专题09 一元一次不等式组的应用压轴汇编（四大类型）-【常考压轴题】2024-2025学年七年级数学下册压轴题攻略（人教版2024）

专题09 一元一次不等式组的应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、分配问题 1 类型二、销售﹑利润问题 2 类型三、方案问题 4 类型四、其他问题 5 压轴能力测评（14题） 7 一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 类型一、分配问题 【典例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到苹果，但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为 ． 【变式1-2】（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？ 类型二、销售﹑利润问题 【典例2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 B款 一月 3 1 35 二月 1 3 33 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别为多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为8万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，共有几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，当a为何值时，（2）中所有的方案获利相同？ 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？ 【变式2-3】（23-24七年级下·安徽黄山·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品13件，B种纪念品4件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 类型三、方案问题 【典例3】（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【变式3-1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【变式3-2】（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【变式3-3】（23-24七年级下·全国·期中）某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 类型四、其他问题 【典例4】（23-24七年级下·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 【变式4-1】（23-24七年级下·吉林长春·期末）某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 【变式4-2】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）两家货运公司一家经营大货车，另一家经营小货车，已知3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨． (1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨； (2)目前有46吨货物需要运输，计划让两家货运公司都参与运输，大小货车共12辆，且小货车数量不少于大货车的数量的2倍，全部货物一次运完，请列出可能的方案，并说明理由． 【变式4-3】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）某银行发行了A、B两种纪念币，已知3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币面值共需130元 (1)求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ (2)若小明准备用至少850元的金额购买A、B两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能采购多少枚？ (3)在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请说明哪种方案最划算 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 2．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24七年级下·河南周口·期中）定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数．已知，则．例如：若，则．如果，那么的取值范围是 。 三、解答题 5．（23-24七年级下·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？ 6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元买了一支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？ 7．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 8．（22-23七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而使用丝巾遮盖口鼻，这样蒙口鼻的给布，也就是原始的口罩，由于新冠防疫，某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元，2个A型口罩和1个B型口罩共需28元． (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ (2)药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，请设计出最省钱方案？ 13．