠DFQ＝180°﹣∠ABF+∠CDF ∵BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，∠ABC＝α，∠ADC＝β， ∴∠ABFABC，∠CDFADC， ∴∠BFD＝180°﹣∠ABF+∠CDF＝180°， ∴∠BFD的补角． 37．如图1，AB∥CD，点E在AB上，点H在CD上，点F在直线AB，CD之间，连接EF，FH，∠BEF＝α，∠FHD＝β． （1）直接写出∠EFH的度数为 　α+β　 ； （2）如图2，若HM平分∠CHF，MN平分∠BEF，证明：∠EFH+2∠M＝180°； （3）如图3，若∠BEN∠BEF，∠MHC∠FHC，则∠M＝　（α+β）　 ．（用含有n，α，β的式子表示） 【答案】（1）α+β； （2）证明过程见解答； （3）（α+β）． 【解答】（1）解：过F点作FG∥AB， ∴∠BEF＝∠EFG， ∵AB∥CD， ∴FG∥CD， ∴∠GFH＝∠FHD， ∴∠EFH＝∠BEF+∠FHD， ∵∠BEF＝α，∠FHD＝β， ∴∠EFH＝α+β， 故答案为：α+β； （2）证明：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD， 过M点作MP∥AB， ∵AB∥CD， ∴MP∥CD， ∴∠PMH＝∠MHC，∠PME＝∠AEM， ∵∠AME＝∠CHM﹣∠AEM＝∠CHM﹣∠NEF， ∵HM平分∠CHF，MN平分∠BEF， ∴∠MHC∠CHF，∠FEN∠BEF， ∵∠CHF＝180°﹣∠FHD， ∴∠MHC＝90°∠FHD， ∵∠EFH＝∠BEF+∠FHD， ＝2∠FEN+180°﹣∠FHC， 即∠EFH+2∠M＝180°； （3）解：由（1）知：∠EFH＝∠BEF+∠FHD， ∵AB∥CD， ∴∠MAE＝∠AHD＝∠AHF+∠FHD， ∵∠M+∠MAE+∠AEM＝180°，∠AEM＝∠BEN， ∴∠M+∠AHF+∠FHD+∠BEN＝180°， ∵∠BEN∠BEF，∠MHC∠FHC，∠CHF＝180°﹣∠FHD， ∴∠AHF∠CHF（180°﹣∠FHD）， ∴∠M（180°﹣∠FHD）+∠FHD∠BEF＝180°，即∠M（∠FHD+∠BEF）180°， ∴∠M∠EFH， ∵∠EFH＝α+β， ∴∠M（α+β）． 故答案为：（α+β）． 38．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP． （1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP＝60°，∠DCP＝20°时，求∠APC． （2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过P作PE∥AB， ∵AB∥CD， ∴PE∥AB∥CD， ∴∠APE＝∠BAP，∠CPE＝∠DCP， ∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝∠BAP+∠DCP＝60°+20°＝80°； （2）∠AKC∠APC． 理由：如图2，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠AKE＝∠BAK，∠CKE＝∠DCK， ∴∠AKC＝∠AKE+∠CKE＝∠BAK+∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP+∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK+∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP+∠DCP）∠APC， ∴∠AKC∠APC； （3）∠AKC∠APC． 理由：如图3，过K作KE∥AB， ∵AB∥CD， ∴KE∥AB∥CD， ∴∠BAK＝∠AKE，∠DCK＝∠CKE， ∴∠AKC＝∠AKE﹣∠CKE＝∠BAK﹣∠DCK， 过P作PF∥AB， 同理可得，∠APC＝∠BAP﹣∠DCP， ∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K， ∴∠BAK﹣∠DCK∠BAP∠DCP（∠BAP﹣∠DCP）∠APC， ∴∠AKC∠APC． 39．如图，已知AM∥BN，∠A＝60°．