圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题、角平分线问题专项训练-2025届高三数学三轮复习

圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题、角平分线问题专项训练 圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题、角平分线问题专项训练 考点一 三点共线问题 1．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；②的取值范围为. 【详解】（1）设， 则即 ， 所以由双曲线定义可知动点的轨迹是以为焦点的双曲线的下支，且 所以动点的轨迹方程为. （2）①证明：由（1）曲线:,，设， 对函数求导得， 所以两切线方程为：，即， 又切线过点P，所以， 即满足，即满足方程， 所以， 设， 则由， 所以，即三点在直线上，即三点共线； ②由上得，所以直线的方程为即， 联立， 因为直线与有两个交点，则由题意可知方程有两个不等负根， 所以， 所以. 所以的取值范围为. 2．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)设点在上． （ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值； （ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线． 【答案】(1)点A的坐标为或或或 (2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）证明见解析 【详解】（1）求双曲线方程及点A的坐标： 已知双曲线右焦点，离心率， 因为在双曲线中（为半焦距），且，所以， 又因为，所以， 则双曲线的方程为； 设，则， 由，可得：，即， 又因为在双曲线上，所以，即， 将代入，得：， 整理，得，解得：， 当时，，即； 当时，，即， 所以点A的坐标为或或或； （2）（ⅰ）证明：直线的斜率之和为定值： 因为点A在第一象限，所以，设直线的方程为， 联立，消去得：， 化简得： 由韦达定理，得：， 直线的斜率，直线的斜率， 则， 因为，代入上式， 得：， 将上式的分子展开，得： ， 整理，得：， 代入， 可得， 即，所以直线的斜率之和为定值； （ⅱ）证明三点共线：双曲线的渐近线方程为， 由题可得直线PQ，MN斜率存在且不为0 设直线MN方程为，设 如图，直线MN与交点为M，与交点为N. 联立，解得：，即， 联立，解得：，即， 则. 由，则 移项并利用平方差公式，可得： . 由题，直线PG斜率为，直线QG斜率为，又， 则， 则，又， 则. 直线PG方程为：， 代入中， 则， 据此可得P的横坐标即， 同理可得Q的横坐标即. 则，. 则. 由，代入，则. 则， 则点G满足直线MN方程，所以G，M，N三点共线. 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析. 【详解】（1）解：由已知长轴为，短轴长为， 可得，， 则椭圆的标准方程为：； （2）解：①依题意，解得， 因为，可得， 且， 因为， 解得， 所以直线的方程为：． ②证明：设， ， 联立，消去整理得： ， ， 又， 代入整理得：， ， ， 同理可得， ， 而 所以有， 整理得， ， ， 因此∥， 故三点共线. 4．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 【答案】(1) (2)证明见解析. 【详解】（1）依题意，，设，由，得， 则，即， 而，因此， 所以椭圆C的方程为. （2）    由点，，得，则， 设，则，， 于是，即， 依题意，直线MN的斜率存在．设直线MN的方程为，， 由消去得， 则， 由直线AM过点，得，即，解得， 同理得，则 整理得，因此， 即， 由M，N异于点A，得直线MN：不过点，即， 于是，即， 则直线MN的方程为，即恒过点， 因此P，M，N三点共线. 5．（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为； （i）求证：P，O，Q三点共线； （ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值． 【答案】(1)； (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）圆，圆， 设圆的半径为， 由已知得，，从而， 故圆心的轨迹为以为焦点的椭圆（不含左顶点）， 又， 从而轨迹的方程为. （2） （i）设，，，直线的斜率为， 由直线TP与TQ的斜率之积为，则存在且， 则，只需证且. 联立，消得， 整理得：， ， ， 以代得， 故.                                            又， ，        故三点共线.                   （ii）由（i）知，则， 的方程：，从而，      则，            由，当且仅当取等号， 故，即四边形面积的最大值为. 6．（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意得，且 （2）由 (1) 得， 设直线 的方程为，则， 由 得， 直线 的方程为，令 ，则， ， 所以三点共线. 