（23-24七年级下·广东广州·单元测试）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同． (1)求这两种书的单价； (2)若购买《北上》的数量不少于17本，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？ 14．（23-24七年级下·云南普洱·期末）普洱市某中学计划从商场购买甲、乙两种不同型号的电风扇，经调查发现，若购买1台甲型和1台乙型电风扇，共需资金420元；若购买4台甲型和3台乙型电风扇，共需资金1440元． (1)求甲、乙两种型号电风扇每台的价格分别是多少元； (2)若该校计划购进这两种不同型号电风扇共20台，其中乙型电风扇的数量不少于甲型电风扇的数量，学校至多能够提供资金4320元，那么有哪几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 一元一次不等式组的应用压轴汇编 目录 解题知识必备 1 压轴题型讲练 1 类型一、分配问题 1 类型二、销售﹑利润问题 3 类型三、方案问题 7 类型四、其他问题 11 压轴能力测评（14题） 14 一元一次不等式（组）应用题的解法步骤：审，设，列，解，答。 审题过程中，找不等量关系时，多注意“不超过”、“低于”、“不少于”等不等量关系的词语；不等式组的应用题也常和方程结合，不等式的解作为方案类问题选择的范围，取整后得到对应方案。 类型一、分配问题 【典例1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某学校七年级（1）班购买若干支签字笔作为奖品发放给获奖学生，如果每人分5支，那么剩余7支；如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支，则该班级获奖学生的人数至少是多少？ 【答案】10人 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用；根据题意列出不等式组是解题的关键；设获奖学生有x人，则共有支签字笔，根据“如果每人分6支，那么最后一名学生虽然能分到但分到的笔少于4支”，列出不等式组并求解即可． 【详解】解：设获奖学生有x人，则共有支签字笔． 依题意，得 解得． x为整数， x的最小值为10，即获奖学生至少有10人． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到苹果，但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，其中根据题意表示出最后一名小朋友分到的苹果数是解本题的关键．若设有x人，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；苹果的总数即为个，再根据每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到苹果，但不到8个苹果列出不等式组即可． 【详解】解：若设有x人， 根据题意可列不等式组为：， 故答案为： 【变式1-2】（22-23八年级下·四川达州·期中）八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树 8 棵，还剩 7 棵，若每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵．若设同学人数为 x 人，则下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若设同学人数为x人，则植树的棵数为棵，根据“每人平均植树 9 棵，则有 1 位同学植树的棵数不到 8 棵”列一元一次不等式组即可． 【详解】解：若每人平均植树 9 棵，则位同学植树棵数为， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的总棵数为棵， ∴可列不等式组为：． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． 【变式1-3】（23-24七年级下·山东济宁·期末）医院安排护士若干名负责护理病人，若每名护士护理4名病人，则有20名病人没人护理，如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人，这个医院安排了几名护士护理病人？ 【答案】这个医院安排了6名护士护理病人 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设这个医院安排了x名护士护理病人，则一共有名病人，根据如果每名护士护理8名病人，有一名护士护理的病人多于1人不足8人列出不等式组求解即可． 【详解】解：设这个医院安排了x名护士护理病人， 由题意得，， 解得， ∵x为正整数， ∴， 答：这个医院安排了6名护士护理病人． 类型二、销售﹑利润问题 【典例2】（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）某汽车销售公司经销某品牌A，B两款汽车，今年一、二月份销售情况如表所示：（A，B两款汽车的销售单价保持不变） 销售数量（辆） 销售额（万元） A款 B款 一月 3 1 35 二月 1 3 33 (1)求A，B两款汽车每辆售价分别为多少万元？ (2)若A款汽车每辆进价为8万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，共有几种进货方案？ (3)为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，当a为何值时，（2）中所有的方案获利相同？ 【答案】(1)每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元； (2)方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车；方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车；方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车； (3)；理由见解析 【分析】（1）设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元，利用销售金额销售单价销售数量，结合一、二月份的销售数量及销售金额，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进辆款汽车，则购进辆款汽车，利用进货总价进货单价进货数量，结合进货总价不多于105万元且不少于99万元，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各进货方案； （3）根据各种方案利润相同，列出关于a的方程，然后解方程，得出a的值，再进行验证即可． 