7.2.1复数的加减运算及其几何意义课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 学习目标 1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.(重点) 2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.(难点) 3.掌握复平面上两点间的距离公式.(重点) 宁波光华学校 ：刘雨萌 复习旧识： 3.复数的模 Z=a+bi |Z|=|a+bi|= |Z|=1 即以o为圆心1为半径的圆。 虚数单位 -1 Z=a+bi 宁波光华学校 ：刘雨萌 一、呈现背景 提出问题 自然数 整数 有理数 实数 复数 问题1：实数系推广到复数系，实数的加、减、乘、除四则运算可以推广到复数吗？ 负整数 分数 无理数 虚数 问题2：如果可以，你认为会是怎样的运算法则？ 宁波光华学校 ：刘雨萌 那么 显然：两个复数的和仍然是一个确定的复数 规定 设 , 1. 复数的加法和运算律 二、分析联想 寻求方法 宁波光华学校 ：刘雨萌 复数的加法满足交换律、结合律吗？ ? 二、分析联想 寻求方法 宁波光华学校 ：刘雨萌 二、分析联想 寻求方法 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i. 因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, 所以（交换律） z1+z2=z2+z1 因为 (z1+z2)+z3=[(a1+b1i)+(a2+b2i)]+(a3+b3i) =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+[(a2+b2i)+(a3+b3i)] =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, 所以（结合律） (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 宁波光华学校 ：刘雨萌 所以，对任意z1，z2，z3 ∈ C,有 交换律： z1+z2=z2+z1 结合律： (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 三、猜想验证 得出结论 宁波光华学校 ：刘雨萌 我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应.而我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？ 设 分别与复数 a+bi,c+di 对应， 则 Z1(a,b) Z2(c,d) Z 复数的加法可以按照向量的加法来进行 2. 复数加法的几何意义 三、猜想验证 得出结论 宁波光华学校 ：刘雨萌 三、猜想验证 得出结论 我们知道，实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，你认为该如何定义复数的减法？ 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足： (c+di)+(x+yi)=a+bi 的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di). 3. 复数的减法法则 宁波光华学校 ：刘雨萌 说明:(1)两个复数的差是一个确定的复数 . (2)两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减。 根据复数相等的定义，有 c+x=a, d+y=b, 因此 x=a-c, y=b-d, 即 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i. (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i 实部相减为实部 虚部相减为虚部 三、猜想验证 得出结论 宁波光华学校 ：刘雨萌 4. 复数减法的几何意义 三、猜想验证 得出结论 x o y Z1(a,b) Z2(c,d) 复数z2－z1 向量Z1Z2 |z1-z2|表示什么? 表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离 提示　因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|=||=|z2-z1| =|(x2+y2i)-(x1+y1i)|=|(x2-x1)+(y2-y1)i|=. 宁波光华学校 ：刘雨萌 知识梳理 1.复数加、减法的运算法则 设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数， 则z1+z2=(a+c)+(b+d)i， z1-z2=(a-c)+(b-d)i. 2.复数加法的运算律 对任意z1，z2，z3∈C，有： (1)(交换律)z1+z2= ； (2)(结合律)(z1+z2)+z3= . z2+z1 z1+(z2+z3) 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 例1 (1)复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=　　　　.  9+i 复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=(1+3+5)+(2-4+3)i=9+i. (2)化简：(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a，b∈R). (a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+［b-(-3b)-3］i=-a+(4b-3)i. 跟踪训练1 　若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是 A.-4 B.4 C.4i D.-4i √ 因为z+(3-4i)=1，则z=1-3+4i=-2+4i，故z的虚部为4. 宁波光华学校 ：刘雨萌 例2 如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求： (1)对应的复数； 典例分析 (2)对应的复数； (3)对应的复数及||的长度. （1）因为=-，所以对应的复数为-3-2i. （2）因为=-，所以对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i. （3）因为=+，所以对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i. 所以||==. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 跟踪训练2 (1)已知复平面内的向量，对应的复数分别是-2+i，3+2i，则||=　　　　.  (2)若z1=1+2i，z2=2+ai，复数z2-z1在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是　　　　.  (-∞，2) （1）∵=+， ∴对应的复数为(-2+i)+(3+2i)=1+3i， ∴||==. （2）z2-z1=1+(a-2)i，由题意知a-2<0，即a<2. 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 例3 　(1)在复平面内点A，C分别对应于复数-1+i，-4-3i，则A，C两点间的距离为　　.  5 （1）依题意得对应的复数为(-4-3i)-(-1+i)=-3-4i， 所以A，C两点间的距离为|AC|=||=|-3-4i|==5. (2)(多选)设z∈C，且|z+1|-|z-i|=0，则|z+i|的值可以是 A.0 B.1 C. D. √ √ （2）∴当CM⊥OM时，|z+i|取到最小值|CM|. 又|CM|=|OC|sin 45°=，∴|z+i|≥. 宁波光华学校 ：刘雨萌 巩固提升 跟踪训练3 　设复数z=a+bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z+1|的取值范围是　　　　.  ［0，3］ 由复数的模及复数加减运算的几何意义可知，1≤|z|≤ 2表示如图所示的圆环(包括边界)，而|z+1|表示复数z在复平面内的对应点A(a，b)与复数z1=-1在复平面内的对应点B(-1，0)之间的距离，即圆环内的点到点B的距离d.由图易知当点A与点B重合时，dmin=0，当点A与点C(2，0)重合时，dmax=3，∴0≤|z+1|≤3. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课堂小结 1.知识清单： (1)复数代数形式的加、减运算法则. (2)复数加、减法的几何意义. (3)复平面上两点间的距离公式. 2.方法归纳：类比、数形结合. 3.常见误区：忽略模的几何意义. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1 2 3 4 1.计算：(1-i)-(2+i)+3i等于 A.-1+i B.1-i C.i D.-i √ 原式=1-i-2-i+3i=-1+i. 随堂演练 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 1 2 3 4 √ z=z2-z1=(1-2i)-(2+i)=-1-3i. 故z在复平面内对应的点为(-1，-3)，位于第三象限. 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.两个复数z1=2+5i，z2=3-i在复平面内对应的两点之间的距离为　　　.  1 2 3 4 |z1-z2|===. 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i，则点C对应的复数是　　　　.  1 2 3 4 由题意知，对应的复数为3+2i，对应的复数为2-4i，又=+， 所以对应的复数为(3+2i)+(2-4i)=5-2i，所以点C对应的复数是5-2i. 宁波光华学校 ：刘雨萌 课后作业 韩语班：教材77页练习1-4 4班、5班：课后作业21 1-14必做，15、16选做 宁波光华学校 ：刘雨萌 本节内容结束 1．复数的有关概念 (1)复数的定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做___________，满足i2＝______． (2)复数的表示方法 复数通常用字母z表示，即__________________，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部． 2．复数的两种几何意义 (1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \o(――――→,\s\up17(一一对应))复平面内的点Z(a，b)． (2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)eq \o(――――→,\s\up17(一一对应))平面向量eq \o(OZ,\s\up17(→)). $$