点P是射线AM上一动点（与点A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，分别交射线AM于点C，D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，∠APB与∠ADB之间的数量关系是否随之发生变化？若不变化，请写出它们之间的关系，并说明理由；若变化，请写出变化规律． （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，∠ABC的度数是 　30°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠A+∠ABN＝180°， ∵∠A＝60°， ∴∠ABN＝120°， ∵BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN， ∴∠CBP∠ABP，∠DBP∠NBP， ∴∠CBD∠ABN＝60°； （2）不变化，∠APB＝2∠ADB． 证明：∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN， ∠ADB＝∠DBN， 又∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB＝2∠ADB； （3）∵AD∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 又∵∠ACB＝∠ABD， ∴∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可得，∠CBD＝60°，∠ABN＝120°， ∴∠ABC（120°﹣60°）＝30°， 故答案为：30°． 40．如图1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°； （1）若∠E＝60°，则∠F＝　90°　 ； （2）请探索∠E与∠F之间满足的数量关系？说明理由； （3）如图2，已知EP平分∠BEF，FG平分∠EFD，反向延长FG交EP于点P，求∠P的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB， ∴EM∥AB∥FN， ∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN， ∴∠D+∠DFN＝180°， 又∵∠D＝120°， ∴∠DFN＝60°， ∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°， ∴∠EFD＝∠MEF+60° ∴∠EFD＝∠BEF+30°＝90°； 故答案为：90°； （2）如图1，分别过点E，F作EM∥AB，FN∥AB， ∴EM∥AB∥FN， ∴∠B＝∠BEM＝30°，∠MEF＝∠EFN， 又∵AB∥CD，AB∥FN， ∴CD∥FN， ∴∠D+∠DFN＝180°， 又∵∠D＝120°， ∴∠DFN＝60°， ∴∠BEF＝∠MEF+30°，∠EFD＝∠EFN+60°， ∴∠EFD＝∠MEF+60°， ∴∠EFD＝∠BEF+30°； （3）如图2，过点F作FH∥EP， 由（2）知，∠EFD＝∠BEF+30°， 设∠BEF＝2x°，则∠EFD＝（2x+30）°， ∵EP平分∠BEF，GF平分∠EFD， ∴∠PEF∠BEF＝x°，∠EFG∠EFD＝（x+15）°， ∵FH∥EP， ∴∠PEF＝∠EFH＝x°，∠P＝∠HFG， ∵∠HFG＝∠EFG﹣∠EFH＝15°， ∴∠P＝15°． 41．如图，已知AM∥BN，∠A＝80°，点P是射线AM上动点（与A不重合），BC、BD分别平分∠ABP和∠PBN，交射线AM于C、D． （1）求∠CBD的度数； （2）当点P运动时，那么∠APB：∠ADB的度数比值是否随之发生变化？若不变，请求出这个比值；若变化，请找出变化规律； （3）当点P运动到使∠ACB＝∠ABD时，求∠ABC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵AM∥BN， ∴∠ABN+∠A＝180°， ∴∠ABN＝180°﹣80°＝100°， ∴∠ABP+∠PBN＝100°， ∵BC平分∠ABP，BD平分∠PBN， ∴∠ABP＝2∠CBP，∠PBN＝2∠DBP， ∴2∠CBP+2∠DBP＝100°， ∴∠CBD＝∠CBP+∠DBP＝50°； （2）不变，∠APB：∠ADB＝2：1． ∵AM∥BN， ∴∠APB＝∠PBN，∠ADB＝∠DBN， ∵BD平分∠PBN， ∴∠PBN＝2∠DBN， ∴∠APB：∠ADB＝2：1； （3）∵AM∥BN， ∴∠ACB＝∠CBN， 当∠ACB＝∠ABD时，则有∠CBN＝∠ABD， ∴∠ABC+∠CBD＝∠CBD+∠DBN， ∴∠ABC＝∠DBN， 由（1）可知∠ABN＝100°，∠CBD＝50°， ∴∠ABC+∠DBN＝50°， ∴∠ABC＝25°． 