【详解】（1）解：设每辆款汽车的售价为万元，每辆款汽车的售价为万元， 依题意得：， 解得：， 答：每辆款汽车的售价为9万元，每辆款汽车的售价为8万元； （2）解：设购进辆款汽车，则购进辆款汽车， 依题意得：， 解得：， 又为整数， 可以为5，6，7， 该公司共有3种进货方案， 方案1：购进5辆款汽车，10辆款汽车； 方案2：购进6辆款汽车，9辆款汽车； 方案3：购进7辆款汽车，8辆款汽车； （3）解：；理由如下： 根据题意得：， 解得：， ∵当时，每辆B款汽车获利为：（万元）， 又∵每辆A款汽车获利为：（万元）， ∴当时，两款汽车每辆获利相同， ∴每种方案获利多少与汽车总辆数有关， ∴三种方案获利相同． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【变式2-1】（2025七年级下·全国·专题练习）某小区计划购买台健身器材供小区居民锻炼使用，了解到购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元． (1)型健身器材和型健身器材的单价各是多少元？ (2)该小区计划购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元 (2)有种购买方案．购买台型健身器材，台型健身器材最省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，能够理解题意，正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解答本题的关键． （1）设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元，根据“购买台型健身器材比购买台型健身器材贵元，购买台型健身器材和台型健身器材共花元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买台型健身器材，则购买台型健身器材，根据“购买型健身器材的数量不得超过型健身器材，购买资金不低于元”，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，再结合为整数，即可得出各购买方案，求出选择各方案所需购买资金，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元， 依题意得：， 解得：， 答：型健身器材的单价是元，型健身器材的单价是元； （2）解：设购买台型健身器材，则购买台型健身器材， 依题意得：， 解得：，   又 为整数， 可以为，， 共有种购买方案， 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； 方案：购买台型健身器材，台型健身器材，所需购买资金为（元）； ， 最省钱的购物方案为：购买台型健身器材，台型健身器材． 【变式2-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如下表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 (1)若工厂计划获利14万元，则A、B两种产品应分别生产多少件？ (2)若工厂计划投入资金不多于35万元，且获利多于14万元，则工厂有哪几种生产方案？ 【答案】(1)生产种产品8件，种产品2件． (2)见解析 【分析】此题考查的是一元一次方程的应用和一元一次不等式组的应用． （1）设生产种产品件，则生产种产品件，根据“工厂计划生产，两种产品共10件，工厂计划获利14万元”列出方程组即可得出结论； （2）设生产产品件，则生产产品件，根据题意，列出一元一次不等式组，求出m的取值范围，即可求出方案． 【详解】（1）解：设生产种产品件，则生产种产品件， 根据题意，得解得 答：应该生产种产品8件，种产品2件． （2）解：设生产产品件，则生产产品件， 根据题意，得 解得． 为正整数， 的值为5，6或7， 该工厂有三种生产方案： 方案①：生产种产品5件，种产品5件； 方案②：生产种产品6件，种产品4件； 方案③：生产种产品7件，种产品3件． 【变式2-3】（23-24七年级下·安徽黄山·期末）某旅游商品经销店欲购进A、B两种纪念品，若用380元购进A种纪念品7件，B种纪念品8件；也可以用380元购进A种纪念品13件，B种纪念品4件． (1)求A、B两种纪念品的进价分别为多少？ (2)若该商店每销售1件A种纪念品可获利5元，每销售1件B种纪念品可获利7元，该商店准备用不超过900元购进A、B两种纪念品40件，且这两种纪念品全部售出后总获利不低于216元，问共有几种方案并求出利润最大值？ 【答案】(1)A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元 (2)一共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元 【分析】本题主要考查二元一次方程组及一元一次不等式组的应用，解题的关键是理解题意； （1）设A、B两种纪念品的进价分别为元、元，然后根据题意可得方程组为，进而求解即可； （2）设商店准备购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件，由（1）即题意可得，然后分别求出利润即可． 【详解】（1）解：设A、B两种纪念品的进价分别为元、元．由题意， 得， 解得； 答：A、B两种纪念品的进价分别为20元、30元． （2）解：设商店准备购进A种纪念品件，则购进B种纪念品件． 由题意，得， 解得：； 因为为整数，所以取30，31，32．故共有3种方案． 当，利润：（元） 当，利润：元） 当，利润：（元） 答：一共有3种方案，当购进A种30件，B种10件时，获得最大利润220元． 