精品解析：上海市浦东新区2024-2025学年高一下学期期中教学质量检测数学试卷

浦东新区2024学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 2025.04 注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. ______弧度. 【答案】## 【解析】 【分析】根据角度与弧度的换算关系，即可求得答案. 【详解】由题意得. 故答案为：. 2. 若，，则角在第__________象限． 【答案】二 【解析】 【详解】解：，说明在一、二象限，，说明在二、三象限，所以在第二象限．故答案为二． 3. 半径为1，圆心角为的扇形的面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】代入扇形面积公式即可得解. 【详解】扇形面积. 故答案为：. 4. 若，则的值为________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】由已知等式两边平方，并通过二倍角公式即可得解. 【详解】因为, 所以两边平方得， 所以由二倍角公式得. 故答案为：. 5. 已知，则__. 【答案】 【解析】 【分析】根据正切与正弦、余弦的关系式，把分子分母同时除以余弦转化为正切关系，再代入求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：． 6. 若函数（其中常数）是上的偶函数，则的值为________ 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的对称轴，根据其为偶函数可得对称轴等于，结合即可求解. 【详解】函数的对称轴为， 可得：， 因为函数是上的偶函数， 所以，可得， 因为，所以时，， 故答案为：. 7. 已知函数，.则函数所有零点组成的集合为______. 【答案】 【解析】 【分析】求函数的零点，令，在区间内，解出即可. 【详解】令，则， 因为，所以和， 则函数所有零点组成的集合为. 故答案为：. 8. 代数式可化为的形式，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由辅助角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】由辅助角公式可得， 其中，则， 由可知，在第一象限，且， 所以. 故答案为： 9. 函数的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由换元法，结合二次函数的值域即可得到结果. 【详解】， 令，则， 则， 当时，有最小值为. 故答案为： 10. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由，结合两角差的正弦公式可得答案； 【详解】因则. 又，则， . 则 ； 故答案为：. 11. 一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为______m. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数定义可得，即可得，再利用换元法令，并由函数单调性求得最小值. 【详解】由题意，因为,, 所以, 所以,, 令, 因为， 所以，即，则， 所以， 易知在上单调递增， 则在上单调递减， 所以， 即能够通过这个直角走廊的材料的最大长度为. 故答案：. 12. 已知，且函数的图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据辅助角公式和对称性得到函数解析式，要使得取得最小，则让取最值，结合图象即可求解. 【详解】 ， 又函数的图像关于点对称， 即，即， 则， 所以的最大值为，最小值为， 对称轴：令， 当的取值最小时， ，， 且是在轴右侧连续的最值点， 则的最小值为 . 故答案为： 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的周期性，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的最小正周期为，故A错误； 对于B，的最小正周期为，故B错误； 对于C，的最小正周期为，故C错误； 对于D，因为的最小正周期为， 将函数的图像轴上方不变，下方部分向上翻折， 得到的图像，则其周期减半，所以的最小正周期为，故D正确； 故选：D 14. 下列诱导公式中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式，逐项验证即可. 【详解】对于A，，正确； 对于B，，正确； 对于C，，正确； 对于D，，错误. 故选：D. 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】利用二倍角余弦公式和正弦边角互化，结合三角形内角性质可得，即可判断形状. 【详解】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 16. 关于x方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（ ） A. 存在实数m使得方程无解 B. 存在实数m使得方程有无数个解 C. 存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D. 存在唯一的实数m使得方程只有2个解 【答案】C 【解析】 【分析】原方程可化为，结合图象，即可判断选项. 【详解】因为，所以关于x的方程，可化为， 在上为周期为的函数，值域为， 在上单调递减，值域为，且时，时， 对于，在时，过程中与图象接近， 且过程中图象呈现周期性波动，第个周期值域为，()逐渐变小且接近于1，(逐渐变小且接近于， 综上，函数的大致图象如下， 当时，无解，A对； 当时，有无数个解，B对； 当且时，有个解，此时时，D对； 当且时，有个解， 当时，有1个解，C错； 故选：C. 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. （1）求，的值； （2）求，的值. 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由单位圆中三角函数的定义即可得到结果； （2）根据题意，由二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由单位圆中三角函数定义可得，. 【小问2详解】 由二倍角公式可得， . 18. 在中，已知，，. （1）求； （2）求的面积S及外接圆半径R. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由余弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由三角形的面积公式代入计算，即可得到结果，再由正弦定理即可得到外接圆的半径. 【小问1详解】 由余弦定理可得. 【小问2详解】 由（1）可知，且，则， 则， 由正弦定理可得，即，则. 19. 