题型十六：．平行线的判定与性质（共7小题） 42．已知AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，点E、F分别在射线AD、BC上运动，满足∠AEF＝∠B，连接EG． （1）如图1，当点F在点G左侧时，求证：AB∥EF； （2）如图2，当点F在点G右侧时，设∠BAG＝α，∠GEF＝β，请直接用含α，β的代数式表示∠AGE的度数 　α+β　 ； （3）在射线BC下方有一点H，连接AH、EH，满足∠BAH＝2∠HAG，EH平分∠FEG，若∠FEG＝20°，∠BAG＝60°，请直接写出∠AGE+∠H的度数 　70°或130°　 ． 【答案】（1）见解答．（2）α+β．（3）70°或130°． 【解答】（1）证明：∵AG平分∠BAD， ∴∠BAG＝∠DAG（角平分线的定义）， ∵∠BAG＝∠BGA， ∠BGA＝∠DAG（等量代换）， ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）， ∴∠B+∠BAD＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， ∵∠AEF＝∠B， ∴∠AEF+∠BAD＝180°（等量代换）， ∴AB∥EF． （2）解：∵AB∥EF，∠BAG＝∠BGA，∠BAG＝α， ∴∠EAG＝∠BAG＝α，∠B＝180°﹣2α， ∵∠AEF＝∠B＝180°﹣2α，∠GEF＝β， ∴∠GEA＝180°﹣2α﹣β， ∵AD∥BC， ∴∠EGF＝∠GEA＝180°﹣2α﹣β， ∴∠EGA＝180°﹣∠AGB﹣∠EGF＝180°﹣α﹣（180°﹣2α﹣β）＝α+β． 故答案为：α+β． （3）解：∵AG平分∠BAD，∠BAG＝∠BGA，∠BAG＝60°， ∴∠BAG＝∠BGA＝∠DAG＝∠B＝60°． ∵∠AEF＝∠B，∠BAH＝2∠HAG， ∴∠AEF＝∠B＝60°，∠HAG＝20°， ∵EH平分∠FEG，∠FEG＝20°， ∴∠FEH＝∠GEH＝10°， 当点F在点G左侧时，如图： 在△HAE中，∠H＝180°﹣20°﹣60°﹣60°﹣10°＝30°． 在△GAE中，∠AGE＝180°﹣60°﹣60°﹣20°＝40°， ∴∠AGE+∠H＝70°． 当点F在点G右侧时，如图： 在△HAE中，∠H＝180°﹣20°﹣60°﹣（60°﹣10°）＝50°， 在△GAE中，∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣20°）＝80°， ∴∠AGE+∠H＝130°． 故答案为：70°或130°． 43．将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中∠A＝60°，∠D＝30°，∠E＝∠B＝45°． （1）填空：∠1与∠3的数量关系：　∠1＝∠3　 ；理由是 　同角的余角相等　 ； （2）直接写出∠2与∠ACB的数量关系：　∠2+∠ACB＝180°　 ； （3）如图2，当点E在直线AC的上方时，将三角尺ACD固定不动，改变三角尺BCE的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合；探究一下问题： ①当BE∥AD时．画出图形，并求出∠ACE的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？请直接写出此时∠ACE角度所有可能的值． 【答案】（1）∠1＝∠3，同角的余角相等； （2）∠2+∠ACB＝180°； （3）①如图3，∠ACE＝165°；②存在，当BC∥AD时，∠ACE＝30°；当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；当AD∥CE时，∠ACE＝120°；当BE∥CD时，∠ACE＝135°． 