类型三、方案问题 【典例3】（24-25八年级下·浙江丽水·开学考试）某工程队有A，B两种型号的挖掘机；已知3台A型和5台B型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台A型和7台B型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米．每台A型挖掘机一小时的施工费用为300元，每台B型挖掘机一小时的施工费用为180元． (1)分别求每台A型，B型挖掘机一小时挖土多少立方米？ (2)若不同数量的A型和B型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元，问施工时有哪几种调配方案？ 【答案】(1)每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米 (2)施工时有4种调配方案，方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机；方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机；方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机；方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每台型挖掘机一小时挖土立方米，每台型挖掘机一小时挖土立方米，根据“3台型和5台型挖掘机同时施工一小时挖土165立方米；4台型和7台型挖掘机同时施工一小时挖土225立方米”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设调配台型挖掘机，则调配台型挖掘机，根据“不同数量的型和型挖据机共12台同时施工4小时，至少完成1080立方米的挖土量，且总费用不超过12960元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合为正整数，即可得出各调配方案． 【详解】（1）解：设每台A型挖掘机一小时挖土x立方米，每台B型挖掘机一小时挖土y立方米， 根据题意得：， 解得： 答：每台A型挖掘机一小时挖土30立方米，每台B型挖掘机一小时挖土15立方米； （2）解：设调配m台A型挖掘机，则调配台B型挖掘机， 根据题意得：， 解得：， 又为正整数， 可以为6，7，8，9， 施工时有4种调配方案， 方案1：调配6台A型挖掘机，6台B型挖掘机； 方案2：调配7台A型挖掘机，5台B型挖掘机； 方案3：调配8台A型挖掘机，4台B型挖掘机； 方案4：调配9台A型挖掘机，3台B型挖掘机． 【变式3-1】（23-24七年级下·福建泉州·期末）“今生簪花，来世漂亮”，福建省泉州市蟳埔村簪花园今年“火出圈”．小强在五一节期间，随爸爸妈妈一起前往蟳埔村，簪花、观景、休闲、品美食，体验蟑埔文化．在游玩间隙，热爱数学的小强发现许多有趣的数学问题，让我们与小强一起探究如下的数学问题． 小强陪妈妈去簪花店去簪花，簪花店老板林阿姨介绍说，簪花分为簪生花和簪熟花两种类型．妈妈想体验簪生花，挑选了颜色鲜艳的朵玫瑰花和朵石榴花，林阿姨只收取妈妈元，林阿姨又告诉小强每朵石榴花的价格比每朵玫瑰花的价格少元． (1)求石榴花与玫瑰花单价分别是多少元？ (2)小强爸爸发现簪花时如果玫瑰花多一些，整个头型更好看些，建议妈妈下次来簪花时，玫瑰花的数量比石榴花要多朵，但是两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元．请你与小强一道帮帮林阿姨设计一下簪花方案． 【答案】(1)石榴花每朵元，玫瑰花每朵元 (2)共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵 【分析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程和不等式组． （1）设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元，可得：，即可解得答案； （2）设石榴花朵，玫瑰花朵，根据两种花的数量不少于朵，小强爸爸告诉林阿姨总费用不得高于元得：，解得范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设石榴花每朵元，玫瑰花每朵元， 根据题意得：， 解得：， ， 答：石榴花每朵元，玫瑰花每朵元； （2）解：设石榴花朵，玫瑰花朵， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 或， 答：共有两种方案：石榴花朵，玫瑰花朵或石榴花朵，玫瑰花朵． 【变式3-2】（23-24七年级下·四川内江·期末）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料，生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克，经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金70元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金180元． (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元？ (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过12100元，且生产B产品不少于48件，问符合生产条件的生产方案有哪几种？ 【答案】(1)甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元 (2)三种，方案1：A产品12个，B产品48个，方案2：A产品11个，B产品49个，方案3：A产品10个，B产品50个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意，列式，再解出，即可作答． （2）设生产B产品a件，生产A产品件，依题意，列式，然后解出，再结合a的值为非负整数，即可作答． 【详解】（1）解：设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元， 依题意得：， 解得． 答：甲种材料每千克30元，乙种材料每千克40元． （2）解：设生产B产品a件，生产A产品件． 根据题意，得． 