8.4.1平面课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第8章 立体几何初步 8.4.1 平 面 学习目标 1.了解平面的概念,理解空间点、直线、平面的位置关系并会用规范的语言表达. 2.了解3个基本事实和3个推论. 3.理解平面的特点和基本性质.(难点) 4.共线、共面、共点问题的证明与判断.(重点) 宁波光华学校 :刘雨萌 教室里的桌面、黑板面,它们呈现出怎样的形象? 新知探究 宁波光华学校 :刘雨萌 平面的概念与画法 1 【直观理解】课桌面、黑板面、教室平面、平静的水面都给我们以平面 的直观感觉,但它们都不是平面,而是平面的一部分. 【抽象理解】平面是平的,是无限延展的,没有厚薄,大小之分 平面的概念 平面与平面图形的区别和联系 平面是不可度量的;是无限延展,无厚薄,无大小的理想的面 我们日常接触到的是平面图形,如三角形,正方形,圆等,它们有大小之分,它们都不是平面,而是平面的一部分 我们可以用平面图形来表示平面 宁波光华学校 :刘雨萌 平面的概念与画法 1 平面的画法 如果一个平面被另一个平面遮挡,那么被遮挡部分一般用虚线画出或者不画. 在立体几何中,平面通常画成一个平行四边形,当平面水平放置时,通常将平行四边形的锐角化成45 ,且使横边长等于其邻边长的2倍;当平面竖直放置时,通常将平行四边形的一组对边画成铅垂线. 宁波光华学校 :刘雨萌 平面的概念与画法 1 平面的画法 相交平面示意图 立体几何画图或作辅助线的原则—— 看得见的画成实线,看不见的画成虚线.即眼见为实,眼不见为虚. 宁波光华学校 :刘雨萌 1.平面的画法及表示 画法 平面水平放置 平面竖直放置 表示 ①平行四边形的四个顶点:平面_; ②相对的两个顶点:平面_或平面_; ③希腊字母:平面 ,平面_,平面 ABCD AC BD 知识概念 宁波光华学校 :刘雨萌 2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示 文字语言 符号语言 点A在直线l上 _ 点A在直线l外 _ 点A在平面 内 _ 点A在平面 外 _ 直线l在平面 内 _ 直线l不在平面 内 _ 平面 , 相交于直线l _ A∈l A∉l A∈ A∉ l⊂ l⊄ ∩ =l 宁波光华学校 :刘雨萌 生活中经常看到用三角架支撑照相机、自行车等. 思考:几个点可以确定一条直线,那么几点可以确定一个平面? 新知探究 宁波光华学校 :刘雨萌 9 平面的基本性质 3 图形语言—— 符号语言—— 三点不共线 存在唯一的 ,使 (1)基本事实①的条件为“过不在一条直线上的三点”,如果改为“过三个点”,则可能存在无数个平面 基本事实① 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 应用——确定平面;判定两平面是否重合;证明点线共面 对基本事实①的理解 (2)基本事实①的结论为“有且只有一个平面”,“有”指存在性,“只有”指唯一性 宁波光华学校 :刘雨萌 思考:如果直线 l 与平面 有一个公共点P,直线 l 是否在平面 内?如果直线 l 与平面 有两个公共点呢? A l A B l 直线l在平面 外. 直线l在平面 内. 平面 经过直线l. 新知探究 宁波光华学校 :刘雨萌 平面的基本性质 3 图形语言—— 符号语言—— (1)直线是平面的真子集 基本事实② 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内. 应用——判断直线是否在平面内;判断点是否在平面内 对基本事实②的理解 (2)整条直线在平面内,则直线上的所有点都在平面内 宁波光华学校 :刘雨萌 思考:如图,把三角尺的一个角立在课桌面上,三角尺所在平面与课桌面 所在平面是否只相交于一点B?为什么? B 新知探究 宁波光华学校 :刘雨萌 13 平面的基本性质 3 图形语言—— 符号语言—— 基本事实③ 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 应用——判断直线是否在平面内; 判断点是否在平面内. ①若两个相交平面有两个公共点,则过这两 点的直线就是相交平面的交线; 对基本事实③的理解: ②若两个相交平面有三个公共点,则这三点 共线; ③若两个平面相交,则一个平面内的直线与 另一平面的交点比在两平面的交线上; ④若两个不重合的平面有一个公共点,则这 两个平面相交. 宁波光华学校 :刘雨萌 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点,_一个平面 A,B,C三点不共线 存在_平面 使A,B,C∈ 基本事实2 如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条直线在_ A∈l,B∈l,且A∈ ,B∈ _ 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的_ P∈ ,且P∈ ∩ =l,且P∈l 有且只有 两个点 唯一的 这个平面内 l⊂ 公共直线 3. 宁波光华学校 :刘雨萌 4. 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可得下面三个 推论 作用:确定一个平面 宁波光华学校 :刘雨萌 用两根绳子可说明桌子的四条腿的底端在一个平面内。 (1)(多选)下列说法正确的是 A.平面是处处平的面 B.平面是无限延展的 C.平面的形状是平行四边形 D.一个平面的厚度可以是0.001 cm 例 1 √ √ 平面是无限延展的,但是没有大小、形状、厚薄,A,B两种说法是正确的; C,D两种说法是错误的. 典例分析 平面的概念及其基本性质 宁波光华学校 :刘雨萌 18 (2)把下列符号叙述所对应的图形的字母编号填在题后横线上. ①A∉ ,a⊂ : ; ② ∩ =a,P∉ 且P∉ : ; ③a⊄ ,a∩ =A: ; ④ ∩ =a, ∩ =c, ∩ =b,a∩b∩c=O: . C D A B 宁波光华学校 :刘雨萌 19 用符号和图形表示下列语句: (1)若A,B两点既在平面 内,又在平面 内,则直线AB是平面 与平面 的交线; 跟踪训练 1 符号表示为:A∈ ,B∈ ,A∈ ,B∈ ,则 ∩ =AB. 图形表示如图①. (2)两条相交直线a和b都在平面 内; 符号表示为:a∩b=P,a⊂ ,b⊂ . 图形表示如图②. (3)直线a在平面 内,直线b在平面 外,a与b相交于一点M. 符号表示为:a⊂ ,b⊄ ,a∩b=M. 图形表示如图③. 宁波光华学校 :刘雨萌 20 课后作业 教材128 练习1-4 宁波光华学校 :刘雨萌 本节内容结束 基本事实 文字语言 图形语言 符号语言 基本事实1 过不在一条直线上的三个点,_一个平面 A,B,C三点不共线 存在_平面 使A,B,C∈ 基本事实2 如果一条直线上的_在一个平面内,那么这条直线在_ A∈l,B∈l,且A∈ ,B∈ _ 基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的_ P∈ ,且P∈ ∩ =l,且P∈l 有且只有 两个点 唯一的 这个平面内 l⊂ 公共直线 宁波光华学校 :刘雨萌 推论 文字语言 图形语言 推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 利用基本事实1和基本事实2,再结合“两点确定一条直线”,可得下面三个 推论 作用:确定一个平面 宁波光华学校 :刘雨萌 已知直线b∥c,且直线a与b,c都相交,求证:直线a,b,c共面. 例 2 ∵b∥c,∴不妨设b,c共面于平面 , 设a∩b=A,a∩c=B, ∴A∈a,B∈a,A∈b,B∈c,又b⊂ ,∴A∈ ,同理B∈ ,∴a⊂ ,∴直线a,b,c共面. 典例分析 点线共面问题 宁波光华学校 :刘雨萌 25 反 思 感 悟 1.确定平面:借助基本事实1及推理 2.两点在面内(基本事实2) 3.线在面内(三线共面) 证明多线共面的两种方法 宁波光华学校 :刘雨萌 如图所示,l1∩l2=A,l2∩l3=B,l1∩l3=C.求证:直线l1,l2,l3在同一平面内. 跟踪训练 2 方法一 (纳入法) ∵l1∩l2=A,∴l1和l2确定一个平面 . ∵l2∩l3=B,∴B∈l2. 又l2⊂ ,∴B∈ . 同理可证C∈ . 又B∈l3,C∈l3,∴l3⊂ . ∴直线l1,l2,l3在同一平面内. 宁波光华学校 :刘雨萌 27 如图,已知 ABC的三个顶点都不在平面 内,它的三边AB,BC,AC延长后分别交平面 于点P,Q,R.求证:P,Q,R三点在同一条直线上. 例 3 典例分析 方法一 由AB的延长线交平面 于点P,根据基本事实3,平面ABC与平面 必相交于一条直线,设为l. ∵P∈直线AB,∴P∈平面ABC. 又AB∩ =P,∴P∈平面 , ∴P是平面ABC与平面 的公共点. ∵平面ABC∩ =l,∴P∈l.同理,Q∈l,R∈l. ∴P,Q,R三点在同一条直线上. 宁波光华学校 :刘雨萌 28 证明三点共线的方法 知识梳理 点共线问题 1.确定平面(借助基本事实1及推理) 2.找平面交线 3.点在线上(三点共线) 宁波光华学校 :刘雨萌 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N,E,F分别是棱CD,AB,DD1,AA1上的点,若MN与EF交于点Q,求证:D,A,Q三点共线. 跟踪训练 3 宁波光华学校 :刘雨萌 30 ∵MN∩EF=Q, ∴Q∈直线MN,Q∈直线EF, 又M∈直线CD,N∈直线AB, CD⊂平面ABCD,AB⊂平面ABCD, ∴M,N∈平面ABCD, ∴MN⊂平面ABCD.∴Q∈平面ABCD. 同理,可得EF⊂平面ADD1A1. ∴Q∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=AD,∴Q∈直线AD,即D,A,Q三点共线. 宁波光华学校 :刘雨萌 31 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1P=2PA1,C1Q=2QA1.求证:直线AA1,BP,CQ相交于一点. 例 4 如图,连接PQ. 由B1P=2PA1,C1Q=2QA1, 得PQ∥B1C1,且PQ=B1C1.又BC B1C1, ∴PQ∥BC,且PQ=BC, ∴四边形BCQP为梯形, ∴直线BP,CQ相交,设交点为R, 则R∈BP,R∈CQ. 