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 (1)求抛物线的标准方程； (2)线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 【答案】(1) (2)①证明见解析;②9 【详解】（1）因为抛物线焦点为， 则，即， 所以直线， 代入抛物线方程可得：， 即， 则，由题意，解得， 所以所求抛物线方程为. （2）①证明：设. 若，则直线斜率不存在， 由对称性，可知均在轴上，则三点共线； 若，则直线斜率存在， 直线方程为：，结合， 则， 同理可得方程：方程：， 方程：.设， 因，则. 则直线与轴平行，设直线与线段交点为. 将代入直线方程， 则； 将代入直线方程， 则. 注意到 ，又，则两点重合， 即为线段与交点，且点三点共线； ②由（2），直线与轴平行， 则. 又，同理可得， 又由（2）， 则， 由，则， 即. 则 如图， 过作平行线，交为，则四边形为平行四边形， 结合，则. 因，则，结合， 则，又M为中点，则E为NC中点.则， 则四边形的面积 8．（23-24高三上·北京东城·期末）已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意， 所以， 所以椭圆的方程为. （2） 由题意不妨设，其中，即， 则，且直线的方程为， 将其与椭圆方程联立得， 消去并化简整理得， 由韦达定理有， 所以，， 即点， 而， ， 所以三点共线. 考点二 四点共圆问题 1．（2025·河南·模拟预测）（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为； （2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析； 【详解】（1）若切线的斜率存在，即切点不为双曲线的顶点，令方程为，联立， 所以，则， 所以， 整理得， 因为点在双曲线上，所以， 所以，则， 所以，则， 由，则，即， 所以，显然切线的斜率不存在时，即切线过双曲线顶点也满足，得证； （2）由题意，设，其焦点坐标为， 设与双曲线的切点为，则切线方程为， 联立，可得，即，同理， 所以，，则， 而，故，即所求等轴双曲线的方程； （3）由（2）双曲线为，若，则， 所以过点作直线的垂线为，即， 令，则，即，令，则，即， 联立，可得，同理， 综上，、的中点坐标均为，即是点，所以四点共圆， 易知圆的方程为，显然原点恒在圆上，得证. 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）设椭圆与直线相交于、两点，直线与轴与轴分别相交于、两点，三等分 (1)求直线的方程（用表示）； (2)设抛物线，直线与相交于两点，椭圆的右顶点为，若存在实数使得、、、四点共圆，求的取值范围 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设,设的中点是，则， 则， 设，依题可知也是的中点，则, 两式相减得，整理得,即， 可知，得. ① 如图，当时，， 由三等分，可知， 在椭圆上，有，解得 由，因此 ② 当时，， 由三等分，可知， 在椭圆上，有，解得 由，因此 综上所述：直线的方程为 （2）①当时，易知，设，， 由消去可得， 由韦达定理：， 设直线与直线相交于点，易知， 由相交弦定理，四点共圆的充要条件是(*), 由两点之间的距离公式得， 由弦长公式，结合图形，可得，, 代入(*)可得：， 即， 化简得： 由（1）可知，即方程在内有解， 因此，解得， 因为当时，不合题意，故时， 由可知成立，故得； ②当时，同理可得当时，可使得成立. 综上所述， 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线，其焦点为为坐标原点，过点作直线l与抛物线交于A，B两点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点C，D，直线，与抛物线的准线相交于点M，N.证明: (1)直线CD过定点； (2)O，M，N，F四点共圆 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1） 已知抛物线，其焦点为， 因为过点作直线l与抛物线交于A，B两点，设A，B两点在第一象限， 设直线l的方程为，， 与抛物线方程联立，得， 设，则， 又，则直线的方程为， 由已知，则直线的方程为， 联立直线与直线的方程，解得， 同理可得， 则， 又，则代入上式，化简得， 则直线CD的方程为， 令，解得，所以直线CD过定点. （2）抛物线的准线方程为， 由（1）知直线的方程为， 则直线与准线的交点为， 同理直线与准线的交点为， 又直线与的交点为， 则，， 则，， 又由（1）知，所以， 所以， 所以O，M，N，F四点共圆. 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． (1)求的方程； (2)若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 【答案】(1) (2)①3；② 【详解】（1）由离心率为，即，得， 由得在椭圆上，即，解得， 所以椭圆的方程为. （2）①由（1）可得， 连接，因为， ， 所以，得; 所以，所以直线的方程为： ， 由，解得或，所以或（舍去）. 所以. ②设直线， ， 则 联立可得， 由，得． 所以，则， 所以中点的坐标为，所以， 故直线.       由P，Q，M，N四点共圆，则， 由; 联立可得，所以， 所以， 所以,得， 所有，得， 所以， 即，当且仅当时取等号，即的最大值为. 5．