解得：． ∵a的值为非负整数， ∴， 则分别等于12、11、10． ∴共有三种符合生产条件的方案：方案1：A产品12个，B产品48个；方案2：A产品11个，B产品49个；方案3：A产品10个，B产品50个． 【变式3-3】（23-24七年级下·全国·期中）某企业为了改善污水处理条件，决定购买 A，B 两种型号的污水处理设备共8台，其中每台的价格、月处理污水量如下表： A型 B型 价格/（万元/台） 8 6 月处理污水量/（吨/月） 200 180 经预算，企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨． (1)企业有哪几种购买方案？ (2)哪种购买方案更省钱？ 【答案】(1)企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台 (2)购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱 【分析】本题主要考查对于一元一次不等式组的应用，根据题意列出不等式组是解题的关键． （1）设购买A型设备x台，则B型设备台，根据“企业最多支出 57万元购买污水处理设备，且要求设备月处理污水量不低于1490 吨”列出不等式组进行求解即可； （2）求出当和时所需费用进行比较即可． 【详解】（1）解：设购买A型设备x台，则B型设备台， 由题意得， 解得 ∵，且x为正整数， ∴x可取3和4， 故当购买A型设备3台，则B型设备5台；购买A型设备4台，则B型设备4台． 答：企业有2种购买方案，购买A型设备3台，B型设备5台；购买A型设备4台， B型设备4台． （2）解：当时，（万元） 当时，（万元） ∵， ∴当购买A型设备3台， B型设备5台时更省钱． 类型四、其他问题 【典例4】（23-24七年级下·全国·期末）在实施“城乡危旧房改造工程”中，某区计划推出A，B两种新户型．根据预算，建成10套A户型和30套B户型共需资金480万元，建成30套A户型和10套B户型共需资金400万元． (1)在实施“城乡危旧房改造工程”中，建成一套A户型和一套B户型所需资金分别为多少元？ (2)该区共800套房屋需要改造，改造资金由国家危旧房补贴和地方财政共同承担．若国家补贴拨付的改造资金不少于2 100万，该区财政投入额资金不超过7 700万元，其中，国家财政投入A，B两种户型的改造资金分别为每套2万元和3万元．请你通过计算，表示出A种户型可以建造的数量的范围． 【答案】(1)建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； (2)A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式组的实际应用： （1）设建成一套A种户型住房所需的资金是a元，一套B种户型住房所需的资金是b元，列出方程组即可解决问题． （2）设A种户型有x套，则B种户型有套．列出不等式组即可解决问题． 【详解】（1）解：设建成一套A种户型住房所需的资金是a万元，一套B种户型住房所需的资金是b万元， 根据题意得：， 解得：， 答：建成一套A种户型住房所需的资金是9万元，一套B种户型住房所需的资金是13万元； （2）解：①设A种户型可以建x套，则B种户型可以建套， 根据题意得：， 解得：， 答：A种户型至少可以建100套，最多可以建300套． 【变式4-1】（23-24七年级下·吉林长春·期末）某汽车租赁公司有甲、乙两种型号的客车共20辆，它们的载客量、每天的租金如表所示，已知在这20辆客车都坐满的情况下，一共可以载客920人， 甲型客车 乙型客车 载客量(人/辆) 40 50 日租金(元/辆) 500 600 (1)求甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ (2)某中学计划向此汽车租赁公司租用甲、乙两种型号的客车共10辆，接送七年级师生参加社会实践活动，已知该中学预算租车的总费用不超过5500元，那么租车的方案共有多少种？ 【答案】(1)甲型客车8辆，乙型客车12辆 (2)4种 【分析】本题考查一元一次方程和不等式组的应用，根据题意找出等量关系或不等量关系并正确列方程和不等式是解题的关键． （1）设甲种型号客车辆，则乙种型号客车辆，根据“一共可以载客920人”列出方程求解即可； （2）设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆，根据“该中学预算租车的总费用不超过5500元”列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种型号客车辆，则乙种型号客车辆， 解得： 所以 答：甲型客车8辆，乙型客车12辆； （2）解：设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， ，为整数， ∴或6或7或8， 租车方案有4种． 【变式4-2】（23-24七年级下·江苏淮安·期末）两家货运公司一家经营大货车，另一家经营小货车，已知3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨，2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨． (1)请问1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货多少吨； (2)目前有46吨货物需要运输，计划让两家货运公司都参与运输，大小货车共12辆，且小货车数量不少于大货车的数量的2倍，全部货物一次运完，请列出可能的方案，并说明理由． 【答案】(1)1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货5吨和吨 (2)见详解 【分析】考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，体现了数学建模思想，考查了学生用方程解实际问题的能力，解题的关键是根据题意建立方程组，并利用不等式求解大货车的数量，解题时注意题意中一次运完的含义，此类试题常用的方法为建立方程，利用不等式组确定方案． （1）设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货吨和吨，根据"3辆大货车与4辆小货车一次可以运货29吨、2辆大货车与6辆小货车一次可以运货31吨"列方程组求解可得； （2）设货运公司安排大货车辆，则安排小货车辆．