又BP⊂平面AA1B1B,CQ⊂平面AA1C1C, 宁波光华学校 :刘雨萌 32 ∴R∈平面AA1B1B,且R∈平面AA1C1C, ∴R在平面AA1B1B与平面AA1C1C的交线AA1上, 即R∈AA1, ∴直线AA1,BP,CQ相交于一点. 宁波光华学校 :刘雨萌 33 证明三线共点的步骤 知识梳理 宁波光华学校 :刘雨萌 34 在四面体ABCD中,E,G分别为BC,AB的中点,F在CD上,H在AD上,且有DF∶FC=DH∶HA=1∶3.求证:EF,GH,BD相交于一点. 跟踪训练 4 如图所示,连接GE,HF. ∵E,G分别为BC,AB的中点,∴GE∥AC. 又DF∶FC=DH∶HA=1∶3, ∴HF∥AC,∴GE∥HF, ∴G,E,F,H四点共面. 又GE=AC,==, ∴EF与GH不平行,∴EF与GH相交. 延长EF,GH,设交点为O,则O∈平面ABD, 宁波光华学校 :刘雨萌 35 O∈平面BCD,而平面ABD∩平面BCD=BD, ∴O∈BD. 即EF,GH,BD相交于一点. 宁波光华学校 :刘雨萌 36 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是AA1的中点,画出过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线,并说明理由. 例 5 典例分析 平面的交线问题 宁波光华学校 :刘雨萌 37 如图,取AB的中点F,连接EF,A1B,CF. ∵E是AA1的中点,∴EF∥A1B. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1=BC, ∴四边形A1BCD1是平行四边形. ∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1. ∴E,F,C,D1四点共面. ∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE, F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE,∴平面ABB1A1∩平面D1CE=EF. ∴过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF. 宁波光华学校 :刘雨萌 38 反 思 感 悟 由基本事实3知,找两个平面的交线的突破口是找到这两个平面的两个公共点. 找两个平面交线的突破口 宁波光华学校 :刘雨萌 如图所示,G是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点,E,F是棱AB,BC的中点.试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线. 跟踪训练 5 (1)过点G及AC; 画法:连接GA交A1D1于点M,连接GC交C1D1于点N,连接MN,AC,则MA,CN,MN,AC为所求平面与正方体表面的交线.如图①所示. 宁波光华学校 :刘雨萌 40 (2)过三点E,F,D1. 画法:连接EF并延长交DC的延长线于点P,交DA的延长线于点Q,连接D1P交CC1于点M,连接D1Q交AA1于点N,连接MF,NE,则D1M,MF,FE,EN,ND1为所求平面与正方体表面的交线.如图②所示. 宁波光华学校 :刘雨萌 41 课堂小结 1.知识清单: (1)平面的概念及基本性质. (2)点、线共面问题. (3)点共线问题. (4)线共点问题. (5)平面的交线问题. 2.方法归纳:纳入法、重合法、归纳法. 3.常见误区:三种语言的相互转换、平面的交线找不准. 宁波光华学校 :刘雨萌 1 2 3 4 1.下列图形中,满足 ∩ =AB,a⊂ ,b⊂ ,a∥AB,b∥AB的图形是 √ 随堂演练 宁波光华学校 :刘雨萌 2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱D1C1的靠近D1上的三等分点.设AE与平面BB1D1D的交点为O,则 A.D1,O,B三点共线,且OB=2OD1 B.D1,O,B三点共线,且OB=3OD1 C.D1,O,B三点不共线,且OB=2OD1 D.D1,O,B三点不共线,且OB=3OD1 1 2 3 4 √ 宁波光华学校 :刘雨萌 3.(多选)以下四个命题中,正确的命题是 A.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 B.若点A,B,C,D共面,点A,B,C,E共面,则A,B,C,D,E共面 C.依次首尾相接的四条线段一定共面 D.梯形可以确定一个平面 1 2 3 4 √ √ 宁波光华学校 :刘雨萌 4.在四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AD=2BC,E为PD中点,平面ABE交PC于点F,则= . 1 2 3 4 延长DC,AB交于点G,连接PG,EG,则EG交PC于点F, ∵AD∥BC,且AD=2BC,可得点B,C分别是AG,DG的中点,又∵E是PD的中点, ∴PC和GE是 PDG的中线, ∴F是 PDG的重心,∴=2. 宁波光华学校 :刘雨萌 课后作业 韩语班:教材131页 习题8.4 1-10 4班、5班:课后作业29 1-10必做,11-16选做 宁波光华学校 :刘雨萌 本节内容结束 $$