（2025·陕西西安·二模）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）依题，，即 ①，把代入中，解得， 因点在第一象限，则，由可得， 代入点的坐标可得：，即得， 整理得：②， 将① 代入②可得：，解得（负值舍去），则， 故椭圆的标准方程为：. （2）依题意，点关于轴对称，故的外接圆圆心在轴上，设， 将代入，解得，依题意，， 则的外接圆半径为， 于是的外接圆的方程为：， 因点在该圆上，代入解得， 故的外接圆的方程可化简为：（*）. 又直线的方程为：，令，可得， 将其代入（*），可得：， 即点在该圆上，故四点共圆.    6．（24-25高三上·四川·期中）已知椭圆T：的右焦点为，直线l：与椭圆T相切． (1)求椭圆T的方程； (2)过点作与x轴平行的直线交椭圆T于M，N两点，直线PE与y轴交于点Q，证明：M，N，E，Q四点共圆． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）联立，得． 由题意可得， 化简得． 联立解得 所以椭圆T的方程为． （2）因为点M，N关于y轴对称，所以外接圆的圆心在y轴上． 设的外接圆方程为． 因为点E在的外接圆上，所以，解得． 联立解得．不妨取，． 因为点N在的外接圆上，所以， 解得，所以的外接圆方程为． 直线PE的方程为， 令，解得，所以． 将点代入， 得，等式成立． 所以点Q也在的外接圆上，故M，N，E，Q四点共圆．    7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知双曲线E经过点 (1)求E的方程． (2)若直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D（C与A不重合），的中点为M，l与直线交于点G，直线与E交于另一点N，证明： （i）轴； （ii）四点共圆． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【详解】（1）因为E经过点，所以， 因为E经过点，所以，得， 所以E的方程为 （2）（i）由题意知l的斜率存在且不为0，， 故设，，则，即 由消去x，得 所以 设，则 由，解得，所以 所以直线，即． 设，由得，又， 所以，因为，所以轴． （ii）由弦长公式可知， 因为 所以 所以，又M为的中点，所以点N在以为直径的圆上． 因为 所以点A也在以为直径的圆上． 综上，四点共圆． 8．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知， 由轴，知，， 由，知，解得， 所以抛物线的方程为. （2）联立得， 解得，. 设，， 由，在抛物线上知，. 又，， 所以，，，， 所以，， 所以，， 所以，在以为直径的圆上，即，，，四点共圆. 考点三 角平分线问题 1．（2025·山东泰安·一模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【详解】（1）由题意知，， 椭圆方程为， （2）（i）设， 则， ， ，，， 又在椭圆上，， ，，即， ， ， ， ； （ii）设，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为， ，直线的倾斜角为， ，， 又， ， 由题意的斜率不为0，设直线的方程为：， 由，得， 设， 则，又， ， 即， 整理得， ，， 的方程为. 2．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3． (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由椭圆的离心率为，得半焦距，， 将代入椭圆方程，得，则，因此， 所以椭圆的方程为. （2）设，又， 直线，的方程分别为，， 由的角平分线PM交C的长轴于点，得， 由点在椭圆上，得，即，则， 又，，于是，， 所以m的取值范围是. 3．（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为直线的一个法向量是， 又过点所以可得直线的方程为， 化简得，所以所求直线的方程为. （2）因为直线与轴交于点，由（1）知的方程为，所以， 因为，所以， 将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为， 则，所以. 由点可知直线方程为，即. （3）设直线的倾斜角为，因为， 所以，，则， 所以，的角平分线所在直线的倾斜角为， 则的角平分线所在直线的斜率为 ， 因此，的角平分线所在直线的方程为，即. 4．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点 (1)求椭圆E的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程； (3)在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）椭圆E经过点， 可得，解得， 因此可得椭圆E的方程为； （2）由（1）可知，， 思路一： 由题意可知，，如下图所示： 设角平分线上任意一点为，则 得或 又易知其斜率为正， ∴的角平分线所在直线为 思路二：椭圆在点处的切线方程为， 根据椭圆的光学性质，的角平分线所在直线的斜率为， 所以的角平分线所在直线， 即 （3）思路一：假设存在关于直线对称的相异两点， 设， 联立可得， ∴线段中点为在的角平分线上， 即，解得； 因此与点A重合，舍去，故不存在满足题设条件的相异的两点． 思路二：假设存在关于直线对称的相异两点，线段中点， 由点差法可得，即； ∴， 因此， 联立可得与点A重合，舍去， 故不存在满足题设条件的相异的两点． 5．