根据12辆货车需要运输46吨货物，且小货车数量不少于大货车的数量的2倍，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货吨和吨， 根据题意可得：， 解得：， 答：1辆大货车和1辆小货车一次可以分别运货5吨和吨； （2）解：设货运公司安排大货车辆，则安排小货车辆， 根据题意可得：， 解得：， 因为是正整数， 所以或4， 方案一：货运公司安排大货车3辆，则安排小货车9辆， 方案二：货运公司安排大货车4辆，则安排小货车8辆． 【变式4-3】（23-24七年级下·甘肃武威·期末）某银行发行了A、B两种纪念币，已知3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币面值共需130元 (1)求每枚A、B两种型号的纪念币面值各多少元？ (2)若小明准备用至少850元的金额购买A、B两种纪念币共50枚，求A型纪念币最多能采购多少枚？ (3)在（2）的条件下，若小明至少要购买A型纪念币8枚，则共有几种购买方案，请说明哪种方案最划算？ 【答案】(1)每枚A种型号的纪念币面值为5元，每枚B种型号的纪念币面值为20元 (2)10枚 (3)3种，方案③ 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系，正确列出二元一次方程组和不等式． （1）设每枚种型号的纪念币面值为x元，每枚B种型号的纪念币面值为y元，根据“3枚A型纪念币和2枚B型纪念币面值共需55元，6枚A型纪念币和5枚B型纪念币面值共需130元”列出方程组，解之即可； （2）设A型纪念币能采购m枚，则B型纪念币能采购枚，根据“用至少850元的金额购买A、B两种纪念币”列出不等式，解之即可； （3）结合（2）的条件，可得出的取值范围，可得共有三种方案，分别计算各方案所需价格，比较可得结果． 【详解】（1）解：设每枚种型号的纪念币面值为x元，每枚B种型号的纪念币面值为y元， 由题意，得，解得：， 答：每枚A种型号的纪念币面值为5元，每枚B种型号的纪念币面值为20元． （2）解：设A型纪念币能采购m枚，则B型纪念币能采购枚， 由题意，得， 解得：， 答：型纪念币最多能采购10枚． （3）解：由题意，得， ， m为正整数， ，，， 共有3种购买方案： ①A型纪念币采购8枚，B型纪念币采购42枚，费用为：（元）； ②A型纪念币采购9枚，B型纪念币采购41枚，费用为：（元）； ③A型纪念币采购10枚，B型纪念币采购40枚，费用为：（元）． ， 方案③最划算． 一、单选题 1．（24-25七年级下·全国·单元测试）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 【答案】C 【分析】本题考查不等式组的实际应用，设共有学生人，根据每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，列出不等式组，求出正整数解，即可． 【详解】解：设共有学生人，由题意，得： ， 解得：， ∵人数为正整数， ∴； 故选C． 2．（23-24七年级下·广西百色·期中）“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 3．（22-23七年级下·广西崇左·期中）一艘船从A地顺流而下到B地需要3小时，逆流而上返回A是需要不到5小时，已知水流速度是每小时2千米，船在静水中的速度是每小时x千米，则满足的不等关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意知顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米，根据“逆流而上返回A是需要不到5小时”，即可列出一元一次不等式． 【详解】水流速度是每小时千米，船在静水中的速度是每小时千米， 顺水速度为每小时千米，逆水速度为每小时千米，间的距离为千米， ， 即， 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式，正确找出不等关系是解题的关键． 二、填空题 4．（23-24七年级下·河南周口·期中）定义：对于任何实数，符号表示不大于的最大整数．已知，则．例如：若，则．如果，那么的取值范围是 。 【答案】 【分析】本题考查一元一次不等式组，根据新定义的概念将问题转化一元一次不等式，最后求解即可． 【详解】解： 由题意，可得， 解得． 故答案为：． 三、解答题 5．（23-24七年级下·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？ 【答案】(1)m的值为10，n的值为14 (2)共有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用； （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为10，n的值为14； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 6．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元买了一支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本． (1)求每支钢笔和每本笔记本的价格； (2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？ 【答案】(1)每支钢笔3元，每本笔记本5元 (2)一共有5种方案 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用和二元一次方程组的应用，解题关键是找出题目中的等量关系或者不等关系． （1）利用两个等量关系是：1支钢笔的价钱本笔记本的价钱，2支钢笔的价钱本笔记本的价钱，根据这两个等量关系可以列出方程组解答； （2）利用用笔记本本数钢笔支数代入下列不等关系，购买钢笔钱数购买笔记本钱数，笔记本数钢笔数，可以列出一元一次不等式组，求出其解集，再根据笔记本数，钢笔数必须是整数，确定购买方案． 【详解】（1）解：设每支钢笔x元，每本笔记本y元． 依题意得：， 解得：， 答：每支钢笔3元，每本笔记本5元； （2）解：设买a支钢笔，则买笔记本本， 依题意得：， 解得：， ∵a为正整数， ∴，21，22，23，24， ∴一共有5种方案． 7．