7.1.1 数系的扩充和复数的概念课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.(重点) 3.掌握复数代数形式的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件.(难点) 宁波光华学校 ：刘雨萌 情景导入 我们知道，方程x2+1=0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 问题1 事实上，早在古希腊时代，数学家在研究解方程问题时就遇到了负实数开平方的问题，但他们一直在回避。直到1545年，意大利数学家卡丹在用求根公式，因式分解两种方法同时求解一些特殊的一元三次方程时，得到了无法理解的结果...... 宁波光华学校 ：刘雨萌 社会科技随着生活和生产实践的需要不断发展，数的发展也是一样. ①自然数是“数”出来的. ②负数是“欠”出来的. ③分数（有理数）是“分”出来的. ④无理数是“推”出来的. 为了解决边长为1的正方形的对角线长度的问题，古希腊毕达哥拉斯学派发现了“无理数”，成为数学发展史上的一个里程碑. ? 1 复习回顾 宁波光华学校 ：刘雨萌 从数学自身发展的需要来看 （2）在整数集中求方程2x-1=0的解； 自然数集 N 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 无解 有解 无解 有解 有解 无解 （3）在有理数集中求x2-2=0方程的解；   数系的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不能解决的问题． （4）在实数集中求x2+1=0方程的解． 无解 有解 ？ （1）在自然集中求方程x+1=0的解； 数系的扩充 新知探究 宁波光华学校 ：刘雨萌 我们引入一个新数，使得是方程的解.那么 叫做虚数单位. 参考实数平方根的定义，应有 思考 新引进的数i添加到实数集中，我们如何定义运算可以使得数i和实数之间的运算能满足实数运算的运算律？实数系在此基础上扩充之后，得到的新数系由哪些数组成呢？ ①把实数与相乘，结果记作 ②把实数与相加，结果记作 这样一来，所有实数以及都可以写成（）的形式，从而所有的数都在扩充后的新数集中. 新知探究 虚数单位 宁波光华学校 ：刘雨萌 新知讲解—复数 我们把形如的数叫做复数. 复数通常用字母表示，即 是复数的实部，是复数的虚部. 课本第70页练习1. 说出下列复数的实部和虚部： ，，，，0 观察上面的复数，根据实部和虚部的情况，你能否对复数进行归类？复数集和实数集之间有什么关系？你能用图表示上述关系吗？ 实部和虚部都是实数！ 宁波光华学校 ：刘雨萌 新知讲解——复数的分类 复数z=a+bi (a,b∈R)什么时候是实数，什么时候是虚数、什么时候是纯虚数？ 当且仅当b=0时，它是实数； 当且仅当a=b=0时，它是实数0 当b≠0时，它叫做虚数； 当a=0且b≠0时，它叫做纯虚数 宁波光华学校 ：刘雨萌 新知讲解——复数的概念 复数集C与实数集R之间有什么关系？ 【思考】 复数集C 实数R 纯虚数 虚数 显然，实数集R是复数集C的真子集，即R C. 复数 实数(b=0) 虚数(b≠0) 纯虚数 (a=0, b≠0) 非纯虚数 (a≠0, b≠0) 这样，复数z=a+bi (a, b∈R)可以分类如下： 宁波光华学校 ：刘雨萌 新知讲解 实数 有理数 无理数 整数 分数 负整数 自然数 零 正整数 虚数 复数 实数集 复数集 扩充 课本第70页练习2. 指出下列各数中，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，为什么？ ，3 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 例1 复数z=2i+3i2的实部是 A.0 B.2 C.3 D.-3 √ 例2 已知m∈R，复数z=+(m2+2m-3)i，当m为何值时， (1)z∈R； (2)z是虚数； (3)z是纯虚数. （1）若z∈R，则m需满足解得m=-3. （2）若z是虚数，则m需满足解得m≠1且m≠-3. 解得m=0. 宁波光华学校 ：刘雨萌 问题 ：两个实数能比较大小，那么两个复数能比较大小吗？ 当两个复数都是实数时，可以比较大小， 当两个复数不全是实数时，只有相等或不相等的关系，不能比较大小. 追问： 如果两个复数相等，那么它们应满足什么条件呢？ 复数相等 在复数集C={a+bi | a,b∈R}中任取两个数a+bi，c+di (a,b,c,d∈R)，我们规定：a+bi和c+di相等，当且仅当a=c，b=d. 即：a + bi = c + di ⇔ a = c且b = d. 特别地 我们判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等！ 新知讲解——复数的概念 宁波光华学校 ：刘雨萌 典例分析 例3 (1)若(x+y)+yi=(x+1)i，求实数x，y的值. (2)已知复数x2-1+(y+1)i大于复数2x+3+(y2-1)i.求实数x，y的取值范围. 由题意得，两个复数都是实数. 因为x2-1+(y+1)i>2x+3+(y2-1)i， 所以 解得y=-1且x<1-或x>1+，即实数x，y的取值范围为x<1-x>1+，y=-1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 跟踪训练3 复数z1=(2m+7)+(m2-2)i，z2=(m2-8)+(4m+3)i，m∈R，若z1=z2，则m=　　.  跟踪训练 5 因为m∈R，z1=z2， 所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i. 由复数相等的充要条件，得解得m=5. 宁波光华学校 ：刘雨萌 1.知识清单： (1)数系的扩充. (2)复数的概念. (3)复数的分类. (4)复数相等的充要条件. 2.方法归纳：方程思想. 3.常见误区：未化成z=a+bi(a，b∈R)的形式. 课堂小结 宁波光华学校 ：刘雨萌 1 2 3 4 1.在2+，i，8+5i，(1-)i，0.618这几个数中，纯虚数的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3 √ i，(1-)i是纯虚数，2+，0.618是实数，8+5i是虚数.故纯虚数的个数为2. 随堂演练 宁波光华学校 ：刘雨萌 2.若复数z=ai2-bi(a，b∈R)是纯虚数，则一定有 A.b=0 B.a=0且b≠0 C.a=0或b=0 D.ab≠0 1 2 3 4 √ z=ai2-bi=-a-bi，由纯虚数的定义可得a=0且b≠0. 宁波光华学校 ：刘雨萌 3.若复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，则实数m的值为 A.-1 B.±1 C.1 D.-2 1 2 3 4 √ 因为复数z=m2-1+(m2-m-2)i为纯虚数，所以m2-m-2≠0且m2-1=0，解得m=1. 宁波光华学校 ：刘雨萌 4.已知x2-y2+2xyi=2i(其中x>0)，则实数x，y的值分别为　　　.  1 2 3 4 ∵x2-y2+2xyi=2i， ∴ 宁波光华学校 ：刘雨萌 课后作业 韩语班：教材70页练习1-3 4班、5班：课后作业19 1-14必做，15、16选做 宁波光华学校 ：刘雨萌 本节内容结束 $$