（22-23高三上·山东滨州·期末）已知椭圆C：离心率为，焦距为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y=x+d与椭圆C交于A，B两点，平面直角坐标系内的点M，使得的角平分线与x轴垂直，且点M的坐标与d无关，求点M的坐标. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）由已知得，             以，， 所以椭圆的方程为； （2）设，如图， 将直线代入 得：． ． 因为的角平分线与轴垂直，所以直线与直线的倾斜角互补， 所以，即， 所以， 又因为， 整理得 将①式代入上式，可得 整理得． 因为点的坐标与无关， 所以， 解得，或， 所以点的坐标为或． 6．（2025·浙江·一模）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，可得， 所以抛物线C的方程为. （2）根据题意，直线斜率不为0，设其方程为：，，， 由得，由，可得：或， 由韦达定理得：，. 则 ，即直线与直线的倾斜角互补， 所以是的角平分线. 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）令，则，解得， 则，因为直线的斜率，则， 则直线的方程为，即. （2）取点，设其关于直线的对称点， 则，解得. 则点所在的直线的方程，即.    8．（2024·云南·一模）法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根该圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆方程为，且为上一点. (1)求的方程； (2)过点作倾斜角互补的两直线分别交椭圆于，两点（异于点），求直线的斜率； (3)若为上的动点，，分别为的左、右焦点，过作的切线，判断的角平分线是否与垂直，并说明理由. 【答案】(1) (2) (3)垂直，理由见解析 【详解】（1）由题知，，解得，， 故椭圆的方程为. （2）由题意知两直线斜率均存在， 设直线的方程为，即， 设，， 由得， , 则， 所以，， 同理可得，， 所以. （3）①当不为椭圆的顶点时： 设，代入椭圆的方程可得， 则切线的方程为：， 即，所以， 设过与垂直的直线为，则， 所以的方程为：，令，得， 所以与轴交于，，， ， ， 因为在中，，由角平分线定理可知， 的角平分线与垂直； ②当为椭圆的左右顶点时： 垂直于轴，的角平分线与垂直； ③当为椭圆的上下顶点时： 平行于轴，的角平分线与垂直； 综上所述：的角平分线与垂直. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题、角平分线问题专项训练 圆锥曲线：三点共线问题、四点共圆问题、角平分线问题专项训练 考点一 三点共线问题 1．（2025·安徽·一模）已知动点满足关系式. (1)求动点的轨迹方程； (2)设动点的轨迹为曲线，抛物线的焦点为，过上一点作的两条切线，切点分别为，弦的中点为，平行于的直线与相切于点. ①证明：三点共线； ②当直线与有两个交点时，求的取值范围. 2．（24-25高二上·四川泸州·期末）已知双曲线的右焦点为，离心率为2，分别为的左，右顶点，A为双曲线上一点，且． (1)求点A的坐标； (2)设点在上． （ⅰ）若点A在第一象限且直线的斜率为－2，求证：直线的斜率之和为定值； （ⅱ）若，过的直线与的两条渐近线分别交于两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若．求证：三点共线． 3．（24-25高二上·四川眉山·阶段练习）已知椭圆（）的长轴为，短轴长为． (1)求椭圆的标准方程； (2)设直线l：与椭圆交于不同两点； ①若，求直线的方程． ②已知点，，连接交椭圆于另一点，连接交椭圆于另一点，求证三点共线. 4．（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知椭圆的上、下顶点分别为，其右焦点为F，且． (1)求椭圆C的方程； (2)若点，在直线BP上存在两个不同的点满足．若直线与直线分别交C于点M，N（异于点A），证明：P，M，N三点共线． 5．（2024·湖南衡阳·三模）在直角坐标系xoy中，动圆M与圆外切，同时与圆内切，记圆心M的轨迹为E． (1)求E的方程； (2)已知三点T，P，Q在E上，且直线TP与TQ的斜率之积为； （i）求证：P，O，Q三点共线； （ii）若，直线TQ交x轴于点A，交y轴于点B，求四边形OPAB面积的最大值． 6．（2024·山西太原·三模）已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 . (1)求双曲线 的方程; (2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线. 7．（2025·辽宁大连·一模）如图，直线与直线，分别与抛物线交于点，和点（在轴同侧），线段与交于点.当经过的焦点时两点的纵坐标之积等于 (1)求抛物线的标准方程； (2)线段与交于点，线段与的中点分别为 ①求证：三点共线； ②若，求四边形的面积. 8．（23-24高三上·北京东城·期末）已知椭圆的右焦点为，左､右顶点分别为，. (1)求椭圆的方程； (2)设是坐标原点，是椭圆上不同的两点，且关于轴对称，分别为线段的中点，直线与椭圆交于另一点.证明：三点共线. 考点二 四点共圆问题 1．