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）某工厂用如图甲所示的长方形和正方形纸板，做成如图乙所示的竖式与横式两种长方体形状的无盖纸盒．若要做两种纸盒共100个．设做竖式纸盒个，完成下列问题： (1)则需要做横式纸盒________个；（用含的式子表示） (2)现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，若按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案？ 【答案】(1) (2)三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． （1）设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个，即可得出答案； （2）根据做一个竖式纸盒需要4个长方形纸板和1个正方形纸板，做一个横式纸盒需要3个长方形纸板和2个正方形纸板，现有正方形纸板164张，长方形纸板338张，列出一元一次不等式组，解不等式组得出的取值范围，即可得出答案． 【详解】（1）解：设做竖式纸盒个，则需要做横式纸盒个， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 为正整数， 可取36、37、38， 三种生产方案：①生产36个竖式纸盒，64个横式纸盒；②生产37个竖式纸盒，63个横式纸盒；③生产38个竖式纸盒，62个横式纸盒． 8．（22-23七年级下·福建泉州·期末）给出新定义：对非负数“四舍五入”到个位的值记为，即当n为非负整数时，若，则．如：，，，，试解决下列问题： (1)填空：若，则实数a的取值范围为_______． (2)已知关于x的不等式组的整数解恰有2个，求b的取值范围． (3)求满足的所有非负实数c的值． 【答案】(1) (2) (3)，， 【分析】（1）根据题意列不等式即可得到结论； （2）首先将看作一个整体，解不等式组进而根据整数解的个数得出b的取值范围； （3）利用，设，为整数，得出关于的不等关系求出即可； 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：； （2）解不等式组，得：， 由不等式组整数解恰有2个得，，则， 故； （3）∵，为整数，设，为整数， 则， ∴， ∴，， ∴， ∴，1，2， 则，，． 【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式组的应用，根据题意正确理解的意义是解题关键． 9．（2025七年级下·全国·专题练习）某家具店经销两种品牌的儿童床，每张进价分别为3500元、4200元，售价分别为4200元、5250元． (1)该店销售记录显示，4月份两种品牌的儿童床共售出20张，且销售两种品牌的儿童床的利润相同．该店4月份两种品牌的儿童床各售出多少张？ (2)根据市场调研，该店5月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元．请写出所有的进货方案． 【答案】(1)A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张 (2)有两种进货方案：①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张；②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． （1）设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张，根据销售两种品牌的儿童床的利润相同列方程求解即可； （2）设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张，根据购进B品牌的儿童床张数不低于A品牌的儿童床张数的，且用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答． 【详解】（1）解：设该店4月份A种品牌的儿童床售出x张． 由题意，得， 解得，． 故该店4月份A种品牌的儿童床售出12张，B种品牌的儿童床售出8张； （2）解：设该店5月份计划购进A品牌的儿童床a张，则购进B品牌的儿童床张． 由题意，得， 解得，所以正整数解有， 所以有两种进货方案： ①购进A品牌的儿童床16张，B品牌的儿童床14张； ②购进A品牌的儿童床17张，B品牌的儿童床13张． 10．（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【详解】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）现有甲、乙两种型号的设备，其中每台的价格与产能如下表： 甲 型 乙 型 价格（万元/台） x y 产能（吨/月） 240 200 某公司决定购买10台生产设备．经调查：购买一台甲型设备比购买一台乙型设备多2万元，购买2台甲型设备比购买3台乙型设备少6万元． (1)求x、y的值； (2)如果公司购买设备的资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨，问该公司应该如何购买． 【答案】(1) (2)购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台 【分析】本题主要考查了购买方案问题．熟练掌握总价与单价和数量的关系，列二元一次方程组，列一元一次不等式组，是解决问题的关键． （1）根据表中数据，结合“一台甲型设备比一台乙型设备多2万元， 2台甲型设备比3台乙型设备少6万元”列二元 一次方程组解答； （2）根据“资金不超过105万元，且每月产能不低于2040吨”列一元一次不等式组解答． 【详解】（1）根据题意，得， 解得， 故x、y的值分别是12和10； （2）设买甲型设备a台，买乙型设备台， 根据题意，得， 解得， ∴， ∵a为整数， ∴或， ∴或． 故该公司应该购买甲型设备1台，乙型设备9台；或甲型设备2台，乙型设备8台． 12．（23-24七年级下·全国·单元测试）世界上最先使用口罩的是中国，古时候，宫廷里的人为了防止粉尘和口气污染而使用丝巾遮盖口鼻，这样蒙口鼻的给布，也就是原始的口罩，由于新冠防疫，某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和2个B型口罩共需32元，2个A型口罩和1个B型口罩共需28元． (1)求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？ (2)药店准备购进这两种型号的口罩共500个，其中A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍，请设计出最省钱方案？ 【答案】(1)一个A型口罩的售价是8元，一个B型口罩的售价是12元． (2)当购买A型口罩330个，B型口罩170个时，最省钱 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设一个A型口罩的售价是x元，一个B型口罩的售价是y元，根据1个A型口罩和2个B型口罩共需32元，2个A型口罩和1个B型口罩共需28元列出方程组求解即可； （2）设购进A型口罩m个，则购进B型口罩个，根据A型口罩数量不少于330个，且不多于B型口罩的2倍列出不等式组求出m的取值范围，再根据一个A型口罩的价钱低于一个B型口罩的价钱，可知在购买A、B两种型号的口罩数量一定时，购买A型口罩越多越省钱，据此可得答案． 【详解】（1）解：设一个A型口罩的售价是x元，一个B型口罩的售价是y元， 由题意得，， 解得， 答：一个A型口罩的售价是8元，一个B型口罩的售价是12元． （2）解：设购进A型口罩m个，则购进B型口罩个， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的值可以为330或331或332或333， 由（1）可知一个A型口罩的价钱低于一个B型口罩的价钱， ∴在购买A、B两种型号的口罩数量一定时，购买A型口罩越多越省钱， ∴当，时，最省钱， ∴当购买A型口罩330个，B型口罩170个时，最省钱． 13．（23-24七年级下·广东广州·单元测试）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得第十届茅盾文学奖的《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共50本．已知购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同． (1)求这两种书的单价； (2)若购买《北上》的数量不少于17本，且购买两种书的总价不超过1600元．请问有哪几种购买方案？哪种购买方案的费用最低？最低费用为多少元？ 【答案】(1)《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元 (2)共有4种购买方案，详见解析，购买17本《北上》，33本《牵风记》费用最低，最低费用1585元 【分析】本题主要考查二元一次方程和一元一次不等式组的应用， （1）设《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元，根据“购买2本《北上》和1本《牵风记》需100元；购买6本《北上》与购买7本《牵风记》的价格相同”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m本《北上》，则购买本《牵风记》，根据“购买《北上》的数量不少于17本，且购买两种书的总价不超过1600元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各购买方案，分别求出各购买方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设《北上》的单价为x元，《牵风记》的单价为y元， 依题意得：， 解得：， 答：《北上》的单价为35元，《牵风记》的单价为30元． （2）解：设购买m本《北上》，则购买本《牵风记》， 依题意得： 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为17，18，19，20， ∴共有4种购买方案， 方案1：购买17本《北上》，33本《牵风记》； 方案2：购买18本《北上》，32本《牵风记》； 方案3：购买19本《北上》，31本《牵风记》； 方案4：购买20本《北上》，30本《牵风记》． 方案1所需总费用为（元）， 方案2所需总费用为（元）， 方案3所需总费用为（元）， 方案4所需总费用为（元）． 又∵， ∴购买方案1的费用最低，最低费用为1585元． 14．（23-24七年级下·云南普洱·期末）普洱市某中学计划从商场购买甲、乙两种不同型号的电风扇，经调查发现，若购买1台甲型和1台乙型电风扇，共需资金420元；若购买4台甲型和3台乙型电风扇，共需资金1440元． (1)求甲、乙两种型号电风扇每台的价格分别是多少元； (2)若该校计划购进这两种不同型号电风扇共20台，其中乙型电风扇的数量不少于甲型电风扇的数量，学校至多能够提供资金4320元，那么有哪几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)甲、乙两种型号电风扇每台的价格分别是180元，240元； (2)有3种购买方案：①购买甲型号电风扇8台，乙型号电风扇12台；②购买甲型号电风扇9台，乙型号电风扇11台；③购买甲型号电风扇10台，乙型号电风扇10台；学校应选择第③方案 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握题目中的等量关系和不等关系． （1）设甲、乙两种型号电风扇每台的价格分别是x元，y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设该校计划购进甲种型号电风扇m台，则购进乙种型号电风扇台，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号电风扇每台的价格分别是x元，y元 根据题意得， 解得 ∴甲、乙两种型号电风扇每台的价格分别是180元，240元； （2）解：设该校计划购进甲种型号电风扇m台，则购进乙种型号电风扇台， 根据题意得， 解得 ∴有3种购买方案： ①购买甲型号电风扇8台，乙型号电风扇12台，花费金额为； ②购买甲型号电风扇9台，乙型号电风扇11台，花费金额为； ③购买甲型号电风扇10台，乙型号电风扇10台，花费金额为． ∵ ∴为了节约资金，学校应选择第③方案． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$