已知. （1）求函数的最小正周期和单调减区间； （2）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）函数的最小正周期为，单调减区间为（） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦函数的周期性和单调性，可得结果； （2）先由关于x的方程在上有解，可得方程在上有解，求出函数在上的值域，即得结果. 【小问1详解】 ，所以函数的最小正周期为， 由，得：， 所以函数的单调减区间为（）. 【小问2详解】 由，可得， 即，由，可得， 则，，即. 所以的取值范围为. 20. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 （1）请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； （2）请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； （3）依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 【答案】（1）.理由见解析 （2） （3）1点进港，5点离港，或点进港，点离港；4小时； 【解析】 【分析】（1）结合散点图即可判断； （2）结合散点图即可求解； （3）由（2）求解即可求解. 【小问1详解】 以时间为横坐标，以水深为纵坐标，在平面直角坐标系中作出对应的各点， 根据图象可考虑用函数近似描述这个港口的水深与时间的函数关系， 【小问2详解】 由已知数据结合图象可得，，，， 故. 又，可取， 所以； 【小问3详解】 由题意可得，则，， 所以，解得， 又，取可得：，取，可得， 所以该船可以1点进港，5点离港，或点进港，点离港， 所以卸货最多只能用4小时时间. 21. 已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. （1）若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； （2）若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； （3）若，求所有满足a和b是“f相关”的实数b的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由“相关”的定义代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由“相关”的定义以及正弦的和差角公式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由“相关”的定义以及辅助角公式代入计算，即可得到的范围，从而得到结果. 【小问1详解】 由题意可得，即，即， 且，故或. 【小问2详解】 由题意可得，整理可得， 即，故或， 且，因此或. 【小问3详解】 由题，， 整理可得， 转化为， 即， 由正弦函数的值域可得， 即， 化简可得， 即，且， 解得， 所以b取值范围为. 【点睛】关键点睛：本题主要考查了新定义问题以及三角恒等变换的应用，难度较大，解答本题的关键在于理解“f相关”的定义，然后结合三角恒等变换的知识解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 浦东新区2024学年度第二学期期中教学质量检测 高一数学试卷 2025.04 注意： 1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将姓名、学校、考号填写清楚. 2. 本试卷共有21道试题，满分100分，考试时间90分钟. 一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分. 1. ______弧度. 2. 若，，则角在第__________象限． 3. 半径为1，圆心角为的扇形的面积为______. 4. 若，则的值为________. 5. 已知，则__. 6. 若函数（其中常数）是上的偶函数，则的值为________ 7. 已知函数，.则函数所有零点组成的集合为______. 8. 代数式可化为的形式，则的值为______. 9. 函数的最小值为______. 10. 已知，则______． 11. 一根长为的材料（材料粗细忽略不计）欲水平通过如图所示的直角走廊，已知走廊的宽，则能够通过这个直角走廊的材料的最大长度（即求的最小值）为______m. 12. 已知，且函数图像关于点对称.若（其中），则的最小值为______. 二、选择题（本大题共有4题，满分12分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得3分，否则一律得零分. 13. 下列函数中，最小正周期为的是（ ） A B. C. D. 14. 下列诱导公式中错误的是（ ） A. B. C. D. 15. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形 16. 关于x的方程在区间上解的情况，下列说法不正确的是（ ） A. 存在实数m使得方程无解 B. 存在实数m使得方程有无数个解 C. 存在唯一的实数m使得方程只有1个解 D. 存在唯一的实数m使得方程只有2个解 三、解答题（本大题共有5题，满分52分）解答下列各题必须写出必要的步骤. 17. 如图，在平面直角坐标系xOy中，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边恰好与单位圆O相交于点. （1）求，的值； （2）求，的值. 18. 在中，已知，，. （1）求； （2）求的面积S及外接圆半径R. 19. 已知. （1）求函数最小正周期和单调减区间； （2）若关于x的方程在上有解，求实数m的取值范围. 20. 在月亮和太阳的引力作用下，海水水面发生的周期性涨落现象叫做潮汐.通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某天在某港口记录的水面深度（y）与时间（x）的关系表： x（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 50 2.5 5.0 （1）请从，，这3个函数中选择一个函数近似描述某天这个港口的水面深度（y）与时间（x）的函数关系，不需要说明理由； （2）请根据你对（1）的判断以及所给信息，写出你选择的函数模型的解析式； （3）依照（2）中的函数模型，若一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有2.25米的安全间隙（船底与海底的距离），则该货船在某天什么时间段能安全进出港口？要使该货船能在某天卸完货并安全离港，卸货最多只能用多少时间？ 21. 已知函数的定义域.若实数a，，且满足，则称a和b是“f相关”的. （1）若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； （2）若，，求所有满足a和b是“f相关”的实数b； （3）若，求所有满足a和b是“f相关”实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$