（2025·河南·模拟预测）（1）证明：双曲线上任意一点处的切线方程为； （2）已知直线，，直线分别交和于点和，点和在轴同侧，且的面积为1（为坐标原点），恒与一焦点在轴上的等轴双曲线相切，求该等轴双曲线的方程； （3）在（2）的条件下，记（2）中的等轴双曲线为，与相切于点且不在坐标轴上，过点作直线的垂线分别交轴和轴于点和，证明：，，，四点共圆，且该圆过定点． 2．（2024·浙江杭州·模拟预测）设椭圆与直线相交于、两点，直线与轴与轴分别相交于、两点，三等分 (1)求直线的方程（用表示）； (2)设抛物线，直线与相交于两点，椭圆的右顶点为，若存在实数使得、、、四点共圆，求的取值范围 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知抛物线，其焦点为为坐标原点，过点作直线l与抛物线交于A，B两点，过点分别作，的垂线，垂足分别为点C，D，直线，与抛物线的准线相交于点M，N.证明: (1)直线CD过定点； (2)O，M，N，F四点共圆 4．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知椭圆，C的上顶点为B，左、右顶点分别为、，左焦点为，离心率为．过作垂直于轴的直线与交于，两点，且． (1)求的方程； (2)若，是上任意两点， ①若点，点N位于轴下方，直线交轴于点G，设和的面积分别为，若，求线段的长度； ②若直线与坐标轴不垂直，H为线段的中点，直线OH与C交于P，Q两点，已知P，Q，M，N四点共圆，求的最大值． 5．（2025·陕西西安·二模）已知为椭圆的右焦点，过点作与轴平行的直线，该直线与椭圆交于两点（点在第一象限），当时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轴交于点，证明：四点共圆. 6．（24-25高三上·四川·期中）已知椭圆T：的右焦点为，直线l：与椭圆T相切． (1)求椭圆T的方程； (2)过点作与x轴平行的直线交椭圆T于M，N两点，直线PE与y轴交于点Q，证明：M，N，E，Q四点共圆． 7．（24-25高二上·安徽合肥·期末）已知双曲线E经过点 (1)求E的方程． (2)若直线l经过E的右焦点F且与E的左、右两支分别交于点C，D（C与A不重合），的中点为M，l与直线交于点G，直线与E交于另一点N，证明： （i）轴； （ii）四点共圆． 8．（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知抛物线：的焦点为，为坐标原点，位于第一象限的点为上一点，，且垂直于轴. (1)求抛物线的方程； (2)已知直线与交于，两点，求证：，，，四点共圆. 考点三 角平分线问题 1．（2025·山东泰安·一模）已知椭圆的离心率为分别为椭圆的左､右焦点，分别为椭圆的上､下顶点，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知过的直线与椭圆交于两点，且直线不过椭圆四个顶点. （i）设的面积分别为，若，求的最大值； （ii）若在轴上方，为的角平分线，求直线的方程. 2．（24-25高二下·吉林长春·阶段练习）椭圆的左、右焦点分别是、，离心率为，过且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为3． (1)求椭圆C的方程； (2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接，，设的角平分线PM交C的长轴于点，求m的取值范围． 3．（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，且的一个法向量是. (1)求直线的方程； (2)若直线与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转，点所对应的点为，求直线的方程； (3)在（2）的条件下，求的角平分线所在的直线方程. 4．（24-25高三上·湖北武汉·阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点 (1)求椭圆E的方程； (2)求的角平分线所在直线的方程； (3)在椭圆E上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在，请找出；若不存在，说明理由． 5．（22-23高三上·山东滨州·期末）已知椭圆C：离心率为，焦距为. (1)求椭圆C的方程； (2)若直线y=x+d与椭圆C交于A，B两点，平面直角坐标系内的点M，使得的角平分线与x轴垂直，且点M的坐标与d无关，求点M的坐标. 6．（2025·浙江·一模）已知抛物线C：的焦点为F，抛物线C上点满足. (1)求抛物线C的方程； (2)设点，过D作直线l交抛物线C于A，B两点，证明：是的角平分线. 7．（24-25高二上·福建泉州·期中）已知直线：，：，直线与交于点 (1)求过点且与垂直的直线的方程； (2)点是直线上异于的一点，若为的角平分线，求点所在的直线的方程． 8．（2024·云南·一模）法国数学家蒙日发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，该圆的圆心为椭圆的中心，半径等于椭圆的长半轴与短半轴平方和的算术平方根该圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆方程为，且为上一点. (1)求的方程； (2)过点作倾斜角互补的两直线分别交椭圆于，两点（异于点），求直线的斜率； (3)若为上的动点，，分别为的左、右焦点，过作的切线，判断的角平分线是否与垂直，并说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$