【解答】解：（1）∵∠ACD＝∠BCE＝90°， ∴∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3（同角的余角相等）， 故答案为：∠1＝∠3，同角的余角相等； （2）∵∠1+∠2＝∠2+∠3＝90°， ∴∠1+∠2+∠3+∠2＝180 ∵∠1+∠2+∠3＝∠ACB， ∴∠2+∠ACB＝180°， 故答案为：∠2+∠ACB＝180°； （3）①如图3，当BE∥AD时，作CF∥AD， ∵BE∥AD，CF∥AD， ∴BE∥AD∥CF， ∴∠ECF＝∠E＝45°，∠DCF＝∠D＝30°， ∴∠DCE＝∠D+∠E＝30°+45°＝75°， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝90°+75°＝165°； ②存在， 如图4，当BC∥AD时，∠DCB＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝30°； 如图5，当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°； 如图6，当AD∥CE时，∠DCE＝∠D＝30°， ∴∠ACE＝90°+30°＝120°； 如图7，当BE∥CD时，∠DCE＝∠E＝45°， ∴∠ACE＝90°+45°＝135°． 综上，①如图3，∠ACE＝165°；②存在，当BC∥AD时，∠ACE＝30°；当BE∥AC时，∠ACE＝∠E＝45°；当AD∥CE时，∠ACE＝120°；当BE∥CD时，∠ACE＝135°． 44．（1）探究：如图1，AB∥CD，点G、H分别在直线AB、CD上，连结PG、PH，当点P在直线GH的左侧时，试说明∠GPH＝∠AGP+∠CHP； （2）变式：如图2，将点P移动到直线GH的右侧，其他条件不变，试探究∠GPH、∠AGP、∠CHP之间的关系，并说明理由； （3）（问题迁移）如图3，AB∥CD，点P在AB的上方，问∠GPH、∠AGP、∠CHP之间有何数量关系？请说明理由； （4）（联想拓展）如图4所示，在（2）的条件下，已知∠GPH＝α，∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q，用含有α的式子表示∠GQH的度数． 【答案】（1）证明见解答； （2）∠AGP+∠GPH+∠CHP＝360°，理由见解答； （3）∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP，理由见解答； （4）∠GQHα． 【解答】解：（1）如图所示：过点P作PE∥AB， ∴∠AGP＝∠GPE， ∵AB∥CD， ∴PE∥CD， ∴∠CHP＝∠HPE， ∵∠GPH＝∠GPE+∠HPE， ∴∠GPH＝∠AGP+∠CHP； （2）∠AGP+∠GPH+∠CHP＝360°，理由如下： 如图所示：过点P作PF∥AB， ∴∠AGP+∠GPF＝180°， ∵AB∥CD， ∴PF∥CD， ∴∠FPH+∠CHP＝180°， ∴∠AGP+∠GPF+∠FPH+∠CHP＝360°， ∵∠GPH＝∠GPF+∠FPH， ∴∠AGP+∠GPH+∠CHP＝360°； （3）∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP，理由如下： 如图所示：过点P作PM∥AB， ∴∠AGP＝∠MPG， ∵AB∥CD， ∴PM∥CD， ∴∠CHP＝∠MPH， ∵∠GPH＝∠MPG﹣∠MPH， ∴∠GPH＝∠AGP﹣∠CHP； （4）如图所示：过点P作PN∥AB，过点Q作OQ∥AB， ∴∠NPG＝∠PGB，∠OQG＝∠QGB， ∵AB∥CD， ∴PN∥CD，OQ∥CD， ∴∠NPH＝∠PHD，∠OQH＝∠QHD， ∵∠GPH＝∠NPH﹣∠NPG，∠GQH＝∠OQH﹣∠OQD， ∴∠GPH＝∠PHD﹣∠PGB，∠GQH＝∠QHD﹣∠QGB， ∵∠PGB的平分线和∠PHD的平分线交于点Q， ∴∠QGB∠PGB，∠QHD∠PHD， ∴∠GQH＝∠QHD﹣∠QGB∠PHD∠PGB（∠PHD﹣∠PGB）∠GPH， ∴∠GQHα． 45．已知：∠AOB＝α（0°＜α＜90°），一块三角板CDE中，∠CED＝90°，∠CDE＝30°，将三角板CDE如图所示放置，使顶点C落在OB边上，经过点D作直线MN∥OB交OA边于点M，且点M在点D的左侧． （1）如图，若CE∥OA，∠NDE＝45°，则α＝　45　 °； （2）若∠MDC的平分线DF交OB边于点F， ①如图，当DF∥OA，且α＝60°时，试说明：CE∥OA； ②如图，当CE∥OA保持不变时，试求出∠OFD与α之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图，过点E作EF∥MN， ∴∠DEF＝∠NDE＝45°， ∵∠CED＝90°， ∴∠FEC＝45°， ∵MN∥OB， ∴EF∥OB， ∴∠BCE＝∠FCE＝45°， ∵AO∥CE， ∴∠AOB＝∠ECB＝45°， 则α＝45°， 故答案为：45； （2）①∵DF∥OA， ∴∠DFC＝∠AOB＝α＝60°， ∵MN∥OB， ∴∠MDF＝∠DFC， ∵DF平分∠MDC， ∴∠CDF＝∠MDF＝60°， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠CDF＝∠DCE， ∴CE∥DF， ∵DF∥OA， ∴CE∥OA； ②∵当CE∥OA保持不变时，总有∠ECB＝α， 在直角三角形DCE中，∠DCE＝60°， ∴∠DCB＝60°+α， ∵MN∥OB， ∴∠MDC＝∠DCB＝60°+α，且∠DFC＝∠MDF， ∵DF平分∠MDC， ∴， ∴． 46．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABGABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3EDF， ∴ABE+∠βEDF， ∴∠β（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBKEBK， ∠CDN＝∠EDNCDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDNCDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ∠EBKCDE （∠EBK﹣∠CDE） 80° ＝40°． 47．已知AM∥CN，点B为平面内一点，AB⊥BC于B． （1）如图1，直接写出∠A和∠C之间的数量关系 　∠A+∠C＝90°　 ； （2）如图2，过点B作BD⊥AM于点D，求证：∠ABD＝∠C； （3）如图3，在（2）问的条件下，点E、F在DM上，连接BE、BF、CF，BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，若∠FCB+∠NCF＝180°，∠BFC＝3∠DBE，求∠EBC的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，AM与BC的交点记作点O， ∵AM∥CN， ∴∠C＝∠AOB， ∵AB⊥BC， ∴∠A+∠AOB＝90°， ∴∠A+∠C＝90°， 故答案为：∠A+∠C＝90°； （2）如图2，过点B作BG∥DM， ∵BD⊥AM， ∴DB⊥BG，即∠ABD+∠ABG＝90°， 又∵AB⊥BC， ∴∠CBG+∠ABG＝90°， ∴∠ABD＝∠CBG， ∵AM∥CN，BG∥AM， ∴CN∥BG， ∴∠C＝∠CBG， ∴∠ABD＝∠C； （3）如图3，过点B作BG∥DM， ∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD， ∴∠DBF＝∠CBF，∠DBE＝∠ABE， 由（2）可得∠ABD＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠GBF， 设∠DBE＝α，∠ABF＝β，则 ∠ABE＝α，∠ABD＝2α＝∠CBG，∠GBF＝β＝∠AFB，∠BFC＝3∠DBE＝3α， ∴∠AFC＝3α+β， ∵∠AFC+∠NCF＝180°，∠FCB+∠NCF＝180°， ∴∠FCB＝∠AFC＝3α+β， △BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF＝180°，可得 （2α+β）+3α+（3α+β）＝180°，① 由AB⊥BC，可得 β+β+2α＝90°，② 由①②联立方程组，解得α＝15°， ∴∠ABE＝15°， ∴∠EBC＝∠ABE+∠ABC＝15°+90°＝105°． 48．已知，BC∥OA，∠B＝∠A＝108°，试解答下列问题： （1）如图①，则∠O＝　72°　 ，则OB与AC的位置关系为　平行　 （2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC＝∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于　36°　 ； （3）在第（2）题的条件下，若平行移动AC到如图③所示位置． ①在AC移动的过程中，∠OCB与∠OFB的比值是否发生改变，若不改变求出其比值，若要改变说明理由； ②当∠OEB＝∠OCA时，求∠OCA． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵BC∥OA， ∴∠B+∠O＝180°， ∵∠B＝108°， ∴∠O＝72°， ∵∠A＝108°， ∴∠O+∠A＝180°， ∴OB∥AC， 故答案为：72°，平行； （2）∵∠FOC＝∠AOC，OE平分∠BOF，∠BOA＝72°， ∴∠EOC＝∠EOF+∠FOC∠BOF∠FOA36°， 故答案为：36°； （3）①不变， ∵BC∥OA， ∴∠OCB＝∠AOC， 又∵∠FOC＝∠AOC， ∴∠FOC＝∠OCB， 又∵BC∥OA， ∴∠OFB＝∠FOA＝2∠FOC， ∴∠OFB＝2∠OCB， 即∠OCB：∠OFB＝1：2． 即∠OCB与∠OFB的比值为； ②由（1）知：OB∥AC， ∴∠OCA＝∠BOC， 由（2）可以设：∠BOE＝∠EOF＝α，∠FOC＝∠COA＝β， ∴∠OCA＝∠BOC＝2α+β 由（1）知：BC∥OA， ∴∠OEB＝∠EOA＝α+β+β＝α+2β ∵∠OEB＝∠OCA ∴2α+β＝α+2β ∴α＝β ∵∠AOB＝72°， ∴α＝β＝18° ∴∠OCA＝2α+β＝36°+18°＝54°． 题型十七：．坐标与图形变化-平移（共2小题） 49．如图1，已知，点A（1，a），AH⊥x轴，垂足为H，将线段AO平移至线段BC，点B（b，0），其中点A与点B对应，点O与点C对应，a、b满足． （1）填空：①直接写出A、B、C三点的坐标A（ 　1，4　 ）、B（ 　3，0　 ）、C（ 　2，﹣4　 ）； ②直接写出三角形AOH的面积 　2　 ． （2）如图1，若点D（m，n）在线段OA上，证明：4m＝n． （3）如图2，连OC，动点P从点B开始在x轴上以每秒2个单位的速度向左运动，同时点Q从点O开始在y轴上以每秒1个单位的速度向下运动．若经过t秒，三角形AOP与三角形COQ的面积相等，试求t的值及点P的坐标． 【答案】（1）①1，4；3，0；2，﹣4． ②2． （2）证明见解析部分． （3）t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 【解答】（1）解：①∵， 又∵0，（b﹣3）2≥0， ∴a＝4，b＝3， ∴A（1，4），B（3，0），C（（2，﹣4）， 故答案为：1，4；3，0；2，﹣4． ②△AOH的面积1×4＝2， 故答案为：2． （2）证明：如图，连接DH． ∵△ODH的面积+△ADH的面积＝△OAH的面积， ∴1×n4×（1﹣m）＝2， ∴4m＝n． （3）解：①当点P在线段OB上，（3﹣2t）×42t， 解得t＝1.2． 此时P（0.6，0）． ②当点P在BO的延长线上时，（2t﹣3）×42×t， 解得t＝2， 此时P（﹣1，0）， 综上所述，t＝1.2时，P（0.6，0），t＝2时，P（﹣1，0）． 50．在平面直角坐标系中，有点A（a，0），B（0，b），且a，b满足|b+2|＝0，B向上平移k个单位得到线段CD． （1）求点A，B的坐标； （2）如图，E为线段CD上任意一点，F为线段AB上任意一点，∠EOF＝120°．G为线段AB与线段CD之间一点，连接GE，GF，且∠DEG∠DEO，∠EGF＝80°．试写出∠AFG与∠GFO之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）点A（4，0），点B（0，﹣2）； （2）点A（4，0），点B（0，﹣2），理由见解答过程． 【解答】解：（1）∵|b+2|＝0， ∴a＝4，b＝﹣2， ∴点A（4，0），点B（0，﹣2）； （2）∠AFG∠GFO，理由如下： 延长FG、CD交于点N，延长EO、AB交于点H，如图所示： 设∠DEG＝α，∠GFA＝β， ∵∠DEG∠DEO， 则∠DEO＝3α， ∵CD∥AB， ∴∠ENG＝∠GFA＝β，∠DEO+∠EHF＝180°， ∴∠EHF＝180°﹣3α， ∵∠EOF＝∠EHF+∠OFH＝120°，∠EGF＝∠GEN+∠ENF＝80°， ∴∠OFH＝120°﹣∠EHF＝120°﹣180°+3α＝3α﹣60°，α+β＝80°， ∵∠GFO＝180°﹣∠OFH﹣∠GFA＝180°﹣3α+60°﹣β＝240°﹣3α﹣β＝240°﹣80°﹣2α＝2（80°﹣α）＝2β， ∴∠AFG∠GFO． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/16 6:23:41；用户：傲雪寒松；邮箱